高考数学二轮专题——空间几何体的外接球（精讲）（解析版）

7.7  空间几何体的外接球（精讲）   考点一 汉堡模型【例1】（2021·天津市武清区杨村第一中学）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】将三棱锥放在一个长方体中，如图示：则三棱锥的外接球就是一个长方体的外接球，因为，，为直角三角形，所以.设长方体的外接球的半径为R，则，故.所以外接球的表面积为.故选：B.【一隅三反】1．（2021·四川成都市·成都七中高三月考（文））已知正三棱柱的高与底面边长均为2，则该正三棱柱内半径最大的球与其外接球的表面积之比为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】设正三棱柱，取三棱柱的两底面中心，，连结，取的中点，连结，则为正三棱柱外接球的半径．∵是边长为的正三角形，是的中心，∴．又∵，∴．∴正三棱柱外接球的表面积．根据题意可知，当球半径是底面正三角形内切圆的半径时，此时正三棱柱内的球半径最大，即，所以正三棱柱内 半径最大的球表面积为，2．（2021·吉林高三月考（文））已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，且，，则球的表面积为（    ）A． B． C． D．【解析】三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，，且，，把三棱锥补成一个长方体，如图所示：∴长方体的外接球即是三棱锥的外接球，∵，，∴长方体的外接球的半径为：，∴球的表面积为：，故选：D．3．（2021·普宁市第二中学）三棱锥中，平面，，的面积为3，则三棱锥的外接球体积的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】设 ，因为的面积为3，所以 ，，利用正弦定理得 ，所以三角形ABC外接圆半径为 ，平面，所以球心O到平面ABC的距离为 ，设球O的半径为R，则 ，当且仅当 时，等号成立，故三棱锥的外接球体积的最小值为 .选：C4．（2021·河南洛阳市）已知四棱锥的顶点都在球的球面上，底面，，，若球的表面积为，则四棱锥的体积为（    ）A．4 B． C． D．【答案】B【解析】，，，与全等，，易知、、、四点共圆，则，，所以，四边形的外接圆直径为，设四棱锥的外接球半径为，则，解得，由底面，底面,所以又,且，所以平面,又面PAB，所以同理可证： 设为为的中点,则由直角三角形的性质可得： 所以四棱锥外接球的球心，即为其直径，即， 所以故选：B考点二 墙角模型【例2】（1）（2021·天津高三二模）长方体的8个顶点在同一球面上，且，则球面面积为（    ）A． B． C． D．（2）（2021·河北衡水市）已知正三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为，则此三棱锥的外接球的表面积为（    ）A． B．3 C．6 D．9【答案】（1）D（2）C【解析】（1）因为长方体的8个顶点在同一个球面上，所以球的直径等于长方体的对角线长，设球的半径为，因为，，，所以，球的表面积为，故选：D.（2）正三棱锥的外接球即是棱长为的正方体的外接球，所以外接球的直径，所以,外接球的表面积，故选：C【一隅三反】1．（2021·海原县第一中学高三二模（文））已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面，，，，则球的表面积为___________.【答案】【解析】平面，平面，，，又，，，，，则可将三棱锥放入如下图所示的长方体中，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，球的半径，球的表面积.故答案为：.2．（2021·天津高三一模）已知正方体的所有顶点在一个球面上，若这个球的表面积为，则这个正方体的体积为___________.【答案】【解析】设球的半径为，因为球的表面积为，所以，所以球的半径，因为正方体的所有顶点在一个球面上，所以正方体的对角线长为，设正方体的棱长为，则，所以.所以正方体的体积为.故答案为：3．（2021·全国高三二模（文））已知长方体的体积为，，则当长方体的表面积最小时，该长方体外接球的体积为__________.【答案】【解析】设，，因为，由已知条件可得，解得，所以，长方体的表面积为，当且仅当时，等号成立，该长方体的外接球直径为，则，因此，长方体的外接球的体积为.故答案为：.考点三 斗笠模型【例3】（2021·沙坪坝区）在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知是正三棱锥，设是正棱锥的高，由外接球球心在上，如图，设外接球半径为，又，则，由得，解得，所以表面积为．故选：D．【一隅三反】1．（2021·江西师大附中高三三模（文））正三棱锥P－ABC底面边长为2，M为AB的中点，且PM⊥PC，则三棱锥P－ABC外接球的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由图，设，则，而，因为PM⊥PC，所以由勾股定理得即解得，由对称性可知：三棱锥P－ABC外接球的球心在三棱锥P－ABC的高PD上，假设为O点，则，因为,所以，又由于点D是三角形ABC的外心，且三角形ABC为等边三角形，所以,在三角形ODC中，由勾股定理得,即， 解得，所以三棱锥P－ABC外接球的体积为.故选：C2．（2021·广西来宾市·高三其他模拟（文））已知在高为2的正四棱锥中，，则正四棱锥外接球的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设正方形ABCD的中心为О，正四棱锥外接球的半径为，有，，解得，则正四棱锥外接球的体积为.故选：B3．（2021·宁夏银川市·高三二模（理））已知一个圆锥的底面面积为，侧面展开图是半圆，则其外接球的表面积等于___________.【答案】【解析】设圆锥底面圆半径为r，母线为l，则，又圆锥侧面展开图是半圆，，如图是圆锥的正截面，则，则外接球球心即正三角形的外接圆圆心，且半径即外接球半径，其半径为，则外接球表面积为故答案为：16π考点四 L模型【例4】（2021·江西高三）在三棱锥中，是等边三角形，平面平面，，则三棱锥的外接球体积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】中，，所以，，设是中点，则是外心，又是等边三角形，所以，而平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以的外心即中三棱锥外接球的球心，所以球半径，球体积为．故选：C．【一隅三反】1．（2021·四川雅安市）在四面体ABCD中，已知平面平面，且，其外接球表面积为 （    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】四面体ABCD中，取AB的中点E，连CE，DE，如图：因，则，有平面CDE，所以平面CDE⊥平面ABC，平面CDE⊥平面ABD，令正△ABD中心为O2，正△ABC中心为O1，在平面CDE内分别过O1，O2作直线CE，DE的垂线，两线交于点O，则有O1O⊥平面ABC，平面O2O⊥平面ABD，由球的截面小圆性质知，四面体ABCD外接球球心在直线O1O和直线O2O上，即点O是球心，连OA，O1A，OA即为球O的半径，因平面平面，则，而，即有四边形OO1EO2是正方形，则，中，，则，所求外接球的表面积.故选：B2．（2021·重庆九龙坡区·高三二模）在三棱锥中，平面平面，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，取中点，中点，连接，是等边三角形，则因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，过作平面，则，因为，所以三棱锥的外接球的球心在上，设球心为，连接，设外接球半径为，由已知，，，，在直角梯形中，，，，所以球表面积为．故选：C．3．（2021·四川泸州市·高三三模（文））已知三棱锥中，平面平面，若，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图所示，因为，所以为等边三角形，取BD中点M，连接CM，则外接圆圆心在CM上，且设为，由正三角形性质可得，外接圆半径，则，在中，，AD=BD=1，所以，即，由正弦定理得外接圆半径，设外接圆圆心为，则，所以四边形为菱形，过作平面BCD的垂线，过作平面的垂线，两线交于点O，则O为三棱锥的外接球的球心，连接，因为平面平面，且平面平面，，所以四边形为矩形，则，所以三棱锥的外接球半径，所以三棱锥的外接球的表面积.故选：D考点五 矩形模型【例5】（2021·湖北襄阳市）若矩形ABCD的面积是4，沿对角线AC将矩形ABCD折成一个大小是60°的二面角B-AC-D，则四面体ABCD的外接球的体积最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为球心到四个顶点的距两相等,所以球心在对角线上,且半径为，设矩形的的长力x,宽为y则，所以，又，由基本不等式知: ，当且仅当 ，即时，等号成立，，故选：B【一隅三反】1．（2021·全国高三月考（文））在矩形中，，沿对角线进行翻折，则三棱锥外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为在翻折过程中，始终不变，所以的中点到，，，四点的距离始终相等，三棱锥外接球的直径为，所以外接球的表面积为，故选：D2．（2021·天津河西区·高三一模）将长、宽分别为和的长方形沿对角线折成直二面角，得到四面体，则四面体的外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】取的中点，连接、，如下图所示：由题意，因为，为的中点，所以，，所以，为四面体的外接球的球心，且球的半径为，因此，四面体的外接球的表面积为.故选：A.3．（2021·四川眉山市·高三三模（理））中国古代数学家刘徽所注释的《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”.如图所示的鳖臑中，面，，若，，且顶点均在球上，则球的表面积为______.【答案】【解析】由题意可知：球为鳖臑的外接球，面，面，，，又，面，，面，又面，；取中点，连接，，，同理可知：，点与球的球心重合，球的半径，球的表面积.故答案为：.考点六   怀表模型【例6】（2021·广西南宁三中）已知，，，四点都在某个球表面上，与都是边长为1的正三角形，二面角的大小为，则该球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设球心为，取线段的中点，连结，，由题意得，，是二面角的平面角，，由题意得平面，分别取，的三等分点，，在平面内，过点，分别作直线垂直于，，两条直线的交点即球心，连结，则球半径，由题意知，，，，连结，在中，，，，球的表面积为.故选：B【一隅三反】1．（2021·全国高三专题练习（理））已知边长为的菱形中，，现沿对角线折起，使得二面角为，此时点、、、在同一个球面上，则该球的表面积为（    ）．A．   B．  C．  D．【答案】B【解析】如图分别取，的中点、，连，因为四边形是边长的菱形，，故，在等腰三角形中，有，故，由图形的对称性可知球心必在的延长线上，如图，连接，.设球的半径为，，则，所以，解得，则，∴球的表面积，故选：B．2．（2021·安徽高三一模（文））在边长为的菱形中，，将菱形沿其对角线折成直二面角，若四点均在某球面上，则该球的表面积为___________.【答案】【解析】在边长为的菱形中，，，，则，均为边长为的等边三角形，取中点，连接，则，，，分别取的中心，过分别作两个平面的垂线，交点为，则即为所求球的球心，且四边形为矩形，为边长为的等边三角形，，，，球的半径，球的表面积.故答案为：.考点七  其他模型外接球【例7-1】（2021·全国高三专题练习（文））已知四棱锥中，是边长为的正三角形，，，二面角的余弦值为，当四棱锥的体积最大时，该四棱锥的外接球的体积为（    ）A．  B．   C．   D．【答案】C【解析】∵四棱锥的底面面积为定值，故当四棱锥的高最大时，其体积最大，∵二面角的余弦值为为定值，故当中边上的高最大时，四棱锥的高最大，又，∴当时，边上的高最大，此时四棱锥的图象如图所示，连接交于点，连接，设的外心为，连接，在上取一点使其满足，∴，，∴，，，，，，∵、，∴为二面角的一个平面角，∴，故，∴，∴，∴，∵、，，∴平面，∴，又，∴平面，∴为四棱锥的外接球的球心，由，解得，故该四棱锥的外接球的体积为，故选：C.【例7-2】（2021·山西太原市·高三二模（理））已知三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】，以为原点，建立如下图所示的空间直角坐标系过点作的垂线二面角的大小为，又外接圆的圆心在的中点三棱锥外接球的球心在过的中点且垂直于平面上设由得，解得该几何体外接球的半径即三棱锥外接球的表面积为故选：B3．（2021·四川高三月考（理））等边的边长为2，点为的中点，将沿折起到，使得，若该三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为______．【答案】7π【解析】由题意知中，，由余弦定理可得，所以外接圆半径．由题意可知平面，将三棱锥补成一个三棱柱，则易得三棱锥的外接球的球心即三棱柱的上下底面外接圆圆心连线的中点，设圆心到底面的距离为，则，根据球的性质可得球的半径满足，所以该球的表面积为．故答案为：7π  考点八  内切球【例8】（2021·全国高三其他模拟（文））如图，在四棱锥中，是正方形的中心，底面，，，则四棱锥内切球的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题可知,该几何体的底面是边长为2的正方形，侧棱长都为，连接.底面，.，， ，.设四棱锥的内切球的半径为，球心为，由，得，即，解得，故四棱锥内切球的体积为.故选：B.【一隅三反】1．（2021·四川成都市·石室中学高三三模）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥为鳖臑，平面，，，，若三棱锥有一个内切球，则球的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因平面，则，而，，于是得平面，，而，，又，，则有，三棱锥的表面积为，连接OA，OB，OC，OP，如图：三棱锥被分割为四个三棱锥，它们的高均为球O的半径r，，而，则，得，所以球的体积为. 故选：C2．（2021·沂水县第一中学高三其他模拟）阿基米德是古希腊伟大的数学家、物理学家、天文学家，是静态力学和流体静力学的奠基人，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他在不知道球体积公式的情况下得出了圆柱容球定理，即圆柱内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积等于圆柱体积的三分之二．那么，圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，则圆柱的表面积为，球的表面积为．所以，圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比为．故选：C．3．（2021·全国高三其他模拟（理））已知在三梭锥中，，，则该三棱锥内切球的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，将三棱锥放入长方体中，设，，，则，，，所以，，则三棱锥的体积，，设三棱锥内切球的半径为，则球心到三棱锥四个面的距离都为，设三棱锥的表面积为，则，因此，所以三棱锥内切球的体积故选：D4．（2021·四川成都市·高三三模（理））某个圆锥的母线长为，底面半径为，若，则此圆锥的内切球表面积与外接球的表面积之比为________.【答案】【解析】由题意可知圆锥的轴截面为等边三角形，所以圆锥的内切球与外接球的球心是同一点，由轴截面图可知，.故答案为：.