高考数学二轮专题复习——第7讲 外接球问题（解析版）

这是一份高考数学二轮专题复习——第7讲 外接球问题（解析版），共34页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题等内容，欢迎下载使用。
第7讲 外接球问题
一、单选题
1．（2021·湖北高二月考）过所在平面外一点，作，垂足为，连接，，，则下列结论错误的是（ ）
A．若，，则点是的中点
B．若，则点是的外心
C．若，，，则点是的垂心
D．若，，，则四面体外接球的表面积为
【答案】D
【分析】
应用直线与平面垂直的判定和性质，平面几何中三角形的重心、垂心和外心以及外接球半径的的知识，即可解决．
【详解】
解：过三角形ABC所在平面外的一点P，作PO⊥平面α，垂足为O，连PA、PB、PC，
对于A、B选项，若PA=PB=PC，连接OA，OB，OC，则OA=OB=OC，则O为三角形ABC的外心；又∠C=90°，则O为AB的中点．故A、B正确．     
对于C选项，若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则PA⊥平面PBC，从而PA⊥BC，
又PO⊥平面ABC，则PO⊥BC，所以BC⊥平面PAO，从而BC⊥AO，
同理AB⊥CO，AC⊥BO，故O为三角形的垂心，故C正确．
对于D选项，由，， ，知四面体对棱相等，故如图,要求四面体外接球的表面积，即求以该四面体的棱作为面对角线的长方体的外接球的表面积，设长方体的棱长为，
则,
所以长方体的体对角线为，
故，
∴四面体外接球的表面积为，故D错.
故选：D.

【点睛】
本题主要考查空间的线面位置关系--垂直,以及外接球表面积的求法，解题时要结合平面几何的基础知识，同时考查逻辑推理能力，是一道中档题．
2．（2021·安徽蚌埠市·高三二模（理））已知直四棱柱，其底面是平行四边形，外接球体积为，若，则其外接球被平面截得图形面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由条件可得为矩形，进而可得平面，所以，则四边形为正方形，所以直四棱柱为正四棱柱，设，由余弦定理可得的值，求出的值，由正弦定理可得的外接圆的半径为，由均值不等式可得的最小值，从而得出答案.
【详解】
由直四棱柱内接于球，则四点在球面上，
所以四边形为球的一截面圆的内接四边形，所以对角互补.
又四边形是平行四边形，所以为矩形.
在直四棱柱中，平面，所以
又，，所以平面，所以
所以四边形为正方形，所以直四棱柱为正四棱柱.
由外接球体积为，则球的半径为,
由为该外接球的直径，则
设，则，则
在中,，
由余弦定理可得
所以
设的外接圆的半径为，由正弦定理可得
所以
当且仅当,即时取得等号，即的最小值为
其外接球被平面截得图形面积的最小值为：
故选：A

【点睛】
关键点睛：本题考查几何体的外接球的截面面积问题，解答本题的关键是先由线面垂直关系得出直四棱柱为正四棱柱，然后由余弦定理和正弦定理得出的外接圆的半径，由均值不等式求出最小值，属于难题.
3．（2021·合肥市第六中学高二期末（理））在三棱锥中，，二面角的余弦值为，当三棱锥的体积的最大值为时，其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据两个射影，结合球的图形，可知二面角的平面角为；根据题意可知当，时，三棱锥的体积最大．根据体积的最大值可求得BC的长，结合图形即可求得球的半径，进而求得表面积．
【详解】
如图，设球心在平面内的射影为，在平面内的射影为，
则二面角的平面角为，
点在截面圆上运动，点在截面圆上运动，
由图知，当，时，三棱锥的体积最大，此时与是等边三角形，
设，则，
，
，
，
解得，所以，
，，设，
则，
解得，
∴，
球的半径，
所求外接球的表面积为，
故选B.

【点睛】
本题考查了三棱锥外接球的综合应用，根据空间几何关系求得球的半径，进而求得表面积，对空间想象能力要求较高，属于难题．
4．（2021·山西吕梁市·高三一模（理））已知四棱锥中，底面是矩形，侧面是正三角形，且侧面底面，，若四棱锥外接球的体积为，则该四棱锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
首先确定球心的位置，过作底面的垂线，垂足为，过作三角形的垂线，垂足为，过作，证明四边形是平行四边形，设，分别求出的长，利用勾股定理可得x，然后分别计算四个侧面和底面的面积可得答案.
【详解】
设四棱锥外接球的球心为，过作底面的垂线，垂足为，
因为四边形是长方形，所以的底面中心，即对角线的交点，
过作三角形的垂线，垂足为，所以是正三角形外心，
设外接球半径为，外接球的体积为，所以，即，
过作，则是的中点，连接，所以，，因为平面平面，平面平面，
所以平面，所以，所以平面，所以，
所以四边形是平行四边形，即，设，则，，
所以，由勾股定理得，即，
解得，所以，，
因为，所以平面，平面，
所以，，，
因为，，
作于，所以为的中点，所以，所以，，
所以.
故选：B.

【点睛】
本题考查了球内接四棱锥的问题，关键点是确定球心的位置及计算边长，考查了学生的空间想象力、推理能力和计算能力.
5．（2021·全国高三专题练习（文））已知三棱锥的底面是正三角形，，点在侧面内的射影是的垂心，当三棱锥体积最大值时，三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
延长交于点，连接，连接并延长交于点，连接，推导出为正的中心，可得出，说明当、、两两垂直时，三棱锥的体积取得最大值，然后将三棱锥补成正方体，可求出三棱锥的外接球直径，即可求得外接球的表面积.
【详解】
如下图所示，延长交于点，连接，


为的垂心，则，
平面，平面，，
，平面，
平面，，
连接并延长交于点，连接，
平面，平面，，
，，平面，
平面，，
设点在平面内的射影为点，延长交于点，连接，
平面，平面，，
，平面，
、平面，则，，
，为正的中心，且为的中点，
平面，、、平面，
，，，且，
所以，，，
当时，的面积取最大值，
当平面时，三棱锥的体积取得最大值，
将三棱锥补成正方体，

所以，三棱锥的外接球的直径即为正方体的体对角线长，
设三棱锥的外接球直径为，则，
因此，三棱锥的外接球的表面积为.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.

二、多选题
6．（2021·全国高三专题练习）如图，线段为圆的直径，点，在圆上，，矩形所在平面和圆所在平面垂直，且，，则下述正确的是（ ）

A．平面
B．平面
C．点到平面的距离为
D．三棱锥外接球的体积为
【答案】ABC
【分析】
由，，易证平面，A正确；
B， 由所矩形所在平面和圆所在平面垂直， 易证平面，所以，由线段为圆的直径，所以，易证故B正确.
C，由可求点到平面的距离为，C正确.
D，确定线段的中点是三棱锥外接球心，进一步可求其体积，可判断D错误.
【详解】
解：，，四边形为平行四边形，所以，
平面，平面，所以平面，故A正确.
线段为圆的直径，所以，
矩形所在平面和圆所在平面垂直，平面平面，平面
，所以平面，平面，所以
平面，平面，，
所以平面，故B正确.
，是正三角形，所以，
，所以平面，，
，，
，
，是等腰三角形，的边上的高，
，
，平面，平面，
平面，点到平面的距离为，
，，
设点到平面的距离为，
，，
所以，故C正确.
取的中点，则，，所以平面，

所以
所以是三棱锥外接球的球心，其半径，
三棱锥外接球的体积为，故D错误，
故选：ABC.
【点睛】
综合考查线面平行与垂直的判断，求点面距离以及三棱锥的外接球的体积求法，难题.


三、填空题
7．（2021·安徽省舒城中学高二期末（理））在菱形中， ， ，将沿折起到的位置，若二面角的大小为，三棱锥的外接球心为，则三棱锥的外接球的表面积为__________．
【答案】
【分析】
推导出是等边三角形，过球心O作平面，则为等边的中心，的中点为E，求出，设三棱锥的外接球的半径为R，即，由此能求出三棱锥的外接球的表面积.
【详解】
四边形是菱形，，是等边三角形，
过球心O作平面，
则为等边的中心，的中点为E，，得，
，
，
在中，由，可得.
在中，，
即，设三棱锥的外接球的半径为R，即，
三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：.

【点睛】
本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，考查三棱锥、球等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想，是中档题.
8．（2021·江苏南京市·南京一中高三月考）我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童，如图的刍童有外接球，且，点到平面距离为4，则该刍童外接球的表面积为__________.

【答案】
【分析】
由已知得，球心在上下底面中心的连线上，该连线与上下底面垂直，球心必在该垂线上，然后根据，利用直角三角形与直角三角形，即可列出外接球半径的方程，求解即可.
【详解】
假设为刍童外接球的球心，连接、交于点，连接、交于点，由球的几何性质可知、、在同一条直线上，

由题意可知，平面，平面，，
设，
在中，，
在矩形中，，
，
，
在中，，
在矩形中，，，，
设外接球半径，
，解得，
则，即，则该刍童的外接球半径为
该刍童外接球的表面积为：，
故答案为：.
9．（2021·全国高三专题练习（文））已知四棱锥中，底面是梯形，且，，，，且，，则三棱锥外接球的表面积为________.
【答案】
【分析】
取的中点，连接，证得平面，从而得到等边三角形，
再取的中点，设三棱锥外接球的球心为，半径为，球心到的距离为，在直角和直角中，列出方程组，求得，结合面积公式，即可求解.
【详解】
取的中点，连接，因为，可得，
又由底面是梯形，且，，，可得，
所以平面，又由平面，所以所以平面，
在直角中，，
在直角中，，且，所以等边三角形，
取的中点，可得且，
设三棱锥外接球的球心为，半径为，球心到的距离为，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
解得，
所以球的表面积为.
故答案为：.

【点睛】
本题主要考查了球的表面积的计算，以及球的组合的性质及应用，其中解答中根据几何体的结构特征，找出球心的位置，结合球的性质列出方程组是解答的关键，着重考查了运算能力和转换能力，以及空间想象能力，属于中档试题.
10．（2021·江西南昌市·高三期末（理））如图所示，在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为______.

【答案】
【分析】
由已知条件结合余弦定理求得，若为中点，则由勾股定理知，进而可证面面，又、分别为等腰三角形、等边三角形，即可确定三棱锥的外接球球心的位置，最后求外接球半径及表面积即可.
【详解】
由题意知：在中，根据余弦定理有：
，，，
∴中有，即为等边三角形，若为中点，连接，可得，而，则在中有，

∴，又且，即面，又由面知：面面，

∴三棱锥的外接球球心：在中，过三等份点作的垂线与的垂直平分线的交点即为球心，所以令外接球半径为R，，则：
，解得，所以由球的表面积，
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：利用面面垂直以及三棱锥中对应的两个垂面分别为等腰、等边三角形，确定三棱锥外接球的球心，结合球心所在平面及外接球性质求球的半径，最后利用球面积公式求面积.
11．（2021·江苏徐州市·高三期末）已知三棱锥外接球的表面积为，平面，，，则三棱锥体积的最大值为________.
【答案】
【分析】
设三边的长分别为，，，由三棱锥体积公式有，由外接球表面积知外接球半径，应用正弦定理以及含有棱面垂直关系的三棱锥：外接圆半径R、对应面外接圆半径r、棱长三者的关系有，即可求，再结合余弦定理求最值，进而求体积的最大值.
【详解】
设三边的长分别为，，，则三棱锥体积，
设外接球的半径为，由得，
设外接圆的半径为，由正弦定理得，即，
又平面知，
所以，，即，
故，，当且仅当时取等号.
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：由正弦定理、三角形面积公式得到三棱锥体积表达式，应用外接球半径R、有棱面垂直关系的三棱锥中棱长m、面的外接圆半径r的关系，并结合余弦定理求三棱锥体积的最值.
12．（2021·安徽六安市·六安一中高三月考（理））在三棱锥中，，，两两垂直且，点为的外接球上任意一点，则的最大值为______.
【答案】
【分析】
先根据三棱锥的几何性质，求出外接球的半径，结合向量的运算，将问题转化为求球体表面一点到外心距离最大的问题，即可求得结果.
【详解】
因为两两垂直且，
故三棱锥的外接球就是对应棱长为2的正方体的外接球.
且外接球的球心为正方体的体对角线的中点，如下图所示：

容易知外接球半径为.
设线段的中点为，
故可得

，
故当取得最大值时，取得最大值.
而当在同一个大圆上，且，
点与线段在球心的异侧时，取得最大值，如图所示：
此时，
故答案为：.
【点睛】
本题考查球体的几何性质，几何体的外接球问题，涉及向量的线性运算以及数量积运算，属综合性困难题.
13．（2021·宝山区·上海交大附中高二期末）三角形的边在平面内，在平面外，和分别与面成和的角，且平面与平面成的二面角，那么的大小为____________．
【答案】或
【分析】
对为锐角和钝角两种情况讨论，过点作平面的垂线，垂足为点，连接、，过点在平面内作，垂足为点，连接，设，利用空间角的定义结合勾股定理可计算得出的三边边长，结合余弦定理可求得的大小.
【详解】
分以下两种情况讨论：
（1）若为锐角，如下图所示，过点作平面的垂线，垂足为点，连接、，
过点在平面内作，垂足为点，连接，设，

则与平面所成的角为，，，
与平面所成的角为，则，，
，，，
，，平面，
平面，，
所以，平面与平面所成二面角为，
，，，，，
，
，，，
所以，，，所以，；
（2）若为钝角，如下图所示，过点作平面的垂线，垂足为点，连接、，
过点在平面内作，垂足为点，连接，设，

则与平面所成的角为，，，
与平面所成的角为，则，，
，，，
，，平面，
平面，，
所以，平面与平面所成二面角为，
，，，，，
，
，，，
所以，，
在中，，，，
由余弦定理可得，
，所以，.
综上所述，或.
故答案为：或.
【点睛】
关键点点睛：本题考查三角形内角的计算，需要对进行分类讨论，解题的关键就是利用线面角、二面角的定义求出三边的边长，并结合余弦定理求解.
14．（2021·安徽淮北市·高三一模（理））在棱长为的正方体中，是的中点，是上的动点，则三棱锥外接球表面积的最小值为_______.
【答案】
【分析】
作出图形，设，利用基本不等式可求得的最大值，可求得的最小值，利用正弦定理求得外接圆直径的最小值，可求得该三棱锥外接球直径的最小值，由此可求得结果.
【详解】
如下图所示，设圆柱的底面半径为，母线长为，圆柱的外接球半径为，
取圆柱的轴截面，则该圆柱的轴截面矩形的对角线的中点到圆柱底面圆上每个点的距离都等于，则为圆柱的外接球球心，由勾股定理可得.

本题中，平面，设的外接圆为圆，可将三棱锥内接于圆柱，如下图所示：

设的外接圆直径为，，该三棱锥的外接球直径为，则.
如下图所示：

设，则，，，
，
当且仅当时，取得最大值，
由，可得，，
所以，的最大值为，由正弦定理得，即的最小值为，
因此，，
所以，三棱锥外接球的表面积为.
故三棱锥外接球的表面积的最小值为.
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；
③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.
15．（2021·江西景德镇市·景德镇一中高二期末（理））直三棱柱中，，设其外接球的球心为，已知三棱锥的体积为，则球表面积的最小值为__________．
【答案】.
【分析】
设，由三棱锥的体积为可得．然后根据题意求出三棱柱外接球的半径为，再结合基本不等式可得外接球表面积的最小值．
【详解】
如图，在中，设，则．
分别取的中点，则分别为和外接圆的圆心，
连，取的中点，则为三棱柱外接球的球心．
连，则为外接球的半径，设半径为．

∵三棱锥的体积为，
即，
∴．
在中，可得，
∴，当且仅当时等号成立，
∴球表面积的最小值为．
故答案为．
【点睛】
解答几何体外接球的体积、表面积问题的关键是确定球心的位置，进而得到球的半径，解题时注意球心在过底面圆圆心且垂直于底面的直线上，且球心到几何体各顶点的距离相等．在确定球心的位置后可在直角三角形中求出球的半径，此类问题考查空间想象力和计算能力，难度较大．
16．（2021·全国高三专题练习）在平行四边形中，，，且，以为折痕，将折起，使点到达点处，且满足，则三棱锥的外接球的表面积为__________.
【答案】
【分析】
先由余弦定理求得，在四面体中，根据棱长关系可知，将四面体放在长方体中，则三棱锥的外接球转化为长方体的外接球，根据棱长关系求出长方体的长、宽、高，利用长方体的体对角线等于外接球的直径，求出外接球半径，从而可求得外接球的表面积.
【详解】
解：在中，，，且，
由余弦定理，得，
即：，解得：，
在四面体中，，，，
三组对棱长相等，可将四面体放在长方体中，
设长方体的相邻三棱长分别为，，，设外接球半径为，
则，，，
则，即，所以.
所以，四面体外接球的表面积为：
.
故答案为：.

【点睛】
本题考查外接球的表面积，涉及长方体的外接球的性质，考查转化思想和计算能力.
17．（2021·江西高三其他模拟（理））在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，若动点Q在平面PAD内运动，使得与相等，则三棱锥的体积最大时的外接球的体积为_____．
【答案】
【分析】
根据题意推出，，再根据推出，在平面内，建立直角坐标系求出点轨迹是圆，从而可求出点到的距离最大为，即三棱锥的高的最大值为，再寻找三棱锥的外接球球心，计算球半径，进而计算球的体积即得结果.
【详解】

因为平面，所以平面平面，
因为，，所以平面，平面，
因为在内及边上，所以、在平面内，
所以，，
所以在内，，在内，，
因为，所以，因为，
所以，
在平面内，以的中点为原点O，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系：
则，，设，
则，，
由得，化简得，
所以动点Q在平面PAD内运动，点轨迹是圆，如图所示，

当在过圆心的垂线时点到的距离最大为半径，也就是三棱锥的高的最大值为，下面的计算不妨设点在x轴上方，外接圆圆心在中垂线上，即y轴上，设外接圆圆心N，半径r，则，而，
故，，所以，故，则.
如图三棱锥，平面，，的外接圆圆心在斜边中点M上，过M，N作平面和平面的垂线，交于点I，即是三棱锥外接球球心，因为，
所以三棱锥外接球半径，

所以三棱锥的外接球的体积为.
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；
③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.
18．（2021·江阴市青阳中学高三月考）矩形中，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体，则该四面体外接球的表面积为______；若翻折过程中的长度在范围内变化，则点的运动轨迹的长度是______．
【答案】
【分析】
由题设可得的中点 为四面体外接球的球心，故求出半径后可得球的表面积. 在中过作，垂足为，连接，在中过作，与交于，连接，在中过作直线的垂线，垂足为，连接，设二面角的平面角为，可求，从而可求的运动轨迹的长度.
【详解】

如图，在四面体中，取的中点为，连接，
由均为直角三角形可以得到，
故为四面体外接球的球心，故外接球的半径为，
故外接球的表面积为.
在中过作，垂足为，连接，则，
在中过作，与交于，连接，则，
且，故.
又为二面角的平面角，设该角为，
在中过作直线的垂线，垂足为，连接，
因为，故平面，而平面，
故平面平面，
因为平面，平面平面，，
故平面，而平面平面，故，
因为，，
故
，
所以，
所以，故，故，
故所在的弧对应的圆心角为（以为圆心，为半径的圆），
故其轨迹的长度为，
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：空间中动点的轨迹的长度的计算，关键在动点轨迹的刻画，注意根据动点的几何性质得到轨迹，计算过程中注意把已知的量归结到可解的三角形中.

四、双空题
19．（2021·山东威海市·高三期末）已知三棱锥为中点，侧面底面，则三棱锥外接球的表面积为_______，过点的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为____________
【答案】
【分析】
根据球和棱锥的几何性质、面面垂直的性质定理，结合球的表面积公式和圆的面积公式进行求解即可.
【详解】
连接，由可知：和是等边三角形，
设三棱锥外接球的球心为，所以球心到平面和平面的射影是和的中心，是等边三角形，为中点，所以，
又因为侧面底面，侧面底面，
所以底面，而底面，因此
所以是矩形.
和是边长为2的等边三角形，所以两个三角形的高，
在矩形中，.
，连接，所以，
所以三棱锥外接球的表面积为；
设过点的平面为，
当时，此时所得截面的面积最小，该截面为圆形，
，
因此圆的半径为：，所以此时面积为；
当点在以为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，
面积为：，所以截面的面积范围为：，
故答案为：；

20．（2021·江苏常州市·高三期末）矩形中，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体，则该四面体外接球的体积为__________；设二面角的平面角为，当在内变化时，的范围为__________.
【答案】； .
【分析】
根据题意，由矩形可求出，从而确定点是四面体外接球的球心，得出外接球的半径，由球的体积公式即可求出该四面体外接球的体积；利用几何法作、且，确定二面角的平面角为，则，根据空间向量的线性运算和向量的数量积公式，得出，结合，即可求出的范围.
【详解】
解：已知矩形中，，
在矩形中，连接和交于点，
，
，
可知点是四面体外接球的球心，则外接球的半径，
所以该四面体外接球的体积；
在四面体中，作交于点，交于点，
再作交于点，则，
所以二面角的平面角为，则，
在矩形中，可知，，
所以是等边三角形，，
，
由四面体可知，，，则，，
而


即，
所以当在内变化时，，则，
即的范围为.
故答案为：；.

【点睛】
关键点点睛：本题考查四面体外接球的体积和空间二面角的求法，利用空间向量的线性运算求出是解题的关键，考查空间想象能力和逻辑推理能力.