2021-2022学年上海市杨浦区九年级（上）期末数学试卷（一模）（含答案解析）

这是一份2021-2022学年上海市杨浦区九年级（上）期末数学试卷（一模）（含答案解析），共24页。试卷主要包含了77；cs50∘≈0，【答案】D，【答案】C，【答案】14，【答案】0，【答案】等内容，欢迎下载使用。

将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向下平移2个单位，下列结论中，正确的是( )
A. 开口方向不变B. 顶点不变C. 与x轴的交点不变D. 与y轴的交点不变
在Rt△ABC中，∠C=90∘，如果∠A=α，AC=1，那么AB等于( )
A. sinαB. csαC. 1sinαD. 1csα
已知e1和e2都是单位向量，下列结论中，正确的是( )
A. e1=e2B. e1−e2=0C. |e1|+|e2|=2D. e1+e2=2
已知点P是线段AB上的一点，线段AP是PB和AB的比例中项，下列结论中，正确的是( )
A. PBAP=5+12B. PBAB=5+12C. APAB=5−12D. APPB=5−12
如图，在梯形ABCD中，AD//BC，过对角线交点O的直线与两底分别交于点E、F，下列结论中，错误的是( )
A. AEFC=OEOF
B. AEDE=BFFC
C. ADBC=OEOF
D. ADDE=BCBF
如图，点F是△ABC的角平分线AG的中点，点D、E分别在AB、AC边上，线段DE过点F，且∠ADE=∠C，下列结论中，错误的是( )
A. DFGC=12B. DEBC=12C. AEAB=12D. ADBD=12
已知yx=34，那么x−yx=______.
计算：cs245∘−tan30∘sin60∘=______.
抛物线y=x2+3与y轴的交点坐标为______.
二次函数y=x2−4x图象上的最低点的纵坐标为______.
已知a的长度为2，b的长度为4，且b和a方向相反，用向量a表示向量b=______.
如果两个相似三角形对应边之比是4：9，那么它们的周长之比等于______.
已知在△ABC中，AB=10，BC=16，∠B=60∘，那么AC=______.
已知在△ABC中，∠C=90∘，AC=8，BC=6，点G是△ABC的重心，那么点G到斜边AB的距离是______.
在某一时刻，直立地面的一根竹竿的影长为3米，一根旗杆的影长为25米，已知这根竹竿的长度为1.8米，那么这根旗杆的高度为______米．
如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A在它的北偏东60∘方向上，航行12海里到达点C处，测得小岛A在它的北偏东30∘方向上，那么小岛A到航线BC的距离等于______海里．
新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为格线三角形．如图，已知等腰Rt△ABC为“格线三角形”，且∠BAC=90∘，那么直线BC与直线c的夹角α的余切值为______.
如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90∘，tanA=512，将△ABC绕点A逆时针旋转90∘后得△ADE，点B落在点D处，点C落在点E处，连接BE、CD，作∠CAD的平分线AN，交线段BE于点M，交线段CD于点N，那么AMAN的值为______.
如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE//BC，且DE=23BC.
(1)如果AC=6，求AE的长；
(2)设AB=a，AC=b，试用a、b的线性组合表示向量DE.
已知二次函数y=2x2−4x+5.
(1)用配方法把二次函数y=2x2−4x+5化为y=a(x+m)2+k的形式，并指出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)如果将该函数图象沿y轴向下平移5个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，顶点为C，求△ABC的面积．
如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AD=2，BD=6，tan∠B=23，点E是边BC的中点．
(1)求边AC的长；
(2)求∠EAB的正弦值．
如图，为了测量建筑物AB的高度，先从与建筑物AB的底部B点水平相距100米的点C处出发，沿斜坡CD行走至坡顶D处，斜坡CD的坡度i=1：3，坡顶D到BC的距离DE=20米，在点D处测得建筑物顶端A点的仰角为50∘，点A、B、C、D、E在同一平面内，根据测量数据，请计算建筑物AB的高度(结果精确到1米)(参考数据：sin50∘≈0.77；cs50∘≈0.64；tan50∘≈1.19)
已知，如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD，点E在边BC上，AE//CD，DE//AB，过点C作CF//AD，交线段AE于点F，连接BF.
(1)求证：△ABF≌△EAD；
(2)如果射线BF经过点D，求证：BE2=EC⋅BC.
已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)和点B，与y轴交于点C(0,2)，点P是该抛物线在第一象限内一点，连接AP、BC，AP与线段BC相交于点F.
(1)求抛物线的表达式；
(2)设抛物线的对称轴与线段BC交于点E，如果点F与点E重合，求点P的坐标；
(3)过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，PG与线段BC交于点H，如果PF=PH，求线段PH的长度．
如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC=5，点D为射线AB上一动点，且BD(1)当点D在边AB上时，
①求证：∠AFC=45∘；
②延长AF与边CB的延长线相交于点G，如果△EBG与△BDC相似，求线段BD的长；
(2)连接CE、BE，如果S△ACE=12，求S△ABE的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向下平移2个单位，a不变，开口方向不变，故正确．
B、将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向下平移2个单位，顶点的横坐标不变，纵坐标改变，故错误；
C、将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向下平移2个单位，形状不变，顶点改变，与x轴的交点改变，故错误．
D、将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向下平移2个单位，与y轴的交点也向下平移两个单位，故错误．
故选：A.
由于抛物线平移后的形状不变，对称轴不变，a不变，抛物线的增减性不变．
本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，注意：抛物线平移后的图象形状不变，开口方向不变，顶点坐标改变．
2.【答案】D
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90∘，如果∠A=α，AC=1，
那么：csA=ACAB=1AB，
∴AB=1csα，
故选：D.
在Rt△ABC中，根据∠A的余弦即可解答．
本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握正弦，余弦和正切的区别是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：根据单位向量的定义可知：e1和e2的模长都是1，但是这两个向量并没有明确方向，
∴A，B，D错误，C正确，
故选：C.
根据单位向量的定义判断即可．
本题考查了平面向量中的单位向量知识，熟练掌握单位向量的定义是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵点P是线段AB上的一点，线段AP是PB和AB的比例中项，
∴AP2=PB⋅AB，
∴点P是AB的黄金分割点，
∴APAB=5−12，
故选：C.
根据黄金分割的定义判断即可．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义，找出黄金分割中成比例的对应线段是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：A.∵AD//BC，
∴△AOE∽△COF，
∴AEFC=OEOF，A正确，故本选项不符合题意；
B.∵AD//BC，
∴△AOE∽△COF，△DEO∽△BFO，
∴AEFC=OEOF，DEBF=OEOF，
∴AEFC=DEBF，
∴AEDE=FCBF，B错误，故本选项符合题意；
C.∵AD//BC，
∴△AOE∽△COF，△AOD∽△COB，
∴AOCO=OEOF，ADBC=AOCO，
∴ADBC=OEOF，C正确，故本选项不符合题意；
D.∵AD//BC，
∴△DEO∽△BFO，△AOD∽△COB，
∴DEBF=DOBO，ADBC=DOBO，
∴ADBC=DEBF，
∴ADDE=BCBF，D正确，故本选项不符合题意；
故选：B.
根据相似三角形的判定得出△AOE∽△COF，△DEO∽△BFO，△AOD∽△COB，再根据相似三角形的性质得出比例式，最后根据比例的性质得出即可．
本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理和比例的性质等知识点，能熟记相似三角形的性质定理和判定定理是解此题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵AG平分∠BAC，
∴∠BAG=∠CAG，
∵点F是AG的中点，
∴AF=FG=12，
∵∠ADE=∠C，∠DAE=∠BAC，
∴△DAE∽△CAB，
∴∠AED=∠B，DEBC=ADAC=AEAB，
又∵∠BAG=∠CAG，
∴△EAF∽△BAG，
∴AEAB=AFAG=12，
∴DEBC=AEAB=12，
∵∠ADE=∠C，∠BAG=∠CAG，
∴△ADF∽△ACG，
∴ADAC=AFAG=DFGC=12，
∴选项A、B、C正确，选项D错误.
故选：D.
通过证明△DAE∽△CAB，△EAF∽△BAG，可得AEAB=AFAG=12，DEBC=AEAB=12，通过证明△ADF∽△ACG，可得ADAC=AFAG=DFGC=12，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
7.【答案】14
【解析】解：∵yx=34，
∴设x=4k，y=3k，
∴x−yx=4k−3k4k=k4k=14，
故答案为：14.
利用设k法解答，即可得到结果．
本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．
8.【答案】0
【解析】解：cs245∘−tan30∘sin60∘=12−33×32
=12−12
=0，
故答案为：0.
原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
此题考查了特殊角的三角函数值，实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9.【答案】(0,3)
【解析】解：当x=0时，y=3，
则抛物线y=x2+3与y轴交点的坐标为(0,3)，
故答案为：(0,3)
把x=0代入解析式求出y，根据y轴上点的坐标特征解答即可．
本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键．
10.【答案】−4
【解析】解：∵y=x2−4x=(x−2)2−4，
∴抛物线最低点坐标为(2,−4)，
∴抛物线最低点的纵坐标为−4.
故答案为：−4.
将二次函数解析式化为顶点式求解即可．
本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数一般式与顶点式的转化．
11.【答案】−2a
【解析】解：∵a的长度为2，b的长度为4，且b和a方向相反，
∴b=−2a，
故答案为：−2a.
根据a与b的长度与方向即可得出结果．
本题考查了平面向量的基本知识，熟练掌握平面向量的定义和性质是解题的关键．
12.【答案】4：9
【解析】解：∵两个相似三角形对应边之比是4：9，
∴它们的周长之比等于4：9，
故答案为：4：9.
根据相似三角形的性质即可得出结果．
本题考查了相似三角形的性质，能熟记相似三角形的周长之比等于相似比是解此题的关键．
13.【答案】14
【解析】解：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90∘，
∵∠B=60∘，
∴sin60∘=ADAB，cs60∘=BDAB，
∵AB=10，
∴32=AD10，12=BD10，
∴BD=5，AD=53，
∵BC=16，BD=5，
∴CD=BC−BD=11，
由勾股定理得：AC=AD2+CD2=(53)2+112=14，
故答案为：14.
过A作AD⊥BC于D，解直角三角形求出BD和AD，求出CD，再根据勾股定理即可求出AC.
本题考查了解直角三角形和勾股定理，能熟记锐角三角形函数的定义和勾股定理是解此题的关键．
14.【答案】85
【解析】解：过C点作CE⊥AB于E，过G点作GH⊥AB于H，如图．
在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=8，BC=6，
∴AB=AC2+BC2=82+62=10，
∵12CE⋅AB=12AC⋅BC，
∴CE=8×610=245，
∵G是△ABC的重心，
∴DG=12CG，
∴DG=13CD，
∵CE⊥AB，GH⊥AB，
∴GH//CE，
∴△DHG∽△DEC，
∴GHCE=DGDC=13，
∴GH=13CE=13×245=85.
故答案为：85.
过C点作CE⊥AB于E，过G点作GH⊥AB于H，如图，先利用勾股定理计算出AB，再利用三角形等面积法求出CE=245，根据G是△ABC的重心得到DG=13CD，然后证明△DHG∽△DEC，利用相似比可求出GH的长度．
此题考查了三角形重心的性质：三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，也考查了勾股定理，三角形的面积，相似三角形的判定与性质．
15.【答案】15
【解析】解：设旗杆的高度为x米，
根据同一时刻，物高与影长成正比得，x：1.8=25：3，
x=15，
∴旗杆的高度为15米，
故答案为：15.
根据同一时刻，物高与影长成正比即可列出等式求解．
本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握平行投影的基本特征：物高与影长成正比是解题的关键．
16.【答案】63
【解析】解：过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，
由题意得：BC=12海里，∠ABC=90∘−60∘=30∘，∠ACE=90∘−30∘=60∘，
∴∠BAC=∠ACE−∠ABC=30∘，
∴∠BAC=∠ABC，
∴AC=BC=12海里，
在Rt△ACE中，sin∠ACE=AEAC，
∴AE=AC⋅sin∠ACE=12×32=63(海里)，
即小岛A到航线BC的距离是63海里，
故答案为：63.
过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，根据三角形的外角性质得∠BAC=∠ABC，由等腰三角形的判定得AC=BC，再由锐角三角函数定义求出AE的长即可．
本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
17.【答案】3
【解析】解：过B作BE⊥直线a于E，延长EB交直线c于F，过C作CD⊥直线a于D，则∠CDA=∠AEB=90∘，
∵直线a//直线b//直线c，相邻两条平行线间的距离相等(设为d)，
∴BF⊥直线c，CD=2d，
∴BE=BF=d，
∵∠CAB=90∘，∠CDA=90∘，
∴∠DCA+∠DAC=90∘，∠EAB+∠DAC=90∘，
∴∠DCA=∠EAB，
在△CDA和△AEB中，
∠DCA=∠EAB∠CDA=∠AEBAC=AB，
∴△CDA≌△AEB(AAS)，
∴AE=CD=2d，AD=BE=d，
∴CF=DE=AE+AD=2d+d=3d，
∵BF=d，
∴ctα=CFBF=3dd=3，
故答案为：3.
过B作BE⊥直线a于E，延长EB交直线c于F，过C作CD⊥直线a于D，根据全等三角形的判定得出△CDA≌△AEB，根据全等三角形的性质得出AE=CD=2d，AD=BE=d，求出CF=DE=AE+AD=3d，再解直角三角形求出答案即可．
本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，平行线间的距离等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键．
18.【答案】23
【解析】解：由∠C=90∘和tanA=512可设BC=5k，AC=12k，
∴AB=13k，
由旋转得，AE=AC=12k，ED=BC=5k，AB=AD=13k，
如图，以点C为原点，BC和AC所在直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,12k)，B(−5k,0)，
∵旋转角为90∘，
∴E(12k,12k)，D(12k,7k)，
过点N作NF⊥AC于点F，交BE于点P，过点N作NH⊥AD于点H，
∵AN平分∠CAD，
∴NF=NH，
∴S△ANCS△AND=ACAD=12k13k=1213，
又∵△ANC在边CN上的高和△AND在边DN上的高相等，
∴CNDN=S△ANCS△AND=1213，
∴点N的坐标为(144k25,84k25)，
设直线BE的解析式为y=mx+nm≠0，则
−5km+n=012km+n=12k，解得：m=1217n=60k17，
∴直线BE的解析式为y=1217x+6017k，
当y=84k25时，1217x+6017k=84k25，
解得：x=−625k，
∴P(−625k,84k25)，
∴NP=144k25−(−625k)=6k，
∵NF⊥AC，∠EAC=90∘，
∴AE//NP，
∴△MAF∽△MNP，
∴AMNM=AENP=12k6k=2，
∴AMAN=23，
故答案为：23.
先根据题目条件作出图象，由∠C=90∘和tanA=512设BC=5k，AC=12k，然后由旋转的性质得到AE=AC=12k，ED=BC=5k，AB=AD=13k，以点C为原点、BC和AC所在直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，则A(0,12k)，B(−5k,0)，E(12k,12k)，D(12k,7k)，过点N作NF⊥AC于点F，交BE于点P，过点N作NH⊥AD于点H，得到NF=NH，得到S△ANCS△AND=ACAD=12k13k，然后由高相等的两个三角形的面积之比为底边长之比得到CNDN的值，进而用含有k的式子表示点N的坐标，再求得直线BE的解析式，然后求得点P的坐标得到NP的长，最后通过△MAE∽△MNP得到AMNM的值，即可得到AMAN的值．
本题考查了旋转的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、三角形的面积，解题的关键是通过旋转的性质建立平面直角坐标系．
19.【答案】解：(1)∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AEAC=DEBC，
∵DE=23BC，
∴AE=23×6=4；
(2)由(1)知，DEBC=23，
∴DE=23BC，
∵BC=AC−AB=b−a，
∴DE=23BC=23(b−a).
【解析】(1)根据相似三角形的性质得出等式即可求解；
(2)根据平面向量的加减运算法则即可求解．
本题考查了平面向量，相似三角形的性质等知识，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：(1)y=2x2−4x+5
=2(x2−2x)+5
=2(x2−2x+1−1)+5
=2(x−1)2+3，
∴开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,3).
(2)抛物线y=2x2−4x+5沿y轴向下平移5个单位后解析式是y=2x2−4x+5−5，即y=2x2−4x.
∵y=2x2−4x=2(x−1)2−2，
∴顶点C的坐标是(1,−2).
在y=2x2−4x中令y=0，则2x2−4x=0，
解得x=0或2，
∴A(2,0)，B(0,0)，
∴△ABC的面积为：12×2×2=2.
【解析】(1)利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答即可．
(2)首先求得抛物线y=2x2−4x+5沿y轴向下平移5个单位后解析式，利用配方法求得C的坐标，令y=0求得A、B的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可．
本题考查的是二次函数三种形式的转化，抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与几何变换，三角形的面积，掌握配方法、平移的规律是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵CD⊥AB，
∴△ACD、△BCD均为直角三角形．
在Rt△CDB中，
∵BD=6，tan∠B=CDBD=23，
∴CD=4.
在Rt△CDA中，
AC=CD2+AD2
=42+22
=25.
(2)过点E作EF⊥AB，垂足为F.
∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD//EF.
又∵点E是边BC的中点，
∴EF是△BCD的中位线．
∴DF=BF=3，EF=12CD=2.
∴AF=AD+DF=5.
在Rt△AEF中，
AE=AF2+EF2
=52+22
=29.
∴sin∠EAB=EFAE
=229
=22929.
【解析】(1)利用∠B的正切值先求出CD，再利用勾股定理即可求出AC；
(2)过点E作EF⊥AB，垂足为F.先判断EF是三角形的中位线，再求出EF、DF、AF及AE，最后即可求出∠EAB的正弦值．
本题主要考查了解直角三角形和勾股定理，掌握直角三角形的边角间关系以及三角形的中位线定理是解决本题的关键．
22.【答案】解：过D作DF⊥AB于F，
则DF=EB，FB=DE=20米，
∵斜坡CD的坡度i=1：3=DE：CE，坡顶D到BC的距离DE=20米，
∴CE=3DE=60(米)，
∴DF=EB=BC−CE=100−60=40(米)，
在Rt△ADF中，∠ADF=50∘，
∵tan∠ADF=AFDF=tan50∘≈1.19，
∴AF≈1.19DF=1.19×40=47.6(米)，
∴AB=AF+BF≈47.6+20≈68(米)，
即建筑物AB的高度约为68米．
【解析】过D作DF⊥AB于F，由坡度的定义求出CE=3DE=60(米)，则DF=EB=40(米)，再解直角三角形求出AF的长，即可得出答案
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
23.【答案】解：(1)证明：∵AE//CD，
∴∠AEB=∠BCD，
∵∠ABC=∠BCD，
∴∠ABC=∠AEB，
∴AB=AE，
∵DE//AB，
∴∠DEC=∠ABC，∠AED=∠BAF，
∵∠ABC=∠BCD，
∴∠DEC=∠BCD，
∴DE=DC，
∵CF//AD，AE//CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AF=CD，
∴AF=DE，
在△ABF和△EAD中，
AB=EA∠BAF=∠AEDAF=ED，
∴△ABF≌△EAD(SAS)；
(2)如图，连接FD，
∵射线BF经过点D，
∴点B，点F，点D三点共线，
∵AE//DC，
∴△BEF∽△BCD，
∴BEBC=EFCD，ECBE=DFBF，
∵DE//AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴EFAF=DFBF，
∴ECBE=EFAF，
∵CD=AF，
∴BEBC=EFCD=EFAF=ECBE，
∴BE2=EC⋅BC.
【解析】(1)先证AB=AE，DE=DC，再证四边形ADCF是平行四边形，得出AF=CD，进而得出AF=DE，再由平行线性质得∠AED=∠BAF，进而证得结论；
(2)通过证明△BEF∽△BCD，△DEF∽△BAF，可得BEBC=EFCD=EFAF=ECBE，即可得结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，利用相似三角形的性质得到线段的关系是解题的关键．
24.【答案】解：(1)将点A(−1,0)和点C(0,2)代入y=−12x2+bx+c，
∴−12−b+c=0c=2，
∴b=32c=2，
∴y=−12x2+32x+2；
(2)∵y=−12x2+32x+2，
∴对称轴为直线x=32，
令y=0，则−12x2+32x+2=0，
解得x=−1或x=4，
∴B(4,0)，
设直线BC的解析式为y=kx+mk≠0，
∴4k+m=0m=2，
∴k=−12m=2，
∴y=−12x+2，
∴E(32,54)，
设直线AE的解析式为y=k′x+nk′≠0，
∴−k′+n=032k′+n=54，
∴k′=12n=12，
∴y=12x+12，
联立y=12x+12y=−12x2+32x+2，
∴x=3或x=−1(舍)，
∴P(3,2)；
(3)设P(t,−12t2+32t+2)，则H(t,−12t+2)，
∴PH=−12t2+2t，
设直线AP的解析式为y=k1x+b1k1≠0，
∴−k1+b1=0k1t+b1=−12t2+32t+2，
∴k1=4−t2b1=4−t2，
∴y=4−t2x+4−t2，
联立y=−12x+2y=4−t2x+4−t2，
∴x=t5−t，
∴F(t5−t,20−5t10−2t)，
直线AP与y轴交点E(0,4−t2)，
∴CE=2−4−t2=t2，
∵PF=PH，
∴∠PFH=∠PHF，
∵PG//y轴，
∴∠ECF=∠PHF，
∵∠CFE=∠PFH，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=EF，
∴(t2)2=(t5−t)2+(20−5t10−2t−4−t2)2，
∴(4−t)2+4=(5−t)2，
∴t=52，
∴PH=−12t2+2t=158.
【解析】(1)将点A(−1,0)和点C(0,2)代入y=−12x2+bx+c，即可求解；
(2)分别求出B(4,0)和直线BC的解析式为y=−12x+2，可得E(32,54)，再求直线AE的解析式为y=12x+12，联立y=12x+12y=−12x2+32x+2，即可求点P(3,2)；
(3)设P(t,−12t2+32t+2)，则H(t,−12t+2)，则PH=−12t2+2t，用待定系数法求出直线AP的解析式为y=4−t2x+4−t2，联立y=−12x+2y=4−t2x+4−t2，可求出F(t5−t,20−5t10−2t)，直线AP与y轴交点E(0,4−t2)，则CE=t2，再由PF=PH，可得CE=EF，则有方程(t2)2=(t5−t)2+(20−5t10−2t−4−t2)2，求出t=52，即可求PH=−12t2+2t=158.
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，会求函数的交点坐标，本题计算量较大，准确的计算是解题的关键．
25.【答案】解：(1)①证明：如图1，连接CE，
∵点B关于直线CD的对称点为点E，
∴EC=BC，∠ECF=∠BCF，
设∠ECF=∠BCF=α，
则∠BCE=2α，
∴∠ACE=90∘−2α，
∵AC=BC，
∴AC=EC，
∴∠AEC=∠EAC=12[180∘−(90∘−2α)]=45∘+α，
∵∠AEC=∠AFC+∠ECF=∠AFC+α，
∴∠AFC=45∘；
②如图2，连接BE，CE，
∵B、E关于直线CF对称，
∴CF垂直平分BE，
由(1)知：∠AFC=45∘，
∴∠BEF=45∘，
∵△EBG与△BDC相似，∠BEG=∠DBC=45∘，
∵∠EBG与∠BDC均为钝角，
∴△EBG∽△BDC，
∴∠G=∠BCD=∠BAG，
∵∠G+∠BAG=∠ABC=45∘，
∴∠G=∠BCD=22.5∘，
过点D作DH⊥AB交BC于点H，
则△BDH是等腰直角三角形，
∴DH=BD，BH=2BD，∠BHD=45∘，
∵∠CDH=∠BHD−∠BCD=45∘−22.5∘=22.5∘=∠BCD，
∴CH=DH=BD，
∵CH+BH=BC=5，
∴BD+2BD=5，
∴BD=52+1=52−5，
∴线段BD的长为52−5；
(2)Ⅰ.当点D在AB上时，如图3，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，
∵AC=EC=BC=5，
∴AM=EM=12AE，
∴①AM2+CM2=AC2=25，
∵S△ACE=12AE⋅CM=12，
∴②AM⋅CM=12，
①+②×2，得：(AM+CM)2=49③，
①-②×2，得：(AM−CM)2=49③，
∵CM>AM>0，
∴AM=3，CM=4，
∴AE=6，
由(1)知：∠AFC=45∘，BE⊥CF，
∴∠BEF=45∘，
∵∠AFC=∠ABC=45∘，
∴A、C、B、F四点共圆，
∴∠AFB+∠ACB=180∘，
∴∠AFB=90∘，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EF=BF，
设EF=BF=x，则AE=x+6，
在Rt△ABF中，AF2+BF2=AB2，
∴(x+6)2+x2=50，
解得：x=1或x=−7(舍去)，
∴BF=1，
∴S△ABE=12AE⋅BF=12×6×1=3；
Ⅱ.当点D在AB的延长线上时，如图4，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，
由(1)知：∠AFC=45∘，CF垂直平分BE，
∴∠BEF=45∘，BF=EF，
∴∠EBF=∠BEF=45∘，
∴∠BFE=90∘，
∵AC=EC=BC=5，
∴AM=EM=12AE，
与Ⅰ同理可得：AM=EM=4，CM=3，AE=8，
设BF=EF=y，则AF=8−y，
在Rt△ABF中，AF2+BF2=AB2，
∴(8−x)2+x2=50，
解得：x=1或x=7(舍去)，
∴BF=1，
∴S△ABE=12AE⋅BF=12×8×1=4；
综上，S△ABE的值为3或4.
【解析】(1)①如图1，连接CE，根据轴对称的性质可得：EC=BC，∠ECF=∠BCF，设∠ECF=∠BCF=α，则∠BCE=2α，∠ACE=90∘−2α，再利用等腰三角形性质即可证得结论；
②如图2，连接BE，CE，由△EBG∽△BDC，可得出∠G=∠BCD=22.5∘，过点D作DH⊥AB交BC于点H，则△BDH是等腰直角三角形，推出CH=DH=BD，再根据CH+BH=BC=5，建立方程求解即可；
(2)分两种情况：Ⅰ.当点D在AB上时，如图3，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，利用勾股定理、三角形面积建立方程求解即可；Ⅱ.当点D在AB的延长线上时，如图4，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，利用勾股定理、三角形面积建立方程求解即可．
本题考查了三角形面积，等腰直角三角形性质和判定，相似三角形的判定和性质，轴对称变换的性质，勾股定理等，解题关键是添加辅助线构造直角三角形，运用分类讨论思想和方程思想解决问题．