2021-2022学年上海市虹口区九年级（上）期末数学试卷（一模）（含答案解析）

这是一份2021-2022学年上海市虹口区九年级（上）期末数学试卷（一模）（含答案解析），共18页。试卷主要包含了94，cs70∘≈0，【答案】D，【答案】C，【答案】A，【答案】B，【答案】−16，【答案】5−1，【答案】a−3b等内容，欢迎下载使用。

下列选项中的两个图形一定相似的是( )
A. 两个等腰三角形B. 两个矩形C. 两个菱形D. 两个正方形
在Rt△ABC中，∠C=90∘，BC=12，AC=5，那么ctB等于( )
A. 513B. 1213C. 125D. 512
已知a=7b，下列说法中不正确的是( )
A. a−7b=0B. a与b方向相同C. a//bD. |a|=7|b|
下列函数中，属于二次函数的是( )
A. y=x2+xB. y=(x−l)2−x2
C. y=5x2D. y=2x2
在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、AC上，联结DE、DF，如果DE//AC，DF//AB，AE：EB=3：2，那么AF：FC的值是( )
A. 32B. 23C. 25D. 35
如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为( )
A. 45米B. 10米C. 46米D. 12米
如果mn=56，那么m−nn=______.
已知点P是线段AB的黄金分割点，AP>PB.若AB=2，则AP=______.
如果向量a、b、x满足12(x+a)=a−32b，那么x=______(用向量a、b表示).
二次函数y=(m−1)x2+x+m2−1的图象经过原点，则m的值为______.
如果抛物线y=(2−a)x2+2开口向下，那么a的取值范围是______.
如果抛物线过点(−2,3)，且与y轴的交点是(0,3)，那么抛物线的对称轴是直线______.
已知点A(x1,y1)、B(x2,y2)为函数y=−2(x−1)2+3的图象上的两点，若x1”、“=”或“<”)，
如果一个斜坡的坡度i=1：33，那么该斜坡的坡角为______度．
已知Rt△ABC的两直角边之比为3：4，若△DEF与△ABC相似，且△DEF最长的边长为20，则△DEF的周长为______.
如图，过△ABC的重心G作上ED//AB分别交边AC、BC于点E、D，联结AD，如果AD平分∠BAC，AB=6，那么EC=______.
在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形称为“格点三角形”．如图，在4×4的网格中，△ABC是一个格点三角形，如果△DEF也是该网格中的一个格点三角形，它与△ABC相似且面积最大，那么△DEF与△ABC相似比的值是______.
如图，在△ABC中，AB=AC=15，sin∠A=45.点D、E分别在AB和AC边上，AD=2DB，把△ADE沿着直线DE翻折得△DEF，如果射线EF⊥BC，那么AE=______.
计算：2sin60∘+3tan30∘ct30∘−ct45∘.
已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
(1)求该抛物线的表达式；
(2)将抛物线y=ax2+bx+c沿x轴向右平移m(m>0)个单位，使得新抛物线经过原点O，求m的值以及新抛物线的表达式．
如图，在平行四边形ABCD中，延长BC到点E，使CE=BC，联结AE交DC于点F，设AB=a，AD=b.
(1)用向量a、b表示DE；
(2)求作：向量AF分别在a、b方向上的分向量．(不要求写作法，但要写明结论)
图1是一款平板电脑文架，由托板、支撑板和底座构成．工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上．图2是其侧面结构示意图，已知托板AB长200mm，支撑板CB长80mm，当∠ABC=130∘，∠BCD=70∘时，求托板顶点A到底座CD所在平面的距离(结果精确到1mm).
(参考数据：sin70∘≈0.94，cs70∘≈0.34，tan70∘≈2.75，2≈1.41，3≈1.73).
如图，在梯形ABCD中，∠ABC=90∘，AD//BC，BC=2AD，对角线AC与BD交于点E.点F是线段EC上一点，且∠BDF=∠BAC.
(1)求证：EB2=EF⋅EC；
(2)如果BC=6，sin∠BAC=23，求FC的长．
已知开口向上的抛物线y=ax2−4ax+3与y轴的交点为A，顶点为B，点A与点C关于对称轴对称，直线AB与OC交于点D.
(1)求点C的坐标，并用含a的代数式表示点B的坐标；
(2)当∠ABC=90∘时，求抛物线y=ax2−4ax+3的表达式；
(3)当∠ABC=2∠BCD时，求OD的长．
已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，AB=10，tanB=34，点D是边BC延长线上的点，在射线AB上取一点E，使得∠ADE=∠ABC.过点A作AF⊥DE于点F.
(1)当点E在线段AB上时，求证：AFAC=DEBD；
(2)在(1)题的条件下，设CD=x，DE=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)记DE交射线AC于点G，当△AEF∽△AGF时，求CD的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.任意两个等腰三角形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不合题意；
B.任意两个矩形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；
C.任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；
D.任意两个正方形的对应角对应相等、对应边的比相等，故一定相似，本选项符合题意；
故选：D.
形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可
本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同．
2.【答案】C
【解析】解：∵∠C=90∘，BC=12，AC=5，
∴ctB=BCAC=125.
故选：C.
直接利用余切的定义求解．
本题考查了锐角三角函数的定义，正确理解锐角三角函数的定义是解决此类问题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵a=7b，
∴a−7b=0；a与b方向相同；a//b；|a|=7|b|，
故A不正确；B、C、D正确，
故选：A.
根据平面向量的定理逐一判断即可．
本题考查了平面向量的定理，熟练掌握平面向量的基本定理是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A.y=x2+x是二次根式形式，不是二次函数，故不符合题意；
B.y=(x−l)2−x2=x2−2x+1−x2=−2x+1，是一次函数，故不符合题意；
C.y=5x2，是二次函数，故符合题意；
D.y=1x2=x−2，不是二次函数，故不符合题意；
故选：C.
一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．根据定义进行判断即可．
本题考查二次函数的定义，牢固掌握二次函数的定义和一般形式是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：如图：
∵DE//AC，AE：EB=3：2，
∴AEEB=CDBD=32，
∴BDCD=23，
∵DF//AB，
∴AFCF=BDCD=23，
故选：B.
根据题目的已知条件画出图形，然后利用平行线分线段成比例解答即可．
本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例这个基本事实是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，
设抛物线的解析式为y=ax2，
∵O点到水面AB的距离为4米，
∴A、B点的纵坐标为−4，
∵水面AB宽为20米，
∴A(−10,−4)，B(10,−4)，
将A代入y=ax2，
−4=100a，
∴a=−125，
∴y=−125x2，
∵水位上升3米就达到警戒水位CD，
∴C点的纵坐标为−1，
∴−1=−125x2，
∴x=±5，
∴CD=10，
故选：B.
以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax2，由此可得A(−10,−4)，B(10,−4)，即可求函数解析式为y=−125x2，再将y=−1代入解析式，求出C、D点的横坐标即可求CD的长．
本题考查二次函数的应用，根据题意建立合适的直角坐标系，在该坐标系下求二次函数的解析式是解题的关键．
7.【答案】−16
【解析】解：设m=5k，n=6k，
∴m−nn=5k−6k6k=−16，
故答案为：−16.
根据比例的性质设m=5k，n=6k，再代入计算求解即可．
本题主要考查比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．
8.【答案】5−1
【解析】解：由于P为线段AB=2的黄金分割点，
且AP是较长线段；
则AP=2×5−12=5−1.
根据黄金分割点的定义，且AP是较长线段；则AP=5−12AB，代入数据即可得出AP的长．
理解黄金分割点的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的3−52，较长的线段=原线段的5−12.
9.【答案】a−3b
【解析】解：∵12(x+a)=a−32b，
∴x+a=2a−3b，
∴x=a−3b，
故答案为：a−3b.
根据平面向量的加减运算法则计算即可．
本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．
10.【答案】−1
【解析】解：∵点(0,0)在抛物线y=(m−1)x2+x+m2−1上，
∴m2−1=0，
解得m1=1或m2=−1，
∵m=1不合题意，
∴m=1
故答案为：−1.
将原点坐标(0,0)代入二次函数解析式，列方程求m即可．
此题考查了二次函数图象上的点与解析式的关系，将点的坐标代入解析式是解题的关键．
11.【答案】a>2
【解析】解：∵抛物线y=(2−a)x2+2开口向下，
∴2−a<0，即a>2，
故答案为：a>2.
根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数2−a<0.
本题主要考查了二次函数的性质．用到的知识点：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)来说，当a>0时，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)开口向上；当a<0时，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)开口向下．
12.【答案】x=−1
【解析】解：∵当x=−2和x=0时，y的值都是3，
∴该抛物线的对称轴为直线x=−2+02=−1，
故答案为：x=−1.
根据点(−2,3)和(0,3)即可确定抛物线的对称轴．
本题主要考查二次函数的图象的性质，关键是要观察出点(−2,3)和(0,3)是关于对称轴对称的点．
13.【答案】<
【解析】解：∵y=−2(x−1)2+3，
∴抛物线y=−2(x−1)2+3的开口向下，对称轴为x=1，
∴在x<1时，y随x的增大而增大，
∵x1∴y1故答案为：<.
根据二次函数的增减性即可得出结论．
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的性质解决问题．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数的性质找出其单调区间是关键．
14.【答案】60
【解析】解：∵tanα=133=33=3，
∴∠α=60∘，
故答案为：60.
坡度=坡角的正切值，据此直接解答．
此题考查的是坡度和坡角的关系，坡角的正切等于坡度，坡角越大，坡度也越大，坡面越陡．
15.【答案】48
【解析】解：∵Rt△ABC的两直角边之比为3：4，△DEF与△ABC相似，
∴△DEF是直角三角形，且两直角边之比为3：4，
设一条直角边为3x，则另一条直角边为4x，
由勾股定理得：(3x)2+(4x)2=202，
解得：x1=4，x2=−4(舍去)，
∴△DEF的一条直角边为12，则另一条直角边为16，
∴△DEF的周长=12+16+20=48，
故答案为：48.
根据相似三角形的性质得到△DEF是直角三角形，且两直角边之比为3：4，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是相似三角形的性质、勾股定理，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．
16.【答案】8
【解析】解：如图，连接CG并延长，交AB于F.
∵G为△ABC的重心，
∴AF=BF=12AB=12×6=3，CG：GF=2：1，即CGCF=23.
∵ED//AB，
∴DGBF=CGCF=EGAF，即DG3=23=EG3，解得DG=EG=2，
∴DE=DG+EG=2+2=4.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵DE//AB，
∴∠ADE=∠BAD，
∴∠ADE=∠DAC，
∴AE=DE=4.
∵ED//AB，
∴CEAE=CGGF=21，即CE4=21，解得CE=8.
故答案为：8.
连接CG并延长，交AB于F.根据三角形重心的定义及性质可得，AF=BF=12AB=3，CG：GF=2：1，即CGCF=23.根据平行线分线段成比例定理得出DGBF=CGCF=EGAF，求出DG=EG=2，那么DE=4.利用角平分线定义及平行线的性质得出∠ADE=∠DAC，那么AE=DE=4.再根据平行线分线段成比例定理即可求出CE=8.
本题考查了三角形重心的定义及性质，三角形的重心是三角形三边中线的交点．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.也考查了平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识．求出AE是解题的关键．
17.【答案】2
【解析】解：由表格可得：AB=2，BC=2，AC=10，
如图所示：作△DEF，DE=2，DF=22，EF=25，
∵ABDE=BCDF=ACEF=22，
∴△DEF∽△ABC，
则△DEF与△ABC相似比的值是2.
故答案为：2.
根据表格求出AB，BC，AC的长，由题意画出△DEF与△ABC相似，且面积最大，求出相似比即可．
此题考查了相似三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．
18.【答案】30(5−2)
【解析】解：如图，过点C作CP⊥AB于点P，
∴sin∠A=PCAC=45.
∵AB=AC=15，
∴PC=12，
∴AP=AC2−PC2=152−122=9，
∴PB=AB−AP=15−9=6，
∴tan∠B=PCPB=126=2，
如图，根据题意把△ADE沿着直线DE翻折得△DEF，
∴AE=EF，
∵EF⊥BC，
∴∠EFC=90∘，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∴tan∠C=tan∠B=2，
∴EFFC=2，
设FC=x，则EF=2x，
∴EC=EF2+FC2=5x，
∴AE=AC−EC=15−5x，
∵AE=EF，
∴15−5x=2x，
解得x=15(5−2)，
∴AE=30(5−2).
故答案为：30(5−2).
过点C作CP⊥AB于点P，sin∠A=45和勾股定理可得AP的长，进而可得tan∠B=2，根据题意把△ADE沿着直线DE翻折得△DEF，AE=EF，根据等腰三角形可得tan∠C=tan∠B=2，所以EFFC=2，设FC=x，则EF=2x，根据AE=EF列出方程15−5x=2x，解得x的值进而可以解决问题．
本题考查了翻折变换的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质以及解直角三角形等知识；熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．
19.【答案】解：2sin60∘+3tan30∘ct30∘−ct45∘
=2×32+3×333−1
=3+33−1
=233−1
=3+3.
【解析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
20.【答案】解：(1)∵x=−2，y=3；x=0，y=3，
∴抛物线的对称轴为直线x=−1，则抛物线的顶点坐标为(−1,4)，
设抛物线解析式为y=a(x+1)2+4，
把(0,3)代入得a(0+1)2+4=3，解得a=−1，
∴抛物线解析式为y=−(x+1)2+4；
(2)将抛物线y=ax2+bx+c沿x轴向右平移m(m>0)个单位，得到y=−(x+1−m)2+4，
∵经过原点，
∴0=−(0+1−m)2+4，
解得m1=3，m2=−1(舍去)，
∴m=3，
∴新抛物线的表达式为y=−(x−2)2+4.
【解析】(1)利用抛物线的对称性得到抛物线的顶点坐标为(−1,4)，则可设顶点式y=a(x+1)2+4，然后把(0,3)代入求出a即可；
(2)根据平移的规律得到y=−(x+1−m)2+4，把原点代入即可求得m的值，从而求得平移后的抛物线的不等式．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，求得抛物线的解析式是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵四边形ABCD时平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，AD//BC，AB//CD，
∴BC=AD=b，DC=AB−=a−，
∵CE=BC，
∴CE=b，
∴DE=DC+CE=a+b；
(2)如图，过点F作FM//AD交AB于点M，AM，AD即为向量AF分别在a、b方向上的分向量．

【解析】(1)利用三角形法则解决问题即可；
(2)利用平行四边形法则解决问题即可．
本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则解决问题．
22.【答案】解：如下图，作BH⊥CD于H，作BF//CD且AF⊥FB，
∴∠FBC=∠C，
∴∠ABF=∠ABC−∠FBC=∠ABC−∠C=130∘−70∘=60∘，
∵AB=200mm，CB=80mm，
∴BH=BC⋅sinC=80×0.94≈75(mm)，
AF=AB⋅sin∠ABF=200×1.73÷2=173(mm)，
173+75=248(mm)，
∴托板顶点A到底座CD所在平面的距离为248mm.
【解析】作BH⊥CD于H，作BF//CD且AF⊥FB，根据三角函数求出AF+BH即为所求．
本题主要考查解直角三角形的应用，熟练利用三角函数求出A点到CD平面的距离是解题的关键．
23.【答案】解：(1)证明：∵AD//BC，
∴△EAD∽△ECB，
∴EAEC=EDEB，即EAED=ECEB，
∵∠BDF=∠BAC，∠AEB=∠DEF，
∴△EAB∽△EDF，
∴EBEF=EAED，
∴EBEF=ECEB，
∴EB2=EF⋅EC.
(2)∵BC=6，sin∠BAC=BCAC=23，BC=2AD
∴AC=9，AD=3，
∵∠ABC=90∘，AD//BC，
∴∠BAD=90∘，
∴AB=AC2−BC2=92−62=35，
∴BD=AD2+AB2=32+(35)2=36，
∵△EAD∽△ECB，
∴EAEC=EDEB=ADBC=36，
∴EC=23AC=23×9=6，EB=23BD=23×36=26，
∵EB2=EF⋅EC，即(26)2=6EF，
∴EF=4，
∴FC=EC−EF=6−4=2.
【解析】本题考查了直角梯形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数的定义，解题的关键是熟知“8”字模型相似三角形的判定与性质．
(1)先由AD//BC得到△EAD∽△ECB，从而得到EAEC=EDEB，然后由∠BDF=∠BAC、∠AEB=∠DEF得证△EAB∽△EDF，进而得到EBEF=EAED，最后得到结果；
(2)先利用条件得到AC、AB的长，然后利用BC=2AD得到AD、BD的长，再结合相似三角形的性质得到EB、EC的长，进而得到EF的长和FC的长．
24.【答案】解：(1)令x=0，则y=3，
∴A(0,3)，
∵y=ax2−4ax+3=a(x−2)2+3−4a，
∴对称轴为直线x=2，
∵点A与点C关于对称轴对称，
∴C(4,3)，
∴B(2,3−4a)；
(2)如图1，过点B作BG⊥y轴交于点G，
∵∠ABC=90∘，
∴∠OAB=45∘，
∴AG=BG=2，
∴B(2,1)，
∴3−4a=1，
∴a=12，
∴y=12x2−2x+3；
(3)如图2，过点B作BH⊥OC交于点H，连接AC，
∵∠ABC=2∠BCD，
∴∠NBC=∠CNB，
∴∠ONB=2∠OCB，
∵NB//y轴，
∴∠AOC=∠ONB，
∵AC=4，AO=3，
∴tan∠AOC=43，
∴tan∠HNB=43，
设HB=4x，则HN=3x，
∴NB=5x，
∴NB=CN=5x，
∴CH=8x，
∴tan∠HCB=12，
∵∠OCB=∠NBC=∠ABN，
∴12=23+(4a−3)，
∴a=1，
∴y=x2−4x+3，
∴B(2,−1)，
∵N是OC的中点，
∴N(2,32)，
∴BN=52，ON=52，
∵AO//BN，
∴△AOD∽△BND，
∴AOBN=OD52−OD，即352=OD52−OD，
∴OD=53.
【解析】(1)由函数的对称轴为直线x=2，结合函数的对称性即可求点的坐标；
(2)过点B作BG⊥y轴交于点G，则可知AG=BG=2，从而求出B(2,1)，可求a的值；
(3)过点B作BH⊥OC交于点H，连接AC，求出tan∠AOC=tan∠HNB=43，设HB=4x，则HN=3x，再求出tan∠HCB=12，根据∠OCB=∠NBC=∠ABN，可得12=23+(4a−3)，即可求a=1，再由△AOD∽△BND，得到等式352=OD52−OD，从而求出OD=53.
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用等腰三角形，直角三角形的性质，直角三角形三角形函数值求解是关键．
25.【答案】(1)证明：∵∠ADE=∠ABC，∠DAE=∠BAD，
∴△ADE∽△ABD，
∴DEBD=ADAB，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD=∠ACB=90∘，
∴△ADF∽△ABC，
∴AFAC=ADAB，
∴AFAC=DEBD；
(2)解：∵∠ACB=90∘，tanB=34，
∴tanB=ACBC=34，
设AC=3a，BC=4a，
∵AC2+BC2=AB2，
∴(3a)2+(4a)2=102，
∴a=2，
∴AC=6，BC=8，
∴AD=AC2+CD2=36+x2，
由(1)得ADAB=DEBD，
∴36+x210=y8+x，
∴y=8+x1036+x2，
当x=0时，此时DE⊥AB，
由S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅DE得，
10⋅DE=6×8，
∴DE=245，
∴x>245；
(3)解：如图1，
当G在线段AC上时，延长AF交BC于M，作MN⊥AB于N，
∵△AEF∽△AGF，
∴∠AEF=∠AGF，
∴AF=AG，
∴∠EAF=∠GAF=12∠BAC，
∵∠DAF=∠BAC，
∴∠DAC=∠GAF，
∵AC⊥BD，
∴∠AMC=∠ACD，
∴AM=AD，
∴CM=CD，
∵AM平分∠BAC，
∴MN=CM，
由S△ABC=S△ABM+S△ACM得，
12×6×8=12×6⋅CM+12×10⋅MN，
∴16⋅CM=48，
∴CM=3，
∴CD=3.
如图2，
当G点在AC的延长线上时，
∵△AEF∽△AGF，
∴∠AEF=∠AGF，
∵∠AGF是∠AEF的外角，
∴∠AGF>∠AEF，
∴这种情形不存在，
∴CD=3.
【解析】(1)证明△ADE∽△ABD及△ADF∽△ABC，进而命题得证
(2)根据△ADE∽△ABD得出ADAB=DEBD，进而得出y与x的关系式，当x=0时，求得此时DE长，进而求得x的范围；
(3)当G在线段AC上时，延长AF交BC于M，作MN⊥AB于N，可推出CM=CD，根据AM平分∠BAC，推出MN=CM，根据面积法求得CM，从而得出CD，G点在AC的延长线上不存在．
本题考查了相似三角形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是转化条件，发现特殊性．
x
…
−2
−1
0
1
2
…
y
…
3
4
3
0
−5
…