2021-2022学年上海市奉贤区九年级（上）期末数学试卷（一模）（含答案解析）

这是一份2021-2022学年上海市奉贤区九年级（上）期末数学试卷（一模）（含答案解析），共20页。

A. y=x−1B. y=−x+1C. y=1xD. y=x2
从图形运动的角度研究抛物线，有利于我们认识新的抛物线的特征．如果将抛物线y=x2+2绕着原点旋转180∘，那么关于旋转后所得新抛物线与原抛物线之间的关系，下列法正确的是( )
A. 它们的开口方向相同B. 它们的对称轴相同
C. 它们的变化情况相同D. 它们的顶点坐标相同
如果直线y=2x与x轴正半轴的夹角为锐角α，那么下列各式正确的是( )
A. sinα=12B. csα=12C. tanα=12D. ctα=12
如图，已知D是△ABC边AB上的一点，如果∠BCD=∠A，那么下列结论中正确的是( )
A. AC2=AD⋅ABB. BC2=BD⋅ABC. CD2=AD⋅BDD. AD2=BD⋅CD
已知线段AB.按以下步骤作图：
(1)作以A为端点的射线AP(不与线段AB所在直线重合)；
(2)在射线AP上顺次截取AC=CD=DE；
(3)联结BE，过点D作DF//BE，交线段AB于点F.
根据上述作图过程，下列结论中正确的是( )
A. AF：AB=1：2B. AF：AB=1：3
C. AF：AB=2：3D. AF：AB=2：1
在△ABC中，AB=23，∠BAC=30∘.下列线段BC的长度不能使△ABC的形状和大小都确定的是( )
A. 2B. 4C. 3D. 23
如果x2=y3=z5≠0，那么y−xz=______.
函数y=xx+1的定义域是______.
计算：2(a−2b)+3(a+b)=______.
如果函数y=kx(k≠0)的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而______.(填“增大”或“减小”)
如果抛物线y=(x−2)2+k不经过第三象限，那么k的值可以是______.(只需写一个)
用描点法画二次函数的图象需要经过列表、描点、连线三个步骤．以下是小明画二次函数y=ax2+bx+c图象时所列的表格：
根据表格可以知道该二次函数图象的顶点坐标是______.
如图，已知AD//BE//CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F.如果5AB=2AC，DE=6，那么线段EF的长是______.
已知在Rt△ABC中，∠C=90∘，sinA=34，BC=6，那么AB的长是______.
顺次联接三角形三边中点，所得到的三角形与原三角形的周长的比是______.
如图，已知菱形ABCD，E、F分别为△ABD和△BCD的重心．如果边AB=5，对角线BD=6，那么EF的长为______.
《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M、N分别是正方形ABCD的边AD，AB的中点，ME⊥AD，NF⊥AB，EF过点A，且ME=100步，NF=225步，那么该正方形城邑边长AD约为______步．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，sinB=35.D是边BC的中点，点E在边AB上，将△BDE沿直线DE翻折，使得点B落在同一平面内的点F处．如果线段FD交边AB于点G，当FD⊥AB时，AE：BE的值为______.
计算：2sin260∘−12ct45∘tan260∘+4sin45∘.
如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A(4,0)和B在x轴的正半轴上，反比例函数y=kx在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E.CE=2BE，tan∠AOD=34.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)联结OC，求∠BOC的正切值．
如图，在△ABC中，AC=5，ctA=2，ctB=3，D是AB边上的一点，∠BDC=45∘.
(1)求线段BD的长；
(2)如果设CA=a，CB=b，那么AB=______，AD=______，CD=______(含a、b的式子表示).
如图8−1是位于奉贤南桥镇解放东路866号的“奉贤电视发射塔”，它建于1996年，在长达二十几年的时间里它一直是奉贤区最高建筑物，该记录一直保持到2017年，历了25年风雨的电视塔铎刻了一代奉贤人的记忆．
某数学活动小组在学习了“解直角三角形的应用”后，开展了测量“奉贤电视发射塔的高度”的实践活动．
测量方案：如图8−2，在电视塔附近的高楼楼顶C处测量塔顶A处的仰角和塔底B处的俯角．
数据收集：这幢高楼共12层，每层高约2.8米，在高楼楼顶C处测得塔顶A处的仰角为58∘，塔底B处的俯角为22∘.
问题解决：求奉贤电视发射塔AB的高度(结果精确到1米).
参考数据：sin22∘≈0.37，cs22∘≈0.93，tan22∘≈0.40，sin58∘≈0.85，cs58∘≈0.53，tan58∘≈1.60.
根据上述测量方案及数据，请你完成求解过程．
根据相似形的定义可以知道，如果一个四边形的四个角与另一个四边形的四个角对应相等，且它们各有的四边对应成比例，那么这两个四边形叫做相似四边形．对应相等的角的顶点叫做这两个相似四边形的对应顶点，以对应顶点为端点的边是这两个相似四边形的对应边，对应边的比叫做这两个相似多边形的相似比．(我们研究的四边形都是指凸四边形)
(1)某学习小组在探究相似四边形的判定时，得到如下两个命题，请判断它们是真命题还是假命题(直接在横线上填写“真”或“假”)
①梯形的中位线将原梯形分成的两个小的梯形相似；______命题；
②有一个内角对应相等的两个菱形相似；______命题．
(2)已知：如图1，△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，以BC为直角边作等腰直角三角形BCD，再以BD为直角边作等腰直角三角形BDE求证：四边形ABDC与四边形CBED相似．
(3)已知：如图2，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，BE、CD相交于点F，点G在AF的延长线上，联结BG、CG.如果四边形ADFE与四边形ABGC相似，且点A、D、F、E分别对应A、B、G、C.求证：AF⋅BF=AG⋅EF.
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(−1,0)和点B(3,0)，与y轴交于点C，顶点为D.
(1)求该抛物线的表达式的顶点D的坐标；
(2)将抛物线沿y轴上下平移，平移后所得新抛物线顶点为M，点C的对应点为E.
①如果点M落在线段BC上，求∠DBE的度数；
②设直线ME与x轴正半轴交于点P，与线段BC交于点Q，当PE=2PQ时，求平移后新抛物线的表达式．
如图1，已知锐角△ABC的高AD、BE相交于点F，延长AD至G，使DG=FD，联结BG，CG.
(1)求证：BD⋅AC=AD⋅BG；
(2)如果BC=10，设tan∠ABC=m.
①如图2，当∠ABG=90∘时，用含m的代数式表示△BFG的面积；
②当AB=8，且四边形BGCE是梯形时，求m的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：把x=−1代入y=x−1得：−1−1=−2≠1，
∴选项A不符合题意；
把x=−1代入y=−x+1得：1+1=2≠1，
∴选项B不符合题意；
把x=−1代入y=1x得：1−1=−1≠1，
∴选项C不符合题意；
把x=−1代入y=x2得：(−1)2=1，
∴选项D符合题意；
故选：D.
将点(−1,1)分别代入4个解析式进行验证即可得出答案．
本题考查了图象上点的坐标特征，会把点的横纵坐标代入解析式验证是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、它们的开口方向相反，不符合题意；
B、它们的对称轴相同，符合题意；
C、它们的开口方向相反，顶点坐标关于原点对称，即题目的变化情况不相同，不符合题意；
D、它们的顶点坐标关于原点对称，不符合题意．
故选：B.
将抛物线y=x2+2绕着原点旋转180∘，则新抛物线与原抛物线关于原点对称．
本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，抛物线绕着原点旋转180∘后，新抛物线与原抛物线关于原点对称．
3.【答案】D
【解析】解；由y=2x与x轴正半轴的夹角为α，
如图，设点A是直线上的点，则设点A(m,2m)，
过点A作AH⊥x轴于点H，则AH=2m，OH=m，
所以OA=(2m)2+m2=5m，
则sinα=AHOA=2m5m=255，
csα=OHOA=m5m=55，
tanα=AHOH=2mm=2，
ctα=OHAH=m2m=12，
故选：D.
设点A是直线上的点，则设点A(m,2m)，过点A作AH⊥x轴于点H，则AH=2m，OH=m，即可求解．
本题考查了锐角三角函数的定义，设点A的坐标是本题解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵∠BCD=∠A，∠B=∠B，
∴△ABC∽△CBD，
∴BCBD=ABCB，
∴BC2=AB⋅BD，
故选：B.
由已知条件∠BCD=∠A、∠B=∠B，可判定△ABC∽△CBD，再根据相似三角形的性质进行判断．
此题主要考查的是相似三角形的判定和性质；能够发现隐含条件公共角∠A是解答此题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵AC=CD=DE，
∴ADAE=23，
∵DF//BE，
∴△ADF∽△AEB，
∴AFAB=ADAE=23，
故选：C.
根据AC=CD=DE，得到ADAE=23，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：如图，过点B作BH⊥AC于点H.
在Rt△ABH中，BH=12AB=3，
观察图形可知，当BC=3或BC≥23时，三角形唯一确定，
故BC=2时，三角形不能唯一确定，
故选：A.
如图，过点B作BH⊥AC于点H.判断出当BC=3或BC≥23时，三角形唯一确定，即可解决问题．
本题考查解直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是理解题意，判断出三角形唯一确定的BC的范围，属于中考常考题型．
7.【答案】15
【解析】解：设x2=y3=z5=t，则x=2t，y=3t，z=5t，
所以y−xz=3t−2t5t=15.
故答案为：15.
设x2=y3=z5=t，利用比例的性质得到x=2t，y=3t，z=5t，然后把它们代入y−xz中进行分式的混合运算即可．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质(内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质)是解决问题的关键．
8.【答案】x≠−1
【解析】解：由题意得：x+1≠0，
解得：x≠−1，
故答案为：x≠−1.
根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握分式的分母不为0是解题的关键．
9.【答案】5a−b
【解析】解：2(a−2b)+3(a+b)=2a−4b+3a+3b=5a−b，
故答案为5a−b.
根据平面向量的加法法则计算即可．
本题考查平面向量，平面向量的加法法则，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10.【答案】减小
【解析】解：函数y=kx(k≠0)的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而减小，
故答案为：减小．
根据正比例函数的性质进行解答即可．
此题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数的性质：正比例函数y=kx(k≠0)的图象是一条经过原点的直线，当k>0时，该直线经过第一、三象限，且y的值随x的值增大而增大；当k<0时，该直线经过第二、四象限，且y的值随x的值增大而减小．
11.【答案】1
【解析】解：∵y=(x−2)2+k的顶点坐标为(2,k)，
∴由抛物线不经过第三象限可得k≥0，
故答案为：1.(答案不唯一)
由抛物线不经过第三象限可得抛物线开口向上，顶点在x轴或x轴上方，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
12.【答案】(−2,−1)
【解析】解：由题意可得，
当x=−4时，y=3，当x=0时，y=3，
∴该函数的顶点横坐标为x=−4+02=−2，
由表格可知：当x=−2时，y=−1，
故答案为：(−2,−1).
根据表格中的数据和二次函数的性质，可以先确定顶点的横坐标，然后再根据表格中的数据，即可写出该抛物线的顶点坐标．
本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
13.【答案】9
【解析】解：∵5AB=2AC，
∴ABAC=25，
∵AD//BE//CF，
∴DEDF=ABAC，
即6DF=25，
∴DF=15，
∴EF=DF−DE=15−6=9.
故答案为：9.
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入已知数据计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
14.【答案】8
【解析】解：∵sinA=34=BCAB，BC=6，
∴AB=8.
故答案为：8.
利用直角三角形的边角间关系，可得结论．
本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
15.【答案】12
【解析】解：如图，∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，
∴DE=12AC，DF=12BC，EF=12AB，
∴DE+DF+EF=12AC+12BC+12AB，
∴所得到的△DEF与△ABC的周长之比是12.
故答案为：12.
根据D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，得出DE+DF+EF=12AC+12BC+12AB，即可得出答案．
此题考查学生对三角形中位线定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用了三角形中位线的性质．
16.【答案】83
【解析】解：如图，连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，BD=6，
∴OB=OD=12BD=3，OA=OC，AC⊥BD，
∴OA=AB2−OB2=52−32=4，
∴OC=OA=4.
∵E、F分别为△ABD和△BCD的重心，
∴E，F分别在线段OA、OC上，且OE=13OA=43，OF=13OC=43，
∴EF=OE+OF=43+43=83.
故答案为：83.
连接AC，交BD于点O，根据菱形的性质得出OB=OD=3，OA=OC，AC⊥BD，利用勾股定理求出OA=OC=4.再根据重心的性质可知△ABD和△BCD的重心E，F分别在线段OA、OC上，且OE=13OA，OF=13OC，进而得到EF的长．
本题考查了三角形的重心的性质，菱形的性质，勾股定理，掌握重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解题的关键．
17.【答案】300
【解析】解：∵点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，
∴AM=12AD，AN=12AB，
∴AM=AN，
由题意可得，Rt△AEM∽Rt△FAN，
∴MEAN=AMFN，
即AM2=100×225=22500，
解得：AM=150(步)，
∴AD=2AM=300(步)；
故答案为：300.
根据题意，可知Rt△AEM∽Rt△FAN，从而可以得到对应边的比相等，从而可以求得正方形的边长．
本题考查相似三角形的应用、数学常识、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意．利用相似三角形的性质和数形结合的思想解答．
18.【答案】4
【解析】解：如图，过B点作BH//DF交GD的延长线于H，如图，
∵FD⊥AB，
∴∠DGB=90∘，
∵sinB=DGBD=35，
∴设DG=3x，BD=5x，
∴BG=BD2−DG2=4x，
∵△BDE沿直线DE翻折得到△FDE，
∴∠BDE=∠FDE，
∵DE//BH，
∴∠FDE=∠H，∠BDE=∠DBH，
∴∠H=∠DBH，
∴DH=DB=5x，
∵DE//BH，
∴GEBE=DGDH=3x5x=35，
∴BE=58×4x=52x，
∵∠BGD=∠C=90∘，∠DBG=∠ABD，
∴△BDG∽△BAC，
∴BDBA=BGBC，即5xBA=4x10x，
∴BA=252x，
∴AE=AB−BE=252x−52x=10x，
∴AE：BE=10x：52x=4.
故答案为：4.
如图，过B点作BH//DF交GD的延长线于H，如图，利用正弦的定义得到sinB=DGBD=35，则设DG=3x，BD=5x，所以BG=4x，再根据折叠的性质和平行线的性质得到∠H=∠DBH，所以DH=DB=5x，接着根据平行线分线段成比例定理得到GEBE=DGDH=35，则BE=52x，然后证明△BDG∽△BAC，利用相似比得到BA=252x，最后计算AE：BE的值．
本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了折叠的性质和解直角三角形．
19.【答案】解：2sin260∘−12ct45∘tan260∘+4sin45∘
=2×(32)2−12×1(3)2+4×22
=2×34−123+22
=13+22
=3−22.
【解析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
20.【答案】解：∵点A(4,0)，
∴OA=4，
∵tan∠AOD=ADOA=34，
∴，AD=3，
∴点D坐标为(4,3)，
∵反比例函数y=kx在第一象限内的图象经过点D，
∴k=4×3=12，
∴反比例函数的解析式为y=12x；
(2)∵BC=AD=3，CE=2BE，
∴BE=13BC=1，
把y=1代入y=12x得，1=12x，解得x=12，
∴OB=12，
∴tan∠BOC=BCOB=312=14.
【解析】(1)由A的坐标得到OA=4，由tan∠AOD=34，可得AD=3，即可得到点D的坐标，然后利用勾股定理即可求得；
(2)由图象上点的坐标特征求得E的横坐标，即可求得OB，然后解直角三角形即可得出答案．
本题主要考查待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，解直角三角形，求得交点坐标是解题的关键．
21.【答案】b−a 15(b−a) 45a+15b
【解析】解：(1)作CE⊥AB于E，设CE=x，
∵ctA=AECE=2，
∴AE=2x，
在Rt△ACE中，由勾股定理得，
x2+(2x)2=52，
解得x=±5，
∵x>0，
∴x=5，
∴CE=5，
∵∠CDE=45∘，
∴CE=DE=5，
∵ctB=3，
∴BE=3CE=35，
∴BD=BE+DE=35+5=45；
(2)∵DE=5，AE=25，
∴AD=5，
∵BD=45，
∴ADAD+BD=15，
即AD=15AB，
∵CA=a，CB=b，
∴AB=CB−CA=b−a，
∴AD=15AB=15(b−a)，
∴CD=CA+AD
=a+15(b−a)
=45a+15b，
故答案为：b−a；15(b−a)；45a+15b.
(1)作CE⊥AB于E，设CE=x，AE=2x，在Rt△ACE中，由勾股定理得，x2+(2x)2=52，解方程即可解决问题；
(2)先求出AD的长，再求出AD与AB的数量关系，根据平面向量的加减运算法则即可求解．
本题考查了平面向量，三角函数的定义勾股定理等知识，熟练掌握三角函数的定义，平面向量的加减运算法则是解题的关键．
22.【答案】解：过点C作CE⊥AB于点E，
根据题意可得四边形CDBE是矩形，CD=2.8米×12=33.6米，∠ACE=58∘，∠CBD=22∘，
∴CE=BD，BE=DC=33.6米，
在Rt△BCD中，tan∠CBD=CDBD，
∴BD=33.6tan22∘≈，
∴CE=84，
在Rt△ACE中，tan∠ACE=AECE=AE84，
∴AE=84tan58∘≈84×1.60=134.4，
∴AB=AE+BE=AE+CD=134.4+33.6=168(米).
答：奉贤电视发射塔AB的高度约为168米．
【解析】过点C作CE⊥AB于点E，根据题意可得四边形DCBE是矩形，CD=2.8米×12=33.6米，∠ACE=58∘，∠CBD=22∘，在Rt△BCD中，再根据锐角三角函数可得BD的长，在Rt△ACE中，再根据锐角三角函数可得AE的长，进而可得AB的值．
此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，能够借助仰角俯角构造直角三角形是解决问题的关键．
23.【答案】假 真
【解析】(1)解：①梯形的中位线将原梯形分成的两个小的梯形满足四个角对应线段，但边不是对应成比例，所以原命题是假命题；
②有一个内角对应相等的两个菱形满足四个角线段，对应边成比例，所以是真命题，
故答案为：假，真；
(2)证明：由题意知，∠A=∠CBE=90∘，∠ACD=∠CDE=135∘，∠ABD=∠BCD=90∘.∠CDB=∠E=45∘，
∴四边形ABDC与四边形CBED的四个角对应相等，
设AB=AC=x，则CD=2x，BD=DE=2x，BE=22x，
∴ABBC=ACCD=CDDE=BDBE=12，
∴四边形ABDC与四边形CBED的四边对应成比例，
∴四边形ABDC与四边形CBED相似；
(3)证明：∵四边形ADFE与四边形ABGC相似，且点A、D、F、E分别对应A、B、G、C.
∴∠ADF=∠ABG，∠AEF=∠ACG，
∴CD//BG，BE//CG，
∴四边形BGCF是平行四边形，
∴BF=CG，
∵∠AEF=∠ACG，∠EAF=∠CAG，
∴△EAF∽△CAG，
∴AFAG=EFCG，
∴AFAG=EFBF，
∴AF⋅BF=AG⋅EF.
(1)根据相似多边形的定义，分别从对应边和对应角两个方面判断即可；
(2)由等腰直角三角形的性质可知，两个四边形符合相似四边形的定义；
(3)根据相似四边形对应角相等得，∠ADF=∠ABG，∠AEF=∠ACG，则CD//BG，BE//CG，从而证明四边形BGCF是平行四边形，有BF=CG，再证明△EAF∽△CAG，则AFAG=EFCG，等量代换即可证明结论．
本题是相似形综合题，主要考查了相似四边形的定义，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，读懂定义，紧扣定义中从边和角两个方面进行考虑是解题的关键．
24.【答案】解：(1)将点A(−1,0)和点B(3,0)代入y=ax2+bx+3得，
a−b+3=09a+3b+3=0，
解得a=−1b=2，
∴y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴顶点D(1,4)；
(2)①设直线x=1交x轴于G，
∵B(3,0)，C(0,3)，
∴OB=OC=3，
∴GM=GB=2，
∴DM=DG−GM=2，
∴将抛物线y=−x2+2x+3沿y轴向下平移2个单位时，点M落在BC上，此时E(0,1)，
∵D(1,4)，E(0,1)，B(3,0)，
∴DE2=10，BE2=10，BD2=20，
∴DE2+BE2=BD2，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴∠DBE=45∘；
②当点P在x轴正半轴时，则点M在x轴下方，如图，作QH⊥x轴于H，
由C(0,3)，D(1,4)可知，直线CD与x轴夹角为45∘，
∴平移后∠QPB=45∘，
∴PH=BH，
∵OE//QH，PE=2PQ，
∴OP=2PH，
∴4BH=3，
∴BH=43，
∴OP=2BH=83，
∴GM=GP=23，
∴M(1,−23)，
∴平移后抛物线为y=−(x−1)2−23.
【解析】(1)将点A(−1,0)和点B(3,0)代入y=ax2+bx+3，解方程即可；
(2)①设直线x=1交x轴于G，由题意可知将抛物线y=−x2+2x+3沿y轴向下平移2个单位时，点M落在BC上，此时E(0,1)，再利用勾股定理的逆定理说明△BDE是等腰直角三角形，从而得出答案；
②当点P在x轴正半轴时，则点M在x轴下方，如图，作QH⊥x轴于H，利用平行线分线段成比例可知OP=2PH，求出点M的坐标，从而解决问题．
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，配方法求顶点式，抛物线的平移，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质等知识，根据题意求出平移的距离是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵△ABC的高AD、BE相交于点F，
∴∠AEB=∠ADC=90∘，
又∵∠EAF=∠DAC，
∴∠AFE=∠ACD，
∵∠BFD=∠AFE，
∴∠BFD=∠ACD，
∵BD⊥FG，DF=DG，
∴BD垂直平分GF，
∴BG=BF，
∴∠BGF=∠BFG，
∴∠BGF=∠ACD，
又∵∠BDG=∠ADC=90∘，
∴△BDG∽△ADC，
∴BDAD=BGAC，
∴BD⋅AC=AD⋅BG；
(2)解：①∵∠ABG=90∘，
∴∠ABD+∠GBC=90∘，
∵∠GBD+∠BGD=90∘，
∴∠ABD=∠BGD，
同理∠GBD=∠BAD，
由(1)知△BDG∽△ADC，
∴∠GBD=∠DAC，
∴∠BAD=∠CAD，
又∵AD=AD，∠ADB=∠ADC，
∴△ADB≌△ADC(ASA)，
∴BD=CD=12BC=5，
∵tan∠ABC=m.
∴tan∠BGD=m，
∴GD=5m，
∴GF=2GD=10m，
∴S△BFG=12×FG×BD=12×10m×5=25m；
②当BG//AC时，
∴∠ACB=∠GBC，
∵∠GBC=∠CAD，
∴∠ACB=∠CAD=45∘，
设CD=AD=x，则BD=10−x，
由勾股定理得，x2+(10−x)2=82，
解得x=5±7
当x=5+7时，BD=10−x=5−7，此时m=5+75−7=16+579，
当x=5−7时，BD=10−x=5+7，此时m=5−75+7=16−579；
当BE//CG时，
∴∠EBC=∠BCG，
则∠CBG=∠BCG，
∴BG=CG，
∴BD=CD=5，
由勾股定理得AD=AB2−BD2=82−52=39，
∴m=ADBD=395，
综上，m=16+579或16−579或395.
【解析】(1)利用同角的余角相等可证∠BGF=∠ACD，且∠BDG=∠ADC=90∘，则△BDG∽△ADC，可证明结论；
(2)①通过导角可利用ASA证△ADB≌△ADC，得BD=CD=12BC=5，再通过tan∠BGD=m，可得GD=5m，则GF=2GD=10m，代入三角形的面积公式即可；
②分两种情形，当BG//AC或BE//CG，分别通过导角发现数量关系，从而解决问题．
本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角函数等知识，综合性较强，熟练掌握角之间的转化发现解题思想是关键．
x
…
−4
−3
−2
0
2
…
y
…
3
0
−1
3
15
…