2022-2023学年上海市杨浦区九年级（上）期末数学试卷（一模）docx

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2022-2023学年上海市杨浦区九年级（上）期末数学试卷（一模）
一、选择题（本大题共6题，每小题4分，满分24分）[每题只有一个正确选项，请将结果直接填入答题纸的相应位置]
1．（4分）下列各组图形一定相似的是（　　）
A．两个菱形 B．两个矩形
C．两个直角梯形 D．两个正方形
2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝8，BC＝6，那么∠B的余切值为（　　）
A． B． C． D．
3．（4分）抛物线y＝﹣3（x+1）2+2的顶点坐标是（　　）
A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
4．（4分）已知为非零向量，3，2，那么下列结论中错误的是（　　）
A．∥ B．||||
C．与方向相同 D．与方向相反
5．（4分）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x+m）2+k（a＜0）．某运动员进行了两次训练．第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如图．根据上述数据，该运动员竖直高度的最大值为（　　）
第一次训练数据
水平距离x/m
0
2
5
8
11
14
竖直高度y/m
20.00
21.40
22.75
23.20
22.75
21.40

A．23.20cm B．22.75cm C．21.40cm D．23cm
6．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB和AC边上且DE∥BC，点M为BC边上一点（不与点B、C重合），联结AM交DE于点N，下列比例式一定成立的是（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共12题，每小题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]
7．（4分）已知，则的值为　 　．
8．（4分）已知线段AB＝8cm，点C在线段AB上，且AC2＝BC•AB，那么线段AC的长　 　cm．
9．（4分）若两个相似三角形的面积比为3：4，则它们的相似比为　 　．
10．（4分）小杰沿坡比为1：2.4的山坡向上走了130米．那么他沿着垂直方向升高了　 　米．
11．（4分）若点A（﹣3，y1）、B（0，y2）是二次函数y＝2（x﹣1）2﹣1图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是　 　（填y1＞y2、y1＝y2或y1＜y2）．
12．（4分）如果将抛物线y＝x2+2x﹣1先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，那么所得的新抛物线的顶点坐标为 　 　．
13．（4分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，点G是△ABC的重心，如果AG＝4，那么BC的长为　 　．

14．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠BAC＝∠D，若AD＝4，BC＝10，则AC＝　 　．

15．（4分）如图，已知AD∥EF∥BC，AE＝3BE，AD＝2，EF＝5，那么BC＝　 　．

16．（4分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，sinB，BC＝13，AD＝12，则tanC的值　 　．

17．（4分）如图，已知tanO，点P在边OA上，OP＝5，点M、N在边OB上，PM＝PN，如果MN＝2，那么PM＝　 　．

18．（4分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，点D在边BC上，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在点C′处，联结AC′，直线AC′与边CB的延长线相交于点F．如果∠DAB＝∠BAF，那么BF＝　 　．

三、解答题（本大题共7题，满分78分）[请将解题过程填入答题纸的相应位置]
19．（10分）计算：．
20．（10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，对角线AC、BD相交于点O，设，，试用、的式子表示向量．

21．（10分）如图，已知△ABC是等边三角形，AB＝6，点D在AC上，AD＝2CD，CM是∠ACB的外角平分线，连接BD并延长与CM交于点E．
（1）求CE的长；
（2）求∠EBC的正切值．

22．（10分）如图，高压电线杆AB垂直地面，测得电线杆AB的底部A到斜坡C的水平距离AC长为15.2米，落在斜坡上的电线杆的影长CD为5.2米，在D点处测得电线杆顶B的仰角为37°．已知斜坡CD的坡比i＝1：2.4，求该电线杆AB的高．（参考数据：sin37°＝0.6）

23．（12分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB上的中点，E是边BC上的点，AE与CD交于点F，且AC2＝CE•CB．
（1）求证：AE⊥CD；
（2）连接BF，如果点E是BC中点，求证：∠EBF＝∠EAB．

24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0）、B（3，0）．C（2，3）三点，且与y轴交于点D．
（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴；
（2）分别联结AD、DC，CB，直线y＝4x+m与线段DC交于点E，当此直线将四边形ABCD的面积平分时，求m的值；
（3）设点F为该抛物线对称轴上的一点，当以点A、B、C、F为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标．

25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AB＝13，CD∥AB．点E为射线CD上一动点（不与点C重合），联结AE，交边BC于点F，∠BAE的平分线交BC于点G．
（1）当时CE＝3，求S△CEF：S△CAF的值；
（2）设CE＝x，AE＝y，当CG＝2GB时，求y与x之间的函数关系式；
（3）当AC＝5时，联结EG，若△AEG为直角三角形，求BG的长．


2022-2023学年上海市杨浦区九年级（上）期末数学试卷（一模）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每小题4分，满分24分）[每题只有一个正确选项，请将结果直接填入答题纸的相应位置]
1．（4分）下列各组图形一定相似的是（　　）
A．两个菱形 B．两个矩形
C．两个直角梯形 D．两个正方形
【分析】形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可．
【解答】解：A．任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；
B．任意两个矩形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；
C．任意两个直角梯形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不合题意；
D．任意两个正方形的对应角对应相等、边的比相等，一定相似，本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同．
2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝8，BC＝6，那么∠B的余切值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据余切函数的定义解答即可．
【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，

∴cotB，
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．（4分）抛物线y＝﹣3（x+1）2+2的顶点坐标是（　　）
A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
【分析】由函数解析式直接可得顶点坐标．
【解答】解：∵y＝﹣3（x+1）2+2，
∴顶点为（﹣1，2），
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数由解析式求顶点坐标的方法是解题的关键．
4．（4分）已知为非零向量，3，2，那么下列结论中错误的是（　　）
A．∥ B．||||
C．与方向相同 D．与方向相反
【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．
【解答】解：∵3，2，
∴，
∴∥，||||，与发方向相反，
∴A，B，D正确，
故选：C．
【点评】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．（4分）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x+m）2+k（a＜0）．某运动员进行了两次训练．第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如图．根据上述数据，该运动员竖直高度的最大值为（　　）
第一次训练数据
水平距离x/m
0
2
5
8
11
14
竖直高度y/m
20.00
21.40
22.75
23.20
22.75
21.40

A．23.20cm B．22.75cm C．21.40cm D．23cm
【分析】根据表格中数据求出顶点坐标即可．
【解答】解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：（8，23.20），
∴k＝23.20，
即该运动员竖直高度的最大值为23.20m，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是根据表格中数据求出顶点坐标．
6．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB和AC边上且DE∥BC，点M为BC边上一点（不与点B、C重合），联结AM交DE于点N，下列比例式一定成立的是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据相似三角形的判定和性质分析即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，
∴，，
∴，
即，
故选：B．
【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，牢记定理是解决此题的关键．
二、填空题（本大题共12题，每小题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]
7．（4分）已知，则的值为　　．
【分析】用a表示出b，然后代入比例式进行计算即可得解．
【解答】解：∵，
∴ba，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，用a表示出b是解题的关键．
8．（4分）已知线段AB＝8cm，点C在线段AB上，且AC2＝BC•AB，那么线段AC的长　44　cm．
【分析】根据黄金分割的定义得到点C是线段AB的黄金分割点，根据黄金比值计算得到答案．
【解答】解：∵AC2＝BC•AB，
∴点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，
∴ACAB8＝（44）cm，
故答案为：44．
【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比值为是解题的关键．
9．（4分）若两个相似三角形的面积比为3：4，则它们的相似比为　：2　．
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算．
【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为3：4，
∴它们的相似比为：2，
故答案为：：2．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
10．（4分）小杰沿坡比为1：2.4的山坡向上走了130米．那么他沿着垂直方向升高了　50　米．
【分析】设他沿着垂直方向升高了x米，根据坡度的概念用x表示出他行走的水平宽度，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：设他沿着垂直方向升高了x米，
∵坡比为1：2.4，
∴他行走的水平宽度为2.4x米，
由勾股定理得，x2+（2.4x）2＝1302，
解得，x＝50，即他沿着垂直方向升高了50米，
故答案为：50．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
11．（4分）若点A（﹣3，y1）、B（0，y2）是二次函数y＝2（x﹣1）2﹣1图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是　y1＞y2　（填y1＞y2、y1＝y2或y1＜y2）．
【分析】分别计算出自变量为﹣3和0所对应的函数值，然后比较函数值的大小即可．
【解答】解：∵点A（﹣3，y1）、B（0，y2）是二次函数y＝2（x﹣1）2﹣1图象上的两点，
∴y1＝2（x﹣1）2﹣1＝2（﹣3﹣1）2﹣1＝31；y2＝2（x﹣1）2﹣1＝2（0﹣1）2﹣1＝1，
∴y1＞y2．
故答案为y1＞y2．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
12．（4分）如果将抛物线y＝x2+2x﹣1先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，那么所得的新抛物线的顶点坐标为 　（0，0）　．
【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据平移的规律得出平移后抛物线顶点坐标即可．
【解答】解：∵y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，
∴抛物线y＝x2+2x﹣1的顶点坐标为（﹣1，﹣2），
∴把点（﹣1，﹣2）先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点的坐标为（0，0），
即新抛物线的顶点坐标为（0，0）．
故答案为：（0，0）．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．
13．（4分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，点G是△ABC的重心，如果AG＝4，那么BC的长为　12　．

【分析】延长AG交BC于点D，根据重心的性质可知点D为BC的中点，且AG＝2DG＝4，则AD＝6，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解．
【解答】解：如图，延长AG交BC于点D．
∵点G是△ABC的重心，AG＝4，
∴点D为BC的中点，且AG＝2DG＝4，
∴DG＝2，
∴AD＝AG+DG＝6，
∵△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边的中线，
∴BC＝2AD＝12．
故答案为12．

【点评】本题考查了三角形重心的定义及性质，三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．同时考查了直角三角形的性质．
14．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠BAC＝∠D，若AD＝4，BC＝10，则AC＝　2　．

【分析】根据平行线的性质得出∠DAC＝∠ACB，根据相似三角形的判定得出△ADC∽△CAB，得出比例式，代入求出即可．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵∠BAC＝∠D，
∴△ADC∽△CAB，
∴，
∴，
解得：AC＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能求出△ADC∽△CAB是解此题的关键．
15．（4分）如图，已知AD∥EF∥BC，AE＝3BE，AD＝2，EF＝5，那么BC＝　6　．

【分析】作AM∥CD交BC于M，交EF于N．利用相似三角形的性质求出BM即可解决问题．
【解答】解：作AM∥CD交BC于M，交EF于N．

∵AD∥EF∥BC，
∴四边形ADCM是平行四边形，四边形ADFN是平行四边形，
∴AD＝NF＝CM＝2，
∵EF＝5，
∴EN＝EF﹣FN＝5﹣2＝3，
∵EN∥BM，
∴△AEN∽△ABM，
∴，
∴
∴BM＝4，BC＝BM+CM＝4+2＝6．
故答案为：6．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
16．（4分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，sinB，BC＝13，AD＝12，则tanC的值　3　．

【分析】先在Rt△ABD中利用三角函数求出AB，再根据勾股定理求出BD，进而可得出DC的值，即可求出tan∠C的值．
【解答】解：∵AD⊥BC，AD＝12，sinB，
∴，
解得AB＝15，
∴BD9．
∵BC＝13，
∴DC＝BC﹣BD＝4，
∴tanC．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是利用勾股定理求出BD的值．
17．（4分）如图，已知tanO，点P在边OA上，OP＝5，点M、N在边OB上，PM＝PN，如果MN＝2，那么PM＝　　．

【分析】过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义及勾股定理求出PD的长，再由PM＝PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，然后由勾股定理可求PM的值．
【解答】解：过P作PD⊥OB，交OB于点D，

∵tanO，
∴设PD＝4x，则OD＝3x，
∵OP＝5，由勾股定理得：（3x）2+（4x）2＝52，
∴x＝1，
∴PD＝4，
∵PM＝PN，PD⊥OB，MN＝2
∴MD＝NDMN＝1，
在Rt△PMD中，由勾股定理得：
PM，
故答案为：．
【点评】此题考查了直角三角形的性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质及勾股定理，熟练应用锐角三角函数的定义及勾股定理是解本题的关键．
18．（4分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，点D在边BC上，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在点C′处，联结AC′，直线AC′与边CB的延长线相交于点F．如果∠DAB＝∠BAF，那么BF＝　1　．

【分析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，得到∠CAB＝∠ABC＝45°，由△ADC′是将△ABC沿直线AD翻折得到的，求出∠CAD＝∠C′AD，于是得到∠ABF＝135°，求得∠F＝30°，根据直角三角形的性质即可得到结果．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，
∵△ADC′是将△ABC沿直线AD翻折得到的，
∴∠CAD＝∠C′AD，
∵∠DAB＝∠BAF，
∴∠BAD∠DAC∠BAC＝15°，
∵∠ABF＝135°，
∴∠F＝30°，
∴CF，
∴BF＝CF﹣BC1，
故答案为：1．

【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，正确的作出图形是解题的关键．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）[请将解题过程填入答题纸的相应位置]
19．（10分）计算：．
【分析】直接将特殊角的三角函数值代入求出答案．
【解答】解：原式


．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．
20．（10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，对角线AC、BD相交于点O，设，，试用、的式子表示向量．

【分析】根据平面向量定理即可表示．
【解答】解：∵AD∥BC，BC＝2AD，
∴．
∴，即OAAC．
∵，，与同向，
∴2．
∵2．
∴．
【点评】本题考查了梯形、平面向量定理，解决本题的关键是掌握三角形法则．
21．（10分）如图，已知△ABC是等边三角形，AB＝6，点D在AC上，AD＝2CD，CM是∠ACB的外角平分线，连接BD并延长与CM交于点E．
（1）求CE的长；
（2）求∠EBC的正切值．

【分析】（1）首先证明CE∥AB，则△ABD∽△CED，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解；
（2）过点E作EH⊥BC于点H，在直角△CEH中，利用三角函数求得CH和EH的长度，即可求得BH的大小，即可求得三角函数值．
【解答】解：（1）在BC延长线上取一点F，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝6，∠ACF＝120°，
∵CM是∠ACB的外角平分线，
∴∠ECF∠ACF＝60°，
∴∠ECF＝∠ABC，
∴CE∥AB，
∴，
又∵AD＝2CD，AB＝6，
∴，
∴CE＝3．

（2）过点E作EH⊥BC于点H．
∵∠ECF＝60°，∠EHC＝90°，CE＝3，
∴CH＝3，EH，
又∵BC＝6，
∴BH＝BC+CH，
∵∠EHB＝90°，
∴tan∠EBC．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及三角函数值的求法，求三角函数值的问题常用的方法是转化为求直角三角形的边的问题．
22．（10分）如图，高压电线杆AB垂直地面，测得电线杆AB的底部A到斜坡C的水平距离AC长为15.2米，落在斜坡上的电线杆的影长CD为5.2米，在D点处测得电线杆顶B的仰角为37°．已知斜坡CD的坡比i＝1：2.4，求该电线杆AB的高．（参考数据：sin37°＝0.6）

【分析】过点D作DE垂直AC的延长线于点E，DF垂直AB于点F，根据斜坡CD的坡比i＝1：2.4，CD＝5.2米，求出CE、DE的长度，然后求出AE和DF的长度，在△BDF中，求出BF的长度，即可求出AB的长度．
【解答】解：过点D作DE垂直AC的延长线于点E，DF垂直AB于点F，
则四边形AEDF为矩形，AF＝DE，AE＝DF，
∵斜坡CD的坡比i＝1：2.4，CD＝5.2米，
∴设DE＝x，CE＝2.4x，
CD2.6x＝5.2米，
解得：x＝2，
则DE＝AF＝2米，CE＝4.8米，
∴AE＝DF＝AC+CE＝15.2+4.8＝20（米），
在△BDF中，
∵∠BDF＝37°，DF＝20米，sin37°＝0.6，
∴cos37°0.8，
∴BF＝DFtan37°＝DF2015（米），
∴AB＝AF+BF＝2+15＝17（米）．
答：该电线杆AB的高为17米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡度和仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度一般．
23．（12分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB上的中点，E是边BC上的点，AE与CD交于点F，且AC2＝CE•CB．
（1）求证：AE⊥CD；
（2）连接BF，如果点E是BC中点，求证：∠EBF＝∠EAB．

【分析】（1）先根据题意得出△ACB∽△ECA，再由直角三角形的性质得出CD＝AD，由∠CAD+∠ABC＝90°可得出∠ACD+∠EAC＝90°，进而可得出∠AFC＝90°；
（2）根据AE⊥CD可得出∠EFC＝90°，∠ACE＝∠EFC，故可得出△ECF∽△EAC，再由点E是BC的中点可知CE＝BE，故，根据∠BEF＝∠AEB得出△BEF∽△AEB，进而可得出结论．
【解答】证明：（1）∵AC2＝CE•CB，
∴．
又∵∠ACB＝∠ECA＝90°
∴△ACB∽△ECA，
∴∠ABC＝∠EAC．
∵点D是AB的中点，
∴CD＝AD，
∴∠ACD＝∠CAD
∵∠CAD+∠ABC＝90°，
∴∠ACD+∠EAC＝90°
∴∠AFC＝90°，
∴AE⊥CD

（2）∵AE⊥CD，
∴∠EFC＝90°，
∴∠ACE＝∠EFC
又∵∠AEC＝∠CEF，
∴△ECF∽△EAC
∴
∵点E是BC的中点，
∴CE＝BE，
∴
∵∠BEF＝∠AEB，
∴△BEF∽△AEB
∴∠EBF＝∠EAB．

【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0）、B（3，0）．C（2，3）三点，且与y轴交于点D．
（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴；
（2）分别联结AD、DC，CB，直线y＝4x+m与线段DC交于点E，当此直线将四边形ABCD的面积平分时，求m的值；
（3）设点F为该抛物线对称轴上的一点，当以点A、B、C、F为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标．

【分析】（1）抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0）、B（3，0）．C（2，3）三点，列方程组可求得．
（2）由梯形的面积公式列方程即可求得m的值．
（3）由以A、B、C、F为顶点的四边形是梯形，分类讨论当CF∥AB时，点F在线段CD上，求得F（1，3），当AF∥BC时，直线BC的解析式为；y＝﹣3x+9，直线AF的解析式为 y＝﹣3x﹣3，求得F（1，﹣6），当CA∥BF时，直线AC的解析式为；y＝x+1，直线BF的解析式为；y＝x﹣3，求得F（1，﹣2）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（2，3）三点，
∴解得：，
∴所求抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，其对称轴是直线x＝1，

（2）由题意，得：D（0，3），
∵DC∥AB，AB＝4，CD＝2，
∵直线y＝4x+m与线段DC交于点E，且将四边形ABCD的面积平分，
∴直线y＝4x+m与边AB相交，设交点为点G，
∴点E的纵坐标是3，点G的纵坐标是0，
∴可求得E（，3），G（，0），
由题意，得：S四边形ABCD＝2S四边形AGED，
∴AB+CD＝2（AG+DE）
∴4+2＝2（1），
解得：m．

（3）当CF∥AB时，点F在线段CD上，
∴F（1，3），
当AF∥BC时，
直线BC的解析式为；y＝﹣3x+9，
∴直线AF的解析式为 y＝﹣3x﹣3，
当x＝1时，y＝﹣6，
∴F（1，﹣6），
当CA∥BF时，
直线AC的解析式为；y＝x+1，
∴直线BF的解析式为；y＝x﹣3，
∴当x＝1时，y＝﹣2，
∴F（1，﹣2）；
综上所述；点F的坐标：（1，3），（1，﹣2），（1，﹣6）．
【点评】此题考查了抛物线解析式的确定、梯形的判定、梯形的面积的求法重要知识点，（3）小题中，都用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．
25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AB＝13，CD∥AB．点E为射线CD上一动点（不与点C重合），联结AE，交边BC于点F，∠BAE的平分线交BC于点G．
（1）当时CE＝3，求S△CEF：S△CAF的值；
（2）设CE＝x，AE＝y，当CG＝2GB时，求y与x之间的函数关系式；
（3）当AC＝5时，联结EG，若△AEG为直角三角形，求BG的长．

【分析】（1）过点C作CH⊥AE于H，根据等高的两个三角形面积之比等于底的比，求出EF：AF即可；
（2）延长AG交射线CD于点K，根据相似三角形对应边成比例求出y与x之间的函数关系式；
（3）分∠AGE＝90°、∠AEG＝90°两种情况进行解答，求出BG的长．
【解答】解：（1）过点C作CH⊥AE于H，

∴，
∵CD∥AB，∴，
∵CE＝3，AB＝13，∴，
∴．
（2）延长AG交射线CD于点K，

∵CD∥AB，
∴∠EKA＝∠KAB，
∵AG平分∠BAE，
∴∠EAK＝∠KAB，
∴∠EKA＝∠EAK，
∴AE＝EK，
∵CE＝x，AE＝y，
∴CK＝CE+EK＝CE+AE＝x+y，
∵CD∥AB，
∴，
∵CG＝2GB，
∴2，
∴，
∴y＝26﹣x．
（3）由题意，得：BC＝12，
①当∠AGE＝90°时，则AG＝GK，
∵CD∥AB，
∴BGBC＝6．
②当∠AEG＝90°时，则△ACF∽△GEF，
∴，∠CFE＝∠AFG，
∴△ECF∽△GAF，
∴∠ECF＝∠FAG，
又∵∠FAG＝∠GAB，∠ECF＝∠B，
∴∠B＝∠GAB，∴GA＝GB，
过点G作GN⊥AB于N，∴BNAB，
∴BGBN．

【点评】本题考查的是相似三角形的综合应用，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，本题可以提高学生综合运用知识的能力、逻辑思维能力．
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