山西省吕梁市孝义市2022-2023学年高二上学期期中数学试题（含答案）

高二年级2022~2023学年期中考试

数 学

全卷满分150分，考试时间120分钟．

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．

4.本卷主要考查内容：必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.若集合，则集合（    ）

A.{－2，2}   B. {0，2，3}   C.{0，2}  D.{2}

2.抛物线的准线方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

3.过点（2，1）的等轴双曲线的标准方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

4.设，为椭圆的两个焦点，直线过交椭圆于A，B两点，则的周长是（    ）

A. 8   B. 16   C. 2  D. 4

5.直线，是分别经过A（2，1），B（0，－3）两点的两条平行直线，当，间的距离最大时，直线的方程是（    ）

A.  B.  C.  D.

6.已知过抛物线C：的焦点F的动直线交抛物线C于A，B两点，Q为线段AB的中点，P为抛物线C上任意一点，若的最小值为6，则p＝（    ）

A. 2   B.3   C. 6   D． 6

7.过圆上的动点作圆C：的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆C内不在任何切点弦上的点形成的区域的周长为（    ）

A.3π   B.  C.  D.4

8.已知双曲线：的右焦点为F（c，0）（c＞0），M是双曲线的左支上的一点，线段MF与圆B：相切于点D，且，则双曲线的逝近线方程为（    ）

A.   B.  C.  D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.已知复数，则（    ）

A.复数z的实部为   B.复数z的虚部为

C.复数z的模为   D.复数z的共轭复数为

10.已知方程表示曲线C，则下列说法正确的是（    ）

A.“”是“曲线C为双曲线”的充分不必要条件

B.“”是“曲线C为椭圆”的充要条件

C.若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则

D.若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则

11. 如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，＝4，且，PD⊥底面ABCD，若点D到平面PAC的距离为，则（    ）

A.       B.

C.四棱锥P－ABCD的体积为4  D.三棱锥P－BCD的外接球的半径为

12.已知函数，函数，则（    ）

A.函数f（x）的值域为（0，＋∞）

B.存在实数m，使花

C.若恒成立，则实数m的取值范围为

D.若函数g（x）恰好有5个零点，则函数g（x）的5个零点之积的取值范围是

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.已知直线：与：垂直，则a＝        ．

14.在平面直角坐标系xOy中，圆：被直线截得的弦长2，则实数a的值为        ．

15.在底面边长为2的正四棱柱中，，则与平面所成角的正弦值为        ．

16.已知椭圆C的左、右焦点分别为，，点P，Q分别是以线段为直径的圆与椭圆C在第一象限内和第三象限内的一个交点，若，则椭圆C的离心率的取值范围为        ．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

17.（本小题满分10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．

（1）求A；

（2）若△ABC的面积为，BC边上的高为，求b，c．

18.（本小题满分12分）已知抛物线：经过点P（a，a）（a为正数），F为抛物线的焦点，且．

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）若点Q为抛物线C上一动点，点M为线段FQ的中点，求点M的轨迹方程．

19.（本小题满分12分）如图，在正三棱柱中，底面边长为，D为BC的中点，点E在棱上，且．

（1）证明：⊥平面ADE；

（2）求平面ADE与平面的夹角的大小．

20.（本小题满分12分）已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，点（，）在椭圆上．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点作斜率为的直线与椭圆C相交于A，B两点，过原点O作直线AB的垂线，垂足为D．若点D恰好是与A的中点，求线段AB的长度．

21.（本小题满分12分）已知圆T过点A（1，3），B（3，1），C（2，）．P是圆T外的一点，过点P的直线l交圆T于M，N两点．

（1）求圆T的方程；

（2）若点P的坐标为（0，－4），探究：无论直线l的位置如何变化，|PM|·|PN|是否恒为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；

（3）已知圆T与圆W：相交，求实数a的取值范围．

22.（本小题满分12分）已知双曲线C：的一条渐近线的倾斜角为，右焦点F到其中一条渐近线的距离为1．

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0，直线l与双曲线C交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为，若，F，N三点共线，证明：直线l经过x轴上的一个定点．

高二年级2022~2023学年期中考试·数学

参考答案、提示及评分细则

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.【答案】C

【解析】由，解得，所以集合，所以．故选C．

2.【答案】D

【解析】抛物线的标准方程为，可知，所求准线方程为．故选D．

3.【答案】A

【解析】设双曲线的方程为代入点（2，1）的坐标，有·故所求双曲线的方程为标准方程为．故选A．

4.【答案】B

【解析】由椭圆的定义可知，则的周长为，故选B．

5.【答案】A

【解析】由题意可得，间的距离最大时，AB和这两条直线都垂直．

由于AB的斜率为，故直线的斜率为－．

故它的方程是，化简为，故选A．

6.【答案】C

【解析】抛物线C：的焦点，准线，

过点Q作准线的垂线，垂足为D，交抛物线C于点P，连接PF，如图，

于是，在抛物线C上任取点，过作准线的垂线，垂足为，连接，

则有，当且仅当点与点P重合且为O时取等号，

所以的最小值为p＝6，故选C．

7.【答案】B

【解析】设圆的动点为P（m，n），过点P作圆C的切线，切点分别为A，B，则过点P，A，B的圆是以PO直径的圆，该圆的方程为

由可得AB的直线方程为．

原点到直线的距离为，

故圆C不在任何切点弦上的点形成的区域的周长为π，故选B．

8.【答案】D

【解析】设双曲线的左焦点为，画图有

由，可知，又由，可知，有，在中，得故双曲线的渐近线方程为，故选D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分

9.【答案】ACD

【解析】复数，故z的实部为，虚部为，．故选ACD．

10.【答案】AD

【解析】对于A选项，若方程表示的曲线为双曲线，则，解得或，故“”是“方程表示的曲线为双曲线”的充分不必要条件，故选A正确；

对于B选项，若曲线C表示为椭圆，则，可得且，故选项B错误；

对于C选项，若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，，可得，故选C错误；

对于D选项，若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，可得，故选项D正确，故选AD．

11.【答案】BCD

【解析】因为底面ABCD是平行四边形，AB＝4，AD＝2，且，，所以，以D为坐标原点，以的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设，则．

设）是平面PAC的法向量，

因为，

则，令，得．、

设点D到平面PAC的距离为d，因为

所以，解得．故B选项正确，A选项错误，

四棱锥P－ABCD的体积为，故C选项正确；

取PC的中点O，易知O为三棱锥的外接球的球心，可知R＝，故D选项正确．故选BCD．

12.【答案】BD

【解析】对于A选项，画出函数的大致图象，如图所示，可知函数f（x）的值域为，故选项A错误；

对于B选项，若时，若，有，函数和的图象有交点，故选项B正确；

对于C选项，令，由，设，

①当≤0时，得，舍去；

②当时，，可得，故选项C错误；

对于D选项．∵函数恰好有5个不同的零点，∴方程（有5个根，可得，有或，不妨设，可知，可得，故．故选项D正确，故选BD．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.【答案】－3

【解析】由，可得．

14.【答案】±

【解析】因为，所以圆心O到直线的距离，所以，解得．

15.【答案】

【解析】以A为坐标原点，分别以AB，AD，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

因为棱柱为正四棱柱，，

则，

其中平面的法向量为，

设与平面所成角为，

则＝

16.【答案】

【解析】设，由点P在第一象限，知，

因为P，Q在椭圆C和以为直径的圆上，

所以四边形为矩形，，

由，可得，

由椭圆的定义可得①

平方相减可得②

由①②得．

令，令，

所以，即，

所以，

所以，

所以，解得．

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

17.【答案】（1） （2）或

【解析】（1）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

由正弦定理得．．．．．．．．．．．．．．3分

又，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

所以．．．．．．．．．．．5分

（2）由，可得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

又由，可得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

又由余弦定理有，可得．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

有．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

联立方程解得或

或或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

18.【答案】（1）  （2）

【解析】（1）由抛物线经过点P（a，a），可得，可得．．．2分

又，可得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

解得

故抛物线C的标准方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）由（1）知，则，

设．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

根据点M为线段FQ的中点，

可得即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

由点Q为抛物线C上一动点，可得

整理可得点M的轨速方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

19.【答案】（1）略   （2）

【解析】（1）证明：在矩形中，BC＝2，，D为BC的中点．

所以，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

因为△ABC是正三角形，D为BC的中点，

所以，又因为是正三棱柱，所以⊥平面ABC

而AD平面ABC，所以，而平面，

所以⊥平面，因为平面，所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

因为平面ADE，，

所以平面ADE；．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）如图，以的中点为坐标原点建立空间直角坐标系，

则，．．．．．．．．．．．．．．．7分

则，由（1）知为平面ADE的一个法向量．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

有，

设为平面的法向量，则

令，则，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

所以．．．．．．．．．．．．．11分

所以平面ADE与平面的夹角大小为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

20.【答案】（1）   （2）

【解析】（1）设椭圆C的焦距为2c，

因为，所以．．．．．．．．．．．．．．1分

所以，有，可得椭圆C的方程为．．．．．．．．．．．．．3分

代入点，有，可得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

所以椭圆C的标准方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）设，

由椭圆的对称性，不妨设k＞0，

由，D为的中点，可得，

又由，若E为椭圆C的上顶点，有|OE|＝2，故点A，E重点，直线AB的方程为．．．．．．9分

由，得，

所以，

所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

21.【答案】（1）   （2）无论l的位置如何变化，，为定值

（3）

【解析】（1）设圆T的一般方程为，．．．．．．．．．．．．．．1分

代入A，B，C三点的坐标有．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

解得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

故圆T的方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）①当直线轴时，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

②当直线l有斜率时，设其方程为，

联立直线与圆的方程消元得，

设，则，有或．．…7分

由于点P在圆外，所以，

因此，

综上，无论l的位置如何变化为定值．．．．．．．．．．．．．．8分

（3）由W：，可知，

．．．．．．．．．．．．9分

由圆T，W相交，有．．．．．．．．．．．．10分

①当时，不等式（*）可化为，解得；

②当时，不等式（*）可化为，解得，

由上知实数a的取值范围为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

22.【答案】（1）   （2）略

【解析】（1）设右焦点F的坐标为（c，0），

双曲线C的渐近线方程为，右焦点F到其中一条渐近线的距离为，可得

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

又由，可得，有，

故双曲线C的标准方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）证明：由（1）知，双曲线C的方程为C：，右焦点F（2，0），

因直线l与x轴不垂直且斜率不为0，设直线l与x轴交于点（t，0），直线l的方程为，

设，则，

由，消去y并整理得．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

显然有且，化简得且，

则．．．．．．．．．．．．．6分

，

而三点共线，即，，

因此，又，有，

整理得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

于是得，化简得

即直线l：过定点（，0）

所以直线l经过x轴上的一个定点（．0）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分