山西省吕梁市孝义市2023届高三上学期期末模拟数学试题(含答案)

这是一份山西省吕梁市孝义市2023届高三上学期期末模拟数学试题(含答案)，共22页。试卷主要包含了 设，若函数在区间， 设，则“”是“”的，， 已知函，则f， 已知随机变量满足，若，则等内容，欢迎下载使用。

2022-2023 学年高三上数学期末模拟试卷
注意事项
1. 考生要认真填写考场号和座位序号。
2. 试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3. 考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足，且当时，，则方程的最小实根的值为（　　）
A． 168 B． 249 C． 411 D． 561
2. 若[x]表示不超过x的最大整数（如），已知，则=（　　）
A． 2 B． 5 C． 7 D． 8
3. 在长方体ABCD-中，，，则直线与平面所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
4. 设，若函数在区间（0，e2）上有三个零点，则实数a的取值范围是（　　）
A． （0，） B． （，） C． （，） D． （，）
5. 设，则“”是“”的，
A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
6. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）

A． 2 B． 4 C． D．
7. 下列函数中，值域为R且为奇函数的是（　　）
A． B． C． D．
8. 如图，平面四边形ACBD中，，，现将△ABD沿AB翻折，使点D移动至点P，且，则三棱锥的外接球的表面积为（　　）

A． 8π B． 6π C． 4π D．π
9. 已知函，则f（x）的最小值为（　　）
A． B． 1 C． 0 D．
10. 已知随机变量满足，若，则（　　）
A． B．
C． D．
11. 已知函数，其中，记函数f（x）满足条件：为事件A，则事件A发生的概率为
A． B．
C． D．
12. 将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（　　）
A． （，0） B． （，-1） C． （，0） D． （，-1）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“”表示一根阳线，“”表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为___________。

14. 设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则双曲线C的离心率为___________。
15. 已知椭圆C的离心率是，若以N（0，2）为圆心且与椭圆C有公共点的圆的最大半径为，此时椭圆C的方程是___________。
16. 已知函数，若对于任意正实数，，，均存在以f（x1），f（x2），f（x3）为三边边长的三角形，则实数k的取值范围是___________。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（12分）如图，在直三棱柱中，D、E、F、G分别是BC，B1C1，AA1，中点，且，。

（1）求证：BC⊥平面ADE；
（2）求点D到平面EFG的距离。
18.（12分）已知函数，且曲线处的切线方程为。
（1）求f（x）的极值点与极值。
（2）当时，证明：。
19.（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为。
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设点M的极坐标为（1），直线l与曲线C的交点为A，B，求的值。
20.（12分）如图，在棱长为2的正方形ABCD中，E，F分别为CD，BC边上的中点，现以EF为折痕将点C旋转至点P的位置，使得为直二面角。

（1） 证明：；
（2）求PD与面ABF所成角的正弦值。
21.（12分）已知函数
（I）若，求曲线在（1，f（1））处的切线方程；
（II）当时，要使恒成立，求实数m的取值范围。
22.（10分）在中，A、B、C的对应边分别为a、b、c，已知
（1）求A；
（2）设M为BC中点，求AM的长。



















参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
先确定解析式求出f（2019）的函数值，然后判断出方程的最小实根的范围结合此时的，通过计算即可得到答案。
【详解】
当时，，所以，故当时，，所以，而，所以，又当时，f（x）的极大值为1，所以当时，f（x）的极大值为3n，设方程fx=168的最小实根为t，则，即，此时令，得，所以最小实根为411.故选：C．
【点睛】
本题考查函数与方程的根的最小值问题，涉及函数极大值、函数解析式的求法等知识，本题有一定的难度及高度，是一道有较好区分度的压轴选这题。
2、B
【解析】
求出，，，，，，判断出}是一个以周期为6的周期数列，求出即可。
【详解】
解：
∴

同理可得：
∴
故}是一个以周期为6的周期数列，
则
故选：B．
【点睛】
本题考查周期数列的判断和取整函数的应用。
3、C
【解析】
在长方体中，得与平面交于，过D做于O，可证DO⊥平面，可得为所求解的角，解，即可求出结论。
【详解】
在长方体中，平面即为平面，
过D做于O，∵AB⊥平面，
DO⊂平面，∴，
∴DO⊥平面，∴为与平面所成角，
在∴
∴
∴直线与平面所成角的余弦值为。
故选：C．

【点睛】
本题考查直线与平面所成的角，定义法求空间角要体现“做”“证”“算”，三步骤缺一不可，属于基础题。
4、D
【解析】
令gx=fx-ax=0，可得
在坐标系内画出函数的图象（如图所示）。

当时，，由得y'=1x。
设过原点的直线与函数的图象切于点，
则有，解得
所以当直线与函数的图象切时
又当直线经过点B（e2，2）时，有2=a⋅e2，解得
结合图象可得当直线与函数的图象有3个交点时，实数a的取值范围是（，）。即函数gx=fx-ax在区间（0，e2）上有三个零点时，实数a的取值范围是（，），选D.
点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解。
5、A
【解析】
根据对数的运算分别从充分性和必要性去证明即可。
【详解】
若，，则a>log32b，可得a>log3b，
若，可得，无法得到，
所以“”是 “”的充分而不必要条件。
所以本题答案为A．
【点睛】
本题考查充要条件的定义，判断充要条件的方法是：
① 若为真命题且为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
② 若为假命题且为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③ 若为真命题且为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④ 若假命题且为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件。
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系。
6、A
【解析】
根据三视图可得几何体为直三棱柱，根据三视图中的数据直接利用公式可求体积。
【详解】
由三视图可知几何体为直三棱柱，直观图如图所示

其中，底面为直角三角形，，，高为
∴该几何体的体积为V=12×2×3×2=23
故选：A．
【点睛】
本题考查三视图及棱柱的体积，属于基础题。
7、C
【解析】
依次判断函数的值域和奇偶性得到答案
【详解】
A．，值域为R，非奇非偶函数，排除；
B．，值域为[-1，1]，奇函数，排除；
C．，值域为R，奇函数，满足；
D．，值域为（0，+∞），非奇非偶函数，排除；
故选：C．
点睛】
本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用。
8、C
【解析】
由题意可得PA⊥面ABC，可知，因为，则BC⊥面PAB，于是。由此推出三棱锥外接球球心是PC的中点，进而算出，外接球半径为1，得出结果。
【详解】
解：由，翻折后得到，又，
则PA⊥面ABC，可知。
又因为，则BC⊥面PAB，于是，
因此三棱锥外接球球心是PC的中点。
计算可知，则外接球半径为1，从而外接球表面积为4π。

故选：C．
【点睛】
本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识，属于中档题。
9、B
【解析】
fx=2sin2x+π4+2，x∈-π4π4，-π4≤2x+π4≤3π4利用整体换元法求最小值。
【详解】
由已知，fx=1+2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+2=2sin2x+π4+2，
又，∴-π4≤2x+π4≤3π4，故当2x+π4=-π4，即x=-π4时，fxmin=1。
故选：B．
【点睛】
本题考查整体换元法求正弦型函数的最值，涉及到二倍角公式的应用，是一道中档题。
10、B
【解析】

根据二项分布的性质可得：，再根据和二次函数的性质求解。
【详解】
因为随机变量ξi满足
所以服从二项分布，
由二项分布的性质可得：
因为，
所以
由二次函数的性质可得：fx=x1-x，在[，1]上单调递减，
所以
故选：B
【点睛】
本题主要考查二项分布的性质及二次函数的性质的应用，还考查了理解辨析的能力，属于中档题。
11、D
【解析】
由得4+2b+c≤124-2b+c≤4，分别以b，c为横纵坐标建立如图所示平面直角坐标系，由图可知，。

12、D
【解析】
先化简函数解析式，再根据函数的图象变换规律，可得所求函数的解析式为y=2sin23x-π4-1，再由正弦函数的对称性得解。
【详解】
∵y=3sin2x-2cos2x
=3sin2x-1+cos2x=2sin2x-π6-1，
∴将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，所得函数的解析式为
y=2sin23x-π6-1
再向右平移一个单位长度，所得函数的解析式为
y=2sin23x-π8-π6-1
=2sin23x-π4-1
23x-π4=kπ⇒x=32kπ+3π8，k∈Z，
可得函数图象的一个对称中心为（，-1），故选D．
【点睛】
三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实。三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
观察八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线或全为阴线各一个，还有6个是1阴2阳和1阳2阴各3个。抽取的两卦中共2阳4阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦2阳1阴，或两卦全是1阳2阴。
【详解】
八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线的一个，全为阴线的一个，1阴2阳的3个，1阳2阴的3个。抽取的两卦中共2阳4阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦2阳1阴，或两卦全是1阳2阴。
∴从8个卦中任取2卦，共有种可能，两卦中共2阳4阴的情况有，所求概率为P=628=314。故答案为：。
【点睛】
本题考查古典概型，解题关键是确定基本事件的个数。本题不能受八卦影响，我们关心的是八卦中阴线和阳线的条数，这样才能正确地确定基本事件的个数。
14、
【解析】
不妨设双曲线，焦点F（-c，0），令，由|AB|的长为实轴的二倍能够推导出C的离心率。
【详解】
不妨设双曲线，
焦点F（-c，0），对称轴，
由题设知，
因为|AB|的长为实轴的二倍，
∴
，
∴，故答案为。
【点睛】
本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题。求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系。求离心率问题应先将e用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e的等式，从而求出e的值。
15、
【解析】
根据题意设P（x0，）为椭圆上任意一点，表达出|PN{，再根据二次函数的对称轴与求解的关系分析最值求解即可。
【详解】
因为椭圆的离心率是，，所以，故椭圆方程为
因为以N（0，2）为圆心且与椭圆C有公共点的圆的最大半径为，所以椭圆C上的点到点N（0，2）的距离的最大值为
设P（，）为椭圆上任意一点，则。
所以

因为的对称轴为。
（i）当时，f（）在[-b，-2]上单调递增，在[-2，b]上单调递减。
此时，解得b2=9.
（ii）当时，f（）在[-b，b]上单调递减。
此时，解得b=26-2>2舍去。
综上，椭圆方程为。
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了椭圆上的点到定点的距离最值问题，需要根据题意设椭圆上的点，再求出距离，根据二次函数的对称轴与区间的关系分析最值的取值点分类讨论求解。属于中档题。
16、[，4]
【解析】
根据三角形三边关系可知对任意的，，恒成立，将f（x）的解析式用分离常数法变形，由均值不等式可得分母的取值范围，则整个式子的取值范围由的符号决定，故分为三类讨论，根据函数的单调性求出函数值域，再讨论k，转化为的最小值与f（）的最大值的不等式，进而求出k的取值范围。
【详解】
因为对任意正实数，，，都存在以f（x1），f（x2），f（）为三边长的三角形，
故对任意的，，恒成立，
，令，
则y=1+k-1tt≥3，
当，即时，该函数在[3，+∞）上单调递减，则y∈1k+23；
当，即时，y∈1
当k-1<0，即时，该函数在[3，+∞）上单调递增，则y∈k+23，1）,
所以，当时，因为,
所以k+23≤2，解得1 当时，，满足条件；
当时，，且,
所以2k+43≥1，解得-12≤k<1，
综上，-12≤k≤4
故答案为：[，4]
【点睛】
本题考查参数范围，考查三角形的构成条件，考查利用函数单调性求函数值域，考查分类讨论思想与转化思想。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）详见解析；（2）。【解析】
（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明V
（2）取DE中点为H，则，证得FH⊥平面，利用等体积法VD-EFG=VF-DEG求解即可。
【详解】
（1） 因为AB=AC=22，BC=4，
∴，∵D是BC的中点，∴
∵为直三棱柱，所以平面ABC，
因为D，E为BC，中点，所以
∴DE⊥平面ABC，∴，又，
∴BC⊥平面ADE
（2）∵AB=AC=22，BC=4，
又E，F，G分别是，AA1，中点，
∴EF=FG=EG=22
由（1）知，
又∴AD⊥平面，


取DE中点为H，连接DG如图，
则，∴FH⊥平面BCC1B1，
设点D到平面EFG的距离为h，
由VD-EFG=VF-DEG，得13⋅h⋅SΔEFG=13⋅FH⋅SDEG
即13⋅h×34222=13×2×12×22×22，解得h=433
∴点D到平面EFG的距离为。
【点睛】
本题考查线面垂直的判定定理和性质定理、等体积法求点到面的距离；考查逻辑推理能力和运算求解能力；熟练掌握线面垂直的判定定理和性质定理是求解本题的关键；属于中档题。
18、（1）极小值点为，极小值为0，无极大值；（2）证明见解析
【解析】
（1）先对函数求导，结合已知及导数的几何意义可求a，结合单调性即可求解函数的极值点及极值；（2）令，问题可转化为求解函数的最值，结合导数可求。
【详解】
（1）由题得函数的定义域为（-1，+∞）
f'x=2ax+1x+1-ax2-x1+x2-11+x=xax+2a-11+x2
f'1=3a-14，由已知得，解得
∴fx=x2+xx+1-lnx+1=x-lnx+1，f'x=1-1x+1=xx+1
令，得
令，得，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增。
令，得∴f（x）在（-1，0）上单调递减
∴f（x）的极小值点为，极小值为0，无极大值。
（2）证明：由（1）知，∴
令
即gx=kx2-x+lnx+1
g'x=2kx-1+1x+1=x2kx+1-1x+1=2kxx+2k-12kx+1
∵，∴g'x=2kxx+2k-12kx+1≥0恒成立。
∴gx=kx2-x+lnx+1上单调递增
又，∴gx≥g0=0在0，+∞）上恒成立
∴在[0，+∞）上恒成立
∴kx2≥x-lnx+1，即x-lnx+1≤kx2
∴
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的极值问题，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题。
19、（1）（2）
【解析】
（1）由公式可化极坐标方程为直角坐标方程；
（2）把M点极坐标化为直角坐标，直线l的参数方程是过定点M的标准形式，因此直接把参数方程代入曲线C的方程，利用参数t的几何意义求解。
【详解】
解：（1）C：ρ=2cosθ，则，∴，
所以曲线C的直角坐标方程为，即
（2）点M（1，）的直角坐标为M（0，1），易。设A，B对应参数分别为
将与C：联立得


【点睛】
本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程，解题时可利用利用参数方程的几何意义求直线上两点间距离问题。
20、（1）证明见详解；（2）
【解析】
（1）在折叠前的正方形ABCD中，作出对角线AC，BD，由正方形性质知，又，则点H，则由直二面角可知PH⊥面ABEFD，故。又，则EF⊥面PAH，故命题得证；
（2）作出线面角∠PDH，在直角三角形中求解该角的正弦值。
【详解】
解：（1）证明：在正方形ABCD中，连结AC交EF于H。
因为AC⊥BD，EF//BD，故可得，
即
又旋转不改变上述垂直关系，
且AH，CH⊂平面PAH，
∴EF⊥面PAH，
又∵PA⊂面PAH，所以

（2）因为为直二面角，故平面PEF⊥平面AEF，
又其交线为EF，且，PH⊂平面PEF，
故可得PH⊥底面ABF，
连结DH，则∠PDH即为PD与面ABF所成角，连结BD交AH于O，

在Rt△ODH中，

在Rt△PHD中


所以PD与面ABF所成角的正弦值为。
【点睛】
本题考查了线面垂直的证明与性质，利用定义求线面角，属于中档题。
21、（I）y=2x-32 II12e1
（II）【解析】
（I）求函数的导函数，即可求得切线的斜率，则切线方程得解；
（II）构造函数y=fx-xlnx，对参数分类讨论，求得函数的单调性，以及最值，即可容易求得参数范围。
【详解】
（I）当时，，则f'x=2xlnx+12+x
所以
又，故所求切线方程为y-12=2x-1，即y=2x-32。
（II）依题意，得mx2lnx+12>xlnx
即mx2lnx+12-xlnx>0恒成立。
令gx=mx2lnx+12-xlnx
则g'x=2mx-1lnx+1
①当时，因为g1=12m≤0，不合题意。
②当时，令，
得，显然12m>1e
令，得或x>12m；令，得
所以函数g（x）的单调递增区间是01e，12m+∞，单调递减区间是（，）。
当x∈01e时，
所以
只需g12m=-14mln12m+18m>0，所以m>12e
所以实数m的取值范围为
【点睛】
本题考查利用导数的几何意义求切线方程，以及利用导数研究恒成立问题，属综合中档题
22、（1）；（2）。
【解析】
（1） 直接根据特殊角的三角函数值求出C，结合正弦定理求出A；
（2）结合第一问的结论以及余弦定理即可求解。
【详解】
解：（1）∵，且，∴，由正弦定理csinA=asinA
2sinA=23sin120∘，∴sinA=12，
∵
∴A锐角，∴
（2）∵，
∴∴b=a=2

∴在△AMC中，由余弦定理得
=1+4-2×2×1×-12=7.
∴
【点睛】
本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用。考查了学生对三角函数基础知识的综合运用。