江苏省苏州市姑苏区振华中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷（含答案）

2022-2023学年江苏省苏州市姑苏区振华中学九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.     在直角三角形中，若各边都扩大为原来的2倍，则其锐角的三角函数值(    )

A. 都扩大为原来的2倍 B. 都缩小为原来的一半
C. 都没有变化 D. 不能确定

2.     已知的半径为5cm，点P到圆心O的距离为4cm，则点P和圆的位置关系(    )

A. 点在圆内 B. 点在圆外 C. 点在圆上 D. 无法判断

3.     如图，某飞机于空中A处探测到正下方的地面目标C，此时飞机高度AC为1200米，从飞机上看地面控制点B的俯角为，则B、C之间的距离为(    )

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

4.     如图，线段AB是的直径，弦CD丄AB，，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

5.     过三点，，的圆的圆心坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

6.     在中，，则一定是(    )

A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形

7.     某数学研究性学习小组制作了如图的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．图中所示的图尺可读出的值是(    )

A.  B.  C.  D.

8.     如图，点1为的内切圆的圆心，连接AI并延长交的外接圆于点D，连接已知，，则AI的长为(    )

A. 1
B.
C. 2
D.

9.     如图，中，，BD、AC相交于点D，，，，则的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图所示，在中，，，，点O为BC上的点，的半径，点D是AB边上的动点，过点D作的一条切线点E为切点，则线段DE的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

11. 已知在中，，，则的值为______.
12. 若圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积是______结果保留
13. 如图，某地新建一座石拱桥，桥拱是圆弧形，它的跨度AB为40m，拱高CD为8m，则桥拱所在圆的半径长为______

14. 如图所示，一水库迎水坡AB的坡度：3，则求坡角的正弦值______ .

15. 如图所示，已知四边形ABDC是圆内接四边形，连接OB、OC，延长BD到点E，，则______.

16. 已知一个正六边形内接于，如果的半径为4cm，那么这个正六边形的面积为______
17. 在中，若，，，则的面积是______.
18. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，，点P在以为圆心，2为半径的圆上运动，且始终满足，则t的最小值是______.

三、解答题（本大题共9小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 计算：
    ；
     
20. 如图，中，弦AB与CD相交于点E，，连接AD，求证：
    ；
     

21. 如图，点C在以AB为直径的半圆上，以B为圆心，以BC的长为半径画圆弧交AB于点
    求的度数；
    若，求阴影部分的面积．

22. 如图，PA、PB是的两条切线，切点分别为A、B，OP交于点D，与AB相交于点
    直接写出图中所有的全等三角形；
    已知，，求半径OA的长．

23. 如图，小岛A在港口P的南偏西方向，距离港口81海里处．甲船从A出发，沿AP方向以9海里/时的速度驶向港口，乙船从港口P出发，沿南偏东方向，以18海里/时的速度驶离港口，现两船同时出发．
    出发后几小时两船与港口P的距离相等；
    出发后几小时乙船在甲船的正东方向？结果精确到小时参考数据：，

24. 小华同学学习了《解直角三角形》后，对求三角形的面积方法进行了研究，得到了新的结论．
    
    如图1，已知锐角求证：
    根据题得到的信息，请完成下题：如图2，在等腰中，，点P从A点出发，沿着边AB移动，点Q从C点出发，沿着边CA移动，点Q的速度是，点P的速度是点Q速度的2倍，若它们同时出发，设移动时间为当t为何值时，？
25. 图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为时，箱盖ADE落在的位置如图2所示已知厘米，厘米，厘米．
    求点到BC的距离；
    求E、两点的距离．
     
26. 如图，AB是的直径，AC是弦，点E在圆外，于D，BE交于点F，连接BD，BC，CF，
    求证：AE是的切线；
    求证：∽；
    设的面积为，的面积为，若，求的值．

27. 对于平面上两点A，B，给出如下定义：以点A或B为圆心，AB长为半径的圆称为点A，B的“确定圆”．如图为点A，B的“确定圆”的示意图．
    已知点A的坐标为，点B的坐标为，则点A，B的“确定圆”的面积为______；
    已知点A的坐标为，若直线上只存在一个点B，使得点A，B的“确定圆”的面积为，求点B的坐标；
    已知点A在以为圆心，以1为半径的圆上，点B在直线上，若要使所有点A，B的“确定圆”的面积都不小于，直接写出m的取值范围．

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：根据锐角三角函数的概念，知
如果各边都扩大原来的2倍，则其锐角的三角函数值不变．
故选：
2.【答案】A 

【解析】解：的半径为5cm，点P到圆心O的距离为4cm，，
点P在圆内．
故选：
3.【答案】A 

【解析】解：根据题意可得：米，，
，
米
故选：
4.【答案】B 

【解析】解：线段AB是的直径，弦CD丄AB，
，

故选
5.【答案】B 

【解析】解：如图，

，，，
是直角三角形，
的中点O的坐标为，
过三点，，的圆的圆心坐标为，
故选：
6.【答案】D 

【解析】解：由，，得
，
解得，，
，，
则一定是等腰直角三角形，
故选：
7.【答案】A 

【解析】解：如图，把刻度尺与圆的另一个交点记作D，连接

是直径，
，
，，
，
由刻度尺可知，，

故选：
8.【答案】C 

【解析】解：如图，连接BI，

是的内心，
，；
，，且，
，
，

故选：
9.【答案】D 

【解析】解：过点C作，交BD的延长线于点E，如图，

，

，

，，

∽

，



在中，
，




故选：
10.【答案】A 

【解析】解：连接OE、OD，过点O作于，
是的切线，
，
在中，，
则当OD最小时，DE最小，
由垂线段最短可知，当时，最小，
，，
∽，
，即，
解得：，
的最小值，
故选：
11.【答案】 

【解析】解：在中，，，

假设，，


故答案为：  

12.【答案】 

【解析】解：根据圆锥的侧面积公式：，故答案为：
13.【答案】29 

【解析】解：，，

在中，，
，
，即桥拱所在圆的半径长为
故答案为：
 

14.【答案】 

【解析】解：过A作于C，

的坡度：3，
，
设，，
根据勾股定理可得：，
则
故答案为：
15.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故答案为：
16.【答案】 

【解析】解：正六边形的半径等于边长，
正六边形的边长；
正六边形的面积
故答案为：
17.【答案】75或25 

【解析】解：过点A作，垂足为D，如图所示．

在中，，；
在中，，，
，
或，
或
故答案为75或  

18.【答案】 

【解析】解：如图，连接AP，

点，点，，
，，
，
，
，
要t最小，就是点A到上的一点的距离最小，
点P在AD上，
，，
，
的最小值是，
故答案为：
19.【答案】解：原式

；
原式

 

20.【答案】证明：，
弧弧CD，
弧弧弧弧AC，
弧弧BC，
；
，，，
≌，
 

21.【答案】解：为半圆的直径，
，
，
；
，
阴影部分的面积 

22.【答案】解：、PB是的两条切线，A、B为切点且直线OP交于点D、E，交AB于C，
，
又，，
≌，

又，，
≌，

又，，
≌
综上，所有的全等三角形为≌，≌，≌
设，
则在中，，，，
由勾股定理得，，
即，
解方程得，
故半径OA的长为 

23.【答案】解：设出发后x小时两船与港口P的距离相等．
根据题意得
解这个方程得
答：出发后3小时两船与港口P的距离相等．

设出发后y小时乙船在甲船的正东方向，
此时甲、乙两船的位置分别在点C，D处．
连接CD，过点P作，垂足为
则点E在点P的正南方向．
在中，，

在中，，



解得
答：出发后约小时乙船在甲船的正东方向． 

24.【答案】证明：如图所示，过点C作于点D，

则，
，
，
；
解：设移动时间为t秒，则，，，
由得：
，
当时，，
整理得出：，
，
解得：，不合题意舍去，
当秒时， 

25.【答案】解：过点作，垂足为点H，交AD于点F，如图3所示．
由题意，得：厘米，
四边形ABCD是矩形，
，

在中，厘米．
又厘米，厘米，
厘米，
厘米．
答：点到BC的距离为厘米．
连接AE，，，如图4所示．
由题意，得：，，
是等边三角形，

四边形ABCD是矩形，

在中，厘米，厘米，
厘米，
厘米．
答：E、两点的距离是厘米． 

26.【答案】解：，
是的直径，
，
，
于D，
，
，
，
是的直径，
是的切线；
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
又，
∽；
是的直径，
，
于D，
，
，
在直角三角形BCD中，，
设，，
，
∽，
，
，
，
，
，
∽，
，
是AB的中点，
，
 

27.【答案】
直线上只存在一个点B，使得点A，B的“确定圆”的面积
为，
的半径且直线与相切于点B，如图，
，
，
①当时，则点B在第二象限．
过点B作轴于点E，
在中，，，


②当时，则点在第四象限．
同理可得
综上所述，点B的坐标为或
如图2，
，
直线当时，，即
，
，

P到直线的距离最小是，

，，
，，
当或时，PD的距离大于或等于4，点A，B的“确定圆”的面积都不小于
点A，B的“确定圆”的面积都不小于，m的范围是或