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2022-2023学年江苏省苏州市姑苏区振华中学八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年江苏省苏州市姑苏区振华中学八年级（下）期末数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省苏州市姑苏区振华中学八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 若二次根式 x−5有意义，则x的取值范围是( )
A. x≥5 B. x>5 C. x≤5 D. x<5
3. 若把分式2x+y3x+y中的x和y都扩大10倍，那么分式的值( )
A. 扩大10倍 B. 不变 C. 缩小10倍 D. 缩小100倍
4. 为了了解全校六年级500名学生的身高情况，李老师从中抽查了80名学生的身高情况、针对这个问题，下面说法正确的是( )
A. 500名学生是总体 B. 每名学生是个体
C. 80名学生是所抽取的一个样本 D. 这个样本容量是80
5. 将方程x2+4x+1=0配方后，原方程变形为( )
A. (x+4)2=3 B. (x+2)2=−3 C. (x+2)2=3 D. (x+2)2=−5
6. 如图，在平面直角坐标系中▱OABC的顶点O，A，B的坐标分别是(0,0)，(5,0)，(2,3)，则点C的坐标是( )
A. (−2,2)
B. (−2,3)
C. (−3,3)
D. (−3,2)
7. 在平行四边形ABCD中，如果点CM=2DM，AM与BD相交于点N，那么△DMN与平行四边形ABCD的面积之比为( )
A. 1：24 B. 1：15 C. 1：12 D. 1：9
8. 如图，矩形ABCD中，点A在双曲线y=−8x上，点B，C在x轴上，延长CD至点E，使CD=2DE，连接BE交y轴于点F，连接CF，则△BFC的面积为( )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 当x=______时，分式x−1x的值为0．
10. 在比例尺为1：20000的地图上，A、B两地的距离为2.5cm，则实际距离为______m.
11. 抛掷一枚质地均匀的骰子(骰子六个面上分别标以1，2，3，4，5，6六个点数)，则骰子面朝上的点数大于4的可能性大小是______．
12. 鹦鹉螺是一类古老的软体动物.鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工.如图，P是AB的黄金分割点(AP>BP)，若线段AB的长为8cm，则BP的长为______ cm.(结果保留根号)
13. 若关于x的分式方程2xx−3−1=m3−x有增根，则m的值为______．
14. 若关于x的一元二次方程kx2+2x−1=0有两个实数根，则实数k的取值范围是______ ．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为斜边AC的中点，连接BD，过点D作DE//BC交AB于点E，若AB=DE=2，则BD的长为______ ．
16. 如图，矩形ABCD中，AD= 2AB，点E在BC边上，且AE=AD，DF⊥AE于点F，连接DE，BF，BF的延长线交DE于点O，交CD于点G，则S△BCGS△DFG= ______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）
17. 化简求值：(3a−1+a+3)÷a2+4a+4a−1，其中a=2．
四、解答题（本大题共10小题，共63.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题4.0分)
计算： 6÷ 2− 24× 12．
19. (本小题4.0分)
解方程：1x−1=21−x+1．
20. (本小题8.0分)
(1)解方程：2x2−1=7；
(2)解一元二次方程：x2−x−7=0．
21. (本小题6.0分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(−2,1)，B(−1,4)，C(−3,2)．
(1)画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
(2)以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出C2点的坐标．
22. (本小题6.0分)
某校社团活动开设的体育选修课有：篮球(A)，足球(B)，排球(C)，羽毛球(D)，乒乓球(E)，每个学生必选且只能选修其中的一种，学校对某班全班同学的选课人数情况进行调查统计后制成了如图所示的两个不完整的统计图．
(1)请你求出该班的总人数，并补全条形统计图；
(2)求在扇形统计图中(E)项球类所对应的圆心角度数；
(3)若该校共有1000名学生，请估计该校选修篮球(A)的学生约有多少人？
23. (本小题6.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE，EF与CD相交于点G．
(1)求证：△DFG∽△CEG；
(2)若DGCG=23，BE=4，求CE的长．
24. (本小题6.0分)
如图，一次函数y1=mx+n(m≠0)的图象与反比例函数y2=kx(k≠0)的图象交于A(a,−1)，B(−1,3)两点，且一次函数y1的图象交x轴于点C，交y轴于点D．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)在第四象限的反比例图象上有一点P，使得S△OCP=6S△OBD，请求出点P的坐标．
25. (本小题6.0分)
如图，小斌想用学过的知识测算河的宽度EF.在河对岸有一棵高4米的树GF，树GF在河里的倒影为HF，GF=HF，小斌在岸边调整自己的位置，当恰好站在点B处时看到岸边点C和倒影顶点H在一条直线上，点C到水面EF的距离CE=0.8米，AB=1.6米，BC=2.4米，AB⊥BC，CE⊥EF，FH⊥EF，GF⊥EF，BC//EF，视线AH与水面EF的交点为D，请你根据以上测量方法及数据求河的宽度EF．
26. (本小题8.0分)
平面直角坐标系xOy中，对于点P(a,b)，若点P′的坐标为(a+bk,ka+b)(其中k为常数，且k≠0)，则称点P′为点P的“k关联点”．
(1)求点P(−2,3)的“2关联点”P′的坐标；
(2)若a、b为正整数，点P的“k关联点”P′的坐标为(3,6)，求出k及点P的坐标；
(3)如图，点Q的坐标为(0,4 3)，点A在函数y=−4 3x(x<0)的图象上运动，且点A是点B的“− 3关联点”，当线段BQ最短时，求B点坐标．
27. (本小题9.0分)
如图1，在正方形纸片ABCD中，点E是AD的中点.将△ABE沿BE折叠，使点A落在点F处，连结DF．
(1)求证：∠BEF=∠DFE；
(2)如图2，延长DF交BC于点G，求DFDG的值；
(3)如图3，将△CDG沿DG折叠，此时点C的对应点H恰好落在BE上.若记△BEF和△DGH重叠部分的面积为S1，正方形ABCD的面积为S2，求S1S2的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.图形不是中心对称图形，不符合题意；
B.图形不是中心对称图形，不符合题意；
C.图形不是中心对称图形，不符合题意；
D.图形是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】A
【解析】解：∵x−5≥0，
∴x≥5．
故选：A．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵分式2x+y3x+y中的x，y都扩大10倍，
得20x+10y30x+10y=2x+y3x+y，
∴分式的值不变．
故选：B．
根据分式的基本性质，将分式2x+y3x+y中的x，y都扩大10倍，得20x+10y30x+10y，然后将分子分母同时除以10即可得出判断．
本题考查了分式的基本性质，准确利用分式的基本性质进行化简是解决本题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、500名学生的身高是总体，故A不合题意；
B、每名学生的身高是个体，故B不符合题意；
C、80名学生的身高是所抽取的一个样本，故C不符合题意；
D、这个样本容量是80，故D符合题意；
故选：D．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
5.【答案】C
【解析】解：∵x2+4x+1=0，
∴x2+4x=−1，
∴x2+4x+4=−1+4，
∴(x+2)2=3．
故选：C．
根据配方法的一般步骤：
(1)把常数项移到等号的右边；
(2)把二次项的系数化为1；
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方，解答即可．
此题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是要注意解题步骤的准确应用．
6.【答案】C
【解析】解：∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC=OA，BC//OA，即BC//x轴，
∵O，A，B的坐标分别是(0,0)，(5,0)，(2,3)，
∴BC=OA=5，点C与点B的纵坐标相等，都为3，
∴点C的横坐标为2−5=−3，
∴点C的坐标为(−3,3)，
故选：C．
根据坐标与图形性质以及平行四边形的性质求解即可．
本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形，熟练掌握坐标与图形的性质是解答的关键．
7.【答案】A
【解析】解：在平行四边形ABCD中，AB=CD，AB//CD，
∴∠BAN=∠DMN，∠ABN=∠MDN，
∴△DMN∽△BAN，
∴DMAB=DNBN，
∴CM=2DM，
∴AB=CD=3DM，
∴DMAB=DNBN=MNAN=13，
∴S△DMNS△BAN=(13)2=19，S△DMNS△ADN=MNAN=13，
∴S△BAN=9S△DMN，S△ADN=3S△DMN，
∴S△ABD=S△BAN+S△ADN=12S△DMN，
∴S▱ABCD=2S△ABD=24S△DMN，
即△DMN与平行四边形ABCD的面积之比为1：24，
故选：A．
先证明△DMN∽△BAN，进一步得到DMAB=DNBN=MNAN=13，则S△BAN=9S△DMN，S△ADN=3S△DMN，得到S△ABD=S△BAN+S△ADN=12S△DMN，则S▱ABCD=2S△ABD=24S△DMN，即可得到答案．
此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明△DMN∽△BAN是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查反比例函数系数的几何意义，矩形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
如图，设AD交y轴于J，交BE于K，设AB=CD=2m，则DE=m，设DK=b.利用平行线分线段成比例定理求出BC，OF即可解决问题．
【解答】
解：如图，设AD交y轴于J，交BE于K，设AB=CD=2m，则DE=m，设DK=b．
∵点A在y=−8x上，
∴A(−4m,2m)，
∴AJ=4m，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DK//BC，
∴DKBC=EDEC=13，
∴BC=AD=3b，AK=2b，JK=2b−4m，
∵JF//DE，
∴JFDE=JKDK，
∴JFm=2b−4mb，
∴JF=2mb−4b，
∴OF=OJ−JF=2m−2mb−4b=4b，
∴S△BFC=12⋅BC⋅OF=12×3b⋅4b=6，
故选：B．
9.【答案】1
【解析】解：由题意得：x−1=0，且x≠0，
∴x=1，
∴当x=1时，x−1x的值为0．
故答案为：1．
根据分式的值为0要具备两个条件：分子为0和分母不为0，可得结论．
此题主要考查了分式的值为0的条件，注意分式必须满足分母不为0．
10.【答案】500
【解析】解：设实际距离为x cm，
根据题意得：120000=2.5x，
解得：x=50000，
∵50000cm=500m，
∴实际距离为500m．
故答案为：500．
首先设相距2.5cm的两地实际距离为xcm，根据题意可得方程120000=2.5x，解此方程即可求得答案，注意统一单位．
此题考查了比例尺．此题比较简单，解题的关键是注意理解题意，根据题意列方程，注意统一单位．
11.【答案】13
【解析】
【解答】
解：掷一枚均匀的骰子时，有6种情况，出现点数大于4的情况有2种，
掷得面朝上的点数大于4的概率是：26=13；
故答案为：13．
【分析】
此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．
根据掷得面朝上的点数大于4情况有2种，进而求出概率即可．
12.【答案】(4 5−4)
【解析】解：∵P是AB的黄金分割点(AP>BP)，线段AB的长为6cm，
∴APAB= 5−12，
∴AP= 5−12×8=(4 5−4)cm，
故答案为：(4 5−4)．
根据黄金分割的定义进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
13.【答案】−6
【解析】解：2xx−3−1=m3−x，
2x−(x−3)=−m，
解得：x=−m−3，
∵分式方程有增根，
∴x=3，
把x=3代入x=−m−3中，
3=−m−3，
解得：m=−6，
故答案为：−6．
根据题意可得x=3，然后把x的值代入整式方程中进行计算，即可解答．
本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后，代入整式方程中进行计算是解题的关键．
14.【答案】k≥−1且k≠0
【解析】解：∵关于x的一元二次方程kx2+2x−1=0有两个实数根，
∴Δ=22+4k≥0，且k≠0，
解得：k≥−1且k≠0．
故答案为：k≥−1且k≠0．
根据一元二次方程有两个实数根，得到根的判别式大于等于0，求出k的范围即可．
此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
15.【答案】 5
【解析】解：∵∠ABC=90°，点D为Rt△ABC斜边AC的中点，
∴AD=CD=BD=12AC，
∴△ABD是等腰三角形，
∵∠ABC=90°，DE//BC，
∴∠DEA=90°，即DE⊥AB，
∴AE=BE，即点E为AB的中点，
∴DE是Rt△ABC的中位线，
∴BC=2DE=4，
在Rt△ABC中，AC2= AB2+BC2= 22+42=2 5，
∴BD=12AC= 5．
故答案为： 5．
根据直角三角形斜边中线的性质得出AD=CD=BD=12AC，证得△ABD是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质得出点E为AB的中点，从而得到DE是Rt△ABC的中位线，最后根据勾股定理求解即可．
本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质与判定和勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
16.【答案】2 2
【解析】解：∵AE=AD，AD= 2AB，
∴AE= 2AB，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE=45°，
∴∠DAF=90°−45°=45°，
∴△AFD为等腰直角三角形，
∴AF=DF，
∵AD//BC，
∴∠ADE=∠DEC，
∵AE=AD，
∴∠AED=∠ADE，
∴∠AED=∠DEC，
∵∠DFE=∠DCE=90°，DE=DE，
∴△DFE≌△DCE(AAS)，
∴DF=DC，
∴AF=DC，
如图，作FH⊥AD于H，连接CF，
∴点H是AD的中点，
∵AB//DG，
∴点F是BG的中点，
∴BF=FG=FC，
∵∠AEB=45°，
∴∠EFC=∠ECF=12∠AEB=22.5°，
∴∠FCD=∠CFD=90°−22.5°=67.5°，
∴∠CDE=∠FDE=22.5°，
∵∠ABF=∠AFB=12(180°−45°)=67.5°，
∴∠CBG=90°−∠ABF=90°−67.5°=22.5°，
∴∠CBG=∠CDE，
令AB=1，则AD=AE=BC= 2，
∴CE= 2−1，
∵∠CBG=∠CDE，∠DCE=∠BCG=90°，
∴△BCG∽△DCE，
∴BCCG=DCCE，
∴ 2CG=1 2−1，
∴CG=2− 2，
∴DG=1−(2− 2)= 2−1，
∴CG= 2DG，
∵点F是BG的中点，作FR⊥DC于R，
∴FR//BC，
∴FR是△GBC的中位线，
∴2FR=BC，
∵S△DFG=12DG⋅FR，
∴S△BCG=12BC⋅CG=12×2FR× 2DG=2 2×12DG⋅FG，
∴S△BCG=2 2S△DFG，
∴S△BCGS△DFG=2 2，
故答案为：2 2．
根据AAS证△DFE≌△DCE即可得DF=DC，然后证明△ABE是等腰直角三角形，△AFD是等腰直角三角形，即AF=DF=DC，作FH⊥AD于H，得出F是BG的中点，即BF=FG，令AB=1，分别求出DG和CG的长度，可得出CG= 2DG，作FR⊥DC于R，得F是BG的中点，求出BC=2FR，得S△BCG=2 2S△DFG，进而可以解决问题．
本题属于相似形的综合题，有一定难度，主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用辅助线构造相似三角形是解题的关键．
17.【答案】解：原式+a(a+2)a−1×a−1(a+2)2
=aa+2
当a=2时，
原式=12．
【解析】根据分式的混合运算顺序进行化简求值即可．
本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是正确进行分式的化简．
18.【答案】解：原式= 6÷2− 24×12
= 3−2 3
=− 3．
【解析】先算乘除，再化为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．
19.【答案】解：去分母，得1=−2+x−1，
解得x=4，
经检验，x=4是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x=4．
【解析】先去分母，化为一元一次方程，再解一元一次方程即可，注意检验．
本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
20.【答案】解：(1)2x2−1=7，
2x2=7+1，
2x2=8，
x2=4，
x1=2，x2=−2；
(2)x2−x−7=0，
∵Δ=(−1)2−4×1×(−7)=1+28=29>0，
∴x=1± 292，
∴x1=1+ 292，x2=1− 292．
【解析】(1)利用解一元二次方程−直接开平方法，进行计算即可解答；
(2)利用解一元二次方程−公式法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程−公式法，直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
21.【答案】解；(1)如图，△A1B1C1为所作；
(2)如图，△A2B2C2为所作，点C2点的坐标为(−6,4)．
【解析】(1)利用关于y轴对称的点的坐标特征得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
(2)利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把A、B、C点的横纵坐标都乘以2得到A2、B2、C2点的坐标，然后描点即可．
本题考查了作图−位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k.也考查了轴对称变换．
22.【答案】解：(1)总人数=12÷24%=50(人)，
E组的人数=50×10%=5(人)，
A组的人数=50−7−12−9−5=17(人)，
补全的条形图为：
(2)E项球类对应的圆心角度数360°×950=64.8°．
(3)1000×1750=340(人)．
答：估计该校学生体育选修课选修篮球的学生约有340人．
【解析】(1)由扇形统计图可知选择C的有24%，由条形统计图可知选择C的有12人，从而可求出全部人数，先求出选择E的人数，再全部人数减去选择B、C、D、E的人数就得到选择A的人数，从而可以补全条形统计图；
(2)选择E的比例乘以360°即可得到选择E对应的圆心角的度数；
(3)用样本中选择A的比例乘以1000名学生，即可解答．
本题主要考查统计图的理解，用样本估计总体，正确理解读懂统计图是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠F=∠CEG，
∵∠DGF=∠CGE，
∴△DFG∽△CEG；
(2)解：由(1)得△DFG∽△CEG，
∴DGCG=DFCE，
∵DGCG=23，DF=BE=4，
∴4CE=23，
∴CE=6．
【解析】(1)由平行四边形的性质可得AD//BC，再根据两直线平行内错角相等得出∠F=∠CEG，再根据对顶角相等，最后根据相似三角形的判定定理证明即可；
(2)根据相似三角形对应边成比例，代入求解即可．
本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵反比例函数y2=kx(k≠0)的图象过点B(−1,3)，
∴k=−1×3=−3，
∴y2=−3x，
∵A(a,−1)在双曲线上．
∴−1=−3a，
∴a=3，
∴A(3,−1)，
∵一次函数y1=mx+n(m≠0)的图象经过A、B两点，
∴−m+n=33m+n=−1，
解得m=−1n=2，
∴一次函数的解析式y1=−x+2；
(2)在y=−x+2中，当x=0时，y=2；当y=0时，则x=2，
∴D(0,2)，C(2,0)，
∴OD=OC=2，
∴S△OBD=12×2×1=1，
∵S△OCP=6S△OBD，
∴S△OCP=12OC⋅|yP|=6，即12×2×|yP|=6，
∴yp=−6，
代入y2=−3x得，−6=−3x，
解得x=12，
∴P的坐标为(12,−6)．
【解析】(1)先将点B的坐标代入反比例函数的解析式求出k，从而求出反比例函数的解析式，最后将A点的坐标代入解析式就可以求出a的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式．
(2)由直线解析式求得C、D的坐标，进而求得S△OBD=1，进一步根据题意得到S△OCP=12OC⋅|yP|=6，即12×2×|yP|=6，求得P的纵坐标，进而求得横坐标．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，求一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，数形结合是解题的关键．
25.【答案】解：∵BC//EF，AB⊥BC，CE⊥EF，
∴∠ACB=∠CDE，∠ABC=∠CED=90°，
∴△ABC∽△CED．
∴ABCE=BCED，即 1.60.8=2.4ED，
∴ED=1.2．
∵CE⊥EF，FH⊥EF，
∴∠CED=∠HFD=90°，
∵∠CDE=∠HDF，
∴△CED∽△HFD．
∴FHCE=DFED，即 40.8=DF1.2，
∴DF=6，
∴EF=ED+DF=7.2米，
∴河的宽度EF为7.2米．
【解析】首先推知△ABC∽△CED、△CED∽△HFD，利用相似三角形对应边成比例求得线段DF=6米，则EF=ED+DF=7.2米．
本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．
利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
26.【答案】解：(1)∵x=−2+32=−12，y=2×(−2)+3=−1，
∴P′(−12,−1)；
(2)设P(a,b)，则P′(a+bk,ka+b)
∴a+bk=3ka+b=6，
∴k=2，
∴2a+b=6．
∵a、b为正整数
∴P′(1,4)、(2,2)；
(3)∵B的“− 3关联点”是A，
∴A(a−b 3,− 3a+b)，
∵点A还在反比例函数y=−4 3x的图象上，
∴(− 3a+b)(a−b 3)=−4 3，
∴(b− 3a)2=12，
∵b− 3a>0，
∴b− 3a=2 3，
∴b= 3a+2 3；
∴B在直线y= 3x+2 3上．
过Q作y= 3x+2 3的垂线QB1，垂足为B1，
∵Q(0,4 3)，且线段BQ最短，
∴B1即为所求的B点，
由△MB1Q∽△MON得MQMN=MB1MO=B1QON，
∵ON=2，OM=2 3，
∴MN=4．
又∵MQ=2 3，
∴B1Q= 3，MB1=3
在Rt△MB1Q中，B1Q⋅MB1=MQ⋅hB1，
∴hB1=32，
∴xB1=32，
∴B(32,72 3).
【解析】(1)根据题中的新定义求出点P(−2,3)的“2关联点”P′的坐标即可；
(2)根据题中的新定义求出a与b的关系式即可；
(3)根据题意得出A(a−b 3,− 3a+b)，代入y=−4 3x(x<0)，求得b= 3a+2 3，从而求得B在直线y= 3x+2 3上，过Q作y= 3x+2 3的垂线QB1，垂足为B1，Q(0,4 3)，且线段BQ最短，B1即为所求的B点，由△MB1Q∽△MON得MQMN=MB1MO=B1QON，由ON=2，OM=2 3，根据勾股定理求得MN=4.由MQ=2 3，求得B1Q= 3，MB1=3，在Rt△MB1Q中，根据面积公式得到B1Q⋅MB1=MQ⋅hB1，即可求得B的坐标．
此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：一次函数的交点坐标，坐标与图形性质，弄清题中的新定义是解本题的关键．
27.【答案】解：(1)如图：连接AF，
根据折叠可知：AE=EF，BE⊥AF，
∵E是AD中点，
∴AE=DE=EF，
∴∠EAF=∠EFA，∠EDF=∠EFD，
∵∠EAF+∠EFA+∠EDF+∠EFD=180°，
∴2(∠EFA+∠EFD)=180°，即．∠EFA+∠EFD=90°，
∴∠AFD=90，即DF⊥AF，
∵AF⊥BE，
∴BE//DF，
∴∠BEF=∠DFE；
(2)设AE=DE=a，则正方形ABCD长为2a，
∴BE= AE2+AB2= 5a，
由折叠可知：BE⊥AF，
∴∠EAF=∠AEB=90°，
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠EAF=∠ABE，
又∵∠BAE=∠AFD=90°，
∴△ABE∽△FAD，
∴AEBE=DFAD，
∴DF=AE⋅ADBE=a⋅2a 5a=2 55a，
∵DF//BE，AD//BC，
∴四边形BGDE平行四边形，
∴DG=BE= 5a，
∴DFDG=2 55a 5a=25．
(3)设DH与EF于点M，GH与BF于点N，
由(2)可知四边形BGDE平行四边形，
∴DE=BG，∠HBG=∠EDF，
∵E是AD中点，AD=BC，
∴G是BC中点，
∴AE=DE=BG=CG，
由折叠可知：AE=EF，EG=CG，
∴DE=EF=GH=BG，
∴∠EDF=∠EFD，∠HBG=∠BHG，
∴∠EDF=∠EFD=∠HBG=∠BHG，
在△EDF和△GBH中，
∠EFD=∠GHB∠EDF=∠HBGED=BG，
∴△EDF≌△GBH(AAS)，
∴DF=BH，
∴EH=GF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴EF//GH，
又∵BH//DF，
∴四边形BFDH是平行四边形，
∴DH//BF，
∴四边形MFNH是平行四边形，
由折叠可知：∠DHG=∠C=90°，
∴四边形MFNH是矩形，
设CG=a，则CD=2a,S2=4a2,GH=CG=a，
由(2)可知：DFDG=25，
∵FM//HG，
∴DFDG=FMGH,DMDH=DFDG，
∴25=FMa,DM2a=25，
∴FM=25a,DM=45a，
∴MH=2a−45a=65a，
∴S1=65a⋅25a=1225a2，
∴S1S2=1225a24a2=325．
【解析】(1)如图：连接AF，由折叠可得BE⊥AF，再证明AF⊥DF可得DF//BE，再根据平行线性质即可得到∠BEF=∠DFE；
(2)设AE=DE=a，则正方形ABCD长为2a，再证△ABE∽△FAD，然后根据相似三角形对应边成比例计算出DF的长度，由AD//BG，DG//BE得到四边形BGDE是平行四边形，根据平行四边形的性质可得DG，然后代入计算即可；
(3)先证△EDF≌△GBH可得BH=DF，故EH=FG，进而得到四边形GFEH是平行四边形，四边形BFDH是平行四边形，故HG//EF从而可知四边形MFNH是平行四边形，又根据折叠可知∠GHD=∠C=90°，所以四边形MFNH是矩形，设CG=a，则S2=4a2，CD=2a，再根据平行线等分线段成比例定理，计算出HF、HM，进而计算出S1，最后求比即可．
本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，综合运用所学知识成为解答本题的关键．
2022-2023学年江苏省苏州市姑苏区振华中学八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 若二次根式 x−5有意义，则x的取值范围是( )
A. x≥5 B. x>5 C. x≤5 D. x<5
3. 若把分式2x+y3x+y中的x和y都扩大10倍，那么分式的值( )
A. 扩大10倍 B. 不变 C. 缩小10倍 D. 缩小100倍
4. 为了了解全校六年级500名学生的身高情况，李老师从中抽查了80名学生的身高情况、针对这个问题，下面说法正确的是( )
A. 500名学生是总体 B. 每名学生是个体
C. 80名学生是所抽取的一个样本 D. 这个样本容量是80
5. 将方程x2+4x+1=0配方后，原方程变形为( )
A. (x+4)2=3 B. (x+2)2=−3 C. (x+2)2=3 D. (x+2)2=−5
6. 如图，在平面直角坐标系中▱OABC的顶点O，A，B的坐标分别是(0,0)，(5,0)，(2,3)，则点C的坐标是( )
A. (−2,2)
B. (−2,3)
C. (−3,3)
D. (−3,2)
7. 在平行四边形ABCD中，如果点CM=2DM，AM与BD相交于点N，那么△DMN与平行四边形ABCD的面积之比为( )
A. 1：24 B. 1：15 C. 1：12 D. 1：9
8. 如图，矩形ABCD中，点A在双曲线y=−8x上，点B，C在x轴上，延长CD至点E，使CD=2DE，连接BE交y轴于点F，连接CF，则△BFC的面积为( )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 当x=______时，分式x−1x的值为0．
10. 在比例尺为1：20000的地图上，A、B两地的距离为2.5cm，则实际距离为______m.
11. 抛掷一枚质地均匀的骰子(骰子六个面上分别标以1，2，3，4，5，6六个点数)，则骰子面朝上的点数大于4的可能性大小是______．
12. 鹦鹉螺是一类古老的软体动物.鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工.如图，P是AB的黄金分割点(AP>BP)，若线段AB的长为8cm，则BP的长为______ cm.(结果保留根号)
13. 若关于x的分式方程2xx−3−1=m3−x有增根，则m的值为______．
14. 若关于x的一元二次方程kx2+2x−1=0有两个实数根，则实数k的取值范围是______ ．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为斜边AC的中点，连接BD，过点D作DE//BC交AB于点E，若AB=DE=2，则BD的长为______ ．
16. 如图，矩形ABCD中，AD= 2AB，点E在BC边上，且AE=AD，DF⊥AE于点F，连接DE，BF，BF的延长线交DE于点O，交CD于点G，则S△BCGS△DFG= ______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）
17. 化简求值：(3a−1+a+3)÷a2+4a+4a−1，其中a=2．
四、解答题（本大题共10小题，共63.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题4.0分)
计算： 6÷ 2− 24× 12．
19. (本小题4.0分)
解方程：1x−1=21−x+1．
20. (本小题8.0分)
(1)解方程：2x2−1=7；
(2)解一元二次方程：x2−x−7=0．
21. (本小题6.0分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(−2,1)，B(−1,4)，C(−3,2)．
(1)画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
(2)以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出C2点的坐标．
22. (本小题6.0分)
某校社团活动开设的体育选修课有：篮球(A)，足球(B)，排球(C)，羽毛球(D)，乒乓球(E)，每个学生必选且只能选修其中的一种，学校对某班全班同学的选课人数情况进行调查统计后制成了如图所示的两个不完整的统计图．
(1)请你求出该班的总人数，并补全条形统计图；
(2)求在扇形统计图中(E)项球类所对应的圆心角度数；
(3)若该校共有1000名学生，请估计该校选修篮球(A)的学生约有多少人？
23. (本小题6.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE，EF与CD相交于点G．
(1)求证：△DFG∽△CEG；
(2)若DGCG=23，BE=4，求CE的长．
24. (本小题6.0分)
如图，一次函数y1=mx+n(m≠0)的图象与反比例函数y2=kx(k≠0)的图象交于A(a,−1)，B(−1,3)两点，且一次函数y1的图象交x轴于点C，交y轴于点D．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)在第四象限的反比例图象上有一点P，使得S△OCP=6S△OBD，请求出点P的坐标．
25. (本小题6.0分)
如图，小斌想用学过的知识测算河的宽度EF.在河对岸有一棵高4米的树GF，树GF在河里的倒影为HF，GF=HF，小斌在岸边调整自己的位置，当恰好站在点B处时看到岸边点C和倒影顶点H在一条直线上，点C到水面EF的距离CE=0.8米，AB=1.6米，BC=2.4米，AB⊥BC，CE⊥EF，FH⊥EF，GF⊥EF，BC//EF，视线AH与水面EF的交点为D，请你根据以上测量方法及数据求河的宽度EF．
26. (本小题8.0分)
平面直角坐标系xOy中，对于点P(a,b)，若点P′的坐标为(a+bk,ka+b)(其中k为常数，且k≠0)，则称点P′为点P的“k关联点”．
(1)求点P(−2,3)的“2关联点”P′的坐标；
(2)若a、b为正整数，点P的“k关联点”P′的坐标为(3,6)，求出k及点P的坐标；
(3)如图，点Q的坐标为(0,4 3)，点A在函数y=−4 3x(x<0)的图象上运动，且点A是点B的“− 3关联点”，当线段BQ最短时，求B点坐标．
27. (本小题9.0分)
如图1，在正方形纸片ABCD中，点E是AD的中点.将△ABE沿BE折叠，使点A落在点F处，连结DF．
(1)求证：∠BEF=∠DFE；
(2)如图2，延长DF交BC于点G，求DFDG的值；
(3)如图3，将△CDG沿DG折叠，此时点C的对应点H恰好落在BE上.若记△BEF和△DGH重叠部分的面积为S1，正方形ABCD的面积为S2，求S1S2的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.图形不是中心对称图形，不符合题意；
B.图形不是中心对称图形，不符合题意；
C.图形不是中心对称图形，不符合题意；
D.图形是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】A
【解析】解：∵x−5≥0，
∴x≥5．
故选：A．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵分式2x+y3x+y中的x，y都扩大10倍，
得20x+10y30x+10y=2x+y3x+y，
∴分式的值不变．
故选：B．
根据分式的基本性质，将分式2x+y3x+y中的x，y都扩大10倍，得20x+10y30x+10y，然后将分子分母同时除以10即可得出判断．
本题考查了分式的基本性质，准确利用分式的基本性质进行化简是解决本题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、500名学生的身高是总体，故A不合题意；
B、每名学生的身高是个体，故B不符合题意；
C、80名学生的身高是所抽取的一个样本，故C不符合题意；
D、这个样本容量是80，故D符合题意；
故选：D．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
5.【答案】C
【解析】解：∵x2+4x+1=0，
∴x2+4x=−1，
∴x2+4x+4=−1+4，
∴(x+2)2=3．
故选：C．
根据配方法的一般步骤：
(1)把常数项移到等号的右边；
(2)把二次项的系数化为1；
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方，解答即可．
此题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是要注意解题步骤的准确应用．
6.【答案】C
【解析】解：∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC=OA，BC//OA，即BC//x轴，
∵O，A，B的坐标分别是(0,0)，(5,0)，(2,3)，
∴BC=OA=5，点C与点B的纵坐标相等，都为3，
∴点C的横坐标为2−5=−3，
∴点C的坐标为(−3,3)，
故选：C．
根据坐标与图形性质以及平行四边形的性质求解即可．
本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形，熟练掌握坐标与图形的性质是解答的关键．
7.【答案】A
【解析】解：在平行四边形ABCD中，AB=CD，AB//CD，
∴∠BAN=∠DMN，∠ABN=∠MDN，
∴△DMN∽△BAN，
∴DMAB=DNBN，
∴CM=2DM，
∴AB=CD=3DM，
∴DMAB=DNBN=MNAN=13，
∴S△DMNS△BAN=(13)2=19，S△DMNS△ADN=MNAN=13，
∴S△BAN=9S△DMN，S△ADN=3S△DMN，
∴S△ABD=S△BAN+S△ADN=12S△DMN，
∴S▱ABCD=2S△ABD=24S△DMN，
即△DMN与平行四边形ABCD的面积之比为1：24，
故选：A．
先证明△DMN∽△BAN，进一步得到DMAB=DNBN=MNAN=13，则S△BAN=9S△DMN，S△ADN=3S△DMN，得到S△ABD=S△BAN+S△ADN=12S△DMN，则S▱ABCD=2S△ABD=24S△DMN，即可得到答案．
此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明△DMN∽△BAN是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查反比例函数系数的几何意义，矩形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
如图，设AD交y轴于J，交BE于K，设AB=CD=2m，则DE=m，设DK=b.利用平行线分线段成比例定理求出BC，OF即可解决问题．
【解答】
解：如图，设AD交y轴于J，交BE于K，设AB=CD=2m，则DE=m，设DK=b．
∵点A在y=−8x上，
∴A(−4m,2m)，
∴AJ=4m，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DK//BC，
∴DKBC=EDEC=13，
∴BC=AD=3b，AK=2b，JK=2b−4m，
∵JF//DE，
∴JFDE=JKDK，
∴JFm=2b−4mb，
∴JF=2mb−4b，
∴OF=OJ−JF=2m−2mb−4b=4b，
∴S△BFC=12⋅BC⋅OF=12×3b⋅4b=6，
故选：B．
9.【答案】1
【解析】解：由题意得：x−1=0，且x≠0，
∴x=1，
∴当x=1时，x−1x的值为0．
故答案为：1．
根据分式的值为0要具备两个条件：分子为0和分母不为0，可得结论．
此题主要考查了分式的值为0的条件，注意分式必须满足分母不为0．
10.【答案】500
【解析】解：设实际距离为x cm，
根据题意得：120000=2.5x，
解得：x=50000，
∵50000cm=500m，
∴实际距离为500m．
故答案为：500．
首先设相距2.5cm的两地实际距离为xcm，根据题意可得方程120000=2.5x，解此方程即可求得答案，注意统一单位．
此题考查了比例尺．此题比较简单，解题的关键是注意理解题意，根据题意列方程，注意统一单位．
11.【答案】13
【解析】
【解答】
解：掷一枚均匀的骰子时，有6种情况，出现点数大于4的情况有2种，
掷得面朝上的点数大于4的概率是：26=13；
故答案为：13．
【分析】
此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．
根据掷得面朝上的点数大于4情况有2种，进而求出概率即可．
12.【答案】(4 5−4)
【解析】解：∵P是AB的黄金分割点(AP>BP)，线段AB的长为6cm，
∴APAB= 5−12，
∴AP= 5−12×8=(4 5−4)cm，
故答案为：(4 5−4)．
根据黄金分割的定义进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
13.【答案】−6
【解析】解：2xx−3−1=m3−x，
2x−(x−3)=−m，
解得：x=−m−3，
∵分式方程有增根，
∴x=3，
把x=3代入x=−m−3中，
3=−m−3，
解得：m=−6，
故答案为：−6．
根据题意可得x=3，然后把x的值代入整式方程中进行计算，即可解答．
本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后，代入整式方程中进行计算是解题的关键．
14.【答案】k≥−1且k≠0
【解析】解：∵关于x的一元二次方程kx2+2x−1=0有两个实数根，
∴Δ=22+4k≥0，且k≠0，
解得：k≥−1且k≠0．
故答案为：k≥−1且k≠0．
根据一元二次方程有两个实数根，得到根的判别式大于等于0，求出k的范围即可．
此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
15.【答案】 5
【解析】解：∵∠ABC=90°，点D为Rt△ABC斜边AC的中点，
∴AD=CD=BD=12AC，
∴△ABD是等腰三角形，
∵∠ABC=90°，DE//BC，
∴∠DEA=90°，即DE⊥AB，
∴AE=BE，即点E为AB的中点，
∴DE是Rt△ABC的中位线，
∴BC=2DE=4，
在Rt△ABC中，AC2= AB2+BC2= 22+42=2 5，
∴BD=12AC= 5．
故答案为： 5．
根据直角三角形斜边中线的性质得出AD=CD=BD=12AC，证得△ABD是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质得出点E为AB的中点，从而得到DE是Rt△ABC的中位线，最后根据勾股定理求解即可．
本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质与判定和勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
16.【答案】2 2
【解析】解：∵AE=AD，AD= 2AB，
∴AE= 2AB，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE=45°，
∴∠DAF=90°−45°=45°，
∴△AFD为等腰直角三角形，
∴AF=DF，
∵AD//BC，
∴∠ADE=∠DEC，
∵AE=AD，
∴∠AED=∠ADE，
∴∠AED=∠DEC，
∵∠DFE=∠DCE=90°，DE=DE，
∴△DFE≌△DCE(AAS)，
∴DF=DC，
∴AF=DC，
如图，作FH⊥AD于H，连接CF，
∴点H是AD的中点，
∵AB//DG，
∴点F是BG的中点，
∴BF=FG=FC，
∵∠AEB=45°，
∴∠EFC=∠ECF=12∠AEB=22.5°，
∴∠FCD=∠CFD=90°−22.5°=67.5°，
∴∠CDE=∠FDE=22.5°，
∵∠ABF=∠AFB=12(180°−45°)=67.5°，
∴∠CBG=90°−∠ABF=90°−67.5°=22.5°，
∴∠CBG=∠CDE，
令AB=1，则AD=AE=BC= 2，
∴CE= 2−1，
∵∠CBG=∠CDE，∠DCE=∠BCG=90°，
∴△BCG∽△DCE，
∴BCCG=DCCE，
∴ 2CG=1 2−1，
∴CG=2− 2，
∴DG=1−(2− 2)= 2−1，
∴CG= 2DG，
∵点F是BG的中点，作FR⊥DC于R，
∴FR//BC，
∴FR是△GBC的中位线，
∴2FR=BC，
∵S△DFG=12DG⋅FR，
∴S△BCG=12BC⋅CG=12×2FR× 2DG=2 2×12DG⋅FG，
∴S△BCG=2 2S△DFG，
∴S△BCGS△DFG=2 2，
故答案为：2 2．
根据AAS证△DFE≌△DCE即可得DF=DC，然后证明△ABE是等腰直角三角形，△AFD是等腰直角三角形，即AF=DF=DC，作FH⊥AD于H，得出F是BG的中点，即BF=FG，令AB=1，分别求出DG和CG的长度，可得出CG= 2DG，作FR⊥DC于R，得F是BG的中点，求出BC=2FR，得S△BCG=2 2S△DFG，进而可以解决问题．
本题属于相似形的综合题，有一定难度，主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用辅助线构造相似三角形是解题的关键．
17.【答案】解：原式+a(a+2)a−1×a−1(a+2)2
=aa+2
当a=2时，
原式=12．
【解析】根据分式的混合运算顺序进行化简求值即可．
本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是正确进行分式的化简．
18.【答案】解：原式= 6÷2− 24×12
= 3−2 3
=− 3．
【解析】先算乘除，再化为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．
19.【答案】解：去分母，得1=−2+x−1，
解得x=4，
经检验，x=4是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x=4．
【解析】先去分母，化为一元一次方程，再解一元一次方程即可，注意检验．
本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
20.【答案】解：(1)2x2−1=7，
2x2=7+1，
2x2=8，
x2=4，
x1=2，x2=−2；
(2)x2−x−7=0，
∵Δ=(−1)2−4×1×(−7)=1+28=29>0，
∴x=1± 292，
∴x1=1+ 292，x2=1− 292．
【解析】(1)利用解一元二次方程−直接开平方法，进行计算即可解答；
(2)利用解一元二次方程−公式法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程−公式法，直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
21.【答案】解；(1)如图，△A1B1C1为所作；
(2)如图，△A2B2C2为所作，点C2点的坐标为(−6,4)．
【解析】(1)利用关于y轴对称的点的坐标特征得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
(2)利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把A、B、C点的横纵坐标都乘以2得到A2、B2、C2点的坐标，然后描点即可．
本题考查了作图−位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k.也考查了轴对称变换．
22.【答案】解：(1)总人数=12÷24%=50(人)，
E组的人数=50×10%=5(人)，
A组的人数=50−7−12−9−5=17(人)，
补全的条形图为：
(2)E项球类对应的圆心角度数360°×950=64.8°．
(3)1000×1750=340(人)．
答：估计该校学生体育选修课选修篮球的学生约有340人．
【解析】(1)由扇形统计图可知选择C的有24%，由条形统计图可知选择C的有12人，从而可求出全部人数，先求出选择E的人数，再全部人数减去选择B、C、D、E的人数就得到选择A的人数，从而可以补全条形统计图；
(2)选择E的比例乘以360°即可得到选择E对应的圆心角的度数；
(3)用样本中选择A的比例乘以1000名学生，即可解答．
本题主要考查统计图的理解，用样本估计总体，正确理解读懂统计图是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠F=∠CEG，
∵∠DGF=∠CGE，
∴△DFG∽△CEG；
(2)解：由(1)得△DFG∽△CEG，
∴DGCG=DFCE，
∵DGCG=23，DF=BE=4，
∴4CE=23，
∴CE=6．
【解析】(1)由平行四边形的性质可得AD//BC，再根据两直线平行内错角相等得出∠F=∠CEG，再根据对顶角相等，最后根据相似三角形的判定定理证明即可；
(2)根据相似三角形对应边成比例，代入求解即可．
本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵反比例函数y2=kx(k≠0)的图象过点B(−1,3)，
∴k=−1×3=−3，
∴y2=−3x，
∵A(a,−1)在双曲线上．
∴−1=−3a，
∴a=3，
∴A(3,−1)，
∵一次函数y1=mx+n(m≠0)的图象经过A、B两点，
∴−m+n=33m+n=−1，
解得m=−1n=2，
∴一次函数的解析式y1=−x+2；
(2)在y=−x+2中，当x=0时，y=2；当y=0时，则x=2，
∴D(0,2)，C(2,0)，
∴OD=OC=2，
∴S△OBD=12×2×1=1，
∵S△OCP=6S△OBD，
∴S△OCP=12OC⋅|yP|=6，即12×2×|yP|=6，
∴yp=−6，
代入y2=−3x得，−6=−3x，
解得x=12，
∴P的坐标为(12,−6)．
【解析】(1)先将点B的坐标代入反比例函数的解析式求出k，从而求出反比例函数的解析式，最后将A点的坐标代入解析式就可以求出a的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式．
(2)由直线解析式求得C、D的坐标，进而求得S△OBD=1，进一步根据题意得到S△OCP=12OC⋅|yP|=6，即12×2×|yP|=6，求得P的纵坐标，进而求得横坐标．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，求一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，数形结合是解题的关键．
25.【答案】解：∵BC//EF，AB⊥BC，CE⊥EF，
∴∠ACB=∠CDE，∠ABC=∠CED=90°，
∴△ABC∽△CED．
∴ABCE=BCED，即 1.60.8=2.4ED，
∴ED=1.2．
∵CE⊥EF，FH⊥EF，
∴∠CED=∠HFD=90°，
∵∠CDE=∠HDF，
∴△CED∽△HFD．
∴FHCE=DFED，即 40.8=DF1.2，
∴DF=6，
∴EF=ED+DF=7.2米，
∴河的宽度EF为7.2米．
【解析】首先推知△ABC∽△CED、△CED∽△HFD，利用相似三角形对应边成比例求得线段DF=6米，则EF=ED+DF=7.2米．
本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．
利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
26.【答案】解：(1)∵x=−2+32=−12，y=2×(−2)+3=−1，
∴P′(−12,−1)；
(2)设P(a,b)，则P′(a+bk,ka+b)
∴a+bk=3ka+b=6，
∴k=2，
∴2a+b=6．
∵a、b为正整数
∴P′(1,4)、(2,2)；
(3)∵B的“− 3关联点”是A，
∴A(a−b 3,− 3a+b)，
∵点A还在反比例函数y=−4 3x的图象上，
∴(− 3a+b)(a−b 3)=−4 3，
∴(b− 3a)2=12，
∵b− 3a>0，
∴b− 3a=2 3，
∴b= 3a+2 3；
∴B在直线y= 3x+2 3上．
过Q作y= 3x+2 3的垂线QB1，垂足为B1，
∵Q(0,4 3)，且线段BQ最短，
∴B1即为所求的B点，
由△MB1Q∽△MON得MQMN=MB1MO=B1QON，
∵ON=2，OM=2 3，
∴MN=4．
又∵MQ=2 3，
∴B1Q= 3，MB1=3
在Rt△MB1Q中，B1Q⋅MB1=MQ⋅hB1，
∴hB1=32，
∴xB1=32，
∴B(32,72 3).
【解析】(1)根据题中的新定义求出点P(−2,3)的“2关联点”P′的坐标即可；
(2)根据题中的新定义求出a与b的关系式即可；
(3)根据题意得出A(a−b 3,− 3a+b)，代入y=−4 3x(x<0)，求得b= 3a+2 3，从而求得B在直线y= 3x+2 3上，过Q作y= 3x+2 3的垂线QB1，垂足为B1，Q(0,4 3)，且线段BQ最短，B1即为所求的B点，由△MB1Q∽△MON得MQMN=MB1MO=B1QON，由ON=2，OM=2 3，根据勾股定理求得MN=4.由MQ=2 3，求得B1Q= 3，MB1=3，在Rt△MB1Q中，根据面积公式得到B1Q⋅MB1=MQ⋅hB1，即可求得B的坐标．
此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：一次函数的交点坐标，坐标与图形性质，弄清题中的新定义是解本题的关键．
27.【答案】解：(1)如图：连接AF，
根据折叠可知：AE=EF，BE⊥AF，
∵E是AD中点，
∴AE=DE=EF，
∴∠EAF=∠EFA，∠EDF=∠EFD，
∵∠EAF+∠EFA+∠EDF+∠EFD=180°，
∴2(∠EFA+∠EFD)=180°，即．∠EFA+∠EFD=90°，
∴∠AFD=90，即DF⊥AF，
∵AF⊥BE，
∴BE//DF，
∴∠BEF=∠DFE；
(2)设AE=DE=a，则正方形ABCD长为2a，
∴BE= AE2+AB2= 5a，
由折叠可知：BE⊥AF，
∴∠EAF=∠AEB=90°，
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠EAF=∠ABE，
又∵∠BAE=∠AFD=90°，
∴△ABE∽△FAD，
∴AEBE=DFAD，
∴DF=AE⋅ADBE=a⋅2a 5a=2 55a，
∵DF//BE，AD//BC，
∴四边形BGDE平行四边形，
∴DG=BE= 5a，
∴DFDG=2 55a 5a=25．
(3)设DH与EF于点M，GH与BF于点N，
由(2)可知四边形BGDE平行四边形，
∴DE=BG，∠HBG=∠EDF，
∵E是AD中点，AD=BC，
∴G是BC中点，
∴AE=DE=BG=CG，
由折叠可知：AE=EF，EG=CG，
∴DE=EF=GH=BG，
∴∠EDF=∠EFD，∠HBG=∠BHG，
∴∠EDF=∠EFD=∠HBG=∠BHG，
在△EDF和△GBH中，
∠EFD=∠GHB∠EDF=∠HBGED=BG，
∴△EDF≌△GBH(AAS)，
∴DF=BH，
∴EH=GF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴EF//GH，
又∵BH//DF，
∴四边形BFDH是平行四边形，
∴DH//BF，
∴四边形MFNH是平行四边形，
由折叠可知：∠DHG=∠C=90°，
∴四边形MFNH是矩形，
设CG=a，则CD=2a,S2=4a2,GH=CG=a，
由(2)可知：DFDG=25，
∵FM//HG，
∴DFDG=FMGH,DMDH=DFDG，
∴25=FMa,DM2a=25，
∴FM=25a,DM=45a，
∴MH=2a−45a=65a，
∴S1=65a⋅25a=1225a2，
∴S1S2=1225a24a2=325．
【解析】(1)如图：连接AF，由折叠可得BE⊥AF，再证明AF⊥DF可得DF//BE，再根据平行线性质即可得到∠BEF=∠DFE；
(2)设AE=DE=a，则正方形ABCD长为2a，再证△ABE∽△FAD，然后根据相似三角形对应边成比例计算出DF的长度，由AD//BG，DG//BE得到四边形BGDE是平行四边形，根据平行四边形的性质可得DG，然后代入计算即可；
(3)先证△EDF≌△GBH可得BH=DF，故EH=FG，进而得到四边形GFEH是平行四边形，四边形BFDH是平行四边形，故HG//EF从而可知四边形MFNH是平行四边形，又根据折叠可知∠GHD=∠C=90°，所以四边形MFNH是矩形，设CG=a，则S2=4a2，CD=2a，再根据平行线等分线段成比例定理，计算出HF、HM，进而计算出S1，最后求比即可．
本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，综合运用所学知识成为解答本题的关键．
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