2022-2023学年福建省厦门市思明区莲花中学九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省厦门市思明区莲花中学九年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列平面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 方程的一次项系数是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，为直径，交弦于点，若点为中点，则说法错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

4. 二次函数图象的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，将绕点按顺时针方向旋转得到，若，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知关于的方程的一个根为，则实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在长为，宽的矩形田地中开辟两条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为，求道路的宽度．设道路的宽度为，则可列方程(    )

A.  B.
C.  D.

8. 设，是方程的两个实数根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，内接于，，是的中点，连接，交于点，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 设一元二次方程的两实根分别为、，则、满足(    )

A.  B. 且 C.  D. 且

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 点关于原点的对称点的坐标是______．
12. 某二次函数的几组对应值如下表所示，若，则该函数图象的开口方向是______．

13. 如图，四边形内接于，点在的延长线上，，则______．

14. 如图，一名男生推铅球，铅球行进高度单位：与水平距离单位：之间的关系是则他将铅球推出的距离是______

15. 如图，将正方形绕点逆时针旋转度得到正方形，连接，，点，分别为，的中点，连接，若的长度为，则的长度为______．

16. 如图，将一段抛物线：，记为，它与轴交于两点，；将绕顺时针旋转得到，交轴于；将绕顺时针旋转得到，交轴于，将绕顺时针旋转得到，交轴于，将绕顺时针旋转得到，交轴于记：由，，，，构成的图形所确定的函数为由图可知方程：共有六个根：，，，，，，则______．
     

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    解方程：
    ；
    ．
18. 本小题分
    先化简，再求值：，其中．
19. 本小题分
    已知：如图，、、、是上的点，且，，求的度数．

20. 本小题分
    如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．
    通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：；．
    已知关于的方程是带数是“邻根方程”，求的值．
21. 本小题分
    如图，一高尔夫球员从山坡下的点处打出一球，球向山坡上的球洞点处飞去，球的飞行路线为抛物线．如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度时，球移动的水平距离为已知山坡与水平方向的夹角为，、两点间的距离为
    建立适当的直角坐标系，求球的飞行路线所在抛物线的函数表达式．
    这一杆能否把高尔夫球从点处直接打入点处球洞？

22. 本小题分
    如图，菱形的对角线，交于点，，将线段绕点逆时针旋转度得到线段．
    尺规作图：求作线段；保留作图痕迹，不写作法
    若，求证：，，在同一条直线上．

23. 本小题分
    周老板家的红心猕猴桃深受广大顾客的喜爱．猕猴桃成熟上市后，她记录了天的销售数量和销售单价，其中销售单价元千克与时间第天为整数的数量关系如图所示：
    求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
    现已知日销量千克与时间第天为整数的函数关系式为，求在这天中，哪一天的销售额达到最大，最大销售额是多少元．

24. 本小题分
    如图，内接于，点在上运动，弦，垂足为，点，点关于对称，连接并延长交于点．
    连接，求证：；
    求证：点，点关于对称．

25. 本小题分
    已知抛物线，
    若，，，求该抛物线与轴公共点的坐标；
    若，且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围；
    若，且时，对应；时，对应的，试判断当时，抛物线与轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用轴对称图形以及中心对称图形的定义分析得出答案．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，关键是掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：的一次项系数是．
故选：．
根据是常数且，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，可得答案．
本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：是常数且在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
 

3.【答案】 

【解析】解：为直径，点为中点，
，故A选项正确；
，，故B、选项正确，
不一定等于，故D选项错误．
故选：．
根据垂径定理的推理对各选项进行逐一分析即可，平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
本题考查的是垂径定理及其推论，熟练掌握推论并灵活运用是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
顶点坐标为，
故选：．
由抛物线解析式可求得答案．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．
 

5.【答案】 

【解析】解：将绕点按顺时针方向旋转得到，
，
，


故选：．
由旋转的性质可得，，由直角三角形的性质可得，即可求解．
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：把代入方程，得，
解得．
故选：．
根据一元二次方程的解的定义，把代入原方程得到关于的一元二次方程，然后解此方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
 

7.【答案】 

【解析】解：道路的宽度为，
剩余田地部分可合成长为，宽为的矩形．
依题意得：．
故选：．
由道路的宽度为，可得出剩余田地部分可合成长为，宽为的矩形，根据剩余田地的面积为，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据根与系数的关系得，，
所以．
故选：．
先根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，

是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选B．
连接，由等腰三角形的性质求出，求出，由三角形内角和定理可得出答案．
本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，垂径定理，以及三角形的外接圆与外心．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的解．
利用公式法求出一元二次方程的两实根，进而判断、的取值范围．
【解答】
解：，
，
，，，

，
，
，

，
，
且．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，
点关于原点过对称的点的坐标是．
故答案为：．
根据“平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，比较简单．
 

12.【答案】向上 

【解析】解：由表中所给函数值可知当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
抛物线开口向上，
故答案为：向上．
由条件可判断二次函数的增减性，则可求得答案．
本题主要考查二次函数的性质，由题目条件得出二次函数的增减性是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形内接于，
，
，
故答案为：．
根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角即可得到，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的二倍求得答案即可．
此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：当时，，
解之得，不合题意，舍去，
所以推铅球的距离是米．
成绩就是当高度时的值，所以解方程可求解．
此题把函数问题转化为方程问题来解，渗透了函数与方程相结合的解题思想方法．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图所示，连接，
点，分别为，的中点，
是的中位线，
，
由旋转可得，，，
是等边三角形，
，
又，
．
故答案为：．
连接，利用三角形中位线定理，即可得到的长；再根据是等边三角形，即可得到的长；最后利用勾股定理进行计算，即可得到的长．
本题主要考查了旋转的性质以及三角形中位线定理的运用，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意可知，点、、、、、的坐标分别为、、、、、，
且，，，，
，是一元二次方程的两个根，即，是一元二次方程的两个根，
，
原式


，
故答案为：．
由抛物线的旋转、对称的性质可得到，，，，再由一元二次方程的根与系数的关系可得，将原式化简为，代入计算即可．
本题考查抛物线与轴的交点，抛物线的对称性，二次函数图象的旋转坐标变化，得出，，，和，是正确解答的关键．
 

17.【答案】解：，
，
，
，
，
，；
．
，
，
或，
，． 

【解析】利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答；
利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
利用解一元二次方程因式分解法，配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
 

18.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
 

19.【答案】解：，
，
，
，
． 

【解析】根据求出，根据圆心角、弧、弦之间的关系得出，再代入求出答案即可．
本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能熟记圆心角、弧、弦之间的关系是解此题的关键．
 

20.【答案】解：，
即，
解得：，，
，
一元二次方程不是“邻根方程”；
方程的两个根是，，
即，，
，
一元二次方程是“邻根方程”；
，
即，
解得：，．
关于的方程是常数是“邻根方程”，
或，
或，
的值为或． 

【解析】解一元二次方程，由两根之差不为，即可得出一元二次方程不是“邻根方程”；
解一元二次方程，由两根之差为，即可得出一元二次方程是“邻根方程”；
利用因式分解法解一元二次方程，可得出方程的两根，由该方程是“邻根方程”，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值．
本题考查了因式分解法解一元二次方程、公式法解一元二次方程以及新定义，解题的关键是：求出两方程的根，作差来判断两方程是否是“邻根方程”；利用“邻根方程”的定义，找出关于的方程．
 

21.【答案】解：如右图建立平面直角坐标系，
则点的坐标为，
设球的飞行路线所在抛物线的函数表达式为，
该抛物线过点，
，得，
即球的飞行路线所在抛物线的函数表达式为；
，，，
，，
当时，，
，
这一杆不能把高尔夫球从点处直接打入点处球洞． 

【解析】本题考查二次函数的应用．
根据题意，可以建立合适的平面直角坐标系，并求出球的飞行路线所在抛物线的函数表达式；
根据山坡与水平方向的夹角为，、两点间的距离为，可以求得和的长，然后将的长代入中的函数解析式，可以求得对应的的值，然后与长比较大小，即可解答本题．
 

22.【答案】解：如图，线段即为所求．

证明：连接，，设与交于点，
，，
为等边三角形，
，
，，
，
为等腰三角形，
，
四边形为菱形，
，，
，
，
，
，，在同一条直线上． 

【解析】分别以点，为圆心，的长为半径画弧，两弧在线段右侧交于点，连接即可．
连接，，设与交于点，利用旋转的性质和菱形的性质证明即可．
本题考查作图复杂作图、旋转的性质、菱形的性质，熟练掌握菱形的性质以及旋转的性质是解答本题的关键．
 

23.【答案】解：当时，设的解析式为：

把和代入得：，
解得：，
的解析式为：；
综上，与为整数的函数关系式为：；
设销售额为元，
当时，，
是整数，
当时，有最大值为：，
当时，，
是整数，，
当时，随的增大而增大，
当时，有最大值为：，
综上，在这天中，第天销售额达到最大，最大销售额是元． 

【解析】是分段函数，利用待定系数法可得与的函数关系式；
写出销售额的二次函数关系式，判断出对称轴的位置，从而可得当时，函数取得最大值．
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
 

24.【答案】证明：连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
连接，，，交于点，

点，关于对称，
，
，
，
又，
≌，
，，即，
，
，
，
，
，

，
，
，
≌，
，，
点，点关于对称． 

【解析】连接，由，得，由圆周角定理知，从而得到，即可证明结论；
连接，，，交于点，首先利用证明≌，得，，再利用证明≌，得，．
本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质等知识，综合性较强，要求学生有较强的识图能力，证明≌是解题问题的关键．
 

25.【答案】解：当，时，抛物线为，
方程的两个根为，．
该抛物线与轴公共点的坐标是和；
当时，抛物线为，且与轴有公共点．
对于方程，判别式，有．
当时，由方程，解得．
此时抛物线为与轴只有一个公共点；
当时，时，；
时，．
由已知时，该抛物线与轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为，
应有即，
解得．
综上，或；
对于二次函数，
由已知时，；
时，，
又，
．
．
，
，即．
．
关于的一元二次方程的判别式，
抛物线与轴有两个公共点，顶点在轴下方．
又该抛物线的对称轴，
由，，，
得，
．
对称轴大于小于
又由已知当时，；
时，，
在范围内，所以在到至少有一个公共点． 

【解析】把，，的值代入可得抛物线的解析式，求出两根即可；
把，代入解析式可得，等于时可直接求得的值；求出的相应的值后可得的取值范围；
抛物线与轴公共点的个数就是一元二次方程的实数根的个数，因此，本题的解答就是研究在不同的条件下一元二次方程根的判别式的符号，依据判别式的符号得出相应的结论．
本题考查抛物线与轴的交点，借助图象，可将抽象的问题直观化，二次函数与轴的交点的纵坐标为，抛物线与轴交点的个数就是一元二次方程根的个数．