2019-2020学年福建省厦门市思明区莲花中学九上期中数学试卷

这是一份2019-2020学年福建省厦门市思明区莲花中学九上期中数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 已知点 Aa,−1 与 B2,b 是关于原点 O 的对称点，则
A. a=−2，b=−1B. a=−2，b=1
C. a=2，b=−1D. a=2，b=1

2. 对于二次函数 y=2x−12+2 的图象，下列说法正确的是
A. 开口向下B. 对称轴是 x=−1
C. 与 x 轴有两个交点D. 顶点坐标是 1,2

3. 若二次函数 y=x2+bx+5 配方后为 y=x−32−4，则 b 的值分别为
A. 0B. 5C. 6D. −6

4. 关于 x 的一元二次方程 x−12=k−2019，下列说法错误的是
A. k=2017 方程无实数解
B. k=2018 方程有一个实数解
C. k=2019 有两个相等的实数解
D. k=2020 方程有两个不相等的实数解

5. 以 x=3±9+4c2 为根对的一元二次方程可能是
A. x2−3x−c=0B. x2+3x−c=0C. x2−3x+c=0D. x2+3x+c=0

6. 若 ⊙O 半径为 1，点 P 到圆心 O 的距离为 d，关于的方程 x2−2x+d=0 有两个实数根，则点 P 在
A. ⊙O 的内部B. ⊙O 上
C. ⊙O 的外部D. 在 ⊙O 上或 ⊙O 的内部

7. 如图，在 △ABC 中，AB=6，AC=3，∠BAC=30∘，将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 60∘ 得到 △AB1C1，连接 BC1，则 BC1 的长为
A. 3B. 23C. 22D. 4

8. 如图，正六边形 ABCDEF 内接于 ⊙O，半径为 4，则这个正六边形的边心距 OM 和 BC 的长分别为
A. 2，π3B. 23，πC. 3，2π3D. 23，4π3

9. 为迎接“双十一”促销活动，某服装店从 10 月份开始对秋装进行“折上折”（两次打折数相同）优惠活动，已知一件原价 500 元的秋装，优惠后实际仅需 320 元．设该店秋装原本打 x 折，则有
A. 5001−2x=320B. 5001−x2=320
C. 500x102=3200D. 5001−x102=320

10. 如图，四边形 ABCD 的两条对角线互相垂直，AC+BD=12，则四边形 ABCD 的面积最大值是
A. 12B. 18C. 24D. 36

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 方程 x2−3x=0 的解是 ．

12. 已知关于 x 的方程 x2−2mx−5n=0 有一个非零根 n，则 2m−n 的值是 ．

13. 在平面直角坐标系中，A1,0，B0,−3，点 B 绕点 A 逆时针旋转 90∘ 得到点 C，则点 C 的坐标是 ．

14. 如图，AB 为 ⊙O 的弦，AC 切 ⊙O 于点 A，BC 过圆心 O，若 ∠B=20∘，则 ∠C= ．

15. 汽车刹车后行驶的距离 s（米）与行驶的时间 t（秒）函数关系式是 s=15t−6t2，汽车刹车后停下来前进了 米．

16. 已知二次函数 y=ax2−2ax+c，当 −30；当 3
三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解方程：x2−4x+1=0．

18. 如图，在 △ABC 中，AB=6，AC=10，BC 边上的中线 AD=4．
（1）以点 D 为对称中心，作出 △ABD 的中心对称图形；
（2）求点 A 到 BC 的距离．

19. 用一条长 40 cm 的绳子能否围成一个面积为 101 cm2 的矩形?请说明理由．

20. 已知 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，CA=CB=4，另有一块等腰直角三角板的直角顶点放在 C 处，CP=CQ=2，将三角板 CPQ 绕点 C 旋转（点 P 在 △ABC 内部），连接 AP，BP，BQ．
（1）求证：AP=BQ；
（2）当 PQ⊥BQ 时，求 AP 的长．

21. 如图，圆内接四边形 ABCD，AB 是 ⊙O 的直径，OD∥AC 交 BC 于点 E．
（1）求证：△BCD 为等腰三角形；
（2）若 BE=4，AC=6，求 DE．

22. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y=x2−2x+b 的顶点在 x 轴上，Pp,m，Qq,mp（1）当 m=b 时，求 p，q 的值；
（2）将抛物线沿 y 轴平移，使得它与 x 轴的两个交点间的距离为 4，试描述出这一变化过程．

23. 已知绿茶每千克成本 50 元，经研究发现销量 ykg 随销售单价 x元/kg 的变化而变化，具体变化规律如表所示：
销售单价x元/kg⋯7075808590⋯月销售量ykg⋯10090807060⋯
（1）请根据上表，写出 y 与 x 之间的函数关系式（不必写出自变量 x 的取值范围）；
（2）若该绿茶的月销售利润为 w（元），且售单价得高于 80 元，求 w 与 x 之间的函数关系式，并求出 x 为何值时，w 的值最大?
（3）已知商家经销一种绿茶，用于装修门面已投资 3000 元，在第一个月，按使 w 获得最大值的销售单价进行销售后；在第二个月受物价部门干预，销售单价不得高于 78 元，要想在全部收回装修投资的基础上使这两个月的总利润至少达到 1722 元，求第二个月的销售单价的取值范围?

24. 如图，已知点 A，B，P，D，C 都在在 ⊙O 上，且四边形 BCEP 是平行四边形．
（1）证明：CD=PB；
（2）若 AE=BC，AB=3，DP 的长度是 π6，求 EC 的长．

25. 如图①，将抛物线 y=ax2−1（1）求抛物线的解析式（用含 a，m 的代数式表示）；
（2）如图②，Rt△ABC 与抛物线交于 A，D，C 三点，∠B=90∘，AB∥x 轴，AD=2，BD:BC=1:2．
①求 △ADC 的面积（用含 a 的代数式表示）；
②若 △ADC 的面积为 1，当 2m−1≤x≤2m+1 时，y 的最大值为 −3，求 m 的值．
答案
第一部分
1. B【解析】∵ 点 Aa,−1 与点 B2,b 是关于原点 O 的对称点，
∴a=−2，b=1．
2. D【解析】y=2x−12+2，
（1）函数的对称轴为 x=1；
（2）a=2>0，故函数开口向上；
（3）函数顶点坐标为 1,2，开口向上，故函数与 x 轴没有交点．
3. D【解析】∵y=x−32−4=x2−6x+9−4=x2−6x+5，
又 ∵y=x2+bx+5，
∴b=−6．
4. B【解析】当 k−2019>0 时，此时方程有两个不相等的实数根，当 k−2019=0 时，此时方程有两个相等的实数根，当 k−2019<0 时，此时方程无解．
5. A
【解析】A．x2−3x−c=0 的根为 x=3±9+4c2，符合题意；
B．x2+3x−c=0 的根为 x=−3±9+4c2，不符合题意；
C．x2−3x+c=0 的根为 x=3±9−4c2，不符合题意；
D．x2+3x+c=0 的根为 x=−3±9−4c2，不符合题意．
6. D【解析】∵ 方程 x2−2x+d=0 有两个实数根，
∴Δ=−22−4d≥0，
∴d≤1，而 ⊙O 的半径为 1，
∴ 点 P 与 O 的距离小于或等于圆的半径，
∴ 点 P 在 ⊙O 上或 ⊙O 的内部．
7. A【解析】∵ 将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 60∘ 得到 △AB1C1，AB=6，AC=3，
∴∠CAC1=60∘，AC=AC1=3，
∵∠BAC=30∘，
∴∠BAC1=30∘+60∘=90∘，
在 Rt△BAC1 中，由勾股定理得：BC1=AB2+AC12=62+32=3．
8. D【解析】连接 OB，
∵OB=4，
∴BM=2，
∴OM=23，
BC=60π×4180=43π．
9. C【解析】设该店春装原本打 x 折，
依题意，得：500⋅x102=320．
10. B
【解析】设 AC=x，则 BD=12−x，
则四边形 ABCD 的面积 =12AC×BD=12×x×12−x=−12x2+6x=−12x−62+18，
∴ 当 x=6 时，四边形 ABCD 的面积最大，最大值是 18．
第二部分
11. x1=0，x2=3
【解析】原式为 x2−3x=0，xx−3=0，x=0 或 x−3=0，x1=0，x2=3．
∴ 方程 x2−3x=0 的解是 x1=0，x2=3．
12. −5
【解析】由题意可知：n2−2mn−5n=0，
∴ 由于 n≠0，
∴n−2m−5=0，
∴2m−n=−5．
13. 4,−1
【解析】如图所示，点 B 绕点 A 逆时针旋转 90∘ 到点 C，
∵A 坐标为 1,0，B 坐标为 0,−3，
∴OA=1，OB=3，
根据旋转的性质，AB=AC，
∵∠BAC=90∘，
∴∠BAO+∠CAD=90∘，
∵∠BAO+∠ABO=90∘，
∴∠ABO=∠CAD．
在 △AOB 和 △ADC 中，
∠ABO=∠CAD,∠AOB=∠ADC=90∘,AB=AC,
∴△AOB≌△ADCAAS，
∴AD=OB=3，CD=OA=1，
∴OD=4，
∴C4,−1．
14. 50∘
【解析】连接 OA．
由圆周角定理得 ∠AOC=2∠B=40∘，
∵AC 切 ⊙O 于点 A，
∴∠OAC=90∘，
∴∠C=90∘−40∘=50∘．
15. 758
【解析】∵s=15t−6t2=−6t−542+758，
∴ 汽车刹车后到停下来前进了 758 m．
16. c=−8a
【解析】∵ 抛物线的对称轴为直线 x=−−2a2a=1，
∴x=−2 和 x=4 对应的函数值相等，
而 −30；
当 3 ∴x=−2 和 x=4 时，y=0，即抛物线与 x 轴的交点为 −2,0，4,0，
把 −2,0 代入 y=ax2−2ax+c 得 4a+4a+c=0，即 c=−8a．
第三部分
17. 移项得：
x2−4x=−1.
配方得：
x2−4x+4=−1+4.
即
x−22=3.
开方得：
x−2=±3.∴
原方程的解是：
x1=2+3,x2=2−3.
18. （1） 如图，△ECD 为所作．
（2） 作 AH⊥BD 于 H，如图．
∵AD 为中线，
∴BD=CD，而 AD=ED，∠ADB=∠EDC，
∴△ADB≌△EDCSAS．
∴CE=AB=6，∠E=∠BAD．
在 △AEC 中，
∵CE=6，AE=8，AC=10，
∴CE2+AE2=AC2．
∴△AEC 为直角三角形，∠E=90∘．
∴∠BAD=90∘．
在 Rt△BAD 中，BD=42+62=213．
∵12×BD×AH=12×AB×AD，
∴AH=4×6213=121313，即点 A 到 BC 的距离为 121313．
19. 不能．理由如下：
设矩形的长为 x cm，则宽为 20−xcm，
当 x20−x=101 时，x2−20x+101=0，
Δ=b2−4ac=202−4×101=−4<0，
所以此一元二次方程无实数根．
故用一条长 40 cm 的绳子不能围成一个面积为 101 cm2 的矩形．
20. （1） 如图 1 中，
∵CA=CB，CP=CQ，∠ACB=∠PCQ=90∘，
∴∠ACP=∠BCQ，
∴△ACP≌△BCQ，
∴PA=BQ．
（2） 如图 2 中，作 CH⊥PQ 于 H．
∵PQ⊥BQ，
∴∠PQB=90∘，
∵∠CQP=∠CPQ=45∘，
∴∠CQB=135∘，
∵△ACP≌△CBQ，
∴∠APC=∠CQB=135∘，
∴∠APC+∠CPQ=180∘，
∴A，P，Q 共线，
∵PC=2，
∴CH=PH=2，
在 Rt△ACH 中，AH=AC2−CH2=42−22=14，
∴PA=AH−PH=14−2．
21. （1） ∵OD⊥BC 于 E，
∴BD=CD，
∴BD=CD，
∴△BDC 是等腰三角形．
（2） ∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=90∘，
∵OD⊥BC 于 E，
∴OD∥AC，
∵ 点 O 是 AB 的中点，
∴OE 是 △ABC 的中位线，
∴OE=12AC=12×6=3，
在 Rt△OBE 中，
∵BE=4，OE=3，
∴OB=BE2+OE2=32+42=5，即 OD=OB=5，
∴DE=OD−OE=5−3=2．
22. （1） ∵ 抛物线 y=x2−2x+b 的顶点在 x 轴上，
∴4b−−224×1=0，
∴b=1．
∴ 抛物线的解析式为 y=x2−2x+1．
∵m=b=1，
∴x2−2x+1=1，
解得：x1=0，x2=2，
∴p=0，q=2．
（2） 设平移后的抛物线为 y=x−12+k．
∵ 抛物线的对称轴是 x=1，平移后与 x 轴的两个交点之间的距离是 4，
∴3,0 是平移后的抛物线与 x 轴的一个交点，
∴3−12+k=0，即 k=−4，
∴ 变化过程是：将原抛物线向下平移 4 个单位．
23. （1） 根据表格数据可知：设 y=kx+b，
将 70,100，75,90 代入上式，
得 70k+b=100,75k+b=90, 解得 k=−2,b=240.
∴y=−2x+240．
答：y 与 x 之间的函数关系式为 y=−2x+240．
（2） 根据题意，得
w=x−50⋅y=x−50−2x+240=−2x2+340x−12000=−2x−852+2450.
当 x=85 时，w 的值最大．
答：销售单价为 85 元时，w 的值最大．
（3） 由（2）可知：第一个月还有 3000−2450=550 元的投资成本没有收回，
则要想在全部收回装修投资的基础上使这两个月的总利润至少达到 1722 元，
即 w=1722+550=2272 才可以．
可得方程：−2x−852+2450=2272，
解得 x1≈75.5，x2≈94.5（不符合题意，舍去）．
∵−2<0，
∴ 当 x<85 时，w 随 x 的增大而增大，
∵ 销售单价不得高于 78 元，
∴75.5≤x≤78．
答：第二个月的销售单价的取值范围是 75.5≤x≤78 元．
24. （1） 连接 PC，如图 1．
∵ 四边形 BCEP 是平行四边形，
∴PE∥BC，∠E=∠PBC．
∴∠EPC=∠PCB．
∴CD=PB．
（2） 如图 2，连接 AP，BD，CD，OA，OB，OC，OD，OP．
∵ 四边形 PBCD 是圆内接四边形，四边形 APDC 是圆内接四边形，
∴∠EDC=∠PBC=∠PAC．
∴△APE 和 △CDE 是等边三角形．
∴∠EAP=60∘．
∵PB∥EA，
∴∠APB=∠EAP=60∘．
∴∠AOB=120∘．
作 OF⊥AB 于 F，
则 ∠AOF=12∠AOB=60∘，AF=BF=12AB=32．
∴OA=AFsin60∘=1．
∵DP 的长度是 π6，
∴nπ×1180=π6．
∴n=30∘．
∴∠POD=30∘．
∴∠PBD=15∘．
∵∠PBC=∠E=60∘，
∴∠DBC=45∘．
∴∠DOC=90∘．
∵OC=OD=1，
∴CD=2．
∵△ECD 是等边三角形，
∴EC=CD=2．
25. （1） 抛物线的顶点在直线 y=x−3 上，横坐标为 m，则顶点的坐标为 m,m−3，
则抛物线的表达式为：y=ax−m2+m−3=ax2−2amx+am2+m−3．
（2） ①如图所示，AB∥x 轴，AD=2，
∴ 点 Dm+1,a+m−3，
设：BD=t，
∵BD:BC=1:2，则 BC=2t，则点 Cm+1+t,a+m−3−2t，
又点 C 在抛物线上，则：a+m−3−2t=am+t+1−m2+m−3，
解得：t=0舍去或−2a+2a，
∴S△ADC=12AD⋅CB=−4a+4a；
②若 △ADC 的面积为 1，则 =−4a+4a=1，
解得：a=−45；
∴ 抛物线的表达式为：y=−45x−m2+m−3；
当 m>2m+1 时，即：m<−1 时，−452m+1−m2+m−3=−3，
整理得：4m2+3m+4=0，Δ=b2−4ac<0，故此方程无实数解；
当 2m−1≤m≤2m+1 时，即：−1≤m≤1，则 m−3=−3，解得：m=0；
当 m<2m−1 时，即：m>1，
−452m−1−m2+m−3=−3，
整理并解得：m=13±1058（舍去负值），
故：m 的值为：0 或 13+1058．