2022-2023学年浙江省杭州市萧山区城区六校九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省杭州市萧山区城区六校九年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 二次函数的顶点坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 从个苹果和个雪梨中，任选个，若选中苹果的概率是，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 将抛物线向上平移个单位，再向左平移个单位，那么得到的抛物线的解析式为(    )

A.  B.
C.  D.

4. 对于下列说法不正确的是(    )

A. 开口向下 B. 对称轴为直线
C. 顶点为 D. 随增大而减小

5. 已知圆的面积为，设点到圆心的距离为，若点不在圆内，则的长(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，是的直径，于，，，则为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 如图，点、、、、都是上的点，，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 下列语句：长度相等的弧是等弧；过平面内三点可以作一个圆；平分弦的直径垂直于弦；的圆周角所对的弦是直径；等弦对等弧．其中正确的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

9. 如图，为的直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连结，点与圆心不重合，，则的度数为(    )
    

A.  B.  C.  D.

10. 已知二次函数的图象不经过第二象限，则实数的取值范围是(    )

A.  B. 或
C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 抽屉里放有张黑桃和张红桃共四张扑克牌．从中任意摸出张，记下花色后不放回，再摸出张．摸出的两张扑克牌颜色相同的概率是______．
12. 将二次函数化成的形式为为          ．
13. 直径为的中有一条长度为的弦，则此弦所对的圆周角的度数为______．
14. 如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，，以第一象限内点为圆心半径为的圆经过、两点，则点的坐标为______．

15. 如图，抛物线与轴交于点和，与轴的正半轴交于点，下列结论：；；；，其中所有正确结论的序号是______．

16. 如图，在半圆中半径为，，，与交于点，
    ______；
    当点恰好为的中点时，______．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    已知一个二次函数的图象经过点和．
    求这个二次函数的解析式；
    求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
18. 本小题分
    某商店准备销售、、、四种口味的牛奶，现经过一周试销后统计：口味箱，口味箱，口味箱，口味箱．
    试估计某顾客购买口味的牛奶概率；
    若商店为准备“双十一”促销活动，若根据试销的情况进货箱，这批牛奶中口味的牛奶大概多少箱？
19. 本小题分
    如图，的弦的相交于点，且．
    求证：．

20. 本小题分
    在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角两边足够长，用长的篱笆围成一个矩形花园篱笆只围，两边，设．
    若花园的面积为，求的值；
    若在处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内含边界，不考虑树的粗细，求花园面积的最大值．

21. 本小题分
    已知是的直径，点在上，为的中点．
    Ⅰ如图，连接，，求证：；
    Ⅱ如图，过点作交于点，直径交于点，若为中点，的半径为，求的长．
     
22. 本小题分
    已知二次函数．
    若，则该抛物线的对称轴为______；若，两点在该二次函数图象上，则与的大小关系为______；
    若该函数图象的顶点到轴的距离等于，试求的值；
    若抛物线在时，对应的函数有最大值，求的值．
23. 本小题分
    如图，为的直径，点、都在上，且平分，交于点．
    求证：；
    若，，求的半径；
    于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
抛物线顶点坐标为，
故选：．
由二次函数顶点式求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据概率公式，．
故选：．
利用选中苹果的概率公式列出方程求解即可．
用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
 

3.【答案】 

【解析】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线向上平移个单位所得抛物线的解析式为：；
由“左加右减”的原则可知，将抛物线向左平移个单位所得抛物线的解析式为：．
故选：．
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解形如的二次函数的性质．
利用二次函数的性质逐一判断后即可确定正确的选项．
【解答】
解：中，开口向下，A正确，不符合题意；
对称轴为直线，B正确，不符合题意；
顶点为，C正确，不符合题意；
当时随着的增大而增大，D错误，符合题意，
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：设圆的半径为，
则，
解得：或舍，
点在圆内，
，
所以可以为，
故选：．
要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，若点到圆心的距离为，圆的半径，则时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．
本题考查了对点与圆的位置关系的判断．解决此类题目的关键是首先确定点与圆心的距离，然后与圆的半径进行比较，进而得出结论．
 

6.【答案】 

【解析】解：连接．
是的直径，，
；
又于，，
垂径定理；
在中，勾股定理，
，即；
故选：．
连接构建利用圆的直径与半径的数量关系、垂径定理求得，；然后根据勾股定理求得；最后利用线段间的和差关系求得求得的长度即可．
本题考查了勾股定理的应用、垂径定理．解题时，根据垂径定理构造直角三角形，运用勾股定理求解是本题难点．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接、，
点、、、都是上的点，
，
，
，
，
，
点、、、都是上的点，
，
，
故选：．
连接、，根据圆内接四边形的性质求出，根据等腰三角形的性质求出，再根据圆内接四边形的性质计算即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：长度相等的弧不一定是等弧，本小题说法错误；
过平面内不在同一直线上的三点可以作一个圆，本小题说法错误；
平分弦不是直径的直径垂直于弦，本小题说法错误；
的圆周角所对的弦是直径，本小题说法正确；
在同圆或等圆中，等弦所对的劣等弧，所对的优弧是等弧，本小题说法错误；
故选：．
根据等弧的概念、确定圆的条件、垂径定理的推论、圆周角定理判断即可．
本题考查的是等弧的概念、确定圆的条件、垂径定理的推论、圆周角定理，掌握相关的概念和性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，

是直径，
，
，
，
根据翻折的性质，所对的圆周角为，所对的圆周角为，
，
，
中，，
，
故选：．
连接，根据直径所对的圆周角是直角求出，根据直角三角形两锐角互余求出，再根据翻折的性质得到的度数，最后利用三角形内角和可得结论．
本题考查了圆周角定理以及折叠问题的知识，根据同弦所对的两个圆周角互补求解是解题的关键，此题难度不大．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得，
解得或，
故选：．
由于二次函数的图象不经过第二象限，根据二次项系数知道抛物线开口向下，由此可以得出关于的不等式组，解不等式组即可求解．
本题考查了二次函数图象和系数的关系，二次函数与不等式的关系，熟练掌握二次函数的图象及性质，抓住对称轴、函数与轴的交点的特点是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

由树状图知，共有种等可能结果，其中摸出的两张扑克牌颜色相同的有种结果，
所以摸出的两张扑克牌颜色相同的概率为，
故答案为：．
画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求出事件或的概率．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的解析式有三种形式：
一般式：、、为常数；
顶点式：；
交点式与轴：
利用配方法整理即可得解．
【解答】

解：，
所以，．
故答案为：．

13.【答案】或 

【解析】解：如图所示，的直径为，弦，为优弧上一点，
，
是等边三角形，
，
，
即弦所对的圆周角等于；
如图所示，的直径为，弦，为劣弧上一点，
，
是等边三角形，
，
则，，
，
，
即弦所对的圆周角为；
故答案为：或．
由的半径为，弦的长为，可知弦的长恰好等于的半径，则是等边三角形，则；而弦所对的弧有两段，一段是优弧，一段是劣弧；因此本题要分类讨论．
本题主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定和性质和圆内接四边形的性质，要注意的是弦所对的圆周角有两种情况，需分类讨论，以免漏解是解答此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：过点作于点，轴于点，连接，如图所示，

二次函数的图象与轴交于点，，
解得，
，，
、两点的坐标分别为，，
，，
，
，
，
在中，
，
点的纵坐标为，
轴，，
，
四边形是矩形，
，
点的横坐标为，
点的坐标为
故答案为：
过点分别作于点，轴于点，先根据二次函数求出、两点的坐标，再进一步求出线段的长，利用垂径定理与勾股定理求出的长，即点的纵坐标，再求出的长，即点的横坐标．
本题考查了二次函数与轴的交点及垂径定理的应用，掌握点到轴，轴的距离就是点的横纵坐标的绝对值是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：抛物线的开口向下，
，
由图可知
，
，
当时，，
，
正确，
根据图象可得，当时，，
正确，
，
，
错误，
当时，的值为，
时，，
，
若为顶点的值，
则，
由图象可知不是顶点的值，故错误；
故答案为：．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
 

16.【答案】   

【解析】解：，，
，
，
，
为圆的直径，
，
；
故答案为：；
设，
点恰好为的中点，
，
在中，，
，
在中，根据勾股定理得，
，
即，
解得舍去，
．
故答案为：．
根据，，得，所以，由为圆的直径，得，所以；
设，得，，在中，根据勾股定理得，即可求出答案．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系和勾股定理，解题的关键是正确利用勾股定理解决问题．
 

17.【答案】解：由题意得，
解这个方程组得，
所以所求二次函数的解析式是；
，
所以顶点坐标是，对称轴是直线． 

【解析】利用待定系数法确定二次函数的解析式；
把中得到的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质确定顶点坐标和对称轴．
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
 

18.【答案】解：，
估计某顾客购买口味的牛奶概率为．
箱，
答：这批牛奶中口味的牛奶大概箱． 

【解析】用口味的牛奶箱数除以总箱数即可；
用乘以口味的牛奶的概率即可．
本题考查的是利用频率估计概率，用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
 

19.【答案】证明：连接，如图，
，
，
即，
，
，
． 

【解析】连接，如图，根据圆心角、弧、弦的关系得到，则，然后根据圆周角定理得到，从而得到结论．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆心角、弧、弦的关系．
 

20.【答案】解：，则，
，
解得：，，
答：的值为或；

，
，
，
在处有一棵树与墙，的距离分别是和，
，
，
当时，取到最大值为：，
答：花园面积的最大值为平方米． 

【解析】根据题意得出长宽，进而得出答案；
由题意可得出：，再利用二次函数增减性求得最值．
此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出与的函数关系式是解题关键．
 

21.【答案】Ⅰ证明：如图连接，
为的中点，
，
，
，
，
，
；

Ⅱ如图，连接，
，为中点，
，
，
，
是的直径，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
的半径为，
，
． 

【解析】

【分析】
本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，等腰三角形的性质等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
Ⅰ如图连接，根据圆心角、弧、弦的关系，则，根据圆周角定理得到，从而得到，即可证得；
Ⅱ如图，连接，根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，根据垂径定理得到，根据圆心角、弧、弦的关系得到，进一步证得是等腰直角三角形，求得，即可求得．  

22.【答案】直线   

【解析】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，抛物线对称轴为直线，
，
点到对称轴距离大于点到对称轴距离，
．
故答案为：直线；．
抛物线顶点坐标为，
图象顶点到轴距离为时，或，
解得或．
当，函数取最大值时，将代入得，
解得或，
当时，抛物线对称轴为直线，时函数取最大值，不符合题意．
当时，抛物线对称轴为直线，时函数取最大值，符合题意．
当，函数取最大值时，将代入得，
解得或，
当时，抛物线对称轴为直线，时函数取最大值，符合题意．
当时，抛物线对称轴为直线，时函数取最大值，符合题意．
综上所述，或．
将二次函数解析式化为顶点式可得对称轴，由点，与对称轴距离的大小关系可判断与的大小关系．
令抛物线顶点纵坐标为求解．
分类讨论，时函数取最大值．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

23.【答案】证明：平分，
，
，
；
解：如图，过点作于点，

为的直径，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
理由如下：
如图，过点作，交的延长线于点，

四边形内接于圆，
，
，，平分，
，，四边形是正方形，
≌，
，，
，
，
．
即． 

【解析】此题考查了和圆有关的综合性题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质、圆周角定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握圆的有关性质定理是解题的关键．
由平分，根据圆周角定理，可得；
过点作于点，求出长，则，可求出；则答案得出；
过点作，交的延长线于点，可证明≌，则，则结论可得出．