高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质优质学案设计

5.4.3   正切函数的性质与图象

【学习目标】

【自主学习】

正切函数y＝tanx的图象与性质

解读：1.正切函数在每一个开区间(k∈Z)内都是增函数，不能说函数在其定义域内是单调递增函数．

2.正切函数的图象的简图可以用“三点两线法”作出，三点指的是(kπ，0)，，，k∈Z，两线为直线x＝kπ＋和直线x＝kπ－，其中k∈Z，这样可以快速地作出正切函数的图象．

思考1：正切函数y＝tanx的图象与x＝kπ＋，k∈Z有公共点吗？

思考2：直线y＝a与y＝tanx的图象相邻两交点之间的距离是多少？

【小试牛刀】

思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)正切函数的定义域和值域都是R.(　　)

(2)正切函数的图象是连续不断的．(　　)

(3)正切函数在定义域内无最大值和最小值．(　　)

(4)正切函数没有对称轴，但有对称中心．(　　)

(5)函数y＝tanx在其定义域上是增函数．(　　)

(6)函数y＝tanx为奇函数，故对任意x∈R都有tan (－x)＝－tanx．(　　)

【经典例题】

题型一  正切函数的定义域和值域

点拨：求正切函数定义域的方法

1.求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tanx有意义即x≠＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．

2.求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω>0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x.

例1 求下列函数的定义域：

(1)y＝tan；(2)y＝.

【跟踪训练】1 求下列函数的值域：

(1)y＝tan(π－x)，x∈；(2) y=tan,x∈.

题型二  正切函数的奇偶性、周期性与对称性

点拨：

1.一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期．

2.若函数y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ或φ＝kπ＋(k∈Z)，否则为非奇非偶函数．

3.正切函数是奇函数，所以原点是y＝tanx的对称中心，同样，结合y＝tanx的图象，可以得到k∈Z都是正切函数的对称中心．

例2　(1)函数y＝3tan (2x＋)的最小正周期是(　　)

A．　　B．　　C．π　　D．3

(2)函数f(x)＝(　　)

A．是奇函数                       B．是偶函数

C．既是奇函数又是偶函数           D．既不是奇函数也不是偶函数

【跟踪训练】2 (1)若f(x)＝tan (ωx)(ω＞0)的周期为1，则f()的值为(　　)

A．－     B．－      C．       D．

(2)已知函数f(x)＝tan(x＋φ)的图象的一个对称中心为且|φ|<，则φ＝________.

题型三   正切函数的单调性及应用

角度1：求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法

1.若ω>0，由于y＝tanx在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－<ωx＋φ<kπ＋，求得x的范围即可．

2.若ω<0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．

例3-1 求函数y＝tan的单调区间.

例3-2 函数的单调递减区间为_______________.

角度2：运用正切函数单调性比较大小的方法

1.运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．

2.运用单调性比较大小关系．

例4 比较大小：

(1)tan_______tan；(2)tan_______tan.

角度3：解关于tanx的不等式：先写出这个不等式在一个周期上的解，再结合周期性得出x的解集．

例5 解不等式：

(1) 1＋tan x≤0； (2)tan≤.

【跟踪训练】3设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称．

(1)求f(x)的解析式；

(2)求f(x)的单调区间；

(3)求不等式－1≤f(x)≤的解集．

【当堂达标】

1.函数y＝的定义域为(　　)

A.，k∈Z           B．{x|x≠kπ－，k∈Z}

C.，k∈Z           D.，k∈Z

2.已知x∈[0,2π],则函数y=+的定义域为 (　　)

A.     B.       C.      D.

3.下列关于函数y＝tan的说法正确的是(　　)

A．在区间上单调递增       B．最小正周期是2π

C．图象关于点成中心对称      D．图象关于直线x＝成轴对称

4.函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝所得线段长为，则f的值是(　　)

A．0         B．1        C．－1   D.

5.与函数y＝tan的图象不相交的一条直线是(　　)

A．x＝      B．x＝－   C．x＝    D．x＝

6.（多选）已知函数，则下列结论正确的是（       ）

A．是奇函数

B．的定义域是

C．在上单调递增

D．的图象的对称中心是，

7.函数y＝tanx的值域是________．

8.已知函数是上的严格增函数，则正实数的取值范围是______.

9.已知函数，求的最小正周期、定义域与单调区间.

【课堂小结】

1.正切函数的图象

正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋，k∈Z，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增.

2.正切函数的性质

(1)正切函数y＝tanx的定义域是，值域是R.

(2)正切函数y＝tanx的最小正周期是π，函数y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的周期为T＝.

(3)正切函数在(k∈Z)上递增，不能写成闭区间．正切函数无单调减区间.

【参考答案】

【自主学习】

 π  奇

思考1：没有．正切曲线是由被互相平行的直线x＝kπ＋(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的.

思考2：由图象结合正切函数的周期性可知，两交点之间的距离为π.

【小试牛刀】

(1)×　(2)×  (3)√　(4)√ 　(5)×　(6)×

【经典例题】

例1  解：(1)由x＋≠kπ＋(k∈Z)得，x≠kπ＋，k∈Z，

所以函数y＝tan的定义域为.

(2)由tanx≠0且tanx有意义得x≠kπ且x≠kπ＋，k∈Z，即x≠，k∈Z，

所以函数y＝的定义域为.

【跟踪训练】1 解：(1)y＝tan(π－x)＝－tanx，在上为减函数，所以值域为(－，1)．

 (2)∵x∈，∴，

∴，

∴函数的值域为.

例2  (1)A 解析：由解析式及正切函数的性质，最小正周期T＝.

(2)A 解析：要使f(x)有意义，必须满足即x≠kπ＋，且x≠(2k＋1)π(k∈Z)，

∴函数f(x)的定义域关于原点对称．

又f(－x)＝＝－＝－f(x)，

故f(x)＝是奇函数．

【跟踪训练】2 (1)D  解析：∵f(x)＝tan (ωx)(ω＞0)的周期为＝1，∴ω＝π，即f(x)＝tanπx，则f()＝tan＝.

(2) 或－ 解析：由题意得＋φ＝(k∈Z)，即φ＝－(k∈Z)，

又|φ|<，所以φ＝或φ＝－.

例3-1  解：由kπ－<x－<kπ＋(k∈Z)得，

2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z，

所以函数y＝tan的单调递增区间是(k∈Z)．

例3-2 解析：

由题意可知，求函数的单调递减区间只需求的单调递增区间，

由得，

所以函数的单调递减区间为.

例4   <  >  解析： (1)tan＝tan，且0＜＜＜，

又y＝tanx在(0，)上单调递增，

所以tan＜tan，即tan＜tan.

(2)由于tan＝tan＝tan＝－tan，

tan＝－tan＝－tan，

又0<<<，而y＝tanx在上单调递增，

所以tan<tan，－tan>－tan，即tan>tan.

例5 解：(1)不等式1＋tan x≤0即tan x≤－1，

由正切函数图象可知在上，使不等式1＋tan x≤0成立的x的取值范围是－＜x≤－.

故使不等式成立的x的集合为.

 (2)由函数y＝tanx的图象可知在上满足tanx≤的解应满足－<x≤，

再结合y＝tanx的周期，将x＋看成一个整体，

得kπ－<x＋≤kπ＋，k∈Z，即kπ－π<x≤kπ，k∈Z，

所以不等式tan≤的解集为.

【跟踪训练】3 解：(1)由题意，知函数f(x)的最小正周期T＝，即＝.

因为ω＞0，所以ω＝2，所以f(x)＝tan(2x＋φ)．

因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称，

所以2×＋φ＝，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z.

因为0＜φ＜，所以φ＝.故f(x)＝tan.

(2)令－＋kπ＜2x＋＜＋kπ，k∈Z，得－＋kπ＜2x＜kπ＋，k∈Z，

∴－π＋π＜x＜π＋，k∈Z，

故f(x)的增区间为，k∈Z，无减区间．

(3)由(1)，知f(x)＝tan.

由－1≤tan≤，得－＋kπ≤2x＋≤＋kπ，k∈Z，即－＋≤x≤＋，k∈Z.

所以不等式－1≤f(x)≤的解集为.

【当堂达标】

1.D 解析：若使函数y＝有意义，需使tanx－1>0，即tanx>1.结合正切曲线，可得kπ＋<x<kπ＋(k∈Z)．所以函数y＝的定义域是(k∈Z)．

2.C 解析：由题意知∴函数的定义域为,故选C.

3.C 解析：令kπ－<x＋<kπ＋，解得kπ－<x<kπ＋，k∈Z，显然不满足上述关系式，故A错误；易知该函数的最小正周期为π，故B错误；令x＋＝，解得x＝－，k∈Z，令k＝1得到x＝，∴是函数的对称中心，故C正确；正切曲线没有对称轴，因此函数y＝tan的图象也没有对称轴，故D错误．故选C.

4.A 解析：由题意，T＝＝，∴ω＝4，∴f(x)＝tan4x, f＝tanπ＝0，故选A.

5.D 解析：当x＝时，2x＋＝，而的正切值不存在，所以直线x＝与函数的图象不相交．故选D.

6.ACD 解析：对于A，定义域关于原点对称，且，故是奇函数，故A正确；

对于B，令，得，可知的定义域为，故B错误；

对于C，令，解得，当时，在上单调递增，故C正确；

对于D，，得，即的图象的对称中心是，故D正确；

故选：ACD

7. (－∞，－1]∪[1，＋∞) 解析：因为y＝tanx在，上都是增函数，

所以y≥tan＝1或y≤tan＝－1.

8. 解析：∵函数在内是单调增函数，

∴，解得，经检验，满足题意.

∴的取值范围是．

9. 解：因为，所以的最小正周期为：；

由正切函数的性质可知，，，解得，，，故的定义域为；

又因为的单调递增区间为，，且无单调递减区间，

故由，，解得，，，

从而的单调增区间为，，

无单调递减区间.