高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质学案设计，共9页。


授课提示：对应学生用书第100页
[教材提炼]
知识点 正切函数的性质与图象
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
从正切函数的定义出发，可以研究它的哪些性质？
知识梳理 (1)
(2)正切图象的画法
①当x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，线段AT的长度就是相应角x的正切值．我们可以利用线段AT画出函数y＝tan x，x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))的图象，如图所示．
再根据奇函数的性质得出(－eq \f(π,2)，0)的图象，根据周期性作其他周期内图象．
②“三点两线法”
“三点”分别为(kπ，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)，1))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,4)，－1))，其中k∈Z；两线为直线x＝kπ＋eq \f(π,2)和直线x＝kπ－eq \f(π,2)，其中k∈Z.(两线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交)．
[自主检测]
1．y＝tan(x＋π)是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
答案：A
2．y＝4taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,6)))的最小正周期为( )
A.eq \f(2π,3) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,2) D.eq \f(π,6)
答案：B
3．函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的定义域是________，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝________.
答案：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,3)，k∈Z)))) eq \r(3)
4．函数y＝－tan x的单调递减区间是________．
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)
授课提示：对应学生用书第101页
探究一 正切函数的定义域、值域问题
[例1] 求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))；(2)y＝eq \r(\r(3)－tan x).
[解析] (1)由x＋eq \f(π,4)≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)得，
x≠kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z，所以函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))，其值域为(－∞，＋∞)．
(2)由eq \r(3)－tan x≥0得，tan x≤eq \r(3).
结合y＝tan x的图象可知，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上，
满足tan x≤eq \r(3)的角x应满足－eq \f(π,2)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)求正切函数定义域的方法及求值域的注意点
求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．解形如tan x>a的不等式的步骤：
求函数y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋6x))的定义域和值域．
解析：由eq \f(π,4)＋6x≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)得
x≠eq \f(kπ,6)＋eq \f(π,24)(k∈Z)，所以函数y＝3tan(eq \f(π,4)＋6x)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(kπ,6)＋\f(π,24)，k∈Z))))，其值域为(－∞，＋∞)．
探究二 正切函数的图象及应用
[例2] (1)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)π，\f(3,2)π))上，函数y＝tan x与y＝sin x的图象的交点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)作出函数y＝tan|x|的图象；
(3)利用正切图象求解不等式tan x≥eq \f(\r(3),3).
[解析] (1)法一：在同一平面直角坐标系中，先作出函数y＝sin x与y＝tan x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)π，\f(3,2)π))的图象，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，有sin x＜x＜tan x(利用单位圆中的正弦线、正切线可证明)，然后利用对称性、周期性作出x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)π，\f(3,2)π))上两函数的图象(注意正切函数的定义域)，如图所示，由图象可知它们有三个交点．
法二：令sin x＝tan x＝eq \f(sin x,cs x)，得sin xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,cs x)))＝0，解得sin x＝0或cs x＝1.
在x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)π，\f(3,2)π))内，x＝－π，0，π满足sin x＝0，x＝0满足cs x＝1，故交点个数为3.
(2)y＝tan|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan x，x≥0，,tan－x，x＜0.))其图象如下：
(3)在同一平面直角坐标系中作出正切函数在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的图象和直线y＝eq \f(\r(3),3)，如图所示，显然在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上，x＝eq \f(π,6)满足tan x＝eq \f(\r(3),3).
由图可知在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上，使不等式tan x≥eq \f(\r(3),3)成立的x的取值范围是eq \f(π,6)≤x＜eq \f(π,2).
故使不等式成立的x的集合为
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,6)≤x＜kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))).
[答案] (1)C (2)(3)见解析
与y＝tan x有关的一些图象，结合y＝tan x，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))的图象及变换进行作图．
不等式1＋tan x≤0的解集为________．
解析：不等式1＋tan x≤0即tan x≤－1，在同一平面直角坐标系中作出正切函数在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的图象和直线y＝－1，如图所示，显然在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上，x＝－eq \f(π,4)满足tan x＝－1.由图象可知在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上，使不等式1＋tan x≤0成立的x的取值范围是－eq \f(π,2)＜x≤－eq \f(π,4).故使不等式成立的x的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)＜x≤kπ－\f(π,4)，k∈Z)))).
答案：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)＜x≤kπ－\f(π,4)，k∈Z))))探究三 正切函数的单调性及应用
[例3] (1)求函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))的单调区间；
(2)比较tan 1、tan 2、tan 3的大小．
[解析] (1)y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))＝
－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,4)))，
由kπ－eq \f(π,2)得2kπ－eq \f(π,2)∴函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))的单调递减区间是
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(3,2)π))，k∈Z.
(2)∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，
又∵eq \f(π,2)<2<π，∴－eq \f(π,2)<2－π<0.
∵eq \f(π,2)<3<π，∴－eq \f(π,2)<3－π<0，
显然－eq \f(π,2)<2－π<3－π<1且y＝tan x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内是增函数，
∴tan(2－π)即tan 21．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法
(1)若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－eq \f(π,2)<ωx＋φ(2)若ω<0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．
2．运用正切函数单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
(2)运用单调性比较大小关系．
比较tan eq \f(6,5)π与taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,7)π))的大小．
解析：tan eq \f(6,5)π＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,5)))＝tan eq \f(π,5)，
taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,7)π))＝－tan eq \f(13,7)π＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－\f(π,7)))
＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,7)))＝tan eq \f(π,7)，
∵－eq \f(π,2)y＝tan x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上单调递增，
∴tan eq \f(π ,7)即tan eq \f(6,5)π>taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,7)π)).
授课提示：对应学生用书第102页
一、正切函数图象与性质的综合应用
形如y＝Atan(ωx＋φ)的函数可结合其定义域、对称性、周期性eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(T＝\f(π,|ω|)))、单调性等性质，研究图象及解析式、方程式和不等式．
[典例] 设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω＞0，0＜φ＜\f(π,2)))，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为eq \f(π,2)，且图象关于点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，0))对称．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)求不等式－1≤f(x)≤eq \r(3)的解集．
[解析] (1)由题意，知函数f(x)的最小正周期T＝eq \f(π,2)，即eq \f(π,|ω|)＝eq \f(π,2).
因为ω＞0，所以ω＝2，所以f(x)＝tan(2x＋φ)．
因为函数y＝f(x)的图象关于点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，0))对称，
所以2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)))＋φ＝eq \f(kπ,2)，k∈Z，
即φ＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,4)，k∈Z.
因为0＜φ＜eq \f(π,2)，所以φ＝eq \f(π,4).
故f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))).
(2)令－eq \f(π,2)＋kπ＜2x＋eq \f(π,4)＜eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，
得－eq \f(3π,4)＋kπ＜2x＜kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z，
∴－eq \f(3,8)π＋eq \f(k,2)π＜x＜eq \f(k,2)π＋eq \f(π,8)，k∈Z，
故f(x)的增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,8)π＋\f(k,2)π，\f(k,2)π＋\f(π,8)))，k∈Z，无减区间．
(3)由(1)，知f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))).
由－1≤taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))≤eq \r(3)，
得－eq \f(π,4)＋kπ≤2x＋eq \f(π,4)≤eq \f(π,3)＋kπ，k∈Z，
即－eq \f(π,4)＋eq \f(kπ,2)≤x≤eq \f(π,24)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z.
所以不等式－1≤f(x)≤eq \r(3)的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)＋\f(kπ,2)≤x≤\f(π,24)＋\f(kπ,2)))，k∈Z)).
二、定义域不明，图象画错
[典例] 求函数f(x)＝tan x＋|tan x|的最小正周期及值域．
[解析] f(x)＝tan x＋|tan x|
＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，x∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ)),2tan x，x∈\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ，kπ＋\f(π,2)))))(k∈Z)，
作出f(x)＝tan x＋|tan x|的简图，如图所示，易得函数f(x)＝tan x＋|tan x|的周期T＝π.
值域为[0，＋∞)．
纠错心得 忽视定义域或者定义域求错，认为x≠kπ，使图象画错，求得周期T＝eq \f(π,2)，故值域(0，＋∞)．特别注意正切函数是不连续函数，要分段处理．
内 容 标 准
学 科 素 养
1.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质．
直观想象
逻辑推理
2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题.
图象
定义域
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))
值域
R
周期性
最小正周期：π
奇偶性
奇函数
单调性
递增区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))，k∈Z
对称性
对称中心坐标eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z