2022-2023学年北京市东城区东直门中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2022-2023学年北京市东城区东直门中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）如图，在△ABC中，D，E两点分别在边AB，AC上，DE∥BC．若DE：BC＝3：4，则S△ADE：S△ABC为（ ）
A．3：4B．4：3C．9：16D．16：9
3．（3分）已知点A（1，y1），B（﹣4，y2）都在二次函数y＝﹣x2+3图象上，则y1，y2大小关系为（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法确定
4．（3分）若关于x的一元二次方程x2+6x﹣a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a＞﹣9B．a＜﹣9C．a≥﹣9D．a≤﹣9
5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦．若∠BAD＝24°，则∠C的度数为（ ）
A．24°B．56°C．66°D．76°
6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A为圆心作一个半径为2的圆，下列结论中正确的是（ ）
A．点B在⊙A内B．点C在⊙A上
C．直线BC与⊙A相切D．直线BC与⊙A相离
7．（3分）如图，在正方形网格中，△MPN绕某一点旋转某一角度得到△M′P′N′，则旋转中心可能是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
8．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝10．动点M，N分别从A，C两点同时出发，点M从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿CB向点B以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为t，点M，C之间的距离为y，△MCN的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，一次函数关系
B．正比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，正比例函数关系
D．一次函数关系，二次函数关系
二、填空题
9．（3分）点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为 ．
10．（3分）若关于x的方程x2﹣kx﹣12＝0的一个根为2，则k的值为 ．
11．（3分）请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y轴的交点坐标为（0，3）．此二次函数的解析式可以是 ．
12．（3分）天坛是古代帝王祭天的地方，其中最主要的建筑就是祈年殿．老师希望同学们利用所学过的知识测量祈年殿的高度．数学兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量图形，并测出竹竿AB长2米，在太阳光下，它的影长BC为1米，同一时刻，祈年殿的影长EF约为19米．请你根据这些数据计算出祈年殿的高度DE约为 米．
13．（3分）如图，E为正方形ABCD内的一点，△AEB绕点B按顺时针旋转90°后成为△CFB，连接EF，若A、E、F三点在同一直线上，则∠AEB的度数为 ．
14．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为 ．
15．（3分）如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是点A和B，AC是⊙O的直径．若∠P＝60°，PA＝6，则BC的长为 ．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把由两条射线AE、BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C．已知A（﹣1，0），B（1，0），AE∥BF，且半圆与y轴的交点D在射线AE的反向延长线上，当一次函数y＝x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，b的取值范围是 ．
三、解答题
17．解方程：
（1）x2﹣9＝0；
（2）x2+8x+1＝0．
18．已知一个二次函数的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0）和C（0，3）三点，求此二次函数的解析式．
19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，CD＝16．求AE的长．
20．下面是小融设计的“过直线外一点作圆与这条直线相切”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P（如图1）．
求作：⊙P，使它与直线l相切．
作法：如图2，
①在直线l上任取两点A，B；
②分别以点A，点B为圆心，AP，BP的长
为半径画弧，两弧交于点Q；
③作直线PQ，交直线l于点C；
④以点P为圆心，PC的长为半径画⊙P．
所以⊙P即为所求．
根据小融设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接AP，AQ，BP，BQ．
∵AP＝ ，BP＝ ，
∴点A，点B在线段PQ的垂直平分线上．
∴直线AB是线段PQ的垂直平分线．
∵PQ⊥l，PC是⊙P的半径，
∴⊙P与直线l相切（ ）（填推理的依据）．
21．已知二次函数的解析式是y＝x2﹣2x﹣3
（1）与x轴的交点坐标是 ，顶点坐标是 ；
（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
（3）当﹣2≤x＜2时，直接写出y的取值范围．
22．在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题：
（1）将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的△AB1C1
（2）求点B的移动路径长．
23．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围．
24．如图，AB是圆O的弦，OA⊥OD，AB，OD相交于点C，且CD＝BD．
（1）判断BD与圆O的位置关系，并证明你的结论；
（2）当OA＝3，OC＝1时，求线段BD的长．
25．广场修建了一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，记喷出的水与池中心的水平距离为x米，距地面的高度为y米．测量得到如表数值：
小庆根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小庆的探究过程，请补充完整：
（1）在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数的图象；
（2）结合函数图象，出水口距地面的高度为 米，水达到最高点时与池中心的水平距离约为 米；
（3）若圆形喷水池半径为5米，为了使水柱落地点在池内且与水池边水平距离不小于1.5米，若只调整水管高度，其他条件不变，结合函数图象，估计出水口至少需要 （填“升高”或“降低”） 米（结果保留小数点后一位）．
26．在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．
（1）当c＝﹣3，t＝2时，求抛物线与y轴交点坐标及比较m，n的大小关系；
（2）点（x0，m）在抛物线上，且2＜x0＜3，求t的取值范围，并比较m，n，c的大小关系．
27．已知，点O是线段AB的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D．
（1）如图1，当点P和点O重合时，直接写出OC与OD的数量关系；
（2）如图2，当P为线段AB上任意一点时，
①依题意补全图形；
②请用等式表示线段OC和OD的数量关系，并证明；
（3）如图3，若∠COD＝60°，请用等式直接写出AC、BD、OC之间的数量关系．
28．对于⊙C与⊙C上一点A，若平面内的点P满足：射线AP与⊙C交于点Q，且PA＝2QA，则称点P为点A关于⊙C的“倍距点”，已知平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（2，0）．
（1）如图1，点O是坐标原点，⊙O的半径是2，点P是点A关于⊙O的“倍距点”．
①若点P在x轴的负半轴上，直接写出点P的坐标 ；
②若点P在第二象限，且∠PAO＝45°，求点P的坐标；
（2）设点T（t，0），以T为圆心，TA长为半径作⊙T，直线y＝﹣x+4分别与x轴、y轴交于点D、E，若直线y＝﹣x+4上存在点P，使得P是点A关于⊙T的“倍距点”，求t的取值范围．
2022-2023学年北京市东城区东直门中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．（3分）如图，在△ABC中，D，E两点分别在边AB，AC上，DE∥BC．若DE：BC＝3：4，则S△ADE：S△ABC为（ ）
A．3：4B．4：3C．9：16D．16：9
【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质可求出S△ADE：S△ABC的值．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
3．（3分）已知点A（1，y1），B（﹣4，y2）都在二次函数y＝﹣x2+3图象上，则y1，y2大小关系为（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法确定
【分析】根据解析式求得开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性即可判断．
【解答】解：∵y＝﹣x2+3，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝0，
∴当x＞0时，y随x增大而减小，
∵A（﹣4，y2）与点（4，y2）关于直线x＝0对称，且0＜1＜4，
∴y1＞y2．
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．
4．（3分）若关于x的一元二次方程x2+6x﹣a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a＞﹣9B．a＜﹣9C．a≥﹣9D．a≤﹣9
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝62+4a＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝62+4a＞0，
解得a＞﹣9．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦．若∠BAD＝24°，则∠C的度数为（ ）
A．24°B．56°C．66°D．76°
【分析】利用圆周角定理，由AB是⊙O的直径得到∠ADB＝90°，再根据互余得到∠B的度数，然后根据圆周角得到∠C的度数．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠BAD＝90°﹣24°＝66°，
∴∠C＝∠B＝66°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A为圆心作一个半径为2的圆，下列结论中正确的是（ ）
A．点B在⊙A内B．点C在⊙A上
C．直线BC与⊙A相切D．直线BC与⊙A相离
【分析】过A点作AH⊥BC于H，如图，利用等腰三角形的性质得到BH＝CH＝BC＝4，则利用勾股定理可计算出AH＝3，然后根据点与圆的位置关系的判定方法对A选项和B选项进行判断；根据直线与圆的位置关系对C选项和D选项进行判断．
【解答】解：过A点作AH⊥BC于H，如图，
∵AB＝AC，
∴BH＝CH＝BC＝4，
在Rt△ABH中，AH＝＝＝3，
∵AB＝5＞3，
∴B点在⊙A外，所以A选项不符合题意；
∵AC＝5＞3，
∴C点在⊙A外，所以B选项不符合题意；
∴AH⊥BC，AH＝3＞半径，
∴直线BC与⊙A相离，所以C选项不符合题意，D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．也考查了点与圆的位置关系和等腰三角形的性质．
7．（3分）如图，在正方形网格中，△MPN绕某一点旋转某一角度得到△M′P′N′，则旋转中心可能是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【分析】连接PP'、NN'、MM'，作PP'的垂直平分线，作NN'的垂直平分线，作MM'的垂直平分线，交点为旋转中心．
【解答】解：如图，
∵△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M'N'P'，
∴连接PP'、NN'、MM'，
作PP'的垂直平分线，作NN'的垂直平分线，作MM'的垂直平分线，
∴三条线段的垂直平分线正好都过B，
即旋转中心是B．
故选：B．
【点评】本题考查了学生的理解能力和观察图形的能力，注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝10．动点M，N分别从A，C两点同时出发，点M从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿CB向点B以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为t，点M，C之间的距离为y，△MCN的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，一次函数关系
B．正比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，正比例函数关系
D．一次函数关系，二次函数关系
【分析】求出y与t，S与t满足的函数关系式，再根据函数的类型进行判断即可．
【解答】解：由题意得，AM＝t，CN＝2t，
∴MC＝AC﹣AM＝5﹣t，
即y＝5﹣t，
∴S＝MC•CN＝5t﹣t2，
因此y是t的一次函数，S是t的二次函数，
故选：D．
【点评】本题考查一次函数、二次函数，理解一次函数、二次函数的意义是正确解答的前提，求出y与t，S与t的函数关系式是正确判断的关键．
二、填空题
9．（3分）点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为 （1，3） ．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．
【解答】解：点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为：（1，3）．
故答案为：（1，3）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
10．（3分）若关于x的方程x2﹣kx﹣12＝0的一个根为2，则k的值为 ﹣4 ．
【分析】根据一元二次方程的定义，把x＝2代入方程得到关于k的一次方程，然后解一次方程即可．
【解答】解：把x＝2代入x2﹣kx﹣12＝0得4﹣2k﹣12＝0，
解得k＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
11．（3分）请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y轴的交点坐标为（0，3）．此二次函数的解析式可以是 y＝﹣x2+3（答案不唯一） ．
【分析】根据二次函数的性质可得出a＜0，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出c＝3，取a＝﹣1，b＝0即可得出结论．
【解答】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c．
∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），
∴c＝3．
取a＝﹣1，b＝0时，二次函数的解析式为y＝﹣x2+3．
故答案为：y＝﹣x2+3（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出a＜0，c＝3是解题的关键．
12．（3分）天坛是古代帝王祭天的地方，其中最主要的建筑就是祈年殿．老师希望同学们利用所学过的知识测量祈年殿的高度．数学兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量图形，并测出竹竿AB长2米，在太阳光下，它的影长BC为1米，同一时刻，祈年殿的影长EF约为19米．请你根据这些数据计算出祈年殿的高度DE约为 38 米．
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【解答】解：根据相同时刻的物高与影长成比例，
设祈年殿DE的高度为x米，
则可列比例为＝，
解得x＝38．
所以祈年殿DE的高度为38米．
故答案为：38．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，利用在同一时刻物高与影长的比相等的知识，考查利用所学知识解决实际问题的能力．
13．（3分）如图，E为正方形ABCD内的一点，△AEB绕点B按顺时针旋转90°后成为△CFB，连接EF，若A、E、F三点在同一直线上，则∠AEB的度数为 135° ．
【分析】由旋转的性质知△BEF为等腰三角形，根据△AEB绕点B按顺时针旋转90°后成为△CFB，得旋转角∠EBF＝90°，即△BEF为等腰直角三角形，根据三角形的一个外角等于和他不相邻的内角和．即可求得．
【解答】解：由旋转可知，
BE＝BF，∠EBF＝90°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴∠BEF＝45°，
∵A、E、F三点在同一直线上
∴∠AEB＝180°﹣45°＝135°，
故答案为：135°．
【点评】本题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质．灵活运用旋转的性质和等腰三角形的性质这些知识进行推理是解本题的关键．
14．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为 x1＝﹣1，x2＝3 ．
【分析】根据抛物线的对称性即可求解．
【解答】解：根据图象可得：图象与x轴的一个交点是（﹣1，0），对称轴是：x＝1，
（﹣1，0）关于x＝1的对称点是：（3，0），
则抛物线与x轴的交点是：（﹣1，0）和（3，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为：x1＝﹣1，x2＝3．
故答案为：x1＝﹣1，x2＝3．
【点评】本题考查了二次函数的性质，理解二次函数与x轴的交点的横坐标就是对应的方程的解是解题关键．
15．（3分）如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是点A和B，AC是⊙O的直径．若∠P＝60°，PA＝6，则BC的长为 2 ．
【分析】连接AB，根据切线长定理得到PA＝PB，根据等边三角形的性质得到AB＝PA＝6，∠PAB＝60°，根据切线的性质得到∠PAC＝90°，根据正切的定义计算即可．
【解答】解：连接AB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
∵∠P＝60°，
∴△PAB为等边三角形，
∴AB＝PA＝6，∠PAB＝60°，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAC＝90°，
∴∠CAB＝30°，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，BC＝AB•tan∠CAB＝6×＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把由两条射线AE、BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C．已知A（﹣1，0），B（1，0），AE∥BF，且半圆与y轴的交点D在射线AE的反向延长线上，当一次函数y＝x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，b的取值范围是 b＝ ．
【分析】利用直径所对的圆周角是直角，从而判定三角形ADB为等腰直角三角形，其直角边的长等于两直线间的距离，可利用数形结合的方法得到当直线与图形C有一个交点时自变量x的取值范围．
【解答】解：如图，分别连接AD、DB，则点D在直线AE上，
∵点D在以AB为直径的半圆上，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AD，
在Rt△DOB中，由勾股定理得，BD＝，
∵AE∥BF，
∴两条射线AE、BF所在直线的距离为，
则当一次函数y＝x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，b的取值范围是b＝或﹣1≤b＜1．
故答案为：b＝或﹣1＜b＜1．
【点评】本题是一道一次函数的综合题，题目中还涉及到了勾股定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理的相关知识，题目中还渗透了数形结合思想．
三、解答题
17．解方程：
（1）x2﹣9＝0；
（2）x2+8x+1＝0．
【分析】（1）方程直接开平方法求解即可；
（2）根据配方法的一般步骤先把常数项1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数8的一半的平方，即可得出答案．
【解答】解：（1）x2﹣9＝0，
x2＝9，
x＝±3，
∴x1＝3，x2＝﹣3；
（2）x2+8x+1＝0，
x2+8x＝﹣1，
x2+8x+16＝﹣1+16，
（x+4）2＝15，
x+4＝，
，．
【点评】此题考查了配方法的应用，掌握配方法的一般步骤是本题的关键，配方法的一般步骤是（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
18．已知一个二次函数的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0）和C（0，3）三点，求此二次函数的解析式．
【分析】由于已知二次函数图形与x轴的两交点坐标，则可设交点式y＝a（x+1）（x﹣3），然后把C点坐标代入求出a的值，从而得到二次函数解析式．
【解答】解：设二次函数的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把C（0，3）代入得a•1•（﹣3）＝3，解得a＝﹣1，
所以二次函数的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，CD＝16．求AE的长．
【分析】连接OC，根据垂径定理求出CE，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：如图，连接OC，
∵CD⊥AB，CD＝16．
∴CE＝DE＝CD＝8，
∵AB＝20，
∴OA＝OB＝OC＝AB＝10，
∴OE＝＝＝6，
则AE＝OA﹣OE＝10﹣6＝4．
【点评】此题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
20．下面是小融设计的“过直线外一点作圆与这条直线相切”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P（如图1）．
求作：⊙P，使它与直线l相切．
作法：如图2，
①在直线l上任取两点A，B；
②分别以点A，点B为圆心，AP，BP的长
为半径画弧，两弧交于点Q；
③作直线PQ，交直线l于点C；
④以点P为圆心，PC的长为半径画⊙P．
所以⊙P即为所求．
根据小融设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接AP，AQ，BP，BQ．
∵AP＝ AQ ，BP＝ QB ，
∴点A，点B在线段PQ的垂直平分线上．
∴直线AB是线段PQ的垂直平分线．
∵PQ⊥l，PC是⊙P的半径，
∴⊙P与直线l相切（ 切线判定定理 ）（填推理的依据）．
【分析】（1）见作图步骤；
（2）利用圆的半径相等，线段垂直平分线的判定和性质．
【解答】解：（1）根据题干作图步骤得：
（2）AP＝AQ，
BP＝QB，
AB＝AB，
∴△APB≌△AQB（SAS），
则∠PAB＝∠QAB，
∵AP＝AQ，
∠PAB＝∠QAB，
AC＝AC，
∴△APC≌△AQC，
则PC＝CQ，∠APC＝∠ACQ＝90°，
即AB是线段PQ的垂直平分线，
∵PQ⊥l，PC是⊙P半径，
∴⊙P与直线l相切（切线判定定理），
故答案为：AQ，QB，切线判定定理．
【点评】本题考查作图，线段的垂直平分线的性质，解本题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．已知二次函数的解析式是y＝x2﹣2x﹣3
（1）与x轴的交点坐标是 （﹣1，0），（3，0） ，顶点坐标是 （1，﹣4） ；
（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
（3）当﹣2≤x＜2时，直接写出y的取值范围．
【分析】（1）根据抛物线y＝x2﹣2x﹣3，可以求得抛物线与x轴和y轴的交点；
（2）根据第一问中的三个坐标和二次函数图象具有对称性，在表格中填入合适的数据，然后再描点作图即可；
（3）根据第二问中的函数图象结合对称轴可以直接写出答案．
【解答】解：（1）令y＝0，则0＝x2﹣2x﹣3，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交点的坐标为（﹣1，0），（3，0），
y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）x2﹣4，
所以它的顶点坐标为（1，﹣4），
故答案为：（﹣1，0），（3，0），（1，﹣4）；
（2）列表：
图象如图所示：
（3）当x＝﹣2时，y＝4+4﹣3＝5，
∴当﹣2≤x＜2时，﹣4≤y≤5．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与x轴、y轴的交点、求顶点坐标，画二次函数的图象，关键是可以根据图象得出所求问题的答案．
22．在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题：
（1）将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的△AB1C1
（2）求点B的移动路径长．
【分析】（1）利用网格特点和性质的性质画出B、C的对应点B1、C1即可；
（2）先利用勾股定理计算出AB，然后利用弧长公式计算点B的移动路径长．
【解答】解：（1）如图，△AB1C1为所作；
（2）AB＝＝5，
所以点B的移动路径长＝＝π．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
23．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围．
【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案．
（2）根据因式分解法求出两根，然后列出不等式即可求出答案．
【解答】解：（1）由题意可知：Δ＝（﹣m）2﹣4（m﹣1）＝（m﹣2）2
∵（m﹣2）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）由题意可知：x＝m﹣1或x＝1
∵方程有一个根为负数，
∴m﹣1＜0．
∴m＜1．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
24．如图，AB是圆O的弦，OA⊥OD，AB，OD相交于点C，且CD＝BD．
（1）判断BD与圆O的位置关系，并证明你的结论；
（2）当OA＝3，OC＝1时，求线段BD的长．
【分析】（1）连接OB，由BD＝CD，利用等边对等角得到∠DCB＝∠DBC，再由AO垂直于OD，得到三角形AOC为直角三角形，得到两锐角互余，等量代换得到OB垂直于BD，即可得证；
（2）设BD＝x，则OD＝x+1，在RT△OBD中，根据勾股定理得出32+x2＝（x+1）2，通过解方程即可求得．
【解答】（1）证明：连接OB，
∵OA＝OB，DC＝DB，
∴∠A＝∠ABO，∠DCB＝∠DBC，
∵AO⊥OD，
∴∠AOC＝90°，即∠A+∠ACO＝90°，
∵∠ACO＝∠DCB＝∠DBC，
∴∠ABO+∠DBC＝90°，即OB⊥BD，
则BD为圆O的切线；
（2）解：设BD＝x，则OD＝x+1，而OB＝OA＝3，
在RT△OBD中，OB2+BD2＝OD2，
即32+x2＝（x+1）2，
解得x＝4，
∴线段BD的长是4．
【点评】此题考查了切线的判定，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．
25．广场修建了一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，记喷出的水与池中心的水平距离为x米，距地面的高度为y米．测量得到如表数值：
小庆根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小庆的探究过程，请补充完整：
（1）在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数的图象；
（2）结合函数图象，出水口距地面的高度为 2.5 米，水达到最高点时与池中心的水平距离约为 1.5 米；
（3）若圆形喷水池半径为5米，为了使水柱落地点在池内且与水池边水平距离不小于1.5米，若只调整水管高度，其他条件不变，结合函数图象，估计出水口至少需要 降低 （填“升高”或“降低”） 1.8 米（结果保留小数点后一位）．
【分析】（1）根据表格描点，连线即可得到函数图象；
（2）观察图象可得答案；
（3）求出函数解析式，令x＝3.5即可得到答案．
【解答】解：（1）画出函数的图象如下：
（2）由已知可得，x＝0时，y＝2.5，
∴出水口距地面的高度为2.5米，
由图象可得，水达到最高点时与池中心的水平距离约为1.5米，
故答案为：2.5，1.5；
（3）设y＝ax2+bx+c，
把（0，2.5）（1，3.3）（2，3.3）代入可得，
，
解得，
∴y与x的关系式为y＝﹣0.4x2+1.2x+2.5，
∵5﹣1.5＝3.5，
∴当x＝3.5时，y＝﹣0.4×3.52+1.2×3.5+2.5＝1.8，
∴估计出水口至少需要降低1.8米，
故答案为：降低，1.8．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，根据点的坐标画出函数图象是解题关键．
26．在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．
（1）当c＝﹣3，t＝2时，求抛物线与y轴交点坐标及比较m，n的大小关系；
（2）点（x0，m）在抛物线上，且2＜x0＜3，求t的取值范围，并比较m，n，c的大小关系．
【分析】（1）令x＝0，求得y＝﹣3，即可求得抛物线与y轴的交点坐标，根据待定系数法即可得到，解方程组即可求得m＝n；
（2）根据题意得到对称轴为直线x＝t＝，然后根据二次函数的增减性即可得出m＜n＜c．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝ax2+bx+c＝c，
∵c＝﹣3，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣3），
将点（1，m），（3，n）代入抛物线解析式，
∴，
解得m＝n．
故抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣3），m，n的大小关系为m＝n；
（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过点（1，m），（x0，m），
∴t＝，
∵2＜x0＜3，
∴＜t＜2，
∵抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，且点（1，m）到对称轴的距离最近，点（0，c）到对称轴的距离最远，
∴m＞n＞c．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握二次函数的性质．
27．已知，点O是线段AB的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D．
（1）如图1，当点P和点O重合时，直接写出OC与OD的数量关系；
（2）如图2，当P为线段AB上任意一点时，
①依题意补全图形；
②请用等式表示线段OC和OD的数量关系，并证明；
（3）如图3，若∠COD＝60°，请用等式直接写出AC、BD、OC之间的数量关系．
【分析】（1）由“AAS”可证△OAC≌△OBD，可得OC＝OD；
（2）①见解析过程；
②由“ASA”可证△AOC≌△BOE，可得OC＝OE，由直角三角形的性质可得OC＝OD；
（3）由“ASA”可证△AOC≌△BOE，可得OC＝OE，由直角三角形的性质可得OC＝OD，利用等边三角形的判定和性质以及全等三角形的性质证明即可．
【解答】解：（1）在△OAC和△OBD中，
，
∴△OAC≌△OBD（AAS），
∴OC＝OD；
（2）①如图所示：
②OC＝OD，理由如下：
如图，延长CO交BD于点E，
∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴AC∥BD，
∴∠A＝∠B，
∵点O为AB的中点，
∴AO＝BO，
∵∠AOC＝∠BOE，
∴△AOC≌△BOE（ASA），
∴OC＝OE，
∴点O为CE中点，
∴DO是Rt△CDE斜边上的中线，
∴OD＝OC；
（3）结论：AC+BD＝OC，理由如下：
如图3，延长CO交BD的延长线于点E，
∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴AC∥BD，
∴∠ACO＝∠E，
∵点O为AB的中点，
∴AO＝BO，
又∵∠AOC＝∠BOE，
∴△AOC≌△BOE（AAS），
∴CO＝OE，
∵∠CDE＝90°，
∴OD＝OC＝OE，
∴OC＝OD，
∵∠COD＝60°，OD＝OC，
∴△COD是等边三角形，
∴CD＝OC，∠OCD＝60°，
∵∠CDE＝90°，
∴∠DEC＝30°，
∴DE＝CD，CE＝CD，
∵△AOC≌△BOE，
∴AC＝BE，
∴AC+BD＝BD+BE＝DE＝CD，
∴AC+BD＝OC．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
28．对于⊙C与⊙C上一点A，若平面内的点P满足：射线AP与⊙C交于点Q，且PA＝2QA，则称点P为点A关于⊙C的“倍距点”，已知平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（2，0）．
（1）如图1，点O是坐标原点，⊙O的半径是2，点P是点A关于⊙O的“倍距点”．
①若点P在x轴的负半轴上，直接写出点P的坐标 （﹣6，0） ；
②若点P在第二象限，且∠PAO＝45°，求点P的坐标；
（2）设点T（t，0），以T为圆心，TA长为半径作⊙T，直线y＝﹣x+4分别与x轴、y轴交于点D、E，若直线y＝﹣x+4上存在点P，使得P是点A关于⊙T的“倍距点”，求t的取值范围．
【分析】（1）①②根据点P为点A关于⊙C的“倍距点”的定义，画出图形解决问题即可；
（2）取AD的中点N（3，0），过点N作NK∥DE交y轴于点K．当点T在点A的左侧与直线NK相切于点M时，作射线AM交直线DE于点P，此时PA＝2AM，存在点P，使得P是点A关于⊙T的“倍距点”，再结合图形，可得结论．当点T在点A的右侧与直线NK相切于点M时，作射线AM交直线DE于点P，此时PA＝2AM，存在点P，使得P是点A关于⊙T的“倍距点”，同法可得结论．
【解答】解：（1）①如图1中，当点P在x轴的负半轴上时，QP＝AQ＝4，
∵A（2，0），
∴OA＝OQ＝2，
∴PQ＝AQ＝4，
∴OP＝6，
∴P（﹣6，0）．
故答案为：（﹣6，0）；
②当点P′在第二象限，且∠P′AO＝45°，观察图象可知，点P的坐标（﹣2，4）；
（2）如图2中，
∵直线y＝﹣x+4分别与x轴、y轴交于点D、E，
∴D（4，0），E（0，4），
∴OE＝OD＝4，
∵A（2，0），
∴OA＝2，
取AD的中点N（3，0），过点N作NK∥DE交y轴于点K．
当点T在点A的左侧与直线NK相切于点M时，作射线AM交直线DE于点P，此时PA＝2AM，
∴存在点P，使得P是点A关于⊙T的“倍距点”，
∵OE＝OD，∠DOE＝90°，
∴∠ODE＝45°，
∵NK∥DE，
∴∠TNM＝∠ODE＝45°，
∵TM⊥MN，
∴TM＝MN＝TA，
设TA＝m，则有m2+m2＝（m+1）2，
解得m＝1+或1﹣（舍去），
∴T（1﹣，0），
观察图象可知，当t≤1﹣时，满足条件．
当点T在点A的右侧与直线NK相切于点M时，作射线AM交直线DE于点P，此时PA＝2AM，
∴存在点P，使得P是点A关于⊙T的“倍距点”，
同法可证TA＝TM＝MN，设TA＝TM＝MN＝n，则有n+n＝1，
∴n＝﹣1，
∴T（+1，0），
观察图象可知，当t≥+1时，满足条件．
综上所述，满足条件的t的值为t≤1﹣或t≥+1．
【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的判定和性质，平行线的性质，一次函数的性质，点P为点A关于⊙C的“倍距点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考压轴题．
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