四川省绵阳市2022-2023学年高三数学（理）上学期第一次诊断性试卷（Word版附答案）

绵阳市高中2020级第一次诊断性考试

理科数学

注意事项:

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．己知集合，则

 A.  B. {-1，0，1}

 C. {-1，0，1，2}  D.

2．若，则一定有

 A.  B. C.  D.

3．若命题:“”是真命题，则实数的取值范围是

 A. ≥ B. ≥2 C. ≤ D. ≤-2

4．设，则的值是

 A.1 B.2 C.4 D. 9

5．在△ABC中，点M为边AB上一点，，若，则

 A.3 B.2 C. 1 D.-1

6．已知是等差数列的前项和，若，则

 A. 2 B.3 C. 4 D.6

7．某地锰矿石原有储量为万吨，计划每年的开采量为本年年初储量的

倍，那么第年在开采完成后剩余储量为，并按该计划方案使用10年时间开采到原有储量的一半.若开采到剩余储量为原有储量的70%时，则需开采约()年.(参考数据: )

 A.4 B. 5 C. 6 D. 8

8．若函数在区间上恰有唯一极值点，则 的取值范围为

 A. B. C. D.

9．函数的图象大致为

10.已知，则

 A.2 B. C. -2 D.

11. 已知直线既是曲线的切线，又是曲线的切线，则

 A.0 B. -2 C. 0或e D. -2或-e

12．若函数的定义域为R，且为偶函数，关于点(3，3)成中心对称，则下列说法正确的是

 ①的一个周期为2 ②

 ③的一条对称轴为 ④

 A.1 B.2 C.3 D.4

二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知向量 则

14.已知等比数列的各项均为正数，设是数列的前项和，且

则.

15.某游乐场中的摩天轮作匀速圆周运动，其中心距地面20.5米，半径为20米.假设从小军同学在最低点处登上摩天轮开始计时，第6分钟第一次到达最高点.则第10分钟小军同学离地面的高度为米.

16.已知函数若存在实数，使得关于的方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围是.

三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题:共60分。

17. (12分)

已知函数 .

(1).求的单调递减区间;

(2)求在[0，π]上的解.

18. (12 分)

已知数列满足:

(1)证明:数列是等比数列;

(2)求数列的通项公式.

19. (12 分)

在锐角△ABC中，角A，B, C所对的边为且

(1)证明:；

(2)求的取值范围.

20. (12 分)

已知函数;

(1)讨论函数的单调性;

(2)若函数在(0, 3)上恰有两个零点，求函数在[0, 3]上的最小值.

21. (12 分)

已知函数，当≥0时，≥0.

(1)求的取值范围;

(2)求证:

(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分。

22. [选修4-4: 坐标系与参数方程] (10 分)

在直角坐标系中，圆C的参数方程为,直线的参数方程为（为参数）

(1)判断直线和圆C的位置关系，并说明理由;

(2)设P是圆C上一动点A(4, 0)，若点P到直线的距离为，求的值.

23. [选修4-5: 不等式选讲] (10 分)

已知函数

(1)求的最小值;

(2)若均为正数，且，证明:

绵阳市高中2020级第一次诊断性考试

理科数学参考答案及评分意见

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

    BDABC     BBCDA      DC

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．2 14．31       15．10.516．(-2，1)

三、解答题：本大题共6小题，共70分．

17．解：（1）．……4分

 令()，……………………………………………6分

 解得()，

 ∴函数f(x)的单调递减区间为()．…………………………8分

 （2）由，得，

 ∵，∴．………………………………………………9分

 ∴，……………………………………………………………11分

 解得．…………………………………………………………………12分

18．解：（1）证明：∵，

 ∴，

 即．……………………………………………………………………3分

 ∵，∴，……………………………………………………4分

 ∴数列{}是以为首项，4为公比的等比数列．…………………………6分

 （2）由（1）知，， ………………………………………8分

 ∴

．………………………………………11分

     当n=1时，.

    综上所述，.   ………………………………………12分

19．解：（1）∵，

 由正弦定理，得，………………………………………1分

 即，

 ∴， …………………………………………………………………3分

 ∴或（舍），即，…………………………………4分

 ∴，

 ∴．………………………………………………………6分

（2）由锐角△ABC，可得，，．

即，∴．………………………………………………9分

∵．………11分

∴．…………………………………………………………………12分

20．解：由题意得．…………………………1分

 （1）当时，由，函数在上单调递增．

 当时，函数在上单调递减，

在和上单调递增．………………………3分

 当时，易知函数在(k，4)上单调递减，

在，上单调递增．……………………5分

 （2）当k≤0或k≥3时，函数在(0，3)上为单调函数，最多只有一个零点．

 当时，函数在(0，k)上单调递增，在(k，3)上单调递减．…………7分

 要使函数在(0，3)上有两个零点，则需满足：

 且 解得．………………………………………………9分

 ∴．………………………………………………………10分

 又，

∴当时，；当时，．

 又 ，∴………………………………………12分

21．解：（1）由题意得．

 令g(x)=，则．

 ∴函数在区间上单调递增，

 则函数的最小值为．………………………………………………3分

 ①当2-a≥0，即a≤2时，可得，

∴函数f(x)在上单调递增．

 又f(0)=0，∴f(x)≥f(0)=0恒成立．……………………………………………………4分

 ②当2-a，即a>2时，函数的最小值为<0，

 且存在x0>0，当时，<0．

 又f(0)=0，∴当时，<0，

这与x≥0时，f(x)≥0相矛盾．……………………………………………………5分

 综上，实数a的取值范围是．…………………………………………………6分

（2）由(1) 得当a=2时，不等式f(x)=2ex-x2-2x-2≥0恒成立，

 ∴2ex-1≥x2+2x+1．

 令x=n，得2en-1≥n2+2n+1．  ……………………………………………………8分

∴．  …………………………………9分

 令，则，

时，，为上的增函数；

时，，为上的增函数；

∴，则.

∴，  ………………………………………10分

 ∴

 =

 <=

 ．

∴． ………………………………12分

22．解：（1）由题意得圆C的普通方程为．

 直线的普通方程为．…………………………………………………4分

 ∵圆心C到直线的距离，

 ∴直线和圆C相离．…………………………………………………………………5分

 （2）设．

 由，

 ∴，则．………………………………7分

 ∴=，则， …………………………………………………………8分

 ∴，   …………………………………………………………………9分

∴．……………………………………………………………10分

23．解：（1）

≥=…………………………………3分

≥．(当且仅当时，取等) ………………………………………4分

 ∴函数f(x)的最小值为．……………………………………………………………5分

 （2）∵f(a)＋f(b)＋f(c)＝18，

 ∴．…………………………………………………………………………6分

 由

 ≥9，

 得． ………………………………………………………………………8分

 ∵，

 ∴． ……………………………………………………………………9分

 ∴，

 ∴． …………………………………………………………10分