2022广安代中学校高二上学期第二次月考数学（理）试题含答案

理科数学 试题

第I卷（共60分）

一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．已知直线与直线平行，则实数的值是（    ）

A． B． C．或 D．不存在

2．圆心为点且过点的圆的标准方程为（    ）

A． B．

C． D．

3．已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

4．直线过点，与直线垂直的直线方程为（    ）

A． B．

C． D．

5．如果点在运动过程中，总满足关系式，则点的轨迹是（    ）．

A．不存在 B．椭圆 C．线段 D．双曲线

6．过点(－3，2)且与有相同焦点的椭圆方程是（     ）

A． B．

C． D．

7．点在圆的内部，则的取值范围是（    ）

A． B． C．或 D．

8．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（    ）

A． B． C． D．

9．若双曲线的离心率为，则（    ）

A． B． C．或 D．

10．已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（    ）

A． B． C．4 D．6

11．设抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，若恰好为线段的中点，则（   ）

A．2 B． C．4 D．6

12．已知F1，F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2=90°，则椭圆的离心率e的取值范围为 （    ）

A． B．

C． D．

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．圆与圆关于直线对称，则圆的方程为____．

14．已知P是椭圆上一点，，是椭圆的焦点，若，则的面积为______．

15．已知点是椭圆某条弦的中点，则此弦所在的直线的一般方程为_________.

16．圆：和圆：的交点为A，B，则有______（填序号）．

①公共弦AB所在直线方程为；

②线段AB的中垂线方程为；

③公共弦AB的长为；

④P为圆上一动点，则Р到直线AB的距离的最大值为．

三、解答题（本大题共6小题，17小题10分，其余每小题12分，共70分）

17．（10分）已知圆：，直线：（）．

（1）判断直线与圆的位置关系；

（2）过点作圆的切线，求切线的方程．

18．（12分）已知圆C经过，，三点.

（1）求图C的方程：

（2）设点A在圆C上运动，点，且点M满足，求点M的轨迹方程.

19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AC，PA⊥AB，PA＝AB，，，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC，

（1）求证：BC⊥平面PAC；

（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值．

20．（12分）设点是椭圆上一动点，椭圆的长轴长为，离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）求点到直线距离的最大值.

21．（12分）在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于不同的两点.

（1）如果直线的方程为，求弦的长；

（2）如果直线过抛物线的焦点，求的值.

22．（12分）已知椭圆的离心率，上顶点是，左､右焦点分别是，，若椭圆经过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）点和是椭圆上的两个动点，点，，不共线，直线和的斜率分别是和，若，求证直线经过定点，并求出该定点的坐标.

参考答案

1．C2．B3．A4．A5．B6．A7．A8．A9．D10．B11．B12．B

13．

14．

15．

16．①②④

17．

（1）直线与圆相交

（2）或

【分析】

（1）首先确定直线所过的定点，然后考查点与圆的位置关系即可确定直线与圆的位置关系；

（2）分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在两种情况即可求得切线方程．

（1）

解：直线方程即：，

则直线恒过定点，注意到，

则点位于圆的内部，故直线与圆相交．

（2）

解：直线斜率不存在的时候满足题意，其方程为，

直线斜率存在的时候，设直线方程为，

即，圆心到直线的距离等于半径，即：，

即：，解得：，

则直线方程为：，即：．

综上可得，直线方程为或．

18．

（1）

（2）

【分析】

（1）设圆的方程为，将点的坐标代入方程，即可得到方程组，解得即可；

（2）设，根据，即可得到，再根据在圆上，代入圆的方程，即可求出动点的轨迹方程；

（1）

解：设圆的方程为，将三点，，分别代入得：

，即，解得，

所以圆的方程为：；

（2）

解：设，，由则有，得又点A在圆C上运动，则，即，整理得：

所以点的轨迹方程为，是圆心为，半径为的圆.

19．（1）证明见解析（2）．

【分析】

解法一：

（1）根据线面垂直的判定定理由已知的垂直的关系，可得到线面垂直，这样可以得到线线垂直，最后根据直角和线面垂直的判定定理证明出BC⊥平面PAC；

（2）结合（1）的结论、已知的平行线，根据线面角的定义，通过计算求出AD与平面PAC所成的角的正弦值．

解法二：建立空间直角坐标系.

（1）利用空间向量的数量积运用，证明线线垂直，再结合已知的垂直关系证明出线面垂直；

（2）利用空间向量夹角公式，求出AD与平面PAC所成的角的正弦值.

【详解】

（解法一）：（1）∵PA⊥AC，PA⊥AB，AC∩AB＝A，

∴PA⊥底面ABC，

∴PA⊥BC．又∠BCA＝90°，

∴AC⊥BC．

∴BC⊥平面PAC．

（2）∵D为PB的中点，DE∥BC，

∴DEBC，

又由（1）知，BC⊥平面PAC，

∴DE⊥平面PAC，垂足为点E．

∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，

∵PA⊥底面ABC，

∴PA⊥AB，又PA＝AB，

∴△ABP为等腰直角三角形，

∴ADAB，

∴在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，

∴BCAB．

∴在Rt△ADE中，sin∠DAE，

∴AD与平面PAC所成的角的正弦值是．

（解法二）：如图，以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，设PA＝a，

由已知可得P（0，0，a），A（0，0，0），，．

（1）∵，，

∴，

∴BC⊥AP．

又∵∠BCA＝90°，

∴BC⊥AC，

∴BC⊥平面PAC．

（2）∵D为PB的中点，DE∥BC，

∴E为PC的中点，

∴，，

∴又由（1）知，BC⊥平面PAC，

∴DE⊥平面PAC，垂足为点E．

∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，

∵（），（0，a，a），

∴cos∠DAE，sin∠DAE．

∴AD与平面PAC所成的角的正弦值为．

20．（1）；（2）

【分析】

（Ⅰ）利用椭圆的离心率，长轴长为，求出几何量，即可得椭圆的方程；(2) 设点，利用点到直线的距离公式即可求出.

【详解】

（1）由已知得，得   椭圆

（2）设，则

当时，.

21．（1）8（2）-3

【分析】

（1）直线与抛物线联立，由两点间距离公式结合韦达定理求解即可；

（2）设直线方程为：，与抛物线联立，由，结合韦达定理代入求解即可.

【详解】

设，.

（1）联立得：.

由韦达定理得：，.

∴ .

（2）由直线过抛物线焦点且与抛物线有两个不同交点，

故可设方程为：，

联立得：，

由韦达定理：，，

∴

.

22．（1）；（2）直线过定点

【分析】

（1）因为椭圆的离心率，椭圆经过点，，列方程组，解得，，，即可得出答案．

（2）设直线的方程为，，，，，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得，，再计算，解得，即可得出答案．

【详解】

解：（1）因为椭圆的离心率，椭圆经过点，

所以，又，

解得，，，

所以椭圆的方程为．

（2）证明：设直线的方程为，，，，，

联立，得，

所以，，

所以，，

所以，

解得，

所以直线过定点．