课后素养落实(十六)　超几何分布

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10．现从中任取4个球，有如下几种变量：

①X表示取出的最大号码；

②X表示取出的最小号码；

③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分；

④X表示取出的黑球个数．

这四种变量中服从超几何分布的是(　　)

A．①②　    B．③④　　　C．①②④    D．①②③④

B　[由超几何分布的概念知③④符合，故选B．]

2．某校从学生会中的10名女生干部与5名男生干部中随机选取6名学生干部组成“文明校园督察队”，则组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为(　　)

A．　　　 B．

C．   D．

C　[组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为．]

3．一个盒子里装有相同大小的10个黑球、12个红球、4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于的是(　　)

A．P(0<X≤2)   B．P(X≤1)

C．P(X＝1)   D．P(X＝2)

B　[结合题意，当X＝1时，P(X＝1)＝，

当X＝0时，P(X＝0)＝，

故P(X≤1)＝．]

4．设袋中有80个球，其中40个红球，40个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中任取两球，则所取的两球同色的概率为(　　)

A．    B．  C．    D．

A　[由题意知所求概率为P＝＝．]

5．某地共有7个贫困村，其中有3个村是深度贫困，现从贫困村中任意选3个村，下列事件中概率为的是(　　)

A．至少有1个深度贫困村

B．有1个或2个深度贫困村

C．有2个或3个深度贫困村

D．恰有2个深度贫困村

B　[若用X表示所选的3个村庄中深度贫困村的个数，则X～H(7,3,3)，所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以P(X＝1)＋P(X＝2)＝，即任意选3个村中有1个或2个深度贫困村时的概率为．故选B．]

二、填空题

6．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，若设X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数，则P(X＝1)＝________．

　[X＝1表示的结果是抽取的2台彩电有甲型和乙型彩电各一台，故所求概率P(X＝1)＝＝．]

7．某导游团有外语导游10人，其中6人会说日语，现要选出4人去完成一项任务，则有2人会说日语的概率为________．

　[有2人会说日语的概率为＝．]

8．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为________．(结果用最简分数表示)

　[从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期的饮料为事件A，则P(A)＝＋＝．]

三、解答题

9．某校组织一次冬令营活动，有8名同学参加，其中有5名男同学，3名女同学，为了活动的需要，要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X名男同学．

(1)求X的分布列；

(2)求去执行任务的同学中有男有女的概率．

[解]　(1)由题意可知X～H(8,3,5)．

∴P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝．

即X的分布列为

(2)去执行任务的同学中有男有女的概率为P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝．

10．袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字．求：

(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；

(2)随机变量X的概率分布；

(3)计算介于20分到40分之间的概率．

[解]　(1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A)＝＝．

(2)由题意，X所有可能的取值为2,3,4,5．

P(X＝2)＝＝；

P(X＝3)＝＝；

P(X＝4)＝＝；

P(X＝5)＝＝．

所以随机变量X的概率分布为

(3)一次取球得分介于20分到40分之间的事件记为C，P(C)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝．

1．(多选题)已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝，则这10件产品的次品数可能为(　　)

A．8　　　    B．6　　  C．4　　　    D．2

AD　[设10件产品中有x件次品，则P(ξ＝1)＝＝＝，∴x＝2或8．]

2．一个盒子里装有大小相同的红球、白球共30个，其中白球4个．从中任取两个，则概率为的事件是(　　)

A．没有白球   B．至少有一个白球

C．至少有一个红球   D．至多有一个白球

B　[＝＋表示任取的两个球中只有一个白球和两个都是白球的概率，即至少有一个白球的概率．]

3．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为________．

15　[用X表示中奖票数，P(X≥1)＝＋>0.5，解得n≥15．]

4．生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品．则该批产品被接收的概率是________．

　[用X表示“5箱中不合格产品的箱数”，则X～H(50，5,2)．

这批产品被接收的条件是5箱全部合格或只有1箱不合格，所以被接收的概率为P(X≤1)＝＋＝．]

某橙子按照等级可分为四类：珍品、特级、优级和一级(每箱有5 kg)，某采购商打算订购一批橙子销往省外，并从采购的这批橙子中随机抽取100箱，利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表：

(1)若以频率估计概率，从这100箱橙子中有放回地随机抽取4箱，求恰好抽到2箱是一级品的概率．

(2)用分层抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，X表示抽取的是珍品等级的箱数，求X的分布列．

[解]　(1)设“从这100箱橙子中随机抽取1箱，抽到一级品的橙子”为事件A，则P(A)＝＝．

现有放回地随机抽取4箱，设抽到一级品的箱数为ζ，

则ζ～B，

故恰好抽到2箱是一级品的概率为

P(ζ＝2)＝C××＝．

(2)用分层抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，其中珍品4箱，非珍品6箱，再从这10箱橙子中抽取3箱，则珍品等级的箱数X服从参数为10,3,4的超几何分布，即X～H(10,3,4)．

则P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

P(X＝3)＝＝．

因此X的分布列为