高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.2.3 二项分布与超几何分布第2课时教学设计

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第2课时　超几何分布情境导学在新型肺炎期间，青岛市招募的100名医学服务志愿者中，男同志有45人，现要选派20人去市南区协助做好社区人员排查登记，其中男同志不少于10人的概率是多少？超几何分布(1)定义：一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(M＜N)，从所有物品中随机取出n件(n≤N)，则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量，X能取不小于t且不大于s的所有自然数，其中s是M与n中的较小者，t在n不大于乙类物品件数(即n≤N－M)时取0，否则t取n减乙类物品件数之差(即t＝n－(N－M))，而且P(X＝k)＝eq \f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝t，t＋1，…，s，这里的X称为服从参数为N，n，M的超几何分布．(2)记法：X～H(N，n，M)．(3)分布列：如果X～H(N，n，M)且n＋M－N≤0，则X能取所有不大于s的自然数，此时X的分布列如下表所示．拓展：对超几何分布的理解(1)在形式上适合超几何分布的模型常有较明显的两部分组成，如“男生，女生”“正品，次品”“优，劣”等；(2)在产品抽样中，一般为不放回抽样；(3)其概率计算可结合古典概型求得．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)超几何分布的模型是不放回抽样． (　　)(2)超几何分布的总体里可以有两类或三类特点． (　　)(3)超几何分布中的参数是N，n，M. (　　)(4)超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成． (　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√2．在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为(　　)A．N＝15，M＝7，n＝10B．N＝15，M＝10，n＝7C．N＝22，M＝10，n＝7 D．N＝22，M＝7，n＝10A　[根据超几何分布概率模型知，A正确．]3．设10件产品中有3件次品，现从中抽取5件，则eq \f(C\o\al(2,3)C\o\al(3,7),C\o\al(5,10))表示(　　)A．5件产品中有3件次品的概率B．5件产品中有2件次品的概率C．5件产品中有2件正品的概率D．5件产品中至少有2件次品的概率B　[根据超几何分布的定义可知Ceq \o\al(2,3)表示从3件次品中任选2件，Ceq \o\al(3,7)表示从7件正品中任选3件，故选B.]4．(教材P80练习BT2改编)高二·一班共有50名学生，其中有15名学生戴眼镜，从班级中随机抽取5人，设抽到戴眼镜的人数为X, 则X～________.H(50,5,15)　[由超几何分布的定义可知，X～H(50,5,15)．]合作探究【例1】　下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由．(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的概率分布；(2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X，求X的概率分布；(3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只．任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的概率分布；(4)某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的概率分布；(5)现有100台MP3播放器未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的MP3播放器的个数记为X，求X的概率分布．[解]　(1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题．(3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类．随机变量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数，是超几何分布．(5)中没有给出不合格品数，无法计算X的概率分布，所以不属于超几何分布问题．判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点：1总体是否可分为两类明确的对象；2是否为不放回抽样；3随机变量是否为样本中其中一类个体的个数.eq \o([跟进训练])1．下列随机变量中，服从超几何分布的有________．(填序号)①在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X；②从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数；③一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量X.①②　[根据超几何分布模型定义可知①中随机变量X服从超几何分布．②中随机变量X服从超几何分布．而③中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布．]【例2】　袋中有4个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从袋中随机抽取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．(1)求得分X的分布列；(2)求得分大于6分的概率．[思路点拨]　eq \x(\s\up(写出X的,可能值))→eq \x(\s\up(求出每个X,对应的概率))→eq \x(\s\up(写出分,布列))[解]　(1)从袋中任取4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红，共四种情况，得分分别为5分，6分，7分，8分，故X的可能取值为5,6,7,8.P(X＝5)＝eq \f(C\o\al(1,4)C\o\al(3,3),C\o\al(4,7))＝eq \f(4,35)，P(X＝6)＝eq \f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,3),C\o\al(4,7))＝eq \f(18,35)，P(X＝7)＝eq \f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,3),C\o\al(4,7))＝eq \f(12,35)，P(X＝8)＝eq \f(C\o\al(4,4),C\o\al(4,7))＝eq \f(1,35).故所求分布列为(2)根据随机变量的分布列可以得到大于6分的概率为P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝eq \f(12,35)＋eq \f(1,35)＝eq \f(13,35).求超几何分布的分布列的步骤eq \o([跟进训练])2．现有10张奖券，其中8张1元，2张5元，从中同时任取3张，求所得金额的分布列．[解]　设所得金额为X，X的可能取值为3,7,11.P(X＝3)＝eq \f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq \f(7,15)，P(X＝7)＝eq \f(C\o\al(2,8)C\o\al(1,2),C\o\al(3,10))＝eq \f(7,15)，P(X＝11)＝eq \f(C\o\al(1,8)·C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))＝eq \f(1,15).故X的分布列为[探究问题]1．超几何分布适合解决什么样的概率问题？[提示]　超几何分布适合解决一个总体(共有N个个体)内含有两种不同事物A(M个)、B(N—M个)，任取n个，其中恰有X个A的概率分布问题．2．在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以看作独立重复试验吗？[提示]　独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检验问题，但在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以近似地看作此类型．【例3】　某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]．由此得到样本的频率分布直方图如图．(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．[思路点拨]　(1)结合频率分布直方图求解(1)；(2)结合超几何分布及古典概型求X的分布列；(3)先分析Y服从什么分布，再选择相应公式求解．[解]　(1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3，所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件)．(2)重量超过505克的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件，且X～H(40,2,12)．∴P(X＝0)＝eq \f(C\o\al(2,28),C\o\al(2,40))＝eq \f(63,130)，P(X＝1)＝eq \f(C\o\al(1,12)C\o\al(1,28),C\o\al(2,40))＝eq \f(28,65)，P(X＝2)＝eq \f(C\o\al(2,12),C\o\al(2,40))＝eq \f(11,130)，∴X的分布列为(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为eq \f(12,40)＝eq \f(3,10).从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0,1,2，且Y～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,10)))，P(Y＝k)＝Ceq \o\al(k,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,10)))eq \s\up12(2-k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))eq \s\up12(k)，所以P(Y＝0)＝Ceq \o\al(0,2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,10)))eq \s\up12(2)＝eq \f(49,100)，P(Y＝1)＝Ceq \o\al(1,2)·eq \f(3,10)·eq \f(7,10)＝eq \f(21,50)，P(Y＝2)＝Ceq \o\al(2,2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))eq \s\up12(2)＝eq \f(9,100).∴Y的分布列为在n次试验中，某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布．eq \o([跟进训练])3．100件产品中有10件次品，从中有放回地任取5件，求其中次品数ξ的分布列．[解]　任取一件得到次品的概率为eq \f(10,100)＝0.1，有放回的取出5件，相当于5次独立重复试验，故ξ～B(5,0.1)，所以ξ的分布列为课堂小结1．解决超几何分布问题的两个关键点(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．(2)超几何分布中，只要知道N，n，M，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列．2．注意超几何分布与二项分布的区别与联系前者是不放回模型，而后者是有放回模型，但在大量试验时，超几何分布可与二项分布互化．1．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为(　　)A.eq \f(28,45)　　　B.eq \f(16,45)　　　C.eq \f(11,45)　　　D.eq \f(17,45)B　[由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为P(X＝1)＝eq \f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,8),C\o\al(2,10))＝eq \f(16,45).]2．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则恰好取出2个红球的概率是(　　)A.eq \f(37,42) B.eq \f(17,42) C.eq \f(10,21) D.eq \f(17,21)C　[设取出红球的个数为X，易知X～H(9,3,5)．∴P(X＝2)＝eq \f(C\o\al(2,5)C\o\al(1,4),C\o\al(3,9))＝eq \f(10,21)，故选C.]3．在含有5件次品的10件产品中，任取4件，则取到的次品数X的分布列为P(X＝r)＝________.eq \f(C\o\al(r,5)C\o\al(4－r,5),C\o\al(4,10))，r＝0,1,2,3,4　[P(X＝r)＝eq \f(C\o\al(r,5)C\o\al(4－r,5),C\o\al(4,10))，r＝0,1,2,3,4.]4．(一题两空)已知某批产品共100件，其中二等品有20件．从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，试填写下列关于ξ的分布列．eq \f(316,495)　eq \f(32,99)　　[由题意可知ξ～H(100,2,20)．则P(ξ＝0)＝eq \f(C\o\al(0,20)C\o\al(2,80),C\o\al(2,100))＝eq \f(316,495)，P(ξ＝1)＝eq \f(C\o\al(1,20)C\o\al(1,80),C\o\al(2,100))＝eq \f(32,99).]5．某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．求：(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列．[解]　(1)设事件A：选派的3人中恰有2人会法语，则P(A)＝eq \f(C\o\al(2,5)C\o\al(1,2),C\o\al(3,7))＝eq \f(4,7).(2)依题意知，X～H(7,3,3)．∴P(X＝0)＝eq \f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,7))＝eq \f(4,35)，P(X＝1)＝eq \f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,3),C\o\al(3,7))＝eq \f(18,35)，P(X＝2)＝eq \f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,3),C\o\al(3,7))＝eq \f(12,35)，P(X＝3)＝eq \f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,7))＝eq \f(1,35)，∴X的分布列为学 习 目 标核 心 素 养1．理解超几何分布的概念．(重点)2．理解超几何分布与二项分布的关系．(难点、易错点)3．会用超几何分布解决一些简单的实际问题．(重点)1．通过学习超几何分布，体会数学抽象的素养．2．借助超几何分布解题，提高数学运算素养.X01…k…sPeq \f(C\o\al(0,M)C\o\al(n,N－M),C\o\al(n,N))eq \f(C\o\al(1,M)C\o\al(n－1,N－M),C\o\al(n,N))…eq \f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))…eq \f(C\o\al(s,M)C\o\al(n－s,N－M),C\o\al(n,N))超几何分布的辨析超几何分布的概率及其分布列X5678Peq \f(4,35)eq \f(18,35)eq \f(12,35)eq \f(1,35)X3711Peq \f(7,15)eq \f(7,15)eq \f(1,15)超几何分布与二项分布间的联系X012Peq \f(63,130)eq \f(28,65)eq \f(11,130)Y012Peq \f(49,100)eq \f(21,50)eq \f(9,100)区别①当这n次试验是独立重复试验时(如有放回摸球)，X服从二项分布；②当n次试验不是独立重复试验时(如不放回摸球)，X服从超几何分布联系在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，此时超几何分布可近似转化成二项分布，如本例(2)ξ012345P0.590 490.328 050.072 90.008 10.000 450.000 01ξ＝k012P(ξ＝k)________________eq \f(19,495)X0123Peq \f(4,35)eq \f(18,35)eq \f(12,35)eq \f(1,35)