2020-2022年湖南中考数学3年真题汇编 专题04 一元一次方程与二元一次方程（组）（学生卷+教师卷）

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专题04 一元一次方程与二元一次方程（组）
一、单选题
1．（2022·海南）若代数式的值为6，则x等于（       ）
A．5 B． C．7 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据代数式的值为6列方程计算即可．
【详解】
∵代数式的值为6
∴，解得
故选：A
【点睛】
此题考查了解一元一次方程，根据题意列方程是解本题的关键．
2．（2022·山东滨州）在物理学中，导体中的电流Ⅰ跟导体两端的电压U，导体的电阻R之间有以下关系：去分母得，那么其变形的依据是（       ）
A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．分式的基本性质 D．不等式的性质2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等式的性质2可得答案．
【详解】
解：去分母得，其变形的依据是等式的性质2，
故选：B．
【点睛】
本题考查了等式的性质2：等式的两边同时乘以或除以同一个不为零的数，等式仍然成立．
3．（2021·吉林）古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33，若设这个数是，则所列方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意列方程．
【详解】
解：由题意可得．
故选C
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，找等量关系是解题的关键．
4．（2021·黑龙江牡丹江）已知某商店有两件进价不同的运动衫都卖了160元，其中一件盈利60%，另一件亏损20%，在这次买卖中这家商店（       ）
A．不盈不亏 B．盈利20元 C．盈利10元 D．亏损20元
【答案】B
【解析】
【分析】
设分别设两件运动衫的进价分别是a元，b元，根据售价=成本±利润，列方程求得两件运动衫的进价，再计算亏盈．
【详解】
解：设盈利60%的运动衫的进价是a元，亏本20%的运动衫的进价是b元．则有
（1）a（1+60%）=160，
a=100；
（2）b（1-20%）=160，
b=200．
总售价是160+160=320（元），总进价是100+200=300（元），
320-300=20（元），
所以这次买卖中商家赚了20元．
故选：B．
【点睛】
本题考查一元一次方程的应用．培养学生的理解题意的能力，关键是根据利润=售价-进价，求出两个商品的进价，从而得解．
5．（2021·四川绵阳）近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，那么该分派站现有包裹（       ）
A．60件 B．66件 C．68件 D．72件
【答案】B
【解析】
【分析】
设该分派站有x个快递员，根据“若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入（10x＋6）中即可求出该分派站现有包裹数．
【详解】
解：设该分派站有x个快递员，
依题意得：10x＋6＝12x−6，
解得：x＝6，
∴10x＋6＝10×6＋6＝66，
即该分派站现有包裹66件．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
6．（2022·江苏苏州）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，先令在相同时间内走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，从而得到走路快的人的速度，走路慢的人的速度，再根据题意设未知数，列方程即可
【详解】
解：令在相同时间内走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，从而得到走路快的人的速度，走路慢的人的速度，
设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可得，
根据题意可列出的方程是，
故选：B．
【点睛】
本题考查应用一元一次方程解决数学史问题，读懂题意，找准等量关系列方程是解决问题的关键．
7．（2022·湖南岳阳）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？在这个问题中，城中人家的户数为（       ）
A．25 B．75 C．81 D．90
【答案】B
【解析】
【分析】
设城中有户人家，利用鹿的数量城中人均户数城中人均户数，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：设城中有户人家，
依题意得：，
解得：，
∴城中有75户人家．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
8．（2022·贵州铜仁）为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小红一共得70分，则小红答对的个数为（       ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】B
【解析】
【分析】
设小红答对的个数为x个，根据抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分，列出方程求解即可．
【详解】
解：设小红答对的个数为x个，
由题意得，
解得，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是列出方程求解是解题的关键．
9．（2022·辽宁营口）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设快马x天可以追上慢马，根据路程=速度×时间，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】
解：设快马x天可以追上慢马，
依题意，得： 240x-150x=150×12．
故选：D．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
10．（2021·广西梧州）在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，则∠C等于（　　）
A．32° B．36° C．40° D．128°
【答案】A
【解析】
【分析】
直接根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】
解：∵ ，且∠A＝20°，∠B＝4∠C，
∴
∴
∴∠C=32°
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了三角形内角和定理的应用以及解一元一次方程，运用方程思想解答此类试题是常用的思想方法．
11．（2021·湖南株洲）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十……”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米……”．问题：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得粝米为（       ）
A．1.8升 B．16升 C．18升 D．50升
【答案】C
【解析】
【分析】
先进行单位换算，再利用50单位的粟，可换得30单位的粝米的关系，建立方程，求解即可．
【详解】
解：由题可知，3斗的粟即为30升的粟，
设其可以换得粝米为x升，
则，
∴，
∴可以换得粝米为18升；
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是找到相等关系，即“50单位的粟，可换得30单位的粝米……”，要求学生能将题干的文字内容转化为数学符号的形式，能正确理解题意，找到相等关系，列出方程．
12．（2020·辽宁辽宁）我市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，求甲、乙工程队每天各施工多少米？设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米，根据题意，所列方程组正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据“甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程”和“甲工程队每天比乙工程队多施工2米”可分别列出方程，联立即可．
【详解】
解：依据题意：“甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程”可列方程，
“甲工程队每天比乙工程队多施工2米”可列方程，
故可列方程组：，
故选：D．
【点睛】
本题考查列二元一次方程组．能仔细读题，找出描述等量关系的语句是解题关键．
13．（2020·黑龙江齐齐哈尔）母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支2元，百合每支3元．小明将30元钱全部用于购买这两种花（两种花都买），小明的购买方案共有（　　）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【答案】B
【解析】
【分析】
设可以购买x支康乃馨，y支百合，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可得出小明有4种购买方案．
【详解】
解：设可以购买x支康乃馨，y支百合，
依题意，得：2x+3y＝30，
∴y＝10﹣x．
∵x，y均为正整数，
∴，，，，
∴小明有4种购买方案．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二元一次方程应用中的整数解问题，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
14．（2020·山东临沂）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，列二元一次方程组．
【详解】
解：设有x人，y辆车，
依题意得： ，
故选B．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的实际应用，解决问题的关键是找出题中等量关系．
15．（2020·浙江嘉兴）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（　　）
A．①×2﹣② B．②×（﹣3）﹣① C．①×（﹣2）+② D．①﹣②×3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据各选项分别计算，即可解答．
【详解】
方程组利用加减消元法变形即可．
解：A、①×2﹣②可以消元x，不符合题意；
B、②×（﹣3）﹣①可以消元y，不符合题意；
C、①×（﹣2）+②可以消元x，不符合题意；
D、①﹣②×3无法消元，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了加减消元法解二元一次方程组，只有当两个二元一次方程未知数的系数相同或相反时才可以用加减法消元，系数相同相减消元，系数相反相加消元．
16．（2022·广东深圳）张三经营了一家草场，草场里面种植上等草和下等草．他卖五捆上等草的根数减去11根，就等下七捆下等草的根数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草的根数．设上等草一捆为根，下等草一捆为根，则下列方程正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设上等草一捆为根，下等草一捆为根，根据“卖五捆上等草的根数减去11根，就等下七捆下等草的根数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草的根数．”列出方程组，即可求解．
【详解】
解：设上等草一捆为根，下等草一捆为根，根据题意得：
．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
17．（2022·山东聊城）关于，的方程组的解中与的和不小于5，则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由两式相减，得到，再根据x 与 y 的和不小于5列出不等式即可求解．
【详解】
解：把两个方程相减，可得，
根据题意得：，
解得：．
所以的取值范围是．
故选：A．
【点睛】
本题考查二元一次方程组、不等式，将两式相减得到x与y的和是解题的关键．
18．（2022·黑龙江）国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（       ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【解析】
【分析】
设设购买毛笔x支，围棋y副，根据总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可得出购买方案的数量．
【详解】
解：设购买毛笔x支，围棋y副，根据题意得，
15x+20y=360，即3x+4y=72，
∴y=18-x．
又∵x，y均为正整数，
∴或或或或，
∴班长有5种购买方案．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系“共花费360元”，列出二元一次方程是解题的关键．
19．（2022·黑龙江齐齐哈尔）端午节前夕，某食品加工厂准备将生产的粽子装入A、B两种食品盒中，A种食品盒每盒装8个粽子，B种食品盒每盒装10个粽子，若现将200个粽子分别装入A、B两种食品盒中（两种食品盒均要使用并且装满），则不同的分装方式有（       ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】C
【解析】
【分析】
设使用A食品盒x个，使用B食品盒y个，根据题意列出方程，求解即可．
【详解】
设使用A食品盒x个，使用B食品盒y个，
根据题意得，8x+10y=200，
∵x、y都为正整数，
∴解得，，，，
∴一共有4种分装方式；
故选：C．
【点睛】
本题考查了二元一次方程的实际问题，解题的关键是明确题意列出方程．
20．（2021·四川德阳）关于x，y的方程组的解为，若点P（a，b）总在直线y＝x上方，那么k的取值范围是（　　）
A．k＞1 B．k＞﹣1 C．k＜1 D．k＜﹣1
【答案】B
【解析】
【分析】
将k看作常数，解方程组得到x，y的值，根据P在直线上方可得到b＞a，列出不等式求解即可．
【详解】
解：解方程组可得，
，
∵点P（a，b）总在直线y=x上方，
∴b＞a，
∴，
解得k＞-1，
故选：B．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组，一次函数上点的坐标特征，解本题的关键是将k看作常数，根据点在一次函数上方列出不等式求解．
21．（2021·黑龙江）为迎接2022年北京冬奥会，某校开展了以迎冬奥为主题的演讲活动，计划拿出180 元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（       ）
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
【答案】A
【解析】
【分析】
设购买甲种奖品为x件，乙种奖品为y件，由题意可得，进而求解即可．
【详解】
解：设购买甲种奖品为x件，乙种奖品为y件，由题意可得：
，
∴，
∵，且x、y都为正整数，
∴当时，则；
当时，则；
当时，则；
当时，则；
当时，则；
∴购买方案有5种；
故选A．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程的应用，正确理解题意、掌握求解的方法是解题的关键．
22．（2021·黑龙江齐齐哈尔）周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，已知口罩每包3元，酒精湿巾每包2元，共用了30元钱（两种物品都买），小明的购买方案共有（       ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【答案】B
【解析】
【分析】
设购买口罩包，酒精湿巾包，根据总价单价数量，即可列出关于的二元一次方程，结合均为正整数，即可得出购买方案的个数．
【详解】
解：设购买口罩包，酒精湿巾包，
依据题意得：

均为正整数，
或或或
小明共有4种购买方案．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键．
23．（2020·湖南张家界）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设有x人，根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】
解：设有x人，根据车的辆数不变列出等量关系，
每3人共乘一车，最终剩余2辆车，则车辆数为：，
每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则车辆数为：，
∴列出方程为：．
故选：B．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
24．（2020·内蒙古呼和浩特）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是；有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一和第六这两天共走了（       ）
A．102里 B．126里 C．192里 D．198里
【答案】D
【解析】
【分析】
设第六天走的路程为x里，则第五天走的路程为2x里，依此往前推，第一天走的路程为32x里，根据前六天的路程之和为378里，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：设第六天走的路程为x里，则第五天走的路程为2x里，依此往前推，第一天走的路程为32x里，
依题意，得：x+2x+4x+8x+16x+32x=378，
解得：x=6．
32x=192，
6+192=198，
答：此人第一和第六这两天共走了198里，
故选D.
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
25．（2022·湖北武汉）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则与的和是（       ）

A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意设出相应未知数，然后列出等式化简求值即可．
【详解】
解：设如图表所示：
根据题意可得：x+6+20=22+z+y，
整理得：x-y=-4+z，
x+22+n=20+z+n，20+y+m=x+z+m，
整理得：x=-2+z，y=2z-22，
∴x-y=-2+z-(2z-22)=-4+z，
解得：z=12，
∴x+y
=3z-24
=12
故选：D．
【点睛】
题目主要考查方程的应用及有理数加法的应用，理解题意，列出相应方程等式然后化简求值是解题关键．
26．（2021·湖北武汉）一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返同，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离（单位：）与慢车行驶时间（单位：）的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是（       ）


A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求出慢车离从甲地到乙地的函数关系为，再求出快车往返解析式，快车从甲地到乙地的解析式，快车从乙地到甲地的解析式，快车从甲地到乙地与慢车相遇时间，快车从乙地到甲地与慢车相遇即可 ．
【详解】
解：设慢车离甲地的距离（单位：）与慢车行驶时间（单位：）的函数关系为y=kt过（6，），
代入得,解得，
∴慢车解析式为：，
设快车从甲地到乙地的解析式，
过（2，0），（4，）两点，代入解析式的，
解得，
快车从甲地到乙地的解析式，
设快车从乙地到甲地的解析式，
过（4，），（6，0）两点，代入解析式的，
解得，
快车从乙地到甲地的解析式，
快车从甲地到乙地与慢车相遇，
解得，
快车从乙地到甲地与慢车相遇，
解得，
两车先后两次相遇的间隔时间是-3=h．
故选择B．
【点睛】
本题考查行程问题函数应用题，用待定系数法求一次函数解析式，两函数的交点问题转化为两函数组成方程组，解方程组，掌握待定系数法求一次函数解析式，两函数的交点问题转化为转化为两函数组成方程组，解方程组是解题关键．
27．（2020·四川绵阳）《九章算术》中记载“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？此问题中羊价为（　　）
A．160钱 B．155钱 C．150钱 D．145钱
【答案】C
【解析】
【分析】
设共有x人合伙买羊，羊价为y钱，根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】
解：设共有x人合伙买羊，羊价为y钱，
依题意，得：
解得：
故选：C．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
28．（2020·黑龙江鹤岗）学校计划用200元钱购买、两种奖品，种每个15元，B种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（       ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】B
【解析】
【分析】
设购买了A种奖品x个，B种奖品y个，根据学校计划用200元钱购买A、B两种奖品，其中A种每个15元，B种每个25元，钱全部用完可列出方程，再根据x，y为正整数可求出解．
【详解】
设购买了种奖品个，种奖品个，
根据题意得：，
化简整理得：，得，
∵，为非负整数，
∴，，，
∴有3种购买方案：
方案1：购买了种奖品0个，种奖品8个；
方案2：购买了种奖品5个，种奖品5个；
方案3：购买了种奖品10个，种奖品2个.
故选：B.
【点睛】
本题考查了二元一次方程的应用，关键是读懂题意，根据题意列出二元一次方程，然后根据解为非负整数确定出x，y的值．
29．（2020·黑龙江牡丹江）若是二元一次方程组的解，则x＋2y的算术平方根为（     ）
A．3 B．3，－3 C． D．，－
【答案】C
【解析】
【分析】
将代入二元一次方程组中解出x和y的值，再计算x＋2y的算术平方根即可．
【详解】
解：将代入二元一次方程中，
得到：，解这个关于x和y的二元一次方程组，
两式相加，解得，将回代方程中，解得，
∴，
∴x＋2y的算术平方根为，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解法，算术平方根的概念等，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键．
30．（2020·浙江绍兴）同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210km．它们各自单独行驶并返回的最远距离是105km．现在它们都从A地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A地，而乙车继续行驶，到B地后再行驶返回A地．则B地最远可距离A地（　　）
A．120km B．140km C．160km D．180km
【答案】B
【解析】
【分析】
设甲行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙行驶到B地再返回A地时燃料用完，然后画出图形、确定等量关系、列出关于x和y的二元一次方程组并求解即可．
【详解】
解：设甲行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙行驶到B地再返回A地时燃料用完，如图：

设AB＝xkm，AC＝ykm，根据题意得：
，
解得： ．
∴乙在C地时加注行驶70km的燃料，则AB的最大长度是140km．
故答案为B．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组在行程问题中的应用，弄清题意、确定等量关系、列出方程组是解答本题的关键．
二、填空题
31．（2020·广西柳州）一元一次方程2x﹣8＝0的解是x＝_____．
【答案】4
【解析】
【分析】
先移项，然后化系数为1可得出答案．
【详解】
解：2x﹣8＝0，
移项得：2x＝8，
系数化为1得：x＝4，
故填：4．
【点睛】
本题考查一元一次方程的解法，熟练掌握一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1．
32．（2020·湖南永州）方程组的解是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用加减消元法求解．
【详解】

由①+②得：3x=6，
解得x=2，
把x=2代入①中得，y=2，
所以方程组的解为．
故答案为：．
【点睛】
考查了解二元一次方程组，解题关键是利用加减消元法实现消元．
33．（2022·辽宁大连）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足．”其大意是：“今有人合伙买猪，每人出100钱，则会多出100钱；每人出90钱，恰好合适．”若设共有x人，根据题意，可列方程为____________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据“每人出100钱，则会多出100钱”用x表示出买猪需要的钱；根据“每人出90钱，恰好合适”用x表示出买猪需要的钱；二者相等，即可列方程.
【详解】
依题意：.
故答案为：100x-100=90x.
【点睛】
本题考查一元一次方程得实际应用，找到等量关系是本题解题关键.
34．（2021·贵州遵义）已知x，y满足的方程组是，则x+y的值为 ___．
【答案】5．
【解析】
【分析】
将方程组中的两个方程直接相减即可求解．
【详解】
解：
用②﹣①得：x+y＝5，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，通过观察方程组中两个方程的特点，灵活计算是解题的关键．
35．（2022·湖北随州）已知二元一次方程组，则的值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】
直接由②-①即可得出答案．
【详解】
原方程组为，
由②-①得．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的特殊解法，解题的关键是学会观察，并用整体法求解．
36．（2021·黑龙江大庆）某酒店客房都有三人间普通客房，双人间普通客房，收费标准为：三人间150元/间，双人间140元/间．为吸引游客，酒店实行团体入住五折优惠措施，一个46人的旅游团，优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1310元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房共________间；
【答案】18．
【解析】
【分析】
根据客房数×相应的收费标准=1310元列出方程并解答．
【详解】
解：设住了三人间普通客房x间，则住了两人间普通客房间，由题意，得：
+=1310，
解得：x=10，
则：=8，
所以，这个旅游团住了三人间普通客房10间，住了两人间普通客房8间，共18间．
故答案为：18．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，利用已知得出等式方程是解题关键．
37．（2021·湖南邵阳）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价值是多少？该问题中物品的价值是______钱．
【答案】53
【解析】
【分析】
设人数为，再根据两种付费的总钱数一样即可求解．
【详解】
解：设一共有人
由题意得：
解得：
所以价值为：（钱）
故答案是：53．
【点睛】
本题考察一元一次方程的应用，难度不大，属于基础题型．解题的关键是找准等量关系并准确表示．
38．（2020·甘肃金昌）暑假期间，亮视眼镜店开展学生配镜优惠活动，某款式眼镜的广告如图，请你为广告牌填上原价．原价：_________元

【答案】200
【解析】
【分析】
设原价为x元，根据八折优惠，现价为160元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出原价．
【详解】
解：设原价为x元.
根据题意，得0.8x=160.
解得x=200.
∴原价为200元.
故答案为：200.
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是明确“现价=原价×折扣”，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程是关键．
39．（2022·吉林长春）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住，设店中共有x间房，可求得x的值为________．
【答案】8
【解析】
【分析】
设店中共有x间房，根据“今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住”可列一元一次方程，求解即可．
【详解】
设店中共有x间房，
由题意得，，
解得，
所以，店中共有8间房，
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，准确理解题意，找到等量关系是解题的关键．
40．（2022·内蒙古呼和浩特）某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时，按原价售出，超过2千克时，超过的部分打8折．若某人付款14元，则他购买了_______千克糯米；设某人的付款金额为元，购买量为千克，则购买量关于付款金额的函数解析式为______．
【答案】     3     ##
【解析】
【分析】
根据题意列出一元一次方程，函数解析式即可求解．
【详解】
解：，
超过2千克，
设购买了千克，则，
解得，
设某人的付款金额为元，购买量为千克，则购买量关于付款金额的函数解析式为：
，
故答案为：3，．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，列函数解析式，根据题意列出方程或函数关系式是解题的关键．
41．（2020·湖北省直辖县级单位）篮球联赛中，每玚比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队14场比赛得到23分，则该队胜了_________场．
【答案】9
【解析】
【分析】
设该队胜x场，则负14-x场，然后根据题意列一元一次方程解答即可．
【详解】
解：设该队胜x场
由题意得：2x+（14-x）=23，解得x=9．
故答案为9．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意、设出未知数、找准等量关系、列出方程是解答本题的关键．
42．（2020·黑龙江牡丹江）某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商店应打________折．
【答案】八
【解析】
【分析】
打折销售后要保证打折后利率为20%，因而可以得到不等关系为：利润率=20%，设可以打x折，根据不等关系列出不等式求解即可.
【详解】
解：设应打x折，
则根据题意得：（180×x×10%-120）÷120=20%，
解得：x=8．
故商店应打八折．
故答案为：八．
【点睛】
本题考查一元一次方程的实际应用，解题关键是读懂题意，找到符合题意的等量关系式，同时要注意掌握利润率的计算方法．
43．（2022·浙江嘉兴）某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A，B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k（N）．若铁笼固定不动，移动弹簧秤使扩大到原来的n（）倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为_______（N）（用含n，k的代数式表示）．

【答案】
【解析】
【分析】
根据杠杆的平衡条件是：动力×动力臂=阻力×阻力臂，计算即可．
【详解】
设弹簧秤新读数为x
根据杠杆的平衡条件可得：
解得
故答案为：．
【点睛】
本题是一个跨学科的题目，熟记物理公式动力×动力臂=阻力×阻力臂是解题的关键．
44．（2021·山东日照）关于的方程（、为实数且），恰好是该方程的根，则的值为_______．
【答案】-2
【解析】
【分析】
根据方程的解的概念，将代入原方程，然后利用等式的性质求解．
【详解】
解：由题意可得，
把代入原方程可得：，
等式左右两边同时除以，可得：，
即，
故答案为：．
【点睛】
本题考查方程的解的概念及等式的性质，理解方程的解的定义，掌握等式的基本性质是解题关键．
45．（2021·山东枣庄）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则的值为______．

【答案】1
【解析】
【分析】
如图（见解析），先根据“每一横行、两条斜对角线上的数字之和都是15”求出图中①和②表示的数，再根据“每一竖行上的数字之和都是15”建立方程，解方程即可得．
【详解】
解：如图，由题意，图中①表示的数是，
图中②表示的数是，
则，
解得，
故答案为：1．

【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，正确求出图中①和②所表示的数是解题关键．
46．（2021·江苏扬州）扬州雕版印刷技艺历史悠久，元代数学家朱世杰的《算学启蒙》一书曾刻于扬州，该书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天追上慢马？答：快马_______天追上慢马．
【答案】20
【解析】
【分析】
设良马行x日追上驽马，根据路程=速度×时间结合两马的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：设快马行x天追上慢马，则此时慢马行了（x+12）日，
依题意，得：240x=150（x+12），
解得：x=20，
∴快马20天追上慢马，
故答案为：20．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
47．（2020·内蒙古呼和浩特）公司以3元/的成本价购进柑橘，并希望出售这些柑橘能够获得12000元利润，在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，需要先进行“柑橘损坏率”统计，再大约确定每千克柑橘的售价，右面是销售部通过随机取样，得到的“柑橘损坏率”统计表的一部分，由此可估计柑橘完好的概率为_______（精确到0.1）；从而可大约确定每千克柑橘的实际售价为_______元时（精确到0.1），可获得12000元利润．
柑橘总质量
损坏柑橘质量
柑橘损坏的频率（精确到0.001）
…
…
…
250
24.75
0.099
300
30.93
0.103
350
35.12
0.100
450
44.54
0.099
500
50.62
0.101

【答案】     0.9    
【解析】
【分析】
利用频率估计概率得到随实验次数的增多，柑橘损坏的频率越来越稳定在0.1左右，由此可估计柑橘完好率大约是0.9；设每千克柑橘的销售价为x元，然后根据“售价-进价=利润”列方程解答．
【详解】
解：从表格可以看出，柑橘损坏的频率在常数0.1左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐明显，所以柑橘的完好率应是1-0.1=0.9；
设每千克柑橘的销售价为x元，则应有10000×0.9x-3×10000=12000，
解得x=．
所以去掉损坏的柑橘后，水果公司为了获得12000元利润，完好柑橘每千克的售价应为元，
故答案为：0.9，．
【点睛】
本题考查了用频率估计概率的知识，用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．得到售价与利润的等量关系是解决问题的关键．
48．（2022·福建）推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．
例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：
设任意一个实数为x，令，
等式两边都乘以x，得．①
等式两边都减，得．②
等式两边分别分解因式，得．③
等式两边都除以，得．④
等式两边都减m，得x＝0.⑤
所以任意一个实数都等于0.
以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是______．
【答案】④
【解析】
【分析】
根据等式的性质2即可得到结论．
【详解】
等式的性质2为：等式两边同乘或除以同一个不为0的整式，等式不变，
∴第④步等式两边都除以，得，前提必须为，因此错误；
故答案为：④．
【点睛】
本题考查等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键．
49．（2022·贵州贵阳）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数，的系数与相应的常数项，即可表示方程，则 表示的方程是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据横着的算筹为10，竖放的算筹为1，依次表示的系数与等式后面的数字，即可求解．
【详解】
解： 表示的方程是
故答案为：
【点睛】
本题考查了列二元一次方程组，理解题意是解题的关键．
50．（2022·四川雅安）已知是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为 _____．
【答案】1
【解析】
【分析】
把代入ax+by＝3可得，而2a+4b﹣5，再整体代入求值即可．
【详解】
解：把代入ax+by＝3可得：
，
2a+4b﹣5

．
故答案为：1
【点睛】
本题考查的是二元一次方程的解，利用整体代入法求解代数式的值，掌握“方程的解的含义及整体代入的方法”是解本题的关键．
51．（2022·湖北武汉）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货___________吨．
【答案】23.5
【解析】
【分析】
设每辆大货车一次可以运货x吨，每辆小货车一次可以运货y吨，根据“3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，再整体求得（4x+3y）即可得出结论．
【详解】
解：设每辆大货车一次可以运货x吨，每辆小货车一次可以运货y吨，
依题意，得：，
两式相加得8x+6y=47，
∴4x+3y=23.5(吨) ，
故答案为：23.5．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
52．（2021·贵州黔西）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货，则3辆大货车与2辆小货车一次可以运货______．
【答案】17
【解析】
【分析】
设每辆大货车一次可以运货x吨，每辆小货车一次可以运货y吨，由题意：2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35t，列出方程组，解方程组，即可求解．
【详解】
解：设每辆大货车一次可以运货吨，每辆小货车一次可以运货吨，
由题意，得：，
解得：，
则，
即3辆大货车与2辆小货车一次可以运货，
故答案为：17．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
53．（2021·北京）某企业有两条加工相同原材料的生产线．在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时；在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为______________．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为______________．
【答案】     2∶3    
【解析】
【分析】
设分配到生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5-x）吨，依题意可得，然后求解即可，由题意可得第二天开工时，由上一问可得方程为，进而求解即可得出答案．
【详解】
解：设分配到生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5-x）吨，依题意可得：
，解得：，
∴分配到B生产线的吨数为5-2=3（吨），
∴分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为2∶3；
∴第二天开工时，给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料，
∵加工时间相同，
∴，
解得：，
∴；
故答案为，．
【点睛】
本题主要考查一元一次方程、二元一次方程的应用及比例的基本性质，熟练掌握一元一次方程的应用及比例的基本性质是解题的关键．
54．（2022·黑龙江绥化）在长为2，宽为x（）的矩形纸片上，从它的一侧，剪去一个以矩形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则x的值为________．
【答案】 或
【解析】
【分析】
分析题意，根据x的取值范围不同，对剩下矩形的长宽进行讨论，求出满足题意的x值即可．
【详解】
解：第一次操作后剩下的矩形两边长为 和 ，
，
又，
，
，
则第一次操作后，剩下矩形的宽为，
所以可得第二次操作后，剩下矩形一边为 ，
另一边为： ，
∵第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，
∴第二次操作后剩下矩形的长是宽的2倍，
分以下两种情况进行讨论：
①当 ，即时 ，
第三次操作后剩下的矩形的宽为 ，长是 ，
则由题意可知： ，
解得： ；
②当 ，即时，
第三次操作后剩下的矩形的宽为 ，长是 ，
由题意得： ，
解得： ，
或者 ．

故答案为： 或 ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，正方形的性质以及分类讨论的数学思想方法，熟练掌握矩形，正方形性质以及分类讨论的方法是解题的关键．
55．（2021·山东烟台）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行，每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15，则a的值为____________．

【答案】2
【解析】
【分析】
设处第一行第一列、第三列第三行、对角线上的未知量，用三数之和为15就可以求出a．
【详解】
解：如图，把部分未知的格子设上相应的量
第一行第一列：6+b+8=15，得到b=1
第三列第三行：8+3+f=15，得到f=4
∵f=4
∵对角线上6+c+f=15
∴6+4+c=15，得到c=5
∵c=5
另外一条对角线上8+c+a=15
∴8+5+a=15，得到a=2
故答案为：2．
【点睛】
本题考查有理数的加法和一元一次方程的综合题，找出式子之间的关系是解题的关键．
56．（2020·湖北）对于实数，定义运算．若，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据给出的新定义分别求出与的值，根据得出关于a的一元一次方程，求解即可．
【详解】
解：∵，
∴，，
∵，
∴，解得，
故答案为：．
【点睛】
本题考查解一元一次方程、新定义下实数的运算等内容，理解题干中给出的新定义是解题的关键．
57．（2020·湖北随州）幻方是相当古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方---九宫图．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则的值为______．

【答案】9
【解析】
【分析】
本题首先根据每一横行数字之和为15求出第一个方格数字，继而根据对角线斜边数字和为15求出最后一格数字，最后根据每一竖行数字之和为15求出m．
【详解】
设第一方格数字为x，最后一格数字为y，如下图所示：
由已知得：x+7+2=15，故x=6；
因为x+5+y=15，将x=6代入求得y=4；
又因为2+m+y=15，将y=4代入求得m=9；
故答案为：9．

【点睛】
本题考查新题型，本质是一元一次方程的求解，理清题意，按照图示所给信息逐步列方程求解即可．
58．（2021·四川绵阳）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商场从6月12日起开始打折促销，肉粽六折，白粽七折，打折前购买4盒肉粽和5盒白粽需350元，打折后购买5盒肉粽和10盒白粽需360元．轩轩同学想在今天中考结束后，为敬老院送肉粽和白粽各5盒，则他6月13日购买的花费比在打折前购买节省_____元．
【答案】145
【解析】
【分析】
设打折前每盒肉粽的价格为x元，每盒白粽的价格为y元，根据“打折前购买4盒肉粽和5盒白粽需350元，打折后购买5盒肉粽和10盒白粽需360元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出肉粽和白粽的单价，再利用节省的钱数=打折前购买的总费用-打折后购买的总费用，即可求出节省的钱数．
【详解】
解：设打折前每盒肉粽的价格为x元，每盒白粽的价格为y元，
依题意得：， 解得：，
∴5x+5y-（0.6×5x+0.7×5y）=5×50+5×30-（0.6×5×50+0.7×5×30）=145．
故答案为：145．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
59．（2021·内蒙古呼伦贝尔）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其中一次方程组是用算筹布置而成，如图（1）所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是，类似的，图（2）所示的算筹图用方程组表示出来，就是______________．

【答案】
【解析】
【分析】
先根据例子和图（2）列出二元一次方程组并求解即可．
【详解】
解：由图1可得，第一列为x的系数、第二列为y的系数，第三列和第四列为方程右边的常数，且前两列一竖表示1，第三列一横表示10，第四列一竖表示1，一横表示5
则根据图2可得：．
故填．
【点睛】
本题考查了列二元一次方程组，审清题意、明确图1各符号的含义成为解答本题的关键．
60．（2022·北京）甲工厂将生产的I号、II号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，每个包裹的重量及包裹中I号、II号产品的重量如下：
包裹编号
I号产品重量/吨
II号产品重量/吨
包裹的重量/吨
A
5
1
6
B
3
2
5
C
2
3
5
D
4
3
7
E
3
5
8

甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂．
（1）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案________（写出要装运包裹的编号）；
（2）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的II号产品最多，写出满足条件的装运方案________（写出要装运包裹的编号）．
【答案】     ABC（或ABE或AD或ACE或ACD或BCD）     ACE
【解析】
【分析】
（1）从A，B，C，D，E中选出2个或3个，同时满足I号产品不少于9吨，且不多于11吨，总重不超过19.5吨即可；
（2）从（1）中符合条件的方案中选出装运II号产品最多的方案即可．
【详解】
解：（1）根据题意，
选择ABC时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），符合要求；
选择ABE时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），符合要求；
选择AD时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），符合要求；
选择ACD时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），符合要求；
选择BCD时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），符合要求；
选择DCE时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），不符合要求；
选择BDE时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），不符合要求；
选择ACE时，装运的I号产品重量为： （吨），总重 （吨），符合要求；
综上，满足条件的装运方案有ABC或ABE或ACE或AD或ACD或BCD．
故答案为：ABC（或ABE或ACE或AD或ACD或BCD）．
（2）选择ABC时，装运的II号产品重量为：（吨）；
选择ABE时，装运的II号产品重量为：（吨）；
选择AD时，装运的II号产品重量为：（吨）；
选择ACD时，装运的II号产品重量为：（吨）；
选择BCD时，装运的II号产品重量为：（吨）；
选择ACE时，装运的II号产品重量为： （吨）.
故答案为：ACE．
【点睛】
本题考查方案的选择，读懂题意，尝试不同组合时能否同时满足题目要求的条件是解题的关键．
61．（2022·山东威海）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则mn＝_____．

【答案】1
【解析】
【分析】
由第二行方格的数字，字母，可以得出第二行的数字之和为m，然后以此得出可知第三行左边的数字为4，第一行中间的数字为m-n+4，第三行中间数字为n-6，第三行右边数字为，再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于m可得关于m，n方程组，解出即可．
【详解】
如图，根据题意，可得


第二行的数字之和为：m+2+(-2)=m
可知第三行左边的数字为：m-(-4)-m=4
第一行中间的数字为：m-n-(-4)=m-n+4
第三行中间数字为m-2-(m-n+4)=n-6
第三行右边数字为：m-n-(-2)=m-n+2
再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于m可得方程组为：

解得
∴
故答案为：1
【点睛】
本题考查了有理数加法，列代数式，以及二元一次方程组，解题的关键是根据表格，利用每行，每列，每条对角线上的三个数之和相等列方程．
三、解答题
62．（2022·广东）《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？
【答案】学生人数为7人，该书的单价为53元．
【解析】
【分析】
设学生人数为x人，然后根据题意可得，进而问题可求解．
【详解】
解：设学生人数为x人，由题意得：
，
解得：，
∴该书的单价为（元），
答：学生人数为7人，该书的单价为53元．
【点睛】
本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．
63．（2022·四川德阳）习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村花费4000元集中采购了种树苗500株，种树苗400株，已知种树苗单价是种树苗单价的1.25倍．
(1)求、两种树苗的单价分别是多少元？
(2)红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？
【答案】(1)种树苗的单价是4元，则B种树苗的单价是5元
(2)有6种购买方案，购买种树苗，25棵，购买B种树苗75棵费用最低，最低费用是475元．
【解析】
【分析】
（1）设种树苗的单价是x元，则B种树苗的单价是1.25x元，根据“花费4000元集中采购了种树苗500株，种树苗400株，”列出方程，即可求解；
（2）设购买种树苗a棵，则购买B种树苗（100-a）棵，其中a为正整数，根据题意，列出不等式组，可得，从而得到有6种购买方案，然后设总费用为w元，根据题意列出函数关系式，即可求解．
(1)
解：设种树苗的单价是x元，则B种树苗的单价是1.25x元，根据题意得：
，
解得：，
∴1.25x=5，
答：种树苗的单价是4元，则B种树苗的单价是5元；
(2)
解：设购买种树苗a棵，则购买B种树苗（100-a）棵，其中a为正整数，根据题意得：
，
解得：，
∵a为正整数，
∴a取20，21，22，23，24，25，
∴有6种购买方案，
设总费用为w元，
∴，
∵-1＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴当a=25时，w最小，最小值为475，
此时100-a=75，
答：有6种购买方案，购买种树苗，25棵，购买B种树苗75棵费用最低，最低费用是475元．
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．
64．（2021·黑龙江哈尔滨）君辉中学计划为书法小组购买某种品牌的、两种型号的毛笔．若购买支种型号的毛笔和支种型号的毛笔需用元；若购买支种型号的毛笔和支种型号的毛笔需用元．
（1）求每支种型号的毛笔和每支种型号的毛笔各多少元；
（2）君辉中学决定购买以上两种型号的毛笔共支，总费用不超过元，那么该中学最多可以购买多少支种型号的毛笔？
【答案】（1）每支种型号的毛笔6元，每支种型号的毛笔4元；（2）该中学最多可以购买50支型号的毛笔．
【解析】
【分析】
（1）设每支种型号的毛笔x元，每支种型号的毛笔y元，由题意得，然后求解即可；
（2）设该中学可以购买m支型号的毛笔，则种型号的毛笔为（80-m）支，根据题意可得，然后求解即可．
【详解】
解：（1）设每支种型号的毛笔x元，每支种型号的毛笔y元，由题意得：
，
解得：，
答：每支种型号的毛笔6元，每支种型号的毛笔4元．
（2）设该中学可以购买m支型号的毛笔，则种型号的毛笔为（80-m）支，根据题意可得：
，
解得：，
答：该中学最多可以购买50支型号的毛笔．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程组及一元一次不等式的应用，熟练掌握二元一次方程组及一元一次不等式的应用是解题的关键．
65．（2021·广西柳州）如今，柳州螺蛳粉已经成为名副其实的“国民小吃”，螺蛳粉小镇对A、B两种品牌的螺蛳粉举行展销活动．若购买20箱A品牌螺蛳粉和30箱B品牌螺蛳粉共需要4400元，购买10箱A品牌螺蛳粉和40箱B品牌螺蛳粉则需要4200元．
（1）求A、B品牌螺蛳粉每箱售价各为多少元？
（2）小李计划购买A、B品牌螺蛳粉共100箱，预算总费用不超过9200元，则A品牌螺蛳粉最多购买多少箱？
【答案】（1）A品牌螺蛳粉每箱售价为100元，B品牌螺蛳粉每箱售价为80元；（2）60箱
【解析】
【分析】
（1）设品牌螺蛳粉每箱售价为元，品牌螺蛳粉每箱售价为元，根据两种购买方式建立方程组，解方程组即可得；
（2）设购买品牌螺蛳粉为箱，从而可得购买品牌螺蛳粉为箱，再根据“预算总费用不超过9200元”建立不等式，解不等式，结合为正整数即可得．
【详解】
解：（1）设品牌螺蛳粉每箱售价为元，品牌螺蛳粉每箱售价为元，
由题意得：，
解得，
答：品牌螺蛳粉每箱售价为100元，品牌螺蛳粉每箱售价为80元；
（2）设购买品牌螺蛳粉为箱，则购买品牌螺蛳粉为箱，
由题意得：，
解得，
答：品牌螺蛳粉最多购买60箱．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解题关键．
66．（2022·湖南永州）受第24届北京冬季奥林匹克运动会的影响，小勇爱上了雪上运动.一天，小勇在滑雪场训练滑雪，第一次他从滑雪道端以平均米/秒的速度滑到端，用了24秒；第二次从滑雪道端以平均米/秒的速度滑到端，用了20秒．
(1)求的值；
(2)设小勇从滑雪道端滑到瑞的平均速度为米/秒，所用时间为秒，请用含的代数式表示（不要求写出的取值范围）．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据第一次他从滑雪道端以平均米/秒的速度滑到端，用了24秒；第二次从滑雪道端以平均米/秒的速度滑到端，用了20秒同，列出方程求解即可；
（2）称算出路程，再列出用含的代数式表示即可．
(1)
根据题意，得
解这个方程，得
(2)


【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用及反比例函数的应用，解决本题的关键是根据题中的等量关系列出方程．
67．（2022·广西贵港）为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球，已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同．
(1)绳子和实心球的单价各是多少元？
(2)如果本次购买的总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买绳子和实心球的数量各是多少？
【答案】(1)绳子的单价为7元，实心球的单价为30元
(2)购买绳子的数量为30条，购买实心球的数量为10个
【解析】
【分析】
（1）设绳子的单价为x元，则实心球的单价为元，根据“84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同”列出分式方程，解分式方程即可解题；
（2）根据“总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍”列出一元一次方程即可解题．
(1)
解：设绳子的单价为x元，则实心球的单价为元，
根据题意，得：，
解分式方程，得：，
经检验可知是所列方程的解，且满足实际意义，
∴，
答：绳子的单价为7元，实心球的单价为30元．
(2)
设购买实心球的数量为m个，则购买绳子的数量为条，
根据题意，得：，
解得
∴
答：购买绳子的数量为30条，购买实心球的数量为10个．
【点睛】
本题考查分式方程和一元一次方程的应用，根据题目中的等量关系列出方程是解题的关键．
68．（2022·四川内江）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：

甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
35
30
租金（元/辆）
400
320

学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．
(1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
(2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
(3)学校租车总费用最少是多少元？
【答案】(1)参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人
(2)一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆
(3)学校租车总费用最少是2800元．
【解析】
【分析】
（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，根据参加实践活动的学生人数的两种不同表示方法作为等量关系列方程；
（2）首页判断车辆总数为8，设租甲型客车m辆，列出不等式组求出整数解即可；
（3）列出函数解析式w＝80m+2560，结合自变量取值范围求出最少总费用．
(1)
设参加此次劳动实践活动的老师有x人，参加此次劳动实践活动的学生有（30x+7）人，
根据题意得：30x+7＝31x﹣1，
解得x＝8，
∴30x+7＝30×8+7＝247，
答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；
(2)
师生总数为247+8＝255（人），
∵每位老师负责一辆车的组织工作，
∴一共租8辆车，
设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，
根据题意得：，
解得3≤m≤5.5，
∵m为整数，
∴m可取3、4、5，
∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；
(3)
设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，
由（2）知：3≤m≤5.5，
设学校租车总费用是w元，
w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，
∵80＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴m＝3时，w取最小值，最小值为80×3+2560＝2800（元），
答：学校租车总费用最少是2800元．
【点睛】
本题考查一元一次方程的实际应用、利用一次函数解决最小利润问题，解决问题的关键是根据题意得到相等关系或不相等关系列出方程、不等式组以及函数解析式解决问题．
69．（2022·湖南长沙）电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题．其大意是：把300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇数，其中一个群，狗的数量少：另外三个群，狗的数量多且数量相同．问：应该如何分？请你根据题意解答下列问题：
(1)刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条给财主．”请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题后相应的括号内，正确的打“√”，错误的打“×”．
①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案．（       ）
②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案．（       ）
③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种．（       ）
(2)若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”，求每个群里狗的数量．
【答案】(1)√，×，×
(2)数量少的群里狗的数量为45只，狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为85只
【解析】
【分析】
（1）根据题意，姐妹们给出的答案是符合要求的；除此之外，还可分成97,97,97,9等，这里的每群狗的数量还需要是正整数，所以答案不是无数种，即可判断；
（2）设数量少的狗群的数量为只，则狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为只，根据狗的总数为300只，可列一元一次方程，求解即可．
(1)
根据题意，姐妹们给出的答案是符合要求的；除此之外，还可分成97,97,97,9等，
刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案，
∵这里的每群狗的数量还需要是正整数，
∴答案不是无数种，
∴①√，②×，③×，
故答案为：√，×，×；
(2)
设数量少的狗群的数量为只，则狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为只，由题意得：
，
解得，
（只），
所以，数量少的群里狗的数量为45只，狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为85只．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的实际应用，整式加减的运用，准确理解题意并熟练掌握知识点是解题的关键．
70．（2021·贵州黔西）甲、乙两家水果商店，平时以同样的价格出售品质相同的樱桃．春节期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，甲商店的樱桃价格为60元；乙商店的樱桃价格为65元．若一次购买以上，超过部分的樱桃价格打8折．
(1)设购买樱桃，，（单位：元）分别表示顾客到甲、乙两家商店购买樱桃的付款金额，求，关于的函数解析式；
(2)春节期间，如何选择甲、乙两家商店购买樱桃更省钱？
【答案】(1)，
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据两个商店的樱桃价格列出对应的关系式即可；
（2）根据（1）所求函数关系式，列出不等式或方程求解即可．
(1)
解：由题意可得：，
当时，，
当时，，
；
(2)
解：当时，即时，到甲商店购买樱桃更省钱；
当时，即时，到甲、乙两家商店购买樱桃花费相同；
当，即时，到乙商店购买樱桃更省钱．
【点睛】
本题主要考查了列函数关系式，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确列出函数关系式是解题的关键．
71．（2021·广西桂林）为了美化环境，建设生态桂林，某社区需要进行绿化改造，现有甲、乙两个绿化工程队可供选择，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米，甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造面积．
（1）甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？
（2）该社区需要进行绿化改造的区域共有12000平方米，甲队每天的施工费用为600元，乙队每天的施工费用为400元，比较以下三种方案：①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成．哪一种方案的施工费用最少？
【答案】（1）甲队每天能完成绿化的面积是500平方米，乙队每天能完成绿化的面积是300平方米；（2）选择方案①完成施工费用最少
【解析】
【分析】
（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x平方米，根据甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造面积，列出方程，求解即可；
（2）利用施工费用=每天的施工费用×施工时间，即可求出选择各方案所需施工费用,再比较后即可得出结论．
【详解】
解：（1）设乙队每天能完成绿化的面积是x平方米，则甲队每天能完成绿化的面积是（x+200）米，
依题意得：x+x+200=800
解得：x=300，
x+200=500
∴甲队每天能完成绿化的面积是500平方米，乙队每天能完成绿化的面积是300平方米．
（2）选择方案①甲队单独完成所需费用=（元）；
选择方案②乙队单独完成所需费用=（元）；
选择方案③甲、乙两队全程合作完成所需费用=（元）；
∴选择方案①完成施工费用最少．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出方程；（2）利用总费用=每天支出的费用×工作时间，分别求出选择各方案所需费用．
72．（2021·广西贺州）为了提倡节约用水，某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过时，按一级单价收费；当每户每月用水量超过时，超过部分按二级单价收费．已知李阿姨家五月份用水量为，缴纳水费32元．七月份因孩子放假在家，用水量为，缴纳水费51.4元．
（1）问该市一级水费，二级大费的单价分别是多少？
（2）某户某月缴纳水费为64.4元时，用水量为多少？
【答案】（1）一级水费的单价为3.2元/，二级水费的单价为6.5元/；（2）
【解析】
【分析】
（1）设该市一级水费的单价为元/，二级水费的单价为元/，根据题意，列出二元一次方程组，即可求解；
（2）先判断水量超过，设用水量为，列出方程，即可求解.
【详解】
（1）设该市一级水费的单价为元/，二级水费的单价为元/，
依题意得，解得，
答：该市一级水费的单价为3.2元/，二级水费的单价为6.5元/．
（2）当水费为64.4元，则用水量超过，
设用水量为，得，，
解得：．
答：当缴纳水费为64.4元时，用水量为．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程组以及一元一次方程的实际应用，找准等量关系，列出方程（组），是解题的关键.
73．（2021·湖南益阳）为了改善湘西北地区的交通，我省正在修建长（沙）-益（阳）-常（德）高铁，其中长益段将于2021年底建成．开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了40千米，运行时间为16分钟；现乘坐某次长益城际列车全程需要60分钟，平均速度是开通后的高铁的．
（1）求长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少千米？
（2）甲、乙两个工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工的长度比为7：9，计划40天完成．施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？
【答案】（1）长益段高铁全长为64千米，长益城际铁路全长为104千米；（2）千米．
【解析】
【分析】
（1）设开通后的长益高铁的平均速度为千米/分钟，从而可得某次长益城际列车的平均速度为千米/分钟，再根据“路程速度时间”、“开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了40千米”建立方程，解方程即可得；
（2）先求出甲、乙两个工程队每天对其施工的长度，再设甲工程队后期每天施工千米，根据“整个工程提早3天以上（含3天）完成”建立不等式，解不等式即可得．
【详解】
解：（1）设开通后的长益高铁的平均速度为千米/分钟，则某次长益城际列车的平均速度为千米/分钟，
由题意得：，
解得，
则（千米），（千米），
答：长益段高铁全长为64千米，长益城际铁路全长为104千米；
（2）由题意得：甲工程队每天对其施工的长度为（千米），
乙工程队每天对其施工的长度（千米），
设甲工程队后期每天施工千米，
则，
解得，
即，
答：甲工程队后期每天至少施工千米．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程和不等式是解题关键．
74．（2021·湖南长沙）为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．
（1）若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？
（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？
【答案】（1）一共答对了22道题；（2）至少需答对23道题．
【解析】
【分析】
（1）设该参赛同学一共答对了道题，从而可得该参赛同学一共答错了道题，再根据“每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分”、“他的总得分为86分”建立方程，解方程即可得；
（2）设参赛者需答对道题才能被评为“学党史小达人”，从而可得参赛者答错了道题，再根据“总得分大于或等于90分”建立不等式，解不等式即可得．
【详解】
解：（1）设该参赛同学一共答对了道题，则该参赛同学一共答错了道题，
由题意得：，
解得，
答：该参赛同学一共答对了22道题；
（2）设参赛者需答对道题才能被评为“学党史小达人”，则参赛者答错了道题，
由题意得：，
解得，
答：参赛者至少需答对23道题才能被评为“学党史小达人”．
【点睛】
本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确列出方程和不等式是解题关键．
75．（2022·湖北恩施）某校计划租用甲、乙两种客车送180名师生去研学基地开展综合实践活动．已知租用一辆甲型客车和一辆乙型客车共需500元，租用2辆甲型客车和3辆乙型客车共需1300元．甲型客车每辆可坐15名师生，乙型客车每辆可坐25名师生．
(1)租用甲、乙两种客车每辆各多少元？
(2)若学校计划租用8辆客车，怎样租车可使总费用最少？
【答案】(1)甲种客车每辆元，乙种客车每辆元
(2)租用甲种客车2辆，乙种客车6辆，租车费用最低为2200元
【解析】
【分析】
（1）可设甲种客车每辆元，乙种客车每辆元，根据等量关系：一辆甲型客车和一辆乙型客车共需500元，租用2辆甲型客车和3辆乙型客车共需1300元，列出方程组求解即可；
（2）设租车费用为元，租用甲种客车辆，根据题意列出不等式组，求出的取值范围，进而列出关于的函数关系式，根据一次函数的性质求解即可．
(1)
解：设甲种客车每辆元，乙种客车每辆元，依题意知，
，解得 ，
答：甲种客车每辆元，乙种客车每辆元；
(2)
解：设租车费用为元，租用甲种客车 辆，则乙种客车 辆，
，
解得：，
，
，
随的增大而减小，
取整数，
最大为2，
时，费用最低为（元，
（辆．
答：租用甲种客车2辆，乙种客车6辆，租车费用最低为2200元．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系．
76．（2022·湖南衡阳）冰墩墩（Bing Dwen Dwen）、雪容融（Shuey Rhon Rhon）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．

(1)求两种玩偶的进货价分别是多少？
(2)第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】(1)冰墩墩进价为72元/个，雪容融进价为64元/个
(2)冰墩墩进货24个，雪容融进货16个时，利润取得最大值为992元
【解析】
【分析】
（1）设冰墩墩进价为元，雪容融进价为元，列二元一次方程组求解；
（2）设冰墩墩进货个，雪容融进货个，利润为元，列出与的函数关系式，并分析的取值范围，从而求出的最大值．
(1)
解：设冰墩墩进价为元/个，雪容融进价为元/个．
得，解得．
∴冰墩墩进价为72元/个，雪容融进价为64元/个．
(2)
设冰墩墩进货个，雪容融进货个，利润为元，
则，
∵，所以随增大而增大，
又因为冰墩墩进货量不能超过雪容融进货量的1.5倍，
得，解得．
∴当时，最大，此时，．
答：冰墩墩进货个，雪容融进货个时，获得最大利润，最大利润为元．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．
77．（2022·辽宁营口）某文具店最近有A，B两款纪念册比较畅销，该店购进A款纪念册5本和B款纪念册4本共需156元，购进A款纪念册3本和B款纪念册5本共需130元．在销售中发现：A款纪念册售价为32元/本时，每天的销售量为40本，每降低1元可多售出2本；B款纪念册售价为22元/本时，每天的销售量为80本，B款纪念册每天的销售量与售价之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：
售价（元/本）
…
22
23
24
25
…
每天销售量（本）
…
80
78
76
74
…

(1)求A，B两款纪念册每本的进价分别为多少元；
(2)该店准备降低每本A款纪念册的利润，同时提高每本B款纪念册的利润，且这两款纪念册每天销售总数不变，设A款纪念册每本降价m元．
①直接写出B款纪念册每天的销售量（用含m的代数式表示）；
②当A款纪念册售价为多少元时，该店每天所获利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)A，B两款纪念册每本的进价分别为20元和14元；
(2)①B款纪念册销售量为(80-2m)本；②当A款纪念册售价为26元时，该店每天所获利润最大，最大利润是1264元．
【解析】
【分析】
（1）设A，B两款纪念册每本的进价分别为a元和b元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可；
（2）①设A款纪念册每本降价m元，根据这两款纪念册每天销售总数不变，则B款纪念册销售量为(80-2m)本；
②先利用待定系数法求得B款纪念册每天的销售量与售价之间的一次函数关系式，再根据每周的利润=每本的利润×每周的销售数量，再根据二次函数的性质可得答案．
(1)
解：设A，B两款纪念册每本的进价分别为a元和b元，
依题意得，
解得，
答：A，B两款纪念册每本的进价分别为20元和14元；
(2)
解：①设A款纪念册每本降价m元，
则A款纪念册销售量为(40+2m)本，售价为(32-m)元，则每册利润为32-m-20=12-m（元），
∵这两款纪念册每天销售总数不变，
∴B款纪念册销售量为(80-2m)本；
②设B款纪念册每天的销售量与售价之间的一次函数关系式为y=kx+n，
∴，
解得，
∴B款纪念册每天的销售量与售价之间的一次函数关系式为y=-2x+124，
由①得：B款纪念册销售量为(80-2m)本，
售价为80-2m =-2x+124，即x=22+m(元)，则每本利润为22+m-14=8+m(元)，
设该店每天所获利润为w元，
则w=(40+2m)(12-m)+ (80-2m)(8+m)
=-4m2+48m+1120
=-4(m-6)2+1264，
∵-4<0，
∴当m=6时，w有最大值，最大值为1264元，
此时A款纪念册售价为32-6=26(元)，
答：当A款纪念册售价为26元时，该店每天所获利润最大，最大利润是1264元．
【点睛】
本题考查二元一次方程组、一次函数及二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．
78．（2022·四川广安）某企业下属A、B两厂向甲乙两地运送水泥共520吨，A厂比B厂少运送20吨，从A厂运往甲乙两地的运费分别为40元/吨和35元/吨，从B厂运往甲乙两地的运费分别为28元/吨和25元/吨．
(1)求A、B两厂各运送多少吨水泥?
(2)现甲地需要水泥240吨，乙地需要水泥280吨．受条件限制，B厂运往甲地的水泥最多150吨．设从A厂运往甲地a吨水泥，A、B两厂运往甲乙两地的总运费为w元．求w与a之间的函数关系式，请你为该企业设计一种总运费最低的运输方案，并说明理由
【答案】(1)A厂运送了250吨，B厂运送270吨；
(2)；A厂运往甲地90吨，运往乙地160吨；B厂运往甲地150吨，运往乙地120吨；
【解析】
【分析】
（1）设A厂运送x吨，B厂运送y吨，然后列出方程组，解方程组即可得到答案；
（2）根据题意，列出w与a之间的函数关系式，然后进行整理即可，再结合B厂运往甲地的水泥最多150吨，求出总运费最低的方案．
(1)
解：根据题意，设A厂运送x吨，B厂运送y吨，则
，解得，
∴A厂运送了250吨，B厂运送270吨；
(2)
解：根据题意，则
，
整理得：；
∵B厂运往甲地的水泥最多150吨，
∴，
∴；
当时，总运费最低；
此时的方案是：
A厂运往甲地90吨，运往乙地160吨；B厂运往甲地150吨，运往乙地120吨
【点睛】
此题考查了一次函数的实际应用问题．此题难度较大，解题的关键是理解题意，读懂题意，求得一次函数解析式，然后根据一次函数的性质求解．
79．（2021·湖南湘潭）2020年12月30日，中共湘潭市委创造性地提出了深化“六个湘潭”（实力湘潭、创新湘潭、文化湘潭、幸福湘潭、美丽湘潭、平安湘潭）建设的发展目标．为响应政府号召，湘潭县湘莲种植户借助电商平台，在线下批发的基础上同步在电商平台“拼多多”上零售湘莲．已知线上零售、线下批发湘莲共获得4000元；线上零售和线下批发湘莲销售额相同．
（1）求线上零售和线下批发湘莲的单价分别为每千克多少元？
（2）该产地某种植大户某月线上零售和线下批发共销售湘莲，设线上零售，获得的总销售额为y元；
①请写出y与x的函数关系式；
②若总销售额不低于70000元，则线上零售量至少应达到多少千克？
【答案】（1）线上零售湘莲的单价为每千克40元，线下批发湘莲的单价为每千克30元； （2）①y=10x+60000； ②线上零售量至少应达到1000千克．
【解析】
【分析】
（1）设线上零售湘莲的单价为每千克元，线下批发湘莲的单价为每千克元，由题意：线上零售40kg、线下批发80kg湘莲共获得4000元；线上零售60kg和线下批发80kg湘莲销售额相同．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）①由总销售额=线上零售额和线下批发额，即可求解； ②由①得：10x+60000≥70000，解不等式即可．
【详解】
解：（1）设线上零售湘莲的单价为每千克元，线下批发湘莲的单价为每千克元，
由题意得：，
解得：，
答：线上零售湘莲的单价为每千克40元，线下批发湘莲的单价为每千克30元；
（2）①由题意得：y=40x+30（2000-x）=10x+60000，
即y与x的函数关系式为：y=10x+60000；
②由①得：10x+60000≥70000，
解得：x≥1000，
答：线上零售量至少应达到1000千克．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用等知识，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）①找出数量关系，求出y与x的函数关系式；②列出一元一次不等式．
80．（2021·内蒙古赤峰）为传承优秀传统文化，某地青少年活动中心计划分批次购进四大名著：《西游记》、《水浒传》、《三国演义》、《红楼梦》．第一次购进《西游记》50本，《水浒传》60本，共花费6600元，第二次购进《西游记》40本，《水浒传》30本，共花费4200元．
（1）求《西游记》和《水浒传》每本的售价分别是多少元；
（2）青少年活动中心决定再购买上述四种图书，总费用不超过32000元．如果《西游记》比《三国演义》每本售价多10元，《水浒传》比《红楼梦》每本售价少10元(四大名著各一本为一套)，那么这次最多购买《西游记》多少本？
【答案】（1）《西游记》、《水浒传》每本售价分别是60元、60元；（2）88本
【解析】
【分析】
（1）设出《西游记》和《水浒传》每本的价格，根据题意列出关于单价的方程组，即可解决问题．
（2）设这次购买《西游记》本，根据再购买上述四种图书，总费用不超过32000元列出关于a的不等式，即可解决问题．
【详解】
解：（1）设《西游记》每本售价x元，《水浒传》每本售价y元，
则
解得
答：《西游记》、《水浒传》每本传价分别是60元、60元．
（2）由题意可知《三国演义》每本售价为 (元)．
《红楼梦》每本售价为 (元)，
设这次购买《西游记》本，则：

解得
∵为正整数，
∴取．
答：这次购买《西游记》最多为88本．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
81．（2021·湖南湘西）年以来，新冠肺炎的蔓延促使世界各国在线教育用户规模不断增大．网络教师小李抓住时机，开始组建团队，制作面向、两个不同需求学生群体的微课视频．已知制作个类微课和个类微课需要4600元成本，制作个类微课和个类微课需要元成本．李老师又把做好的微课出售给某视频播放网站，每个类微课售价元，每个类微课售价元．该团队每天可以制作个类微课或者个类微课，且团队每月制作的类微课数不少于类微课数的倍（注：每月制作的、两类微课的个数均为整数）．假设团队每月有天制作微课，其中制作类微课天，制作、两类微课的月利润为元．
（1）求团队制作一个类微课和一个类微课的成本分别是多少元？
（2）求与之间的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）每月制作类微课多少个时，该团队月利润最大，最大利润是多少元？
【答案】（1）团队制作一个类微课和一个类微课的成本分别是700元、500元；（2），；（3）每月制作类微课个时，该团队月利润最大，最大利润是元．
【解析】
【分析】
（1）设团队制作一个类微课的成本为元，制作一个类微课的成本为元，由题意得，然后求解即可；
（2）由（1）及题意可直接进行求解；
（3）由（2）及结合一次函数的性质可直接进行求解．
【详解】
解：（1）设团队制作一个类微课的成本为元，制作一个类微课的成本为元，由题意得：
，
解得：；
答：团队制作一个类微课和一个类微课的成本分别是700元、500元．
（2）由题意得制作类微课天，则有：
，
∵团队每月制作的类微课数不少于类微课数的倍，
∴，且，解得：，
（3）由（2）可得：，，
∴随的增大而增大，
∵每月制作的、两类微课的个数均为整数，
∴为偶数，
∴当时，w取最大，最大值为；
答：每月制作类微课个时，该团队月利润最大，最大利润是元．
【点睛】
本题主要考查一次函数、一元一次不等式及二元一次方程组的应用，熟练掌握一次函数、一元一次不等式及二元一次方程组的应用是解题的关键．
82．（2021·贵州黔东南）黔东南州某销售公司准备购进A、B两种商品，已知购进3件A商品和2件B商品，需要1100元；购进5件A商品和3件B商品，需要1750元．
（1）求A、B两种商品的进货单价分别是多少元？
（2）若该公司购进A商品200件，B商品300件，准备把这些商品全部运往甲、乙两地销售．已知每件A商品运往甲、乙两地的运费分别为20元和25元；每件B商品运往甲、乙两地的运费分别为15元和24元．若运往甲地的商品共240件，运往乙地的商品共260件．
①设运往甲地的A商品为（件），投资总运费为（元），请写出与的函数关系式；
②怎样调运A、B两种商品可使投资总费用最少？最少费用是多少元？（投资总费用＝购进商品的费用＋运费）
【答案】（1）A商品的进货单价为200元，B商品的进货单价为250元；（2）①；②最佳调运方案为：调运240件B商品到甲地，调运200件A商品、60件B商品到乙地．最小费用为125040元
【解析】
【分析】
（1）设A商品的进货单价为x元，B商品的进货单价为y元，根据购进3件A商品和2件B商品，需要1100元；购进5件A商品和3件B商品，需要1750元列出方程组求解即可；
（2）①设运往甲地的A商品为x件，则设运往乙地的A商品为（200﹣x）件，运往甲地的B商品为（240﹣x）件，运往乙地的B商品为（60+x）件，根据投资总运费＝运往甲、乙两地运费之和列出函数关系式即可；②根据投资总费用＝购买商品的费用+总运费，列出函数关系式，由自变量的取值范围是：0≤x≤200，根据函数的性质判断最佳运输方案并求出最低费用．
【详解】
解：（1）设A商品的进货单价为x元，B商品的进货单价为y元，
根据题意，得，
解得：，
答：A商品的进货单价为200元，B商品的进货单价为250元；
（2）①设运往甲地的A商品为x件，则设运往乙地的A商品为（200﹣x）件，
运往甲地的B商品为（240﹣x）件，运往乙地的B商品为（60+x）件，
则y＝20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x）＝4x+10040，
∴y与x的函数关系式为y＝4x+10040；
②投资总费用w＝200×200+300×250+4x+10040＝4x+125040，
自变量的取值范围是：0≤x≤200，
∵k＝4＞0，
∴y随x增大而增大．
当x＝0时，w取得最小值，w最小＝125040（元），
∴最佳调运方案为：调运240件B商品到甲地，调运200件A商品、60件B商品到乙地，最小费用为125040元．
答：调运240件B商品到甲地，调运200件A商品、60件B商品到乙地总费用最小，最小费用为125040元．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用和二元一次方程组的应用，关键是根据投资总费用＝购进商品的费用+运费列出函数关系式．
83．（2021·湖北襄阳）为了切实保护汉江生态环境，襄阳市政府对汉江襄阳段实施全面禁渔．禁渔后，某水库自然生态养殖的鱼在市场上热销，经销商老李每天从该水库购进草鱼和鲢鱼进行销售，两种鱼的进价和售价如下表所示：

进价（元/斤）
售价（元/斤）
鲢鱼

5
草鱼

销量不超过200斤的部分
销量超过200斤的部分
8
7

已知老李购进10斤鲢鱼和20斤草鱼需要155元，购进20斤鲢鱼和10斤草鱼需要130元．
（1）求，的值；
（2）老李每天购进两种鱼共300斤，并在当天都销售完，其中销售鲢鱼不少于80斤且不超过120斤，设每天销售鲢鱼斤（销售过程中损耗不计）．
①分别求出每天销售鲢鱼获利（元），销售草鱼获利（元）与的函数关系式，并写出的取值范围；
②端午节这天，老李让利销售，将鲢鱼售价每斤降低元，草鱼售价全部定为7元斤，为了保证当天销售这两种鱼总获利（元）的最小值不少于320元，求的最大值．
【答案】（1）；（2）①；；②0.25
【解析】
【分析】
（1）根据题意列出关于a，b的二元一次方程组，进而即可求解；
（2）①根据利润=（售价-进价）×销售量，列出函数解析式，即可；②根据题意列出W关于x的一次函数关系式，参数为m，结合一次函数的性质，得到关于m的不等式，进而即可求解．
【详解】
解：（1）根据题意得：，解得，
（2）①．
当时，即：，；
当时，即：，．
∴，
②由题意得，其中．
∵当时，．不合题意．
∴．
∴随的增大而增大．
∴当时，的值最小，
由题意得．
解得：．
∴的最大值为0.25．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程组以及一次函数的实际应用，根据数量关系；列出方程组以及一次函数解析式，是解题的关键．
84．（2020·四川巴中）某果农为响应国家“乡村振兴”战略的号召．计划种植苹果树和桔子树共100棵．若种植40棵苹果树，60棵桔子树共需投入成本9600元；若种植40棵桔子树，60棵苹果树共需投入成本10400元．
（1）求苹果树和桔子树每棵各需投入成本多少元？
（2）若苹果树的种植棵数不少于桔子树的，且总成本投入不超过9710元，问：共有几种种植方案？
（3）在（2）的条件下，已知平均每棵苹果树可产30kg苹果，售价为10元/kg；平均每棵桔子树可产25kg枯子，售价为6元/kg，问：该果农怎样选择种植方案才能使所获利润最大？最大利润为多少元？
【答案】（1）苹果树每棵需投入成本120元，桔子树每棵需投入成本80元；（2）共有5种种植方案；（3）该果农种植苹果树42棵，桔子树58棵时，获得利润最大，最大利润为11620元．
【解析】
【分析】
（1）设每棵苹果树需投入成本元，每棵桔子树需投入成本元，根据两种方案的成本建立方程组，解方程组即可得；
（2）设苹果树的种植棵数为棵，从而可得桔子树的种植棵数为棵，根据“苹果树的种植棵数不少于桔子树的，且总成本投入不超过9710元”建立不等式组，解不等式组，结合为整数即可得；
（3）设该果农所获利润为元，在（2）的基础上，根据利润公式建立与的函数关系式，再利用一次函数的性质即可得．
【详解】
解：（1）设每棵苹果树需投入成本元，每棵桔子树需投入成本元，
由题意得：，
解得：，
答：苹果树每棵需投入成本120元，桔子树每棵需投入成本80元；
（2）设苹果树的种植棵数为棵，则桔子树的种植棵数为棵，
由题意得：，
解得：，
∵a取整数，
∴，39，40，41，42，
∴共有5种种植方案；
（3）设该果农所获利润为元，
由题意得：，
即，
∵，
∴随的增大而增大，
∴在（2）的条件下，当时，取得最大值，最大值为（元），
此时，
答：该果农种植苹果树42棵，桔子树58棵时，获得利润最大，最大利润为11620元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，较难的是题（3），正确建立函数关系式是解题关键．
85．（2020·山东济南）5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如表所示：型号价格

进价（元/部）
售价（元/部）
A
3000
3400
B
3500
4000

某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元．
（1）营业厅购进A、B两种型号手机各多少部？
（2）若营业厅再次购进A、B两种型号手机共30部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1）营业厅购进A、B两种型号手机分别为6部、4部；（2）营业厅购进A种型号的手机10部，B种型号的手机20部时获得最大利润，最大利润是14000元
【解析】
【分析】
（1）根据题意和表格中的数据，可以得到相应的二元一次方程组，从而可以求得营业厅购进A、B两种型号手机各多少部；
（2）根据题意，可以得到利润与A种型号手机数量的函数关系式，然后根据B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，可以求得A种型号手机数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少．
【详解】
解：（1）设营业厅购进A、B两种型号手机分别为a部、b部，
，
解得，，
答：营业厅购进A、B两种型号手机分别为6部、4部；
（2）设购进A种型号的手机x部，则购进B种型号的手机(30﹣x)部，获得的利润为w元，
w＝(3400﹣3000)x+(4000﹣3500)(30﹣x)＝﹣100x+15000，
∵B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，
∴30﹣x≤2x，
解得，x≥10，
∵w＝﹣100x+15000，k＝﹣100，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝10时，w取得最大值，此时w＝14000，30﹣x＝20，
答：营业厅购进A种型号的手机10部，B种型号的手机20部时获得最大利润，最大利润是14000元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，以及一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质．