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山东省滨州市博兴县教育集团2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷 (含答案)
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这是一份山东省滨州市博兴县教育集团2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷 (含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，羊二，直金十九两；牛二等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省滨州市博兴县教育集团八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．请选出唯一正确答案的代号填在下面的答题栏内.
1．自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中图案是轴对称图形的是（ ）
A．打喷嚏 捂口鼻 B．喷嚏后 慎揉眼
C．勤洗手 勤通风 D．戴口罩 讲卫生
2．如果是关于x和y的二元一次方程mx﹣2y＝2的解，那么m的值是（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
3．在平面直角坐标系中，若点P（a﹣3，1）与点Q（2，b+1）关于x轴对称，则a+b的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知+|b﹣2a|＝0，则a+2b的值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
5．如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE＝32°，则∠GHC等于（ ）
A．112° B．110° C．108° D．106°
6．如图，△ABD≌△ACE，若AB＝6，AE＝4，则CD的长度为（ ）
A．10 B．6 C．4 D．2
7．某市出租车的收费标准是：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都需付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2.6元（不足1千米按1千米计），某人从甲地到乙地经过的路程是x千米，出租车费为21元，那么x的最大值是（ ）
A．11 B．8 C．7 D．5
8．为了解某校学生今年五一期间参加社团活动时间的情况，随机抽查了其中100名学生进行统计，并绘制成如图所示的频数分布直方图，已知该校共有1000名学生，据此估计，该校五一期间参加社团活动时间在8～10小时之间的学生数大约是（ ）
A．280 B．240 C．300 D．260
9．如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，那么这个等腰三角形的底角为（ ）
A．22°50′ B．67.5°
C．22°50′或67°50′ D．22.5°或67.5°
10．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（ ）
A．10 B．5 C．4 D．7
11．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；作直线MN分别交BC、AC于点D、E．若AE＝6cm，△ABD的周长为26m，则△ABC的周长为（ ）
A．32cm B．38cm C．44cm D．50cm
12．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：
①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，满分24分.
13．三角形的三边长分别为5，8，2x+1，则x的取值范围是 ．
14．不等式组的所有整数解的积是 ．
15．如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，要证明∠A′O′B′＝∠AOB，就要先证明△C′O′D′≌△COD，那么判定△C′O′D′≌△COD的依据是 ．
16．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC，AD，CE中点，且S△ABC＝4平方厘米，则S△BEF的值为 ．
17．如图在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，已知AB＝8，则BF的长为 ．
18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果M、N分别为BD、BC上的动点，那么CM+MN的最小值是 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分60分．解答时请写出必要的过程与步骤．
19．根据要求解答下列各题．
（1）计算：；
（2）解方程组：
20．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多180度，求这个多边形的边数．
21．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；
（2）求△ABC的面积；
（3）在直线l上找一点P（在答题纸上图中标出），使PB+PC的长最小．
22．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD＝AB，AE∥BC，∠BAD＝∠CAE，连接DE交AC于点F．
（1）若∠B＝70°，求∠C的度数；
（2）若AE＝AC，AD平分∠BDE是否成立？请说明理由．
23．我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？
（2）若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
24．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝50°．点D在线段BC上（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝50°且边DE交线段AC于E．
（1）求证∠BAD＝∠EDC；
（2）若AB＝DC，求此时∠BAD的大小．
参考答案
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．请选出唯一正确答案的代号填在下面的答题栏内.
1．自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中图案是轴对称图形的是（ ）
A．打喷嚏 捂口鼻 B．喷嚏后 慎揉眼
C．勤洗手 勤通风 D．戴口罩 讲卫生
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
2．如果是关于x和y的二元一次方程mx﹣2y＝2的解，那么m的值是（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
【分析】把代入方程mx﹣2y＝2得出﹣2m﹣6＝2，求出m即可．
解：把代入方程mx﹣2y＝2得，﹣2m﹣6＝2，
解得m＝﹣4，
故选：A．
3．在平面直角坐标系中，若点P（a﹣3，1）与点Q（2，b+1）关于x轴对称，则a+b的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出a，b的值，进而得出答案．
解：∵点P（a﹣3，1）与点Q（2，b+1）关于x轴对称，
∴a﹣3＝2，b+1＝﹣1，
∴a＝5，b＝﹣2，
则a+b＝5﹣2＝3．
故选：C．
4．已知+|b﹣2a|＝0，则a+2b的值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】直接利用绝对值和二次根式的性质分别化简得出答案．
解：∵+|b﹣2a|＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣2a＝0，
解得：a＝2，b＝4，
故a+2b＝10．
故选：D．
5．如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE＝32°，则∠GHC等于（ ）
A．112° B．110° C．108° D．106°
【分析】由折叠可得，∠DGH＝∠DGE＝74°，再根据AD∥BC，即可得到∠GHC＝180°﹣∠DGH＝106°．
解：∵∠AGE＝32°，
∴∠DGE＝148°，
由折叠可得，∠DGH＝∠DGE＝74°，
∵AD∥BC，
∴∠GHC＝180°﹣∠DGH＝106°，
故选：D．
6．如图，△ABD≌△ACE，若AB＝6，AE＝4，则CD的长度为（ ）
A．10 B．6 C．4 D．2
【分析】根据全等三角形的对应边相等可得AB＝AC，AE＝AD，再由CD＝AC﹣AD即可求出其长度．
解：∵△ABD≌△ACE，
∴AB＝AC＝6，AE＝AD＝4，
∴CD＝AC﹣AD＝6﹣4＝2，
故选：D．
7．某市出租车的收费标准是：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都需付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2.6元（不足1千米按1千米计），某人从甲地到乙地经过的路程是x千米，出租车费为21元，那么x的最大值是（ ）
A．11 B．8 C．7 D．5
【分析】根据出租车费≥8+2.6×超出3千米的路程结合出租车费为21元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，取其整数即可得出结论．
解：根据题意得：
8+2.6（x﹣3）≤21，
解得：x≤8，
故选：B．
8．为了解某校学生今年五一期间参加社团活动时间的情况，随机抽查了其中100名学生进行统计，并绘制成如图所示的频数分布直方图，已知该校共有1000名学生，据此估计，该校五一期间参加社团活动时间在8～10小时之间的学生数大约是（ ）
A．280 B．240 C．300 D．260
【分析】用被抽查的100名学生中参加社团活动时间在8～10小时之间的学生所占的百分数乘以该校学生总人数，即可得解．
解：由题可得，抽查的学生中参加社团活动时间在8～10小时之间的学生数为100﹣30﹣24﹣10﹣8＝28（人），
∴1000×＝280（人），
即该校五一期间参加社团活动时间在8～10小时之间的学生数大约是280人．
故选：A．
9．如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，那么这个等腰三角形的底角为（ ）
A．22°50′ B．67.5°
C．22°50′或67°50′ D．22.5°或67.5°
【分析】分两种情况：当等腰三角形是锐角三角形时，当等腰三角形是钝角三角形时，然后进行计算即可解答．
解：分两种情况：
当等腰三角形是锐角三角形时，如图：
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝45°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝45°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝67.5°，
∴这个等腰三角形的底角为67.5°；
当等腰三角形是钝角三角形时，如图：
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝45°，
∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣∠DAB＝135°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝22.5°，
∴这个等腰三角形的底角为22.5°；
综上所述：这个等腰三角形的底角为22.5°或67.5°，
故选：D．
10．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（ ）
A．10 B．5 C．4 D．7
【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质定理得到EF＝DE＝2，根据三角形面积公式计算即可．
解：作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BC，ED⊥AB，
∴EF＝DE＝2，
∴△BCE的面积＝×BC×EF＝5．
故选：B．
11．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；作直线MN分别交BC、AC于点D、E．若AE＝6cm，△ABD的周长为26m，则△ABC的周长为（ ）
A．32cm B．38cm C．44cm D．50cm
【分析】利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题．
解：∵DE垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，AE+EC＝12（cm），
∵AB+AD+BD＝26（cm），
∴AB+BD+DC＝26（cm，
∴△ABC的周长＝AB+BD+BC+AC＝26+12＝38（cm），
故选：B．
12．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：
①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；
由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确；
作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示：则∠OGA＝∠OHB＝90°，利用全等三角形对应边上的高相等，得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠AMD，④正确；
假设MO平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，由全等三角形的判定定理可得△AMO≌△DMO，得AO＝OD，而OC＝OD，所以OA＝OC，而OA＜OC，故③错误；即可得出结论．
解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，故②正确；
∵∠OAC＝∠OBD，
由三角形的外角性质得：
∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，故①正确；
法一：作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，
则∠OGA＝∠OHB＝90°，
∵△AOC≌△BOD，
∴OG＝OH，
∴MO平分∠AMD，故④正确；
法二：∵△AOC≌△BOD，
∴∠OAC＝∠OBD，
∴A、B、M、O四点共圆，
∴∠AMO＝∠ABO＝72°，
同理可得：D、C、M、O四点共圆，
∴∠DMO＝∠DCO＝72°＝∠AMO，
∴MO平分∠AMD，
故④正确；
假设MO平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，
在△AMO与△DMO中，
，
∴△AMO≌△DMO（ASA），
∴AO＝OD，
∵OC＝OD，
∴OA＝OC，
而OA＜OC，故③错误；
正确的个数有3个；
故选：B．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，满分24分.
13．三角形的三边长分别为5，8，2x+1，则x的取值范围是 1＜x＜6 ．
【分析】根据三角形的三边关系定理可得8﹣5＜1+2x＜5+8，再解即可．
解：根据三角形的三边关系可得：8﹣5＜2x+1＜5+8，
解得：1＜x＜6．
故答案为：1＜x＜6．
14．不等式组的所有整数解的积是 6 ．
【分析】分别解出每一个不等式得到，再求出不等数组的整数解为2，3即可．
解：解不等式得，
∴＜a≤3，
∴不等式组的整数解为2，3，
∴所有整数解的积是6，
故答案为6．
15．如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，要证明∠A′O′B′＝∠AOB，就要先证明△C′O′D′≌△COD，那么判定△C′O′D′≌△COD的依据是 SSS ．
【分析】首先要清楚画图的步骤，步骤是以O为圆心，任意长为半径用圆规画弧，分别交OA、OB于点C、D；任意画一点O′，画射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧交O′A′于点C′，以C′为圆心，CD长为半径画弧，可确定点D′的位置，过点D′画射线O′B′，∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；则通过作图我们可以得到OC＝O′C′，OD＝O′D′，CD＝C′D′，接下来结合全等三角形的判定，即可解答．
解：根据作法可知O′C′＝OC，O′D′＝OD，C′D′＝CD，
∴△C′O′D′≌△COD（SSS），
故答案为：SSS．
16．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC，AD，CE中点，且S△ABC＝4平方厘米，则S△BEF的值为 1cm2 ．
【分析】根据等底等高的三角形的面积相等可知，三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，然后求解即可．
解：∵D是BC的中点，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×4＝2cm2，
∵E是AD的中点，
∴S△BDE＝S△CDE＝×2＝1cm2，
∴S△BEF＝（S△BDE+S△CDE）＝×（1+1）＝1cm2．
故答案为：1cm2．
17．如图在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，已知AB＝8，则BF的长为 5 ．
【分析】根据等边三角形的性质得到AD＝4，AC＝8，∠A＝∠C＝60°，根据直角三角形的性质得到AE＝AD＝2，计算即可．
解：等边△ABC中，D是AB的中点，AB＝8，
∴AD＝4，BC＝AC＝8，∠A＝∠C＝60°，
∵DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，
∴∠AFD＝∠CFE＝90°，
∴AE＝AD＝2，
∴CE＝8﹣2＝6，
∴CF＝CE＝3，
∴BF＝5，
故答案为：5．
18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果M、N分别为BD、BC上的动点，那么CM+MN的最小值是 4.8 ．
【分析】先作CE垂直AB交BD于点M，再作MN垂直BC，根据角平分线的性质：角分线上的点到角的两边距离相等，即可找到动点M和N，进而求得CM+MN的最小值．
解：如图所示：
过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，
过点M作MN⊥BC于点N，
∵BD平分∠ABC，
∴ME＝MN，
∴CM+MN＝CM+ME＝CE．
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，CE⊥AB，
∴S△ABC＝AB•CE＝AC•BC
∴10CE＝6×8
∴CE＝4.8．
故答案为4.8．
三、解答题：本大题共6小题，满分60分．解答时请写出必要的过程与步骤．
19．根据要求解答下列各题．
（1）计算：；
（2）解方程组：
【分析】（1）先根据有理数的乘方的定义，负整数指数幂的定义，绝对值的性质化简，再进行计算即可；
（2）由②可得x＝4+2y，再代入①可消去未知数x，求出未知数y，进而得出未知数x即可．
解：（1）原式＝
＝
＝﹣10；
（2），
解：由②得x＝4+2y③，
把③代入①，得4（4+2y）+3y＝5，
解得y＝﹣1，
把y＝﹣1代入③，得x＝2，
∴原方程组的解为．
20．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多180度，求这个多边形的边数．
【分析】设这个多边形的边数为n，再根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°和多边形的外角和定理列出方程，然后求解即可．
解：设这个多边形的边数为n，则内角和为180°（n﹣2），依题意得：
180（n﹣2）＝360×3+180，
解得n＝9．
答：这个多边形的边数是9．
21．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；
（2）求△ABC的面积；
（3）在直线l上找一点P（在答题纸上图中标出），使PB+PC的长最小．
【分析】（1）直接利用对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用割补法即可得出答案；
（3）利用轴对称求最短路线的方法得出答案．
解：（1）如图所示：
（2）△ABC的面积＝；
（3）如图所示，点P即为所求．
22．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD＝AB，AE∥BC，∠BAD＝∠CAE，连接DE交AC于点F．
（1）若∠B＝70°，求∠C的度数；
（2）若AE＝AC，AD平分∠BDE是否成立？请说明理由．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠ADB＝∠B＝70°，根据三角形的内角和定理求出∠BAD＝40°，求出∠CAE＝40°，根据平行线的性质得出即可；
（2）求出∠BAC＝∠DAE，根据全等三角形的判定推出△BAC≌△DAE，根据全等三角形的性质得出∠B＝∠ADE，求出∠ADE＝∠ADB即可．
解：（1）∵∠B＝70°，AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B＝70°，
∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，
∴∠BAD＝40°，
∵∠CAE＝∠BAD，
∴∠CAE＝40°，
∵AE∥BC，
∴∠C＝∠CAE＝40°；
（2）AD平分∠BDE，
理由是：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，
即∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（SAS）
∴∠B＝∠ADE，
∵∠B＝∠ADB，
∴∠ADE＝∠ADB，
即AD平分∠BDE．
23．我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？
（2）若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
【分析】（1）设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，根据“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
（2）可设购买a头牛，b只羊，根据用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），列出方程，再根据求二元一次方程整数解即可求解．
解：（1）设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，
根据题意得：，
解得：．
答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子．
（2）设购买a头牛，b只羊，依题意有
3a+2b＝19，
b＝，
∵a，b都是正整数，
∴①购买1头牛，8只羊；
②购买3头牛，5只羊；
③购买5头牛，2只羊．
24．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝50°．点D在线段BC上（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝50°且边DE交线段AC于E．
（1）求证∠BAD＝∠EDC；
（2）若AB＝DC，求此时∠BAD的大小．
【分析】（1）根据角的和的定义得出∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝50°+∠EDC，根据三角形的外角的性质求出∠ADC＝∠B+∠BAD＝50°+∠BAD，即可证明结论；
（2）先证明AC＝DC，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出∠CAD＝（180°﹣∠C）÷2＝65°，然后在△ABC中求出∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，那么∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝15°．
【解答】（1）证明：∵∠ADE＝50°，
∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝50°+∠EDC．
∵∠B＝50°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝50°+∠BAD，
∴∠BAD＝∠EDC；
（2）解：∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∵AB＝DC，
∴AC＝DC，
∴∠CAD＝∠CDA．
∵∠C＝50°，∠CAD+∠CDA+∠C＝180°，
∴∠CAD＝（180°﹣50°）÷2＝65°．
∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠B＝∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝15°．
2022-2023学年山东省滨州市博兴县教育集团八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．请选出唯一正确答案的代号填在下面的答题栏内.
1．自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中图案是轴对称图形的是（ ）
A．打喷嚏 捂口鼻 B．喷嚏后 慎揉眼
C．勤洗手 勤通风 D．戴口罩 讲卫生
2．如果是关于x和y的二元一次方程mx﹣2y＝2的解，那么m的值是（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
3．在平面直角坐标系中，若点P（a﹣3，1）与点Q（2，b+1）关于x轴对称，则a+b的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知+|b﹣2a|＝0，则a+2b的值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
5．如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE＝32°，则∠GHC等于（ ）
A．112° B．110° C．108° D．106°
6．如图，△ABD≌△ACE，若AB＝6，AE＝4，则CD的长度为（ ）
A．10 B．6 C．4 D．2
7．某市出租车的收费标准是：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都需付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2.6元（不足1千米按1千米计），某人从甲地到乙地经过的路程是x千米，出租车费为21元，那么x的最大值是（ ）
A．11 B．8 C．7 D．5
8．为了解某校学生今年五一期间参加社团活动时间的情况，随机抽查了其中100名学生进行统计，并绘制成如图所示的频数分布直方图，已知该校共有1000名学生，据此估计，该校五一期间参加社团活动时间在8～10小时之间的学生数大约是（ ）
A．280 B．240 C．300 D．260
9．如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，那么这个等腰三角形的底角为（ ）
A．22°50′ B．67.5°
C．22°50′或67°50′ D．22.5°或67.5°
10．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（ ）
A．10 B．5 C．4 D．7
11．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；作直线MN分别交BC、AC于点D、E．若AE＝6cm，△ABD的周长为26m，则△ABC的周长为（ ）
A．32cm B．38cm C．44cm D．50cm
12．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：
①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，满分24分.
13．三角形的三边长分别为5，8，2x+1，则x的取值范围是 ．
14．不等式组的所有整数解的积是 ．
15．如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，要证明∠A′O′B′＝∠AOB，就要先证明△C′O′D′≌△COD，那么判定△C′O′D′≌△COD的依据是 ．
16．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC，AD，CE中点，且S△ABC＝4平方厘米，则S△BEF的值为 ．
17．如图在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，已知AB＝8，则BF的长为 ．
18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果M、N分别为BD、BC上的动点，那么CM+MN的最小值是 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分60分．解答时请写出必要的过程与步骤．
19．根据要求解答下列各题．
（1）计算：；
（2）解方程组：
20．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多180度，求这个多边形的边数．
21．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；
（2）求△ABC的面积；
（3）在直线l上找一点P（在答题纸上图中标出），使PB+PC的长最小．
22．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD＝AB，AE∥BC，∠BAD＝∠CAE，连接DE交AC于点F．
（1）若∠B＝70°，求∠C的度数；
（2）若AE＝AC，AD平分∠BDE是否成立？请说明理由．
23．我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？
（2）若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
24．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝50°．点D在线段BC上（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝50°且边DE交线段AC于E．
（1）求证∠BAD＝∠EDC；
（2）若AB＝DC，求此时∠BAD的大小．
参考答案
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．请选出唯一正确答案的代号填在下面的答题栏内.
1．自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中图案是轴对称图形的是（ ）
A．打喷嚏 捂口鼻 B．喷嚏后 慎揉眼
C．勤洗手 勤通风 D．戴口罩 讲卫生
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
2．如果是关于x和y的二元一次方程mx﹣2y＝2的解，那么m的值是（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
【分析】把代入方程mx﹣2y＝2得出﹣2m﹣6＝2，求出m即可．
解：把代入方程mx﹣2y＝2得，﹣2m﹣6＝2，
解得m＝﹣4，
故选：A．
3．在平面直角坐标系中，若点P（a﹣3，1）与点Q（2，b+1）关于x轴对称，则a+b的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出a，b的值，进而得出答案．
解：∵点P（a﹣3，1）与点Q（2，b+1）关于x轴对称，
∴a﹣3＝2，b+1＝﹣1，
∴a＝5，b＝﹣2，
则a+b＝5﹣2＝3．
故选：C．
4．已知+|b﹣2a|＝0，则a+2b的值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】直接利用绝对值和二次根式的性质分别化简得出答案．
解：∵+|b﹣2a|＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣2a＝0，
解得：a＝2，b＝4，
故a+2b＝10．
故选：D．
5．如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE＝32°，则∠GHC等于（ ）
A．112° B．110° C．108° D．106°
【分析】由折叠可得，∠DGH＝∠DGE＝74°，再根据AD∥BC，即可得到∠GHC＝180°﹣∠DGH＝106°．
解：∵∠AGE＝32°，
∴∠DGE＝148°，
由折叠可得，∠DGH＝∠DGE＝74°，
∵AD∥BC，
∴∠GHC＝180°﹣∠DGH＝106°，
故选：D．
6．如图，△ABD≌△ACE，若AB＝6，AE＝4，则CD的长度为（ ）
A．10 B．6 C．4 D．2
【分析】根据全等三角形的对应边相等可得AB＝AC，AE＝AD，再由CD＝AC﹣AD即可求出其长度．
解：∵△ABD≌△ACE，
∴AB＝AC＝6，AE＝AD＝4，
∴CD＝AC﹣AD＝6﹣4＝2，
故选：D．
7．某市出租车的收费标准是：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都需付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2.6元（不足1千米按1千米计），某人从甲地到乙地经过的路程是x千米，出租车费为21元，那么x的最大值是（ ）
A．11 B．8 C．7 D．5
【分析】根据出租车费≥8+2.6×超出3千米的路程结合出租车费为21元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，取其整数即可得出结论．
解：根据题意得：
8+2.6（x﹣3）≤21，
解得：x≤8，
故选：B．
8．为了解某校学生今年五一期间参加社团活动时间的情况，随机抽查了其中100名学生进行统计，并绘制成如图所示的频数分布直方图，已知该校共有1000名学生，据此估计，该校五一期间参加社团活动时间在8～10小时之间的学生数大约是（ ）
A．280 B．240 C．300 D．260
【分析】用被抽查的100名学生中参加社团活动时间在8～10小时之间的学生所占的百分数乘以该校学生总人数，即可得解．
解：由题可得，抽查的学生中参加社团活动时间在8～10小时之间的学生数为100﹣30﹣24﹣10﹣8＝28（人），
∴1000×＝280（人），
即该校五一期间参加社团活动时间在8～10小时之间的学生数大约是280人．
故选：A．
9．如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，那么这个等腰三角形的底角为（ ）
A．22°50′ B．67.5°
C．22°50′或67°50′ D．22.5°或67.5°
【分析】分两种情况：当等腰三角形是锐角三角形时，当等腰三角形是钝角三角形时，然后进行计算即可解答．
解：分两种情况：
当等腰三角形是锐角三角形时，如图：
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝45°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝45°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝67.5°，
∴这个等腰三角形的底角为67.5°；
当等腰三角形是钝角三角形时，如图：
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝45°，
∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣∠DAB＝135°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝22.5°，
∴这个等腰三角形的底角为22.5°；
综上所述：这个等腰三角形的底角为22.5°或67.5°，
故选：D．
10．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（ ）
A．10 B．5 C．4 D．7
【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质定理得到EF＝DE＝2，根据三角形面积公式计算即可．
解：作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BC，ED⊥AB，
∴EF＝DE＝2，
∴△BCE的面积＝×BC×EF＝5．
故选：B．
11．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；作直线MN分别交BC、AC于点D、E．若AE＝6cm，△ABD的周长为26m，则△ABC的周长为（ ）
A．32cm B．38cm C．44cm D．50cm
【分析】利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题．
解：∵DE垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，AE+EC＝12（cm），
∵AB+AD+BD＝26（cm），
∴AB+BD+DC＝26（cm，
∴△ABC的周长＝AB+BD+BC+AC＝26+12＝38（cm），
故选：B．
12．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：
①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；
由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确；
作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示：则∠OGA＝∠OHB＝90°，利用全等三角形对应边上的高相等，得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠AMD，④正确；
假设MO平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，由全等三角形的判定定理可得△AMO≌△DMO，得AO＝OD，而OC＝OD，所以OA＝OC，而OA＜OC，故③错误；即可得出结论．
解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，故②正确；
∵∠OAC＝∠OBD，
由三角形的外角性质得：
∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，故①正确；
法一：作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，
则∠OGA＝∠OHB＝90°，
∵△AOC≌△BOD，
∴OG＝OH，
∴MO平分∠AMD，故④正确；
法二：∵△AOC≌△BOD，
∴∠OAC＝∠OBD，
∴A、B、M、O四点共圆，
∴∠AMO＝∠ABO＝72°，
同理可得：D、C、M、O四点共圆，
∴∠DMO＝∠DCO＝72°＝∠AMO，
∴MO平分∠AMD，
故④正确；
假设MO平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，
在△AMO与△DMO中，
，
∴△AMO≌△DMO（ASA），
∴AO＝OD，
∵OC＝OD，
∴OA＝OC，
而OA＜OC，故③错误；
正确的个数有3个；
故选：B．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，满分24分.
13．三角形的三边长分别为5，8，2x+1，则x的取值范围是 1＜x＜6 ．
【分析】根据三角形的三边关系定理可得8﹣5＜1+2x＜5+8，再解即可．
解：根据三角形的三边关系可得：8﹣5＜2x+1＜5+8，
解得：1＜x＜6．
故答案为：1＜x＜6．
14．不等式组的所有整数解的积是 6 ．
【分析】分别解出每一个不等式得到，再求出不等数组的整数解为2，3即可．
解：解不等式得，
∴＜a≤3，
∴不等式组的整数解为2，3，
∴所有整数解的积是6，
故答案为6．
15．如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，要证明∠A′O′B′＝∠AOB，就要先证明△C′O′D′≌△COD，那么判定△C′O′D′≌△COD的依据是 SSS ．
【分析】首先要清楚画图的步骤，步骤是以O为圆心，任意长为半径用圆规画弧，分别交OA、OB于点C、D；任意画一点O′，画射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧交O′A′于点C′，以C′为圆心，CD长为半径画弧，可确定点D′的位置，过点D′画射线O′B′，∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；则通过作图我们可以得到OC＝O′C′，OD＝O′D′，CD＝C′D′，接下来结合全等三角形的判定，即可解答．
解：根据作法可知O′C′＝OC，O′D′＝OD，C′D′＝CD，
∴△C′O′D′≌△COD（SSS），
故答案为：SSS．
16．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC，AD，CE中点，且S△ABC＝4平方厘米，则S△BEF的值为 1cm2 ．
【分析】根据等底等高的三角形的面积相等可知，三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，然后求解即可．
解：∵D是BC的中点，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×4＝2cm2，
∵E是AD的中点，
∴S△BDE＝S△CDE＝×2＝1cm2，
∴S△BEF＝（S△BDE+S△CDE）＝×（1+1）＝1cm2．
故答案为：1cm2．
17．如图在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，已知AB＝8，则BF的长为 5 ．
【分析】根据等边三角形的性质得到AD＝4，AC＝8，∠A＝∠C＝60°，根据直角三角形的性质得到AE＝AD＝2，计算即可．
解：等边△ABC中，D是AB的中点，AB＝8，
∴AD＝4，BC＝AC＝8，∠A＝∠C＝60°，
∵DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，
∴∠AFD＝∠CFE＝90°，
∴AE＝AD＝2，
∴CE＝8﹣2＝6，
∴CF＝CE＝3，
∴BF＝5，
故答案为：5．
18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果M、N分别为BD、BC上的动点，那么CM+MN的最小值是 4.8 ．
【分析】先作CE垂直AB交BD于点M，再作MN垂直BC，根据角平分线的性质：角分线上的点到角的两边距离相等，即可找到动点M和N，进而求得CM+MN的最小值．
解：如图所示：
过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，
过点M作MN⊥BC于点N，
∵BD平分∠ABC，
∴ME＝MN，
∴CM+MN＝CM+ME＝CE．
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，CE⊥AB，
∴S△ABC＝AB•CE＝AC•BC
∴10CE＝6×8
∴CE＝4.8．
故答案为4.8．
三、解答题：本大题共6小题，满分60分．解答时请写出必要的过程与步骤．
19．根据要求解答下列各题．
（1）计算：；
（2）解方程组：
【分析】（1）先根据有理数的乘方的定义，负整数指数幂的定义，绝对值的性质化简，再进行计算即可；
（2）由②可得x＝4+2y，再代入①可消去未知数x，求出未知数y，进而得出未知数x即可．
解：（1）原式＝
＝
＝﹣10；
（2），
解：由②得x＝4+2y③，
把③代入①，得4（4+2y）+3y＝5，
解得y＝﹣1，
把y＝﹣1代入③，得x＝2，
∴原方程组的解为．
20．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多180度，求这个多边形的边数．
【分析】设这个多边形的边数为n，再根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°和多边形的外角和定理列出方程，然后求解即可．
解：设这个多边形的边数为n，则内角和为180°（n﹣2），依题意得：
180（n﹣2）＝360×3+180，
解得n＝9．
答：这个多边形的边数是9．
21．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；
（2）求△ABC的面积；
（3）在直线l上找一点P（在答题纸上图中标出），使PB+PC的长最小．
【分析】（1）直接利用对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用割补法即可得出答案；
（3）利用轴对称求最短路线的方法得出答案．
解：（1）如图所示：
（2）△ABC的面积＝；
（3）如图所示，点P即为所求．
22．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD＝AB，AE∥BC，∠BAD＝∠CAE，连接DE交AC于点F．
（1）若∠B＝70°，求∠C的度数；
（2）若AE＝AC，AD平分∠BDE是否成立？请说明理由．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠ADB＝∠B＝70°，根据三角形的内角和定理求出∠BAD＝40°，求出∠CAE＝40°，根据平行线的性质得出即可；
（2）求出∠BAC＝∠DAE，根据全等三角形的判定推出△BAC≌△DAE，根据全等三角形的性质得出∠B＝∠ADE，求出∠ADE＝∠ADB即可．
解：（1）∵∠B＝70°，AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B＝70°，
∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，
∴∠BAD＝40°，
∵∠CAE＝∠BAD，
∴∠CAE＝40°，
∵AE∥BC，
∴∠C＝∠CAE＝40°；
（2）AD平分∠BDE，
理由是：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，
即∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（SAS）
∴∠B＝∠ADE，
∵∠B＝∠ADB，
∴∠ADE＝∠ADB，
即AD平分∠BDE．
23．我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？
（2）若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
【分析】（1）设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，根据“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
（2）可设购买a头牛，b只羊，根据用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），列出方程，再根据求二元一次方程整数解即可求解．
解：（1）设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，
根据题意得：，
解得：．
答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子．
（2）设购买a头牛，b只羊，依题意有
3a+2b＝19，
b＝，
∵a，b都是正整数，
∴①购买1头牛，8只羊；
②购买3头牛，5只羊；
③购买5头牛，2只羊．
24．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝50°．点D在线段BC上（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝50°且边DE交线段AC于E．
（1）求证∠BAD＝∠EDC；
（2）若AB＝DC，求此时∠BAD的大小．
【分析】（1）根据角的和的定义得出∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝50°+∠EDC，根据三角形的外角的性质求出∠ADC＝∠B+∠BAD＝50°+∠BAD，即可证明结论；
（2）先证明AC＝DC，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出∠CAD＝（180°﹣∠C）÷2＝65°，然后在△ABC中求出∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，那么∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝15°．
【解答】（1）证明：∵∠ADE＝50°，
∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝50°+∠EDC．
∵∠B＝50°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝50°+∠BAD，
∴∠BAD＝∠EDC；
（2）解：∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∵AB＝DC，
∴AC＝DC，
∴∠CAD＝∠CDA．
∵∠C＝50°，∠CAD+∠CDA+∠C＝180°，
∴∠CAD＝（180°﹣50°）÷2＝65°．
∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠B＝∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝15°．
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