【高考大一轮单元复习】高考数学单元复习讲义与检测-专题08《立体几何》讲义（新高考专用）

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专题08 立体几何
知识回顾
一、空间几何体的有关概念
1．空间几何体
对于空间中的物体，如果我们只考虑其形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．例如，一个正方体形包装箱，占有的空间部分就是一个几何体，这个几何体就是我们熟悉的正方体．
2．多面体
（1）多面体：一般地，我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．
（2）多面体的面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如图中面ABB′A′，面BCC ′B′等．
（3）多面体的棱：相邻两个面的公共边叫做多面体的棱， 如图中棱AA′，棱BB′等．
（4）多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点， 如图中顶点A，B，C等．

3．旋转体
（1）旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体．如图所示为一个旋转体，它可以看作由矩形OBB′O′绕其边OO′所在的直线旋转而形成．
（2）旋转体的轴：平面图形旋转时所围绕的定直线．如图中直线OO′是该旋转体的轴．

二、常见几何体的公式：
1.体积公式：
柱体：，圆柱体：。
斜棱柱体积：（其中，是直截面面积，是侧棱长）；
锥体：， 圆锥体：,
台体：
圆台体： , 球体：。
正方体的体积 ；正方体的体积 .
2.侧面积：
直棱柱侧面积：，斜棱柱侧面积：；
正棱锥侧面积：，正棱台侧面积：；
圆柱侧面积：，圆锥侧面积：，
圆台侧面积：，球的表面积：。
3.几个基本公式：
弧长公式：（是圆心角的弧度数，>0）；扇形面积公式：；
圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角公式：；
圆台侧面展开图（扇环）的圆心角公式：；
球面上两点间的距离公式：。
4.几何体的表面积：
圆柱的表面积 ；圆锥的表面积 ；圆台的表面积
球体的表面积 .
柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.
把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积.
【温馨提示】1.多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
3.若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．
4.求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.
5.求多面体的外接球的表面积或体积的问题常用的方法有：①三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；②直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；③如果多面体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点即球心．
三、直观图的概念
一个空间图形在投影面上的平行投影（平面图形）可以形象地表示这个空间图形，这种用来表示空间.
图形的平面图形叫做空间图形的直观图．
水平放置的平面图形的直观图的画法步骤
（1）画轴：在已知图形中建立适当的直角坐标系xOy，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′=45°．
（2）定点：根据“原图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段；原图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半”的规则，确定平面图形的关键点．
（3）连线成图：连接已确定的关键点，把坐标轴擦去，得到水平放置的平面图形的直观图．
用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤
（1）在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴使∠xOz=90°，且∠yOz=90°．
（2）画直观图时，把它们画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′=45°(或135°)，∠x′O′z′=90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面．
（3）已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．
（4）已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．
（5）画图完成以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．
画空间几何体的直观图的原则
（1）坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，一般坐标原点建在图形的对称中心处．
（2）要先画出底面的直观图，然后画出其余各面．
（3）与z轴平行的线段在直观图中应与z′轴平行且长度保持不变.
四、平面
1．平面的概念
生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象．
几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一些物体中抽象出来的．但是，几何里的平面是无限延展的，一个平面可以将空间分成两部分．
2.平面的基本性质
1）三个基本事实：
（1）基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
符号表示：Al，Bl，且Aα，Bα⇒l⊂α．如图所示：

作用：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面．
（2）基本事实2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
符号表示：A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使Aα，Bα，Cα．如图所示：

作用：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面．
（3）基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
符号表示：Pα，且Pβ⇒α∩β＝l，且Pl．如图所示：

作用：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点．
2）三个推论
（1）推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．
符号语言：若点直线a，则A和a确定一个平面．如图所示：

（2）推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示：

（3）推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示：

【温馨提示】对三个基本事实的理解
（1）对于基本事实1，我们可以知道：一是整条直线在平面内；二是直线上的所有点在平面内．
（2）“不在一条直线上”和“三点”是基本事实2的重点字眼，如果没有前者，那么只能说“有一个平面”，但不唯一；如果将“三点”改成“四点”，那么过四点不一定存在一个平面．由此可见，“不在一条直线上的三点”是确定一个平面的条件．
五、空间点、直线、平面之间的位置关系
（一）异面直线所成的角
1．两条异面直线所成的角的定义
如图，已知两异面直线a，b，经过空间任一点O，分别作直线a′∥a，b′∥b，相交直线a′，b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．

（1）在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以判定a′，b′所成的角的大小与点O的位置无关．为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上．
（2）研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把求空间角问题转化为求平面角问题，这是研究空间图形的一种基本思路．
2．异面直线所成的角的范围
异面直线所成的角必须是锐角或直角，则这个角α的取值范围为．
3．求两条异面直线所成的角的步骤
（1）平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，使其成为相交直线；
（2）证明：证明作出的角就是要求的角；
（3）计算：求角度（常利用三角形的有关知识）；
（4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．
（二）空间中直线与平面的位置关系
1．直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有且只有三种：
① 直线在平面内——有无数个公共点；
② 直线与平面相交——有且只有一个公共点；
③ 直线与平面平行——没有公共点．
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外．
2．直线与平面的位置关系的符号表示和图形表示

3．直线和平面位置关系的分类
（1）按公共点个数分类：
；
（2）按是否平行分类：
；
（3）按直线是否在平面内分类：
．
（三）平面与平面之间的位置关系
1．两个平面之间的位置关系
两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：
（1）两个平面平行——没有公共点；
（2）两个平面相交——有一条公共直线．
2．两个平面之间的位置关系的图形表示和符号表示

3．两个平行平面的画法
画两个平行平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行，且把这两个平行四边形上下放置．
六、空间直线、平面的平行
（一）基本事实4与等角定理
1．基本事实4
（1）自然语言：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
（2）符号语言：a，b，c是三条不同的直线， a∥b，b∥c．
（3）作用：判断或证明空间中两条直线平行．
公理4表述的性质也通常叫做空间平行线的传递性．
用基本事实4证明空间两条直线平行的步骤
（1）找到直线；
（2）证明，；
（3）得到．
2．等角定理
（1）自然语言：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
（2）符号语言：
如图（1）（2）所示，在∠AOB与∠A′O′B′中，OA∥O′A′，OB∥O′ B′，则∠AOB=∠A′O′B′或∠AOB+∠A′O′B′=180°．

图（1） 图（2）
（二）直线与平面平行的判定定理
语言文字
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.
图形语言

符号语言
a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α
作用
证明直线与平面平行
（三）平面与平面平行的判定定理
语言文字
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
图形语言

符号语言
a⊂β，b⊂β，，a∥α，b∥α⇒α∥β
作用
证明两个平面平行
【微点拨】
1．要证明两平面平行，需要在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面，注意“相交”二字不能丢．
2．可以通过证明线线平行来证明面面平行．

（四）直线与平面平行的性质定理
（1）自然语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．
（2）图形语言：如图．

（3）符号语言：．
（4）直线与平面平行的性质定理的作用
①作为证明线线平行的依据．当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行．
②作为画一条直线与已知直线平行的依据．如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以通过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线．
（五）平面与平面平行的性质定理
（1）自然语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
（2）图形语言：如图．

（3）符号语言：
【微点拨】
1．已知两个平面平行，虽然一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定互相平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线．
2．应用该定理证明线线平行．
（六）两个平面平行的其他性质
（1）两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面．
（2）夹在两个平行平面间的平行线段相等．
（3）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
（4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
（5）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．
七、空间直线、平面的垂直
（一）直线与平面垂直的判定
1．直线与平面垂直
定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法
l⊥α
有关
概念
直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．
图示

画法
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
（1）定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语．
（2）直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式．
（3）由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线．
2．直线与平面垂直的判定定理
文字
语言
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
图形
语言

符号
语言
l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，⇒l⊥α
作用
判断直线与平面垂直
（1）直线与平面垂直的判定定理告诉我们：可以通过直线间的垂直来证明直线与平面垂直．通常我们将其记为“线线垂直，则线面垂直”．因此，处理线面垂直转化为处理线线垂直来解决．也就是说，以后证明一条直线和一个平面垂直，只要在这个平面内找到两条相交直线和已知直线垂直即可．
（2）在应用该定理判断一条直线和一个平面垂直时，一定要注意是这条直线和平面内的两条相交直线垂直，而不是任意的两条直线．
3．直线和平面所成的角
（1）定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
（2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于．因此，直线与平面所成的角α的范围是．
（二）平面与平面垂直的判定
1．二面角
概念
平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面
图示

二
面
角
的
平
面
角
文字
在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角
图示

符号
OA⊂α，OB⊂β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角
范围
[0，π]
二
面
角
的
大
小
及
记
法
规定
二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角
记法
棱为l，面分别为α，β的二面角记为．如图所示，也可在α，β内（棱以外的半平面部分）分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角．

【微点拨】（1）二面角是从空间一条直线出发的两个半平面所组成的图形；平面角可以把角理解为一个旋转量，二面角也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成，二面角的大小反映了两个相交平面的位置关系．
（2）二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的位置唯一确定的，与选择棱上的点的位置无关．
（3）平面角的两边分别在二面角的两个面内，且两边都与二面角的棱垂直，这个角所确定的平面与棱垂直．
2．平面与平面垂直
（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作．
（2）画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直．如图所示．

3．平面与平面垂直的判定定理
文字语言
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
图形语言

符号语言
l⊥α，⇒α⊥β
作用
判断两平面垂直
【温馨提示】平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．通常我们将其记为：线面垂直，则面面垂直．因此处理面面垂直问题（即空间问题）转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题（即平面问题）来解决．
（三）直线与平面垂直的性质定理
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言
⇒
图形语言

作用
（1）证明两直线平行；
（2）构造平行线
【微点拨】直线与平面垂直的性质定理给出了判断两条直线平行的另一种方法，即“线面垂直，则线线平行”，它揭示了“平行”与“垂直”的内在联系．
直线与平面垂直的性质
（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ；（5） ．
（四）平面与平面垂直的性质定理
文字
语言
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
符号
语言

图形
语言

作用
证明直线与平面垂直
【温馨提示】平面与平面垂直的性质定理给出了判断直线与平面垂直的另一种方法，即“面面垂直，则线面垂直”，揭示了线面垂直与面面垂直的内在联系．
垂直关系之间的相互转化

常考题型
1.常见几何体的结构特征：
【例题1-1】下列几何体中棱柱有(　　)

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】D
【详解】由棱柱的定义及几何特征，①③为棱柱．故选D.
【例题1-2】(多选题)下列关于圆柱的说法中，正确的是（ ）
A．分别以矩形（非正方形）的长和宽所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的两个圆柱是两个不同的圆柱
B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面
C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面
D．以矩形的一组对边中点的连线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的面所围成的几何体是圆柱
【答案】ABD
【分析】根据旋转体的定义，判断正确；由圆柱的结构特征，可判断正确，错误.
【详解】用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面不是圆面，
如用垂直于圆柱底面的平面截圆柱，截面是矩形，故C错误，
显然A，B，D正确.
故选:ABD.
【点睛】题考查圆柱的定义以及结构特征，属于基础题.
【例题1-3】下列说法中正确的个数是（ ）
①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；
②球面上任意两点的连线是球的直径；
③用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆；
④用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面；
⑤以半圆的直径所在直线为轴旋转形成的曲面叫做球；
⑥空间中到定点的距离等于定长的所有的点构成的曲面是球面.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】依次判断每个选项：两点的连线经过球心时才满足，②错误；截面是圆面，③错误；几何体叫做球，故⑤错误；得到答案.
【详解】①正确；
当球面上两点的连线经过球心时，这两点的连线才是球的直径，故②错误；
③用一个平面截一个球，得到的截面是圆面，而不是一个圆，故③错误；
④正确；
曲面所围成的几何体叫做球，故⑤错误；
⑥正确；
故正确说法为①④⑥，共3个.故选：
【点睛】本题考查了与球相关命题的判断，意在考查学生的推断能力.
【例题1-4】如图所示，是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的平面轴对称图形，若将它绕轴l旋转180°后形成一个组合体，下面说法不正确的是（ ）

A．该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体
B．该组合体仍然关于轴l对称
C．该组合体中的圆锥和球只有一个公共点
D．该组合体中的球和半球只有一个公共点
【答案】A
【解析】将该几何体绕轴l旋转180°后形成一个组合体，该组合体是由圆台、圆柱、圆锥和球、半球组成的，由此可知A选项错误．故选A．
【点睛】考查简单组合体的构成，就必须要明白该组合体是由简单几何体拼接、截去还是挖去一部分而成的，因此，要仔细观察简单组合体的组成，并充分结合柱、锥、台、球的几何结构特征进行识别．
【例题1-5】如图所示的是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中完全一样的是________．

【答案】（）（）（）
【解析】（）中①⑤、②④、③⑥相对，（）中①④、②⑤、③⑥相对，
（）中①④、②⑤、③⑥相对，（）中①④、②⑤、③⑥相对．
【点睛】先由几何体的展开图还原几何体的形状．根据熟悉的柱、锥、台、球的图形，明确几何体的展开对应关系，结合空间想象将展开图还原为实物图．再在具体几何体中研究对应线面位置关系
【例题1-6】如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个垂直于圆柱底面的平面去截这个组合体﹐则截面图形可能是______（填序号）．



【答案】①⑤
【分析】根据圆锥曲线的定义和圆锥的几何特征，分截面过旋转轴时和截面不过旋转轴时两种情况，分析截面图形的形状，最后综合讨论结果，可得答案.
【解析】由题意，当截面过旋转轴时，圆锥的轴截面为等腰三角形，此时①符合条件；
当截面不过旋转轴时，圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时⑤符合条件，
综上可知截面的图形可能是①⑤.故答案为：①⑤
【例题1-7】如图，一竖立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】作出该圆锥的侧面展开图，如下图所示：该小虫爬行的最短路程为，在中，OP==4，=，易得．设底面圆的半径为，则有，∴．故C正确．

【点睛】本题主要考查了圆锥的有关计算及圆锥的侧面展开的应用，着重考查了求立体图形中两点之间的曲线段的最短线路长，解答此类问题一般应把几何体的侧面展开，展开在一个平面内，构造直角三角形，从而求解两点间的线段的长度，用到的知识为：圆锥的弧长等于底面周长，本题的解答中圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥的底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，体现了“化曲面为平面”的思想方法．
【自我提升1】下列关于棱台的说法中正确的个数为（ ）
①所有的侧棱交于一点；②只有两个面互相平行；
③上下两个底面全等；④所有的侧面不存在两个面互相平行．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】利用棱台的定义与性质判断选项的正误即可.
【详解】由棱台的定义可知：
①所有的侧棱交于一点，正确；
②只有两个面互相平行，就是上、下底面平行，正确；
③上下两个底面全等，不正确；
④所有的侧面不存在两个面互相平行，正确；故选C．
【点睛】本题考查棱台的结构特征，棱台的定义，是基本知识的考查．
【自我提升2】关于圆台，下列说法正确的是________．
①两个底面平行且全等；②圆台的母线有无数条；
③圆台的母线长大于高；④两底面圆心的连线是高．
【答案】②③④
【分析】根据圆台的定义判断即可；
【解析】圆台的定义为：以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体，圆台的上底面和下底面是两个大小不同的圆，则①不正确，②③④正确
故答案为：②③④
【点睛】本题考查圆台的相关概念的理解，属于基础题.
【自我提升3】（多选题）下列命题中正确的是（ ）
A．过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆；
B．球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径；
C．用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面；
D．球是与定点的距离等于定长的所有点的集合．
【答案】BC
【分析】根据球的定义，及球的截面圆的性质，逐项判定，即可求解.
【解析】对于A中，当过球的直径的两个端点，可以作无数个过球心的圆，所以A错误；
对于B中，根据球的定义知，过球心的截面圆为大圆，两个大圆的交线必为求得直径，所以B正确； 对于C中，根据球的截面圆的性质，可得不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面，所以C正确；对于D中，根据球的定义，球是在空间中与定点的距离等于定长的所有点的集合，所以D错误．故选：BC.
【自我提升4】如图所示的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是

A．一个棱柱中挖去一个棱柱 B．一个棱柱中挖去一个圆柱
C．一个圆柱中挖去一个棱锥 D．一个棱台中挖去一个圆柱
【答案】B
【详解】螺栓是圆柱，螺母的横截面是六边形内有一个圆，所以螺母可以看成一个棱柱中挖去一个圆柱.故选B.
【考点】简单组合体的结构特征.
【自我提升5】下列关于简单几何体的说法中正确的是（ ）
①有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；
②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
③有两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
④空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合是球面．
A．①② B．③④ C．④ D．②④
【答案】C
【分析】通过画图、举例以及根据几何体的有关定义来逐项分析.
【详解】
对于①，不符合棱柱的结构特征，若下面是一个正四棱柱，上面是一个以正四棱柱上底面为下底面的斜四棱柱，如图，满足条件，但并不是棱柱，故①不正确；
对于②，棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，故②不正确；
对于③，不符合棱台的结构特征，棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的，则应保证各侧棱延长后相交于一点，故③不正确；
对于④，在平面内满足到定点的距离等于定长的所有点的集合为圆，在空间中满足到定点的距离等于定长的所有点的集合为球面，故④正确.故选C.

【点睛】
本题考查空间几何体的命题判断，难度一般.处理空间几何体的命题判断问题，可通过画图示、举例子、利用定义分析等方法来完成解答.
2.空间几何体的直观图：
【例题2-1】用斜二测画法画出下列水平放置的图形的直观图.

【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【分析】在原平面直角坐标系中分别找出两个图形顶点的坐标，画，轴，使，按照在轴上或平行于轴的线段仍然在轴上或平行于轴，长度不变，在轴上或平行于轴的线段仍然在轴上或平行于轴，长度为原来的一半，找出对应顶点的坐标，连接顶点，即可得到（1）（2）两个平面图形的直观图．
【解析】（1）已知中，取边所在直线为轴，取高所在直线为轴，画对应的轴、轴，使，在轴上取，在轴上取，连接，擦去辅助线，即可得为原三角形的直观图.

（2）在正五边形中，以BC边所在直线为轴，线段BC的中垂线为轴，作轴于，作轴于，画对应的轴、轴，使，在轴上取，在轴上取，分别过和作轴的平行线，并在相应的平行线上截取，连接，擦去辅助线，即可得水平放置的正五边形的直观图为.

【例题2-2】已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，高为4，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图．
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】画法步骤：（1）画坐标轴；
（2）画下底面：按水平放置的平面图形的直观图的画法作出下底面的直观图；
（3）画上底面：与画下底面相同方法作出下底面直观图．
（4）连线并擦去辅助线得直观图．
【详解】
（1）画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.

（2）画下底面．以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF＝6，在y轴上取线段GH，使得GH＝3，再过G，H分别作AB綊EF，CD綊EF，且使得AB的中点为G，CD的中点为H，连接AD，BC，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图．
（3）画上底面．在z轴上截取线段OO1＝4，过O1作O1x′∥Ox，O1y′∥Oy，使∠x′O1y′＝45°，建立坐标系x′O1y′，在x′O1y′中仿照（2）的步骤画出上底面A1B1C1D1的直观图．
（4）连接AA1、BB1、CC1、DD1，擦去辅助线，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图
如图②）．
【例题2-3】如图，是水平放置的平面图形用斜二测画法画出的直观图，将其恢复成原图形．

【答案】答案见解析
【解析】
【分析】逆用斜二测画法的原理，平行依旧斜改垂，横等纵二倍竖不变，即可由直观图得出原图.
【详解】（1）画出平面直角坐标系，在轴上取，即；
（2）在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取，过点 作轴，并使．
（3）连接，，则即为原来的图形，如图②所示．


【例题2-4】如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，上底为1，腰为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】先计算出该梯形的斜二测直观图的面积，再根据直观图的面积与原图的面积之比为，求得原图的面积．
【详解】

依题意，四边形是一个底角为，上底为，腰为的等腰梯形
过，分别做，
则和为斜边长为的等腰直角三角形
，又，
梯形的面积：
在斜二测画直观图时，直观图的面积与原图的面积之比为：
即：
本题正确选项：
【点睛】本题考查了斜二测直观图的面积与原图面积的关系，可以还原图形求原图的面积，也可以根据直观图与原图的面积比求原图的面积．属于基础题．
【例题2-5】用斜二测画法画出长为6，宽为4的矩形水平放置的直观图，则该直观图面积为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：用斜二测画法时原则是“横不变，纵减半”．矩形在用斜二测画法画出的直观图中为平行四边形且夹角为．所以直观图面积为．故C正确．
【考点】斜二测画法．
【自我提升1】若一个平面图形的直观图是边长为2的正方形，则该平面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据斜二测法确定直观图与平面图形的面积关系，即可求平面图形的面积.
【解析】由题设，结合斜二测法可知：直观图面积为平面图形面积的，
∴平面图形的面积为.故选：D
【自我提升2】如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由三视图得原图形的形状，结构，得边长后可得周长．
【解析】由三视图知原图形是平行四边形，如图，，，，，所以平行四边形的周长是8．故选：A．

【自我提升3】画出底面边长为3cm、高为4.5cm的正三棱柱的直观图.
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】按照作直观图的步骤，画轴、画底面、画侧棱、成图结合直观图的原理：横竖不变纵减半，，保持平行线即可成图.
【详解】
一、画轴，如图：画轴、轴、轴，三轴相交于点，使得，；
二、画底面，以为中点，在轴上取，在轴正半上截取
，连接，，则就是正三棱柱的底面；
三、画侧棱、过点，，分别作轴的平行线，并在这些平行线上分别截取4.5cm长的线段，，；
四、成图，顺次连接，，，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），即得正三棱柱的直观图.

3.空间几何体的表面积与体积：
【例题3-1】若正三棱柱一个侧面的一条对角线长为2，且与该侧面内的底边所成角为45°，则此三棱柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得该三棱柱底面棱长为，高为，再结合体积公式计算即可.
【解析】因为正三棱柱一个侧面的一条对角线长为2，且与该侧面内的底边所成角为45°,
所以该三棱柱底面棱长为，高为，
所以该正三棱柱的体积为：
故选：C
【例题3-2】正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，则它的表面积为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据正六棱柱的结构特征，求出棱柱的高，再计算它的表面积.
【解析】正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，则高为，它的表面积为.故选:B.
【例题3-3】用一张长12cm、宽8cm的矩形铁皮围成圆柱形的侧面，求这个圆柱的体积．
【答案】或
【分析】分别以长方体的长为圆柱的高和以宽为圆柱的高两种情况，再结合圆柱体积公式即可求解.
【解析】当长方体的长作圆柱的高时，有；
当长方体的宽作圆柱的高时，有.
故圆柱的体积为：或
【例题3-4】求底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积．
【答案】
【分析】利用底边边长和高计算正三棱锥的斜高可得全面积.
【解析】因为底面的边长为2，故底面中心到底面边的距离为，故斜高为，故全面积为.
【例题3-5】如图，已知圆锥的轴截面是腰长为的等腰直角三角形．试求：

（1）圆锥的侧面积；（2）圆锥的体积．
【答案】（1）圆锥的侧面积；（2）圆锥的体积．
【分析】
（1）根据圆锥的母线长和结构特征求出圆锥的高和底面半径，即可求出侧面积；
（2）根据圆锥体积公式可求.
【解析】∵△ABC是等腰直角三角形，，∴，即圆锥的高h=1，圆锥的底面半径r=1．
（1）圆锥的侧面积；
（2）圆锥的体积．
【例题3-6】圆台的母线长为，母线与轴的夹角为，一个底面的半径是另一个底面的半径的2倍，求两底面的半径及两底面面积之和.
【答案】圆台上底面半径为a，下底面半径为，两底面面积之和为.
【分析】如图将圆台还原为圆锥， 根据所给数据在中和中解三角形即可得解.
【解析】

设圆台上底面半径为r，则下底面半径为.
将圆台还原为圆锥，如图，则有.
在中，，∴.
在中，，∴.
又，即，∴.∴.
∴圆台上底面半径为a，下底面半径为，两底面面积之和为.
【例题3-7】如图所示，在正三棱台中，已知，棱台一个侧面的面积为，，O分别为上、下底面正三角形的中心，连接并延长，分别交于点，D，，求上底面的边长.

【答案】
【分析】根据正三棱台的结构特征，用上下底面边长表示出正三棱台的斜高，进而得侧面积表达式即可得解.
【解析】依题意，，则，
设上底面的边长为，则，
如图所示，连接，过作于点H，则四边形为矩形，且，

于是得，在中，，
因四边形的面积为，则，即，解得，
所以上底面的边长为.
【例题3-8】有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2，求该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）.

【答案】36
【分析】结合图形可知该几何体水平投影面积等于下底面最大正方体的底面面积，因此表面积等于几何体的侧面积＋底面积的两倍，从而可以求出结果.
【解析】易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，，1.
考虑该几何体在水平面的投影，可知其水平投影面积等于下底面最大正方体的底面面积.
∴S表＝2S下＋S侧＝2×22＋4×[22＋()2＋12]＝36，
∴该几何体的表面积为36.
【例题3-9】如图，圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积．

【答案】剩下部分体积为，表面积为.
【分析】求得圆柱的底面半径和高，由此求得剩下几何体的表面积和体积.
【解析】由于是的中点，所以圆柱的高，且圆柱的底面半径为.
圆锥的体积为，圆柱的体积为，
所以剩下几何体的体积为.
剩下部分的表面积等于圆锥的面积加上圆柱的侧面积，
即.
【例题3-10】如图，在多面体中，已知是边长为1的正方形，且△，△均为等边三角形，，，求该多面体的体积.

【答案】
【分析】过A，B作的垂线，垂足分别为G，H，连接，，过E作于O，连接，结合已知求，，，进而求，最后应用棱锥、棱柱的体积公式求组合体的体积即可.
【解析】如图，分别过A，B作的垂线，垂足分别为G，H，连接，，易得，

过点E作于点O，连接，易得，，
∴，
∴.
【例题3-11】如图，一个底面半径为4的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为4和6，则该几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】该几何体的体积由两部分组成：①底面半径为4、高为4的圆柱体体积，②底面半径为4、高为2的圆柱体体积的一半，由此有求出该几何体的体积．
【解析】一个底面半径为4的圆柱被一平面所截，
截得的几何体的最短和最长母线长分别为4和6，该几何体的体积由两部分组成：
底面半径为4、高为4的圆柱体体积，②底面半径为4、高为2的圆柱体体积的一半，
则该几何体的体积为：．故选：D
【例题3-12】长方体的三个相邻面的面积分别是2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（ ）
A． B．56π
C．14π D．16π
【答案】C
【分析】根据题意可得长方体的三条棱长，再结合题意与有关知识可得外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，即可得到球的直径，进而可根据球的表面积公式求出球的表面积.
【解析】设长方体的三条棱长分别为a，b，c，由题意得，得
∴长方体的体对角线长为，∴其外接球的半径为
∴．故选：C
【例题3-13】若球的表面积膨胀为原来的倍，则膨胀后的球的体积为原来的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
【答案】C
【解析】设球的半径为，则球的表面积为，球的体积为，膨胀后球的表面积为，球的半径为，膨胀后球的体积为，膨胀后球的体积变成了原来的倍，故选C.
【点睛】本题是基础题，考查的是球的体积的计算，考查了计算能力.求解时，设出球的半径，求出膨胀后球的半径，即可得到体积比.
【例题3-14】平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B　
【解析】设球O的半径为R，则，故．故选B.
【技巧点拨】（1）解题时，利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球的体积.
（2）对于球的截面问题，注意：①球心和截面圆心的连线垂直于截面；②球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r之间满足关系式：.
【例题3-15】轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的体积.
【解析】　如图所示，作出轴截面，

因为△ABC是正三角形，所以CD＝AC＝2，所以AC＝4，AD＝×4＝2，
因为Rt△AOE∽Rt△ACD，所以＝.
设OE＝R，则AO＝2－R，所以＝，所以R＝.所以V球＝πR3＝π·3＝.
所以球的体积等于.
【归纳总结】球与几种特殊几何体的关系：
(1)长方体内接于球，则球的直径是长方体的体对角线长；
(2)正四面体的外接球与内切球的球心重合，且半径之比为3∶1；
(3)直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特别地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；
(4)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；
(5)球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．
求解本题时，由三视图可知此空间几何体为三棱柱的切割体，相对于原三棱柱，只缺失了一个顶点，所以此几何体的外接球即为三棱柱外接球，由于底面为直角三角形，所以该外接球可转化为长方体外接球，进而求出体积.
【例题3-16】已知三棱锥，在底面中，，，面，，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用正弦定理求出的外接圆半径为1，结合面，求出外接球半径，进而求出外接球的表面积.
【解析】
设的外接圆半径为R，因为，，由正弦定理得：，所以的外接圆半径为1，设球心O在的投影为D，则DA=1，因为面，，故，由勾股定理得：，即此三棱锥的外接球的半径为2，故外接球表面积为.

故选：D
【自我提升1】一个圆柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形，则这个圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆柱的侧面展开图确定圆柱的底面半径和高，即可求出其体积.
【解析】设圆柱的底面半径为r，高为h，
因为圆柱的侧面展开图是一个边长为的正方形，所以，，所以，
所以圆柱的体积为.故选：C.
【自我提升2】已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设侧面展开图正方形边长为，用表示出圆柱底面半径，然后求出全面积与侧面积，再计算比值．
【解析】设正方形边长为，圆柱底面半径为，易知圆柱高为，，，
全面积为，而侧面积为，
所以全面积与侧面积之比这．故选：A．
【自我提升3】半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意可得圆锥母线长为，底面圆的半径为，求出圆锥高即可求出体积.
【详解】
半径为的半圆卷成一个圆锥，可得圆锥母线长为，底面圆周长为，
所以底面圆的半径为，圆锥的高为,
所以圆锥的体积为.
故选：A.
【自我提升4】若正四棱台的上，下底面边长分别为1，2，高为2，则该正四棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．14
【答案】C
【分析】根据棱台的体积公式即可直接求出答案.
【解析】.故选：C.
【自我提升5】已知圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开图的扇环的圆心角为180°，则这个圆台的侧面积为（ ）
A．600π B．300π C．900π D．450π
【答案】A
【分析】根据给定条件求出圆台的母线长，再利用圆台侧面积公式计算得解.
【解析】圆台的上底面圆半径，下底面圆半径，
设圆台的母线长为l，扇环所在的小圆的半径为x，依题意有：，解
得，所以圆台的侧面积.故选：A
【自我提升6】一平面截一球得到直径为的圆面，球心到这个平面的距离是，则该球的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出过球心的截面，利用勾股定理可求得球的半径，由球的体积公式可求得结果.
【解析】设球心为，截面圆心为，连接，则垂直于截面圆，如图所示，

在中，，，
球的半径，球的体积．
故选：B.
【自我提升7】有一个无盖正三棱柱铁质容器，棱长均为6，将容器注满水.现在容器上口放置一个铁球，若球体没入水中部分的深度恰为四分之一直径，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先想象组合体，并画出正三棱柱上底面截球的平面图形，分析长度关系，求球的体积.
【解析】图1是正三棱柱上底面解球的示意图，此时内切圆的半径，
图2是正三棱柱上底面截球的弦心距的示意图，此时是内切圆的直径，，
则，即，解得：,
球的体积.

故选：D
【点睛】关键点睛：本题的关键是空间想象，根据实际问题转化为分析如上两个图形.
4.平面：
【例题4-1】用符号表示下列语句：
(1)点A在直线l上，l在平面内；
(2)平面和平面的交线是直线l，直线m在平面内；
(3)点A在平面内，直线l经过点A，且直线l在平面外；
(4)直线l经过平面外一点M．
【答案】(1)；
(2)平面平面=直线l，直线m平面；
(3)点A平面，点A直线l，直线l平面；
(4)点M平面，点M直线l.
【分析】利用点与直线、点与平面、直线与平面的关系直接求解.
【解析】(1)点A在直线l上，l在平面内，记为：；
(2)平面和平面的交线是直线l，直线m在平面内，
记为：平面平面=直线l，直线m平面；
(3)点A在平面内，直线l经过点A，且直线l在平面内外，
记为：点A平面，点A直线l，直线l平面；
(4)直线l经过平面外一点M，
记为：点M平面，点M直线l.


【例题4-2】如图，在正方体中，判断下列命题是否正确，并说明理由.

（1）由点A，O，C可以确定一个平面；
（2）由点A，，确定的平面为平面.
【答案】（1）不正确，理由见解析；（2）正确，理由见解析.
【分析】
（1）由正方体的性质知A，O，C在同一条直线上，此三点所成平面有无数个，可知正误.
（2）由正方体的性质知A，不共线且，即可判断A，，的平面.
【解析】
（1）不正确，由点A，O，C在同一条直线上，则不能确定一个平面，而有无数个平面.
（2）正确，由A，不共线，则可确定一个平面.
又，则面.
∴由点A，，确定的平面为面.
【例题4-3】如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且．求证：

（1）、、、四点共面；（2）与的交点在直线上．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）由平行关系转化，可得，即可证明四点共面；（2）由条件证明与的交点既在平面上，又在平面上，即可证明.
【解析】证明（1）∵，∴．
∵，分别为，的中点，
∴，∴，∴，，，四点共面．
（2）∵，不是，的中点，
∴，且，故为梯形．
∴与必相交，设交点为，
∴平面，平面，
∴平面，且平面，
∴，即与的交点在直线上．
【例题4-4】在三棱锥A－BCD的棱AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF∩HG＝P，则点P（ ）
A.一定在直线BD上 B.一定在直线AC上
C.在直线AC或BD上 D.不在直线AC上，也不在直线BD上
【答案】B
【解析】如图所示，∵EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P，
∴P∈平面ABC，P∈平面ACD.又∵平面ABC∩平面ACD＝AC，∴P∈AC，
故选B.

【例题4-5】如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．

【答案】证明见解析.
【分析】根据推论3及基本事实2可知，两条平行直线AB和CD可以确定一个平面ABCD，并且平面ABCD与平面的所有的公共点应该在一条直线上，根据题意，这些公共点即E，F，G，H四点，所以这四点必定共线.
【解析】证明：因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，因为AB∩α＝E，所以E∈平面AC，E∈α，由基本事实3可知，E必在平面AC与平面α的交线上．同理F，G，H都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上．
【点睛】在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用基本事实2，即先证明这些点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论.
【例题4-6】如图，在四面体ABCD中，E， G分别为BC， AB的中点，点F在CD上，点H在AD上，且有DF∶FC＝1∶3， DH∶HA＝1∶3.求证：EF， GH， BD交于一点．

【答案】证明见解析
【分析】
利用基本事实4和基本事实2可证三线共点.
【解析】
证明　连接GE， HF.
因为E， G分别为BC， AB中点， 所以.
因为DF∶FC＝1∶3， DH∶HA＝1∶3，所以.
从而GE∥HF且，故G， E， F， H四点共面且四边形为梯形，
因为EF与GH不能平行，设EF∩GH＝O，则O∈平面ABD， O∈平面BCD.
而平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EF， GH， BD交于一点．
【自我提升1】下面四个条件中，能确定一个平面的是（ ）
A．空间中任意三点 B．空间中两条直线
C．空间中两条相交直线 D．一条直线和一个点
【答案】C
【分析】根据每个选项，可举出相应的反例进而得到结果.
【详解】
A,空间任意三点，当三点共线时能确定一条直线而不是平面，故不正确；
B. 空间两条直线，当两条直线重合时，过这条直线的平面有无数个，故不正确；
C. 空间两条平行直线，根据课本中的判定得到是正确的；
D. 一条直线和一个点，当这个点在直线上时，过这条直线的平面有无数个，故不正确.
故选：C.
【自我提升2】如图，四棱锥，， 是 的中点，直线交平面 于点 ，则下列结论正确的是

A． 四点不共面 B． 四点共面
C． 三点共线 D． 三点共线
【答案】D
【解析】
【分析】根据基本事实一、二、三逐一排除即可．
【详解】直线与直线交于点，所以平面与平面交于点O，所以必相交于直线，直线在平面内，点故面，故四点共面，所以A错．
点若与共面，则直线在平面内，与题目矛盾，故B错．
为中点，所以，，故，故C错．
故选D．
【点睛】本题属于中档题，考查基本事实一、二、三的应用，学生不易掌握，属于易错题．
【自我提升3】在空间四边形中，点E，F，G，H分别在，，，上，若直线与相交于点P，则点P与直线的关系是___________.
【答案】
【分析】
根据点线、线面关系，结合平面的基本性质，即可判断点线关系.
【解析】

由题意，，而面，面，
∴面，面，而面面，
∴.故答案为：
5. 空间点、线、面的位置关系：
【例题5-1】已知A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点，
(1)求证：直线EF与BD是异面直线；
(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．
【解析】本题考点反证法证明异面直线，异面直线所成的角.
(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．

(2)取CD的中点G，连接EG、FG，则EG∥BD，所以直线EF与EG所成的角即为异面直线EF与BD所成的角．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，可得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.
【例题5-2】如图，四棱锥中，，，和都是等边三角形，则异面直线和所成角的大小为

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，则，过作，则，过作，则或其补角即为异面直线CD和PB所成的角，如图所示，过作，连接，则四边形是梯形，其中，，过作，则，
在中，，则，所以，故选A．

【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征及空间中异面直线所成角的求解，其中根据空间几何体的结构特征，把空间中异面直线和所成的角转化为平面角，放置在三角形中，利用解三角形的知识求解是解答本题的关键，着重考查了转化与化归思想和学生的推理、运算能力，试题属于基础题．
【例题5-3】下列说法中，正确的个数是（ ）
①如果两条平行直线中的一条与一个平面相交，那么另一条直线也与这个平面相交;
②经过两条异面直线中的一条直线有一个平面与另一条直线平行;
③已知两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行;
④分别与两条异面直线平行的两条直线是异面直线.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】借助长方体依次判断即可得到答案.
【解析】易知①正确，对②，如图所示：

在长方体中，直线为异面直线，，，故②正确；
对③，如图所示：

在长方体中，直线为相交直线，，与相交，故③错误；
对④，如图所示：

在长方体中，满足为异面直线，，，此时和相交，故④错误.故选：C
【例题5-4】已知 α，β是两个不重合的平面，下面说法正确的是
A．平面α内有两条直线a，b都与平面β平行，那么α∥β
B．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥β
C．若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β
D．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β
【答案】D
【解析】不能保证α，β无公共点．如图：

故A、B选项错误．
当a∥α，a∥β时，α与β可能相交．如图：

故C选项错误．
平面α内所有直线都与平面β平行，说明α，β一定无公共点，则α∥β．故D选项正确．
【点睛】两个平面之间的位置关系有且只有两种：平行和相交．判断两个平面之间的位置关系的主要依据是两个平面之间有没有公共点．解题时要善于将自然语言或符号语言转换成图形语言，借助空间图形作出判断．
【自我提升1】如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，E，F，G，H，M，N分别是所在棱的中点，则下列结论正确的是（ ）

A．GH和MN是平行直线；GH和EF是相交直线
B．GH和MN是平行直线；MN和EF是相交直线
C．GH和MN是相交直线；GH和EF是异面直线
D．GH和EF是异面直线；MN和EF也是异面直线
【答案】B
【分析】结合平行直线、异面直线、相交直线的知识判断出正确选项.
【解析】∵GH//A1B，而A1B//D1C，∴GH//D1C.又MN//D1C，∴GH//MN.
由异面直线的定义可知，GH与EF异面.
延长EF，MN，二者可以相交，故EF与MN为相交直线.
故选：B.

【自我提升2】若直线aα，则下列结论中成立的个数是（ ）
①α内的所有直线与a异面；②α内的直线与a都相交；③α内存在唯一的直线与a平行；④α内不存在与a平行的直线.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】∵直线aα，∴a∥α或a∩α=A．如图，显然①②③④都有反例，∴应选A．

【点睛】判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用的空间模型），另外，考虑问题要全面，即注意发散思维．
【自我提升3】如图，在直三棱柱中，D为的中点，，则异面直线与所成的角为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
取的中点E，连接，易得（或其补角）为异面直线与所成的角，进而求其大小即可.
【解析】
如图，取的中点E，连接，则，则（或其补角）即为异面直线与所成的角.
由条件知：，则，
故选：C.

【自我提升4】已知在空间四边形中，，且，，则与所成的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用已知条件计算，再利用计算与所成角的余弦值，然后确定角度.
【解析】根据已知，得，
∴，
∴，
∴与所成的角为.
故选：C.
【点睛】本题考查异面直线夹角的计算，较容易，转化为求向量间的夹角计算即可.
6.空间直线、平面的平行：
【例题6-1】在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且，H，G分别为BC，CD的中点，则（ ）
A．平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形
B．平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C．平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形
D．平面ADC，且四边形EFGH是梯形
【答案】B
【解析】
【分析】
根据线面平行的判定定理分析判断即可
【详解】
因为E，F分别为AB，AD上的点，且，
所以∥，，
因为，H，G分别为BC，CD的中点，
所以∥，，
所以∥，，
所以四边形为梯形，
因为∥，平面，平面，
所以∥平面，
若平面ADC，则由线面平行的性质可得∥，而与不平行，所以与平面ADC不平行，
故选：B

【例题6-2】在如图所示的空间图形中，△ABC是任意三角形，AE∥CD，且AE＝2a， CD＝a， F为BE的中点．求证：DF∥平面ABC.

【答案】证明见解析
【分析】取AB的中点G，连接FG， CG，先证明四边形CDFG为平行四边形，则可得DF∥CG，进而可证明结论.
【解析】证明：取AB的中点G，连接FG， CG.
因为F， G分别是BE， AB的中点，所以FG∥AE且FG＝AE.
因为AE＝2a， CD＝a，所以CD＝AE.
因为AE∥CD，所以CD∥FG且CD＝FG，
从而四边形CDFG为平行四边形，所以DF∥CG.
又CG⊂平面ABC， DF⊄平面ABC，
所以DF∥平面ABC.

【例题6-3】如图，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，点D， D1分别在AC， A1C1上，那么当点D在什么位置时，平面BC1D∥平面AB1D1

【答案】D为AC的中点
【分析】根据面面平行的性质定理即可求解．
【解析】连接A1B交AB1于点O，连接OD1，由平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面A1BC1∩平面BDC1＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，
因此BC1∥D1O．同理AD1∥DC1，

所以＝， ＝．又因为＝1，所以＝1，即D为AC的中点．
【例题6-4】如图所示，在四棱锥中，四边形是正方形，点分别是线段的中点.

（1）求证：；
（2）线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请找出点并证明；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1）由四边形为正方形可知，连接必与相交于中点，故.
∵平面，∴平面.
（2）线段上存在一点满足题意，且点是的中点.
理由如下：由点分别为中点可得：.
∵平面，∴平面.由（1）可知，平面，且，.
故平面平面.
【名师点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行，着重考查了推理与论证能力．
【例题6-5】如图所示，在四棱锥P-ABCD中，BC//平面PAD，，E是PD的中点.

（1）求证：BC//AD；
（2）求证：CE//平面PAB.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）利用线面平行即可证明BC//AD；
（2）取PA的中点F，连接EF，BF，证明，CE//平面PAB即得证.
【详解】
证明：在四棱锥中，
平面PAD，平面ABCD，
平面平面，
，
取PA的中点F，连接EF，BF，

是PD的中点，
，，
又由可得，且，
，，
四边形BCEF是平行四边形，
，
平面PAB，平面PAB，
平面PAB.
【点睛】证明空间直线平面的位置关系一般利用转化的思想：线线平行（垂直）线面平行（垂直）面面平行（垂直）.
【例题6-6】在三棱台中，点在上，且，点是三角形内（含边界）的一个动点，且有平面平面，则动点的轨迹是（ ）

A．三角形边界的一部分 B．一个点
C．线段的一部分 D．圆的一部分
【答案】C
【解析】
【分析】
过作交于，连接，证明平面平面，得，即得结论．
【详解】
如图，过作交于，连接，
，平面，平面，所以平面，
同理平面，又，平面，
所以平面平面，所以，（不与重合，否则没有平面），
故选：C．

【例题6-7】已知三个平面α、β、γ满足α∥β∥γ，直线a与这三个平面依次交于点A、B、C，直线b与这三个平面依次交于点E、F、G．求证：．

【答案】证明详见解析．
【解析】如图，连接AG交β于H，连接BH、FH、AE、CG．

∵，平面ACG∩β＝BH，平面，∴BH∥CG．
同理AE∥HF， ∴，即．
【点睛】①当a与b共面时，有AE∥BF∥CG．上述证明过程也是正确的，只是此时B、H、F三点共线．
②连接，可同理证明．
③当a与b异面时，可过A（或B、C）作b的平行线或过E（或F、G）作a的平行线，再利用面面平行的性质定理可证得结论．
以上思路都遵循同一个原则，即“化异为共”．
【自我提升1】在正方体中，下列四对截面彼此平行的是（ ）
A．平面与平面 B．平面与平面
C．平面与平面 D．平面与平面
【答案】A
【解析】
【分析】根据正方体的平行关系，可证平面与平面平行，可得出结论.
【详解】如图，正方体，
所以四边形是平行四边形，平面，
面，所以平面，同理平面.
因为平面，
所以平面平面.

故选：A
【自我提升2】如图，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（ ）

A．MN∥PD B．MN∥PA C．MN∥AD D．以上均有可能
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用线面平行的性质分析解答.
【详解】
∵MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，平面PAD∩平面PAC=PA，
∴MN∥PA.故选：B
【自我提升3】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则必有（ ）

A．BD1∥GH B．BD∥EF
C．平面EFGH∥平面ABCD D．平面EFGH∥平面A1BCD1
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，结合图形，分别判断选项中的命题是否正确即可．
【详解】易知GH∥D1C，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以BD1，GH不可能互相平行，故选项A错误；
易知EF∥A1B，与选项A同理，可判断选项B错误；
因为EF∥A1B，而直线A1B与平面ABCD相交，故直线EF与平面ABCD也相交，所以平面EFGH与平面ABCD相交，选项C错误；
对于，平面平面，理由是：

由，，，分别是棱，，，的中点，
得出，，
所以平面，平面，
又，所以平面平面．
故选：．
【自我提升4】如图，在长方体中，，E，F，G分别为的中点，点P在平面内，若直线平面，则与满足题意的P构成的平面截正方体的截面面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据线面平行的判定定理、面面平行的判定定理进行求解即可.
【解析】如图，连接，

因为E，F，G分别为的中点，
所以平面，则平面，
因为，所以同理得平面，
又，得平面平面，
所以点P在直线上，则与满足题意的P构成的平面截正方体的截面为，
在中，有，所以．
故选：D
7.空间直线、平面的垂直：
【例题7-1】如图，在中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是所在平面外一点，且SA＝SB＝SC．
（1）求证：SD⊥平面ABC；
（2）若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC．

【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析．
【解析】（1）因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC．
在Rt中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以ADS ≌BDS，所以SD⊥BD，
又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC．
（2）因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC，由（1）知SD⊥BD，
又因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC．
【例题7-2】如图，在正方体中，求证：平面平面．

【答案】证明见详解.
【解析】
【分析】
证出平面，再利用面面垂直的判定定理即可证明.
【详解】在正方体中，
可得平面，
因为平面，
所以，
又，且，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面．
【例题7-3】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
【答案】　D
【解析】　如图所示，连接BD交AC于点O，连接D1O，由于BB1∥DD1，∴DD1与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角．易知∠DD1O即为所求．设正方体的棱长为1，则DD1＝1，DO＝，D1O＝，

∴cos ∠DD1O＝＝＝.∴BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为.
【例题7-4】已知ABCD是正方形，E是AB的中点，将和分别沿DE、CE折起，使AE与BE重合，A、B两点重合后记为点P，那么二面角P－CD－E的大小为_______________．
【答案】
【解析】如图，取CD中点F，连接PF、EF．

∵EP⊥PD，EP⊥PC，∴EP⊥平面PCD，∴EP⊥CD．
∵PC＝PD，∴PF⊥CD， 又PF∩PE＝P，∴CD⊥平面PEF， 又EF⊂平面PEF，∴CD⊥EF，
∴∠PFE为二面角P－CD－E的平面角．
设正方形ABCD的边长为2，在中，PE＝1，EF＝2，∴∠PFE＝30°．
【点睛】（1）二面角的平面角的顶点是二面角棱上任意一点．为了解题方便，可以把其放在某一特殊位置，这要具体问题具体分析．
（2）求二面角的关键是找出（或作出）平面角，再把平面角放到三角形中求解．一般采取垂线法来作平面角，即过二面角的一个半平面内且不在棱上的一点作另一个半平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．
【例题7-5】已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
分别根据面面垂直、线面垂直得到线线垂直，从而证明线面垂直，再证明线线垂直.
【详解】
证明:如图，在平面PAC内作AD⊥PC于点D，

因为平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AD⊂平面PAC，且AD⊥PC，
所以AD⊥平面PBC，
又BC⊂平面PBC，所以AD⊥BC．
因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以PA⊥BC，因为AD∩PA＝A，
所以BC⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC，所以BC⊥AC．
【例题7-6】如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，、分别为、的中点.

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）求证：平面.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.
【解析】
【分析】
（1）欲证，只需证明即可；
（2）先证平面，再证平面平面；
（3）取中点，连接，证明，则平面.
【详解】
（Ⅰ）∵，且为的中点，∴.
∵底面为矩形，∴，∴；
（Ⅱ）∵底面为矩形，∴.
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，又平面，∴.
又，，、平面，平面，
∵平面，∴平面平面；
（Ⅲ）如图，取中点，连接.

∵分别为和的中点，∴，且.
∵四边形为矩形，且为的中点，∴，
∴，且，∴四边形为平行四边形，
∴，又平面，平面，∴平面.
【点睛】
证明面面关系的核心是证明线面关系，证明线面关系的核心是证明线线关系.证明线线平行的方法：（1）线面平行的性质定理；（2）三角形中位线法；（3）平行四边形法. 证明线线垂直的常用方法：（1）等腰三角形三线合一；（2）勾股定理逆定理；（3）线面垂直的性质定理；（4）菱形对角线互相垂直.
【例题7-7】如图，已知三棱锥P－ABC，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D为AB的中点，且是正三角形，PA⊥PC．
（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（2）求二面角D－AP－C的正弦值；
（3）若M为PB的中点，求三棱锥M－BCD的体积．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）.
【解析】（1）∵D是AB的中点，是正三角形，AB＝20，∴，∴AP⊥PB．
又AP⊥PC，PB∩PC＝P，∴AP⊥平面PBC．又BC⊂平面PBC，∴AP⊥BC．
又AC⊥BC，AP∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC．
又BC⊂平面ABC，∴平面PAC⊥平面ABC．
（2）∵PA⊥PC，且PA⊥PB，∴∠BPC是二面角D－AP－C的平面角．
由（1）知BC⊥平面PAC，则BC⊥PC，∴．
则二面角D－AP－C的正弦值为．
（3）∵为的中点，为的中点，∴，且，
由（1）知PA⊥平面PBC，∴DM⊥平面PBC．
∵，∴．
【点睛】本题的题设条件有三个：①是直角三角形，；②是正三角形；③D是AB的中点，PD＝DB＝10．解答本题（1），只需证线面垂直，进而由线面垂直证明面面垂直；对于（2），首先应找出二面角的平面角，然后求其正弦值；解答第（3）小题的关键是用等体积法求解．
【自我提升1】设为不重合的平面，为不重合的直线，则其中正确命题的序号为（ ）
①，则；②，则；③，，则；④，则
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
【答案】D
【解析】
【分析】
对于①，与相交或平行；对于②，与相交、平行或；对于③，由线面垂直的性质和面面垂直的判定定理得；对于④，由面面垂直的性质和线面垂直的判定定理得．
【详解】
对于①，，，则与相交或平行，故①错误；
对于②，，，，则与相交、平行或，故②错误；
对于③，，，，则由线面垂直的性质和面面垂直的判定定理得，故③正确；
对于④，，，，则由面面垂直的性质和线面垂直的判定定理得，故④正确．
故选：D
【自我提升2】如图所示，在三棱锥中，，，且是锐角三角形，那么必有（ ）

A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
【答案】C
【解析】
【分析】
由线线垂直（，）推出线面垂直（平面）推出面面垂直平面平面.
【详解】
，，，平面，平面，平面，平面，平面平面BCD
故选：C.
【自我提升3】如图，等腰三角形的底边长为2，将沿高折起，记此时的点B为P，若，则的长是______.

【答案】
【解析】
【分析】
证明平面，得线线垂直，由勾股定理计算．
【详解】
由题意，又，，平面，
所以平面，平面，所以．
所以．
故答案为：．
【自我提升4】设、、为平面，、、为直线，则下列判断正确的是（ ）
A．若，，，则 B．若，，，则
C．若，，，则 D．若，，，则
【答案】D
【解析】A选项不正确，因为根据面面垂直的性质定理，需要加上：在平面内或者平行于，这个条件，才能判定.
B选项不正确，因为可能平行于.
C选项不正确，因为当时，或者.
D选项正确，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，得到，直线，则可得到.
综上所述，本小题选D.
【点睛】本小题主要考查空间线面、面面位置关系的有关命题真假性的判断，属于基础题.求解时，根据线面、面面有关的定理，对四个选项逐一分析，由此得出正确选项.
【自我提升5】如图所示，在三棱锥中，平面，，则二面角的大小为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，因为平面，则，，所以即为二面角的平面角.又，所以二面角的平面角为.
【名师点睛】本题主要考查了二面角的平面角的定义，以及二面角的求解，其中根据线面垂直的性质，利用二面角的平面角的定义得到二面角的平面角是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
【自我提升6】如图，在四棱锥P­ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a，

(1)求证：PD⊥平面ABCD；
(2)求证：平面PAC⊥平面PBD；
(3)求二面角P­BC­D的大小．
【解析】　(1)证明：∵PD＝a，DC＝a，PC＝a，∴PC2＝PD2＋DC2，∴PD⊥DC.
同理可证PD⊥AD，又AD∩DC＝D，∴PD⊥平面ABCD.
(2)证明：由(1)知PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，而四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PDB.AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD.
(3)由(1)知PD⊥BC，又BC⊥DC，∴BC⊥平面PDC，∴BC⊥PC.
∴∠PCD为二面角P­BC­D的平面角．
在直角△PCD中，PD＝CD＝a，∴∠PCD＝45°.∴二面角P­BC­D的平面角为45°.


























1. 设l，m表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，Q表示一个点，给出下列四个命题，其中正确的命题是（ ）
①， ②， ③，，，
④且，，，
A．①② B．②③ C．②③ D．③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据点线面的位置关系，判断①的正确性.根据基本事实1判断②的正确性，根据基本事实2及其推论判断③的正确性，根据面面垂直的性质，判断④的正确性.
【详解】
对于①，点和直线都在平面内，但是不一定在直线上，故①错误.
对于②，根据条件可知直线有一个点在内，根据公理1，无法判断直线是否含于平面，故②错误.
对于③，由于，所以与共面，直线与确定一个平面，且，，所以，故③正确.
对于④，且，而，，，过一点只能作平面的一条垂线，且，所以，故④成立
故选：D
【点睛】本小题主要考查空间点、线、面位置关系有关命题真假性的判断，属于基础题.
2. 如图，若是长方体ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是（ ）

A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形
C．是棱柱 D．是棱台
【答案】D
【详解】
若FG不平行于EH，则FG与EH相交，交点必然在B1C1上，与EH∥B1C1矛盾，所以FG∥EH；由EH⊥平面A1ABB1，得到EH⊥EF，可以得到四边形EFGH为矩形，将Ω从正面看过去，就知道是一个五棱柱，C正确；D没能正确理解棱台的定义与题中的图形．
3. 下图是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，过作，垂足为点，则的长为（ ）

A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
利用面积公式求出原的高，进而求出，然后在直角三角形中求解即可
【详解】
由题可知，在中，，
因为的面积为16，，
所以，，，
因为， 轴于点，
所以，
故选：A.
4. 已知一个正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且这个正三棱锥的所有棱长都为，求这个球的表面积（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将正三棱锥补成一个正方体，计算出正方体的棱长，可得出正方体的体对角线长，即为外接球的直径，进而可求得这个球的表面积.
【详解】设该正三棱锥为，将三棱锥补成正方体，如下图所示：

则正方体的棱长为，该正方体的体对角线长为，
所以，正三棱锥的外接球直径为，可得，该球的表面积为.
故选：C.
【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；
③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.
5. 设、是两条不同的直线，是平面，、不在内，下列结论中错误的是（ ）
A．，，则 B．，，则
C．，，则 D．，，则
【答案】D
【解析】
利用线面平行的性质定理和线面垂直的定义可判断A选项的正误；由线面垂直的性质定理可判断B选项的正误；根据已知条件判断直线与平面的位置关系，可判断C选项的正误；根据已知条件判断直线与平面的位置关系，可判断D选项的正误.
【详解】
对于A，，由线面平行的性质定理可知，过直线的平面与平面的交线平行于，
，，，，故A正确；
对于B，若，，由直线与平面垂直的性质，可得，故B正确；
对于C，若，，则或，又，，故C正确；
对于D，若，，则或与相交或，
而，则或与相交，故D错误．
故选：D．
【点睛】对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳．
6. 如图，在直四棱柱中，下列结论正确的是（ ）

A．与是两条相交直线 B．平面
C． D．，，，四点共面
【答案】B
【解析】
【分析】
根据异面直线的判定定理，直线与平面平行的判定定理，四点共面的判定，结合四棱柱的性质逐一判定即可.
【详解】面，面，，所以与是异面直线，A错；
因为，面，面，所以面，B正确；
面， 面，，所以与是异面直线，C错；
如图所示，，，三点在面上，与面相交，所以，，，四点不共面，D错.故选：B.
7. 在正方体中，与平面所成角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平面ABCD，得到是与平面所成的角求解,
【详解】
如图所示：

因为平面ABCD，
所以AC为在平面上的射影，
所以是与平面所成的角
设棱长，则，
所以，
故选：C
8. 如图，在直三棱柱中，底面三角形是等边三角形，且，，则二面角的大小为（ ）

A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】B
【解析】
【分析】
首先取的中点，连接，，根据题意得到为二面角平面角，再计算其大小即可.
【详解】取的中点，连接，，如图所示：

由题知： ，又因为为的中点，
所以，且
又因为，所以为二面角平面角.
因为，为锐角，所以.故选：B
9.（多选题）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时问称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计).假设该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.以下结论正确的是（ ）

A．沙漏中的细沙体积为
B．沙漏的体积是
C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cm
D．该沙漏的一个沙时大约是1565秒
【答案】AC
【解析】
A．根据圆锥的体积公式直接计算出细沙的体积；B．根据圆锥的体积公式直接计算出沙漏的体积；C．根据等体积法计算出沙堆的高度；D．根据细沙体积以及沙时定义计算出沙时.
【详解】
A.根据圆锥的截面图可知：
细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，
所以细沙的底面半径，
所以体积
B.沙漏的体积；
C.设细沙流入下部后的高度为，
根据细沙体积不变可知：，
所以；
D.因为细沙的体积为，沙漏每秒钟漏下的沙，
所以一个沙时为：秒.
故选：AC.
【点睛】
该题考查圆锥体积有关的计算，涉及到新定义的问题，难度一般.解题的关键是对于圆锥这个几何体要有清晰的认识，同时要熟练掌握圆锥体积有关的计算公式.
10.一个圆台的母线长为5，上、下底面圆直径长分别为2，8，则圆台的高为________．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据题意画出圆台的轴截面，根据圆台的母线和高及相关的上下底面半径构成直角梯形，利用直角梯形的性质求得.
【详解】
由题意得，圆台的轴截面为等腰梯形，
其中上底长为2，下底长为8，腰长为5，如图所示：
作CD⊥AB与E,则CE为圆台的高h,

∴高h＝.
故答案为：4
11.已知正方体棱长为1.一只蚂蚁从顶点出发沿正方体的表面爬到顶点.则蚂蚁经过的最短路程为______.
【答案】
【分析】由正方体对称性，最短路线有6条，距离相等，把最短路线所过平面摊平后，由平面上两点间距离线段最短可得．
【解析】由正方体的对称性知从顶点出发沿正方体的表面爬到顶点的最短距离有6条，距离相等．把其中一条所在的两个面摊平，如图，
，故答案为：．

12.用斜二测画法画出下列平面图形水平放置的直观图.

【答案】详见解析
【解析】
【分析】利用斜二测画法即得.
【详解】
（1）如图所示，

画出坐标系，使，在轴作线段，
过作轴，且，连接，则即为的直观图；
（2）如图所示，

画出坐标系，使，
在轴作线段，在轴作线段，
再作出点，连接，即可得出该平面图形的直观图.

13.一个正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为，底面边长为，则该球的表面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】
画出正四棱锥及对角截面，找到外接球的球心，设，利用PO=OB=r建立方程，求出，进而求出半径和球的表面积.
【详解】
如图所示，正四棱锥P-ABCD，PE为正四棱锥的高，因为正四棱锥的顶点都在同一球面上，所以外接球球心一定在该棱锥的高上，设球心为O，半径为r，连接EB，OB，则EB为正方形ABCD对角线的一半，PO=OB=r.
因为棱锥的高为，底面边长为，所以PE=2，BE=，设，则，
由勾股定理得：，所以，解得：，所以，所以该球的表面积为

故答案为：.
14.如图，在直三棱柱中，，，的中点为，点在棱上，平面，则的值为________.

【答案】
【解析】
先取中点得到过的一个平面平行平面，即知.
【详解】
取中点，连接，

故，，又在平面外，平面
所以平面，平面，又相交在平面内，故平面平面，即平面，故.
故答案为：.
【点睛】本题考查了面面平行的判定定理.
15.一个正六棱锥的底面边长为6cm，高为15cm，画出它的直观图（比例尺为），并计算该棱锥的体积．
【答案】直观图见解析，
【解析】
【分析】
由题意画出图形，求出底面正六边形的面积，再由棱锥体积公式得答案．
【详解】
如图，
因为比例尺为，所以先画出底面边长为2cm的正六边形ABCDEF的直观图，
则，连接AD与BE，相交于点O，则点O即是底面ABCD的中心，
过点O作底面的垂线PO，长度为5cm，连接PA、PB、PC、PD、PE、PF，则作出底面边长为6cm，高为15cm的正六棱锥的直观图，且比例为.
在正六棱锥中，底面边长，高，

连接，，则是边长为2的正三角形，
，
．
，又比例尺为，所以原正六棱锥的体积为．
16.如图，不共面的四边形ABB'A'，BCC'B'，CAA'C'都是梯形．求证：三条直线AA'，BB'，CC'相交于一点．

【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
分析先证其中两条直线共面且交于一点，再证这点也在第三条直线上即可．
【详解】

因为在梯形ABB'A'中，A'B'∥AB，所以AA'，BB'在同一平面A'B内．
设直线AA'，BB'相交于点P，如图所示．
同理BB'，CC'同在平面BC'内，CC'，AA'同在平面A'C内．
因为P∈AA'，AA'⊂平面A'C，所以P∈平面A'C．
同理点P∈平面BC'，所以点P在平面A'C与平面BC'的交线上，
而平面A'C∩平面BC'=CC'，故点P∈直线CC'，即三条直线AA'，BB'，CC'相交于一点．
17.如图所示，已知不共面的直线a，b，c相交于O，M，P是直线a上两点，N，Q分别是直线b，c上一点.求证： MN与PQ是异面直线.

【答案】见解析
【解析】
利用反证法,假设MN与PQ不是异面直线,则共面.利用点和直线的位置关系可得矛盾,进而假设不成立,即原结论成立.
直接应用点和直线的位置关系,证明两条直线MN与PQ没有公共点,也可证明MN与PQ是异面直线.
【详解】
证明：方法一:（反证法）假设MN与PQ不是异面直线
则MN与PQ在同一平面内,设此平面为
∴,,,
∵,
∴
又∵
∴
又∵,,,
∴,
∴a,b,c共面于,这与a,b,c不共面矛盾
∴假设不成立
∴MN与PQ是异面直线
方法二:∵
∴由a,c确定一个平面,设为
∵,
∴,
∴,且,
又∵a,b,c不共面,
∴
∴MN与PQ是异面直线
【点睛】本题考查了异面直线的证明,反证法在几何定理中的证明应用
18.如图所示，和的对应顶点的连线，，交于同一点O，且.

（1）证明: ，，.
（2）求的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件可证可得，即可证明，同理可证，；
（2）根据等角定理得出，进而可得，即可求解.
【详解】
（1）因为与相交于点O，所以与共面，
在和中，可得，
又因为，所以，
所以，，
所以
同理，.
（2）因为，，且和，和的方向相反，
∴.
同理，因此，
又，
所以.
19.在三棱锥中，平面，，，，如图所示．

（1）证明：； （2）求与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明详见解析．（2）．
【解析】（1）由平面，平面，得，同理可得．
在中，由，则，同理可得．
在中，，即，故．
而都在平面内且相交，则平面．又平面，则．
（2）由（1）知、、两两垂直，如图，取的中点，连接、，过作的垂线，为垂足，

由得，
又由平面，得，则平面，于是，故平面，
则就是直线与平面所成的角．
在中，，，则．
即与平面所成角的正弦值为．
20.如图，已知四棱锥中，平面为等边三角形，，是的中点.

(1)求证：平面；
(2)若，求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）取的中点，通过证明四边形是平行四边形证得，然后证明平面，从而证得平面.
（2）利用等体积法求得到平面的距离.
【解析】(1)取的中点，连接，则，且，
又因为，
所以且，
所以四边形是平行四边形，，
因为为等边三角形，为中点，
所以，
又平面，所以，
因为，所以平面，
由得平面.
(2)因为是的中点，
所以点到平面的距离是点到平面的距离的一半，
因为，
所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
因为，
所以，
，
所以到平面PAB的距离为.