【高考大一轮单元复习】高考数学单元复习讲义与检测-专题10《直线与圆》讲义（新高考专用）

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专题10 直线与圆
知识回顾
知识点一：直线的倾斜角和斜率
1．直线的倾斜角
若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示
（1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为
（2）倾斜角的取值范围
2．直线的斜率
设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为
（1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的
（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率
（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系）
（4）越大，直线越陡峭
（5）倾斜角与斜率的关系

当时，直线平行于轴或与轴重合；
当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大；
当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而减小；
3．过两点的直线斜率公式
已知直线上任意两点，，则
（1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关．
（2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°
4．三点共线．
两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在．
知识点二：直线的方程
1．直线的截距
若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距
（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关）
（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线
2．直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式

不含垂直于轴的直线
斜截式

不含垂直于轴的直线
两点式

不含直线和直线
截距式

不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式

平面直角坐标系内的直线都适用
3．求曲线（或直线）方程的方法：
在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：
（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率
（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）
4．线段中点坐标公式
若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，
则，此公式为线段的中点坐标公式．
5．两直线的夹角公式
若直线与直线的夹角为，则.
知识点三：基本概念
平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆．
1．圆的四种方程
（1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为
（2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径
（3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是
（4）圆的参数方程：
①的参数方程为（为参数）；
②的参数方程为（为参数）．
【温馨提示】对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为（为参数，为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值．
2．点与圆的位置关系判断
（1）点与圆的位置关系：
①点P在圆外；
②点P在圆上；
③点P在圆内．
（2）点与圆的位置关系：
①点P在圆外；
②点P在圆上；
③点P在圆内．
3. 直线和圆的位置关系：
设圆：； 直线：；
圆心到直线的距离.
①时，与相切；
②时，与相交；
③时，与相离.
由代数特征判断：方程组用代入法，得关于（或）的一元二次方程，其判别式为，则：与相切；与相交；与相离.
4. 圆的切线方程：圆的斜率为的切线方程是过圆，上一点的切线方程为：.
①一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2. 特别地，过圆上一点的切线方程为.
②若点(x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则，联立求出切线方程.


5. （1）求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图：ABCD四类共圆. 已知的方程…① 又以ABCD为圆为方程为…②
…③，所以BC的方程即③代②，①②相切即为所求.
（2）直线截圆所得弦长的计算方法：①利用弦长计算公式：设直线与圆相交于，两点，则弦；
②利用垂径定理和勾股定理：（其中为圆的半径，直线到圆心的距离）.
6. 圆与圆的位置关系：
（1）几何法：设两圆的半径分别为和，圆心距为，则两圆的位置关系满足以下关系：
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
几何特征





代数特征
无实数解
一组实数解
两组实数解
一组实数解
无实数解


（2）代数法：代数法：
（3）两个相交圆公共弦所在直线方程：两相交圆的公共弦所在直线方程是：。











常考题型
1. 直线的方程：
1）直线的倾斜角与斜率
【例题1-1】直线x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为(　　)
A．30° B．60° C．150° D．120°
【答案】　B
【解析】　设直线的倾斜角为α，斜率为k，化直线方程为y＝x＋a，
∴k＝tan α＝.∵0°≤α