【高考大一轮单元复习】高考数学单元复习讲义与检测-专题09《空间向量》测试（新高考专用）

专题09 空间向量

1. 在如图所示的正四面体OABC中，E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点．设，，，则下列说法不正确的是（       ）．

A． B．

C． D．

2. 四边形ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，连接AC，BD，SB，SC，SD，下列各组运算中，不一定为零的是（       ）

A． B． C． D．

3. 如图，在四面体OABC中，G是的重心，D是OG的中点，则（    ）

A．

B．

C．

D．

4. 如图所示，在四面体ABCD中，为等边三角形，，，，，则（    ）

A． B． C． D．

5. 如图，在三棱锥中，平面平面，，，，点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成30°的角，则线段长的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

6. 在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

7. 在棱长为1的正方体中，分别为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（    ）

A．点可以是棱的中点 B．线段的最大值为

C．点的轨迹是正方形 D．点轨迹的长度为

8. 已知在正四面体ABCD中，点E是CD上靠近C点的三等分点，点F是边AC的一动点，若EF与面BCD所成角的最大角为，则为（    ）

A． B． C． D．

9.如图，在四棱锥中，，底面是边长为的正方形．是的中点，过点作棱锥的截面，分别与侧棱交于两点，则四棱锥体积的最小值为________________．

10.如图，在四面体A­BCD中，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.证明：PQ∥平面BCD.

11.已知空间向量、满足，，，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围．

12.已知四棱锥的底面是直角梯形，，，底面，且，点为的中点．

（1）求证：平面；

（2）在平面内找一点，使平面．

一．   单选题：

1. 已知矩形，为平面外一点，且平面，，分别为，上的点，且，，，则的值为　　

A． B． C．1 D．

2. 我国古代数学名著《九章算术》商功中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．在堑堵中，，P为的中点，则（       ）．

A．6 B． C．2 D．

3. 已知向量，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（    ）

A． B．   C． D．

4. 如图，在三棱柱中，底面，，，则与平面所成角的大小为（     ）

A． B． C． D．

二、多选题：

1.如图，在正方体中，下列各式中运算的结果为向量的是　　

A． B． 

C． D．

2. 在三棱锥中，下列命题正确的是（    ）

A．若，则

B．若G为的重心，则

C．若，，则

D．若三棱锥的棱长都为2，P，Q分别为MA，BC中点，则

3. 如图，正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论中正确的是（    ）

A．          B．的最小值为 

C．平面    D．异面直线与，所成角的取值范围是

4. 在正方体中，，E，F分别为的中点，P是上的动点，则（    ）

A．平面            

B．平面截正方体的截面面积为18

C．三棱锥的体积与P点的位置有关

D．过作正方体的外接球的截面，所得截面圆的面积的最小值为

三、填空题：

1. 如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为_____________

2. 已知是空间任一点，四点满足任三点均不共线，但四点共面，且，则________.

3.在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若=，=，=，则=_____． 

4. 如图已知每条棱长都为3的直平行六面体中，，长为2的线段的一个端点在上运动，另一个端点在底面上运动，则中点的轨迹与直平行六面体的面所围成的几何体的体积为________．

5. 如图，正方体的棱长为4，点在棱上，且，是面内的正方形，且，是面内的动点，且到平面的距离等于线段的长，则线段长度的最小值为__________.

四、解答题：

1. 已知空间三点，设.

（1）的夹角的余弦值；

（2）若向量互相垂直，求实数的值；

（3）若向量共线，求实数的值.

2.如图所示，三棱柱中，，，，，，，是中点．

(1)用，，表示向量；

(2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，说明理由．

3. 如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的菱形，，.

(1)求线段的长；

(2)求异面直线与所成角的大小.

4.已知正四棱柱，其中．

(1)若点是棱上的动点，求三棱锥的体积．

(2)求点到平面的距离

5.某直四棱柱被平面所截几何体如图所示，底面为菱形，

（1）若，求证：平面；

（2）若，，，直线与底面所成角为30º，求直线与平面所成角的正弦值.

6.如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点，已知，．

(1)证明：平面；

(2)求与平面所成角的正弦值；

(3)求到平面的距离．

1.（2022·全国·高考真题（文））在正方体中，E，F分别为的中点，则（       ）

A．平面平面 B．平面平面

C．平面平面 D．平面平面

2. （2021·全国·高考真题）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（       ）

A．当时，的周长为定值

B．当时，三棱锥的体积为定值

C．当时，有且仅有一个点，使得

D．当时，有且仅有一个点，使得平面

3.（2022·全国·高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．

(1)证明：平面；

(2)若，，，求二面角的正弦值．

4.（2022·全国·高考真题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．

(1)求A到平面的距离；

(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．

5.（2022·全国·高考真题（理））如图，四面体中，，E为的中点．

(1)证明：平面平面；

(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．

6.（2021·天津·高考真题）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．

（I）求证：平面；

（II）求直线与平面所成角的正弦值．

（III）求二面角的正弦值．

7．（2021·全国·高考真题）在四棱锥中，底面是正方形，若．

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

8.（2021·北京·高考真题）如图：在正方体中，为中点，与平面交于点．

（1）求证：为的中点；

（2）点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．