九年级上册 《猜想、证明与拓广》优质课件

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九年级数学(上) 综合与实践七桥问题的解决经历了哪几步？七桥问题的解决经历了哪几步？建模证明延伸拓广验证猜想探究活动一：初步感知探究模式 生活在草原上的小明家有一个用篱笆围成的正方形羊圈，随着羊的数量的增加，需要重建一个更大的羊圈,那么能否新建一个正方形羊圈,使得它的周长和面积都是原来的2倍?提出问题：1.题目综合性强，常结合四边形、函数等综合考察；2.学生建模能力不强，不能在复杂背景下抽出基本模型；3.学生转化能力不足，不能很好的借助轴对称变换作出转化。探究活动一：初步感知探究模式 任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍。抽象数学问题：倍增问题若面积倍增,即面积变为2a2, 解:设给定的正方形边长为a, 若周长倍增,即边长变为2a,aa22a4a22a2a则面积应为4a2则其面积是a2；则其边长应为 a 所以,无论从哪个角度考虑,都说明不存在这样的正方形。aa2倍增问题由于任意两个正方形都是相似的，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 所以周长比和面积比不可能同时为2 .结论：不存在这样的正方形，它的周长与面积分别是已知正方形的2倍.倍增问题——拓广任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍.你认为存在吗？倍增问题——验证1、以六人小组为单位进行探究活动。2、每小组选一种情况进行说明。3、整理并写出完整的解答过程。4、尝试更多的方法解决。探究活动：要求：假设给定原矩形的长和宽分别为2和1, 3和2， 4和1,是否存在一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半?倍增问题——猜想任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积2倍.猜想的结论是：存在.倍增问题——证明当已知矩形的长和宽分别为n和m时，是否仍然有相同的结论？ 从特殊到一般：证明的结论是：存在.再次拓广任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半.——减半问题减半问题——验证任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半.1.如果矩形的长和宽分别仍为2和1，那么是否存在一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半?验证：2.如果已知矩形的长和宽分别为3和2，是否还有相同的结论?3.如果已知矩形的长和宽分别为4和1呢?减半问题——验证当如果矩形的长和宽分别为2和1，3和2，4和1时，设所求矩形的长为x，根据题意所得的方程均没有实数根解，则说明这样的矩形不存在.解：如果矩形的长和宽分别为2和1，3和2，4和1时,都不存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半。结论：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半.减半问题——反例如果矩形的长和宽分别为6和1，那么其周长和面积分别为14和6，所求矩形的周长和面积应分别为7和3. 设所求矩形的长为x， 那么它宽为3.5-x，其面积为 x(3.5-x) 根据题意，得x(3.5-x)=3，即2x2-7x+6=0 由b2-4ac=72-4×2×6=1>0， 知道这个方程有实数根:结论:矩形长和宽分别为6和1时，存在。解：减半问题——证明证明：结论:矩形长宽满足m2+n2≥6mn时，才存在。如果矩形的长和宽分别为m和n，则其周长和面积分别为2(m+n)和mn，那么所求矩形的周长和面积应分别为 m+n 和 . 设所求矩形的长为x，那么它宽为 其面积为根据题意，得 ,即由知道,只有当 m2+n2≥6mn 时，这个方程才有实数根.课堂小结课后延伸请大家继续拓广我们本节课的结论或者提出自己的猜想，并进行一次数学研究,写成数学论文的形式. 数学桂冠千禧年大奖难题, 又称世界七大数学难题是七个由美国克雷数学研究所于2000年5 月24日公布的数学猜想。 1 P=NP问题2 霍奇猜想 3 庞加莱猜想（已证明）4 黎曼假设 （正在验证期）5 杨-米尔斯规范场存在性和质量间隔假设 6 NS方程解的存在性与光滑性 7 贝赫和斯维讷通-戴尔猜想 牛顿曾说过，没有伟大的猜想，就没有伟大的发现。谢谢大家!