2022乌鲁木齐四中高一上学期期中考试数学试题含解析

乌鲁木齐市第四中学2021-2022学年度上学期阶段性诊断测试

高一数学试题

一、单选题

1. 下列说法正确是（    ）

A. 0与的意义相同 B. 某市文明市民可以组成一个集合

C. 集合是有限集 D. 方程的解集只有一个元素

【答案】D

【解析】

【分析】根据集合的定义及性质判断A、B的正误，由集合的描述及有限集的定义判断C的正误，求方程的解即可判断D的正误.

【详解】A：0是元素，表示集合，故意义不同，错误；

B：“文明市民”的描述不够明确，不符合集合元素的确定性，不能组成集合，错误；

C：且在坐标系中有无数个对应点，故不是有限集，错误；

D：，其解集为，只有一个元素，正确.

故选：D

2. 下列各式中，正确的个数是：（    ）

①；②；③；④；⑤；

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】根据集合的研究对象及集合之间的关系、空集的性质判断各项的正误即可.

【详解】①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；

②为相同集合，有，故正确；

③空集是任何集合的子集，故正确；

④空集没有任何元素，而含0元素，故错误；

⑤两个集合研究的对象不同，故错误.

故选：B

3. 下列四个命题∶.

①

②

③

④至少有一个实数x，使得x3+1=0

其中真命题的序号是（    ）

A ①③ B. ②③ C. ②④ D. ①④

【答案】D

【解析】

【分析】结合全称量词命题和存在量词命题的定义，逐一判断即可.

【详解】对于①，，当时等号成立，①正确，

对于②，由于，故②错误，

对于③，当时，，③错误，

对于④，当时，，故④正确，

所以正确的为①④.

故选：D.

4. 已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，下面能符合这一事实的不等式为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】下列不等式中表示糖水变甜即糖的浓度增大，利用溶液的浓度计算公式即可得出结论．

【详解】解：依题意糖水变甜即糖的浓度增大，因此正确．

故选：．

5. 下列函数在上是增函数的有（    ）个

①；②；③；④.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】结合函数的单调性进行分析，由此确定正确选项.

【详解】函数的定义域为，不符合题意.

函数在上递增，符合题意.

函数的对称轴为，不符合题意.

函数的对称轴为，不符合题意.

所以一共有个.

故选：A

6. 已知正数，满足，则取得最小值时，的值为（    ）

A. 2，2 B. 2，4 C. 4，4 D. 4，2

【答案】D

【解析】

【分析】根据基本不等式，由等号成立的条件即可求解.

【详解】因为，，

所以，

当且仅当即时，取得最小值，

所以取得最小值时，的值为4，2，

故选：D.

7. 一家商店使用一架两臂不等长的天平秤黄金，一位顾客到店里购买10黄金，售货员先将5的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次秤得的黄金交给顾客，你认为准确的说法是（    ）

A. 顾客所得黄金大于10，商店亏了 B. 顾客所得黄金大于10，顾客亏了

C. 顾客所得黄金小于10，商店亏了 D. 顾客所得黄金小于10，顾客亏了

【答案】A

【解析】

【分析】设天平左臂长为a，右臂长为b（不妨设），先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为，利用杠杆的平衡原理，由，求得，再利用作差法比较.

【详解】因为天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为a，右臂长为b（不妨设），

先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为，

由杠杆的平衡原理：，

解得，

所以，

则，

因为，所以，

所以，

故选：A

8. 匀速地向下部是球形、上部是圆柱形的容器(如图所示)内注水，那么注水时间与容器内水的高度之间的函数关系的图象大致是图中的(    )

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】结合已知条件和容器中水在球体中的水平面面积的变化情况即可求解.

【详解】首先，由于容器下部是球体，且注水速度为匀速，故开始时容器内水的高度随注水时间变化较快，但随着容器的横截面越来越大，则变化的速度逐渐变慢，但当注水量超过球体体积一半时，球体横截面逐渐变小，则水的高度随注水时间变化逐渐变快，由四个选项中可知，ACD错误，B正确.

故选：B．

9. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由图象知函数的定义域排除选项选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项.

【详解】由图知的定义域为，排除选项A、D，

又因为当时，，不符合图象，所以排除选项C，

故选：B.

10. 如图是幂函数的部分图象，已知取，，，这四个值，则与曲线，，，相对应的依次为（    ）

A. ，，， B. ，，，

C. ，，， D. ，，，

【答案】A

【解析】

【分析】根据幂函数在第一象限内的图象特征及图象的变化速度可判断出图象.

【详解】方法一：因为曲线，过点，，且在第一象限内为增函数，

所以，即为2，，

根据图象的增长速度可知，曲线对应的函数为，曲线对应的函数为；

，过点，且在第一象限内为减函数，所以，即为，-2，

根据图象的变化速度可知，曲线对应的函数为，曲线对应的函数为.

方法二：取，分别代人，，，，

可求得，，，，比较可得，

所以与曲线，，，相对应的依次为，，，.

故选：A.

11. 已知函数的值域为R，那么实数a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求出函数的值域，而的值域为，进而得，由此可求出的取值范围.

【详解】解：因为函数的值域为，

而的值域为，所以函数的值域包含,

所以，解得，

故选：B

12. 函数的图象如图所示（图象与正半轴无限接近，但永远不相交），则下列说法正确的是（    ）

A. 函数的定义城为

B. 函数的值域为

C. 当时，有两个不同的值与之对应

D. 当、时，

【答案】D

【解析】

【分析】利用图象可判断ABC选项的正误，由图象可得出函数在上的单调性，可判断D选项的正误.

【详解】对于A：由图象可知：函数在没有图象，故定义城不是，故A错误；

对于B：由图象可知函数的值域为，故B错误；

对于C：由图象可知，当时，有个不同的值与之对应，故C错误；

对于D：由图象可知函数在上单调递增，

所以，当、时，不妨设，则，则，故D正确.

故选：D.

二、填空题

13. 不等式的解集是___________________.

【答案】或.

【解析】

【分析】根据一元二次不等式解法即可求解.

【详解】解：因为，即，

所以或，

所以不等式的解集是或，

故答案为：或.

14. 设k为实数，若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是__________.

【答案】.

【解析】

【分析】一元二次方程没有实数根，即根的判别式小于0.

【详解】∵关于x的一元二次方程没有实数根

∴

∴

解得：.

故答案为：.

15. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则在时的解析式是________．

【答案】

【解析】

【分析】利用奇函数的定义求解即可.

【详解】是定义在上的奇函数，时，，

故答案为：

16. 给出下列条件p与q：

①p：x＝1或x＝2；q：x2－3x＋2＝0；

②p：x2－1＝0；q：x－1＝0；

③p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等

其中p是q的必要不充分条件的序号为________．

【答案】②

【解析】

【分析】直接利用充分条件和必要条件的定义逐一分析①、②、③，即可得出结论．

【详解】解：①或；

，解得或；，

所以为的充要条件；

②，解得，

；解得，所以是的必要不充分条件，

③：一个四边形是矩形；则对角线相等，：四边形的对角线相等．但是该四边形不一定为矩形，故是的充分不必要条件．

故答案为：②．

三、解答题

17. 已知集合，，.

（1）求集合;

（2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

【答案】（1）或   

（2）

【解析】

【分析】（1）化简集合A，B，求出集合M，再由补集的意义即可得解；

（2）根据给定条件可得集合M是集合N的真子集，再借助集合包含关系列式求解即得.

【小问1详解】

依题意，，，则，

所以或；

【小问2详解】

若是的必要不充分条件，则集合M是集合N的真子集，

从而或，解得或，于是得，

所以实数a的取值范围.

18. 关于的方程有两个实数根．

(1)若，且方程的两根为和，求的值．

(2)若方程两根的平方和为11，求实数的值．

【答案】(1)3；(2)1．

【解析】

【分析】(1)由题意结合韦达定理即可求得代数式值；(2)由题意结合韦达定理和方程的判别式即可求得实数的值．

【详解】(1)当时，方程即，

由韦达定理可得：，，

则．

(2)根据题意设方程的两根为，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

解得或﹣3(舍去)．

综上所述，实数的值为1．

19. 重庆朝天门批发市场某服装店试销一种成本为每件元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于成本的.经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合函数，且时，；时，.

（1）求函数的解析式；

（2）若该服装店获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，服装店可获得最大利润，最大利润是多少元？

【答案】（1）；（2），销售价定为每件元时，可获得最大利润是元.

【解析】

【分析】（1）根据已知条件所给的的值列方程组即可求和的值，再结合题意找出的范围即可；

（2）根据总利润等于单件利润乘以销售数量，即可得出是关于的二次函数，利用配方法即可求最值.

【详解】（1）因为 ，所以，

由题意得：，解得：，

所以函数的解析式为：，

（2）由题意知：

利润为，

因为，

所以当时，取得最大值，最大值是.

所以利润与销售单价之间的关系式为，

销售价定为每件元时，可获得最大利润元.

20. 已知函数是定义在上的奇函数，且.

（1）求a，b的值；

（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；

（3）解关于t的不等式，.

【答案】（1）；（2）在上递增，证明见解析；（3）.

【解析】

【分析】（1）由题意，令，代入求解，再检验是奇函数，即得解；

（2）利用单调性的定义按照步骤作差证明即可；

（3）利用奇函数原式等价于，再结合单调性、定义域列出不等式求解即可.

【详解】（1）依题意函数是定义在上的奇函数，

所以，

，

所以

检验：，为奇函数满足题意

（2）在上递增，证明如下：

任取

，

其中，所以，

故在上递增.

（3）由可得，

因为是定义在上的奇函数，

所以，

因为是增函数，

所以，即，解得：，

所以不等式的解集为.

21. 美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的，两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入千万元，公司获得毛收入千万元；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图像如图所示.

（1）试分别求出生产，两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式；

（2）现在公司准备投入0千万元资金同时生产，两种芯片，求可以获得的最大利润是多少.

【答案】（1）生产，两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式分别为， ，（2）9千万元

【解析】

【分析】（1）根据待定系数法可求出函数解析式，

（2）将实际问题转换成二次函数求最值的问题即可求解

【详解】解：（1）因为生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，所以设，因为当时，，所以，所以，即生产芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式为，

对于生产芯片的，因为函数图像过点，所以

，解得，所以，即生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为 ，

（2）设投入千万元生产芯片，则投入千万元生产芯片，则公司所获利用

，

所以当，即千万元时，公司所获利润最大，最大利润为9千万元

22. 已知某公司生产某款产品的年固定成本为40万元，每生产1件产品还需另外投入16元，设该公司一年内共生产万件产品并全部销售完，每万件产品的销售收入为万元，且已知

（1）求利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式∶

（2）当年产量为多少万件时？公司在该款产品的生产中所获得的利润最大，并求出最大利润.

【答案】（1）   

（2）32万件，6104万元

【解析】

【分析】（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式；

（2）分段求出函数的最大值，比较可得结论

【小问1详解】

解：利用利润等于收入减去成本，可得

当时，；

当时，.

；

【小问2详解】

解：当时，，

时，；

当时，，

当且仅当，即时，，

，

时，的最大值为6104万元，

即当年产量为32万件时，公司在该款产品的生产中所获得的利润最大，最大利润为6104万元.

23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：y=mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．

【答案】（1），   

（2）存在，最大值为   

（3）或

【解析】

【分析】（1）取，解得答案；

（2）计算抛物线和直线方程，计算，根据二次函数性质得到答案；

（3）计算三角形各线段长度，根据直角讨论三种情况，结合勾股定理计算得到答案.

【小问1详解】

，解得或，故，.

【小问2详解】

设，将点代入，得到，即.

设方程为：，代入点得到，解得，，

故方程为：，

设，，

故，

当时，面积有最大值为，此时.

【小问3详解】

，，，，

故，，，

当时，，即，解得；

当时，，即，解得；

当时，，即，无解.

综上所述：或.