2022-2023学年新疆乌鲁木齐第四中学高一下学期期中阶段诊断测试数学试题含解析

2022-2023学年新疆乌鲁木齐第四中学高一下学期期中阶段诊断测试数学试题

一、单选题

1．下列角中终边与相同的角是

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】与30°的角终边相同的角α的集合为{α|α=330°+k•360°，k∈Z}

当k=-1时，α=-30°，故选B

2．函数的图象的一条对称轴方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】令，求出图像的对称轴，然后逐项代入求出，为整数即可解的答案.

【详解】解：由题意得：

 令，可得

当时，

当时，

当时，

当时，

故选：D．

3．在△ABC中，，若，则m=（    ）

A．-4 B．-2 C．2 D．4

【答案】A

【分析】利用向量垂直的坐标表示求参数m即可.

【详解】由知：，解得.

故选：A

4．要得到的图像，只需将函数的图像（    ）

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

【答案】A

【分析】化简函数，即可判断.

【详解】，

需将函数的图象向左平移个单位.

故选：A.

5．已知，则的值为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据诱导公式及同角三角函数公式直接求解.

【详解】根据诱导公式得，

即，

又，

，，

故选：B.

6．在中，，，为边上的中线，为的中点，则（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量.

【详解】在中，为边上的中线，为的中点，

故选：D.

【点睛】本题考查向量的线性运算和基本定理，属于基础题.

7．已知向量，的夹角为，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据向量的数量积的定义及运算性质，求向量的模即可.

【详解】因为，

所以.

故选：D

8．下列选项正确的为（    ）

A．若与都是单位向量，则

B．若与是平行向量，则

C．若与平行，则存在唯一实数，满足

D．

【答案】D

【分析】利用向量的概念判断A，B选项；若与平行，且时，为非零向量，来判断C选项；利用向量三角不等式来判断D选项.

【详解】解：若与都是单位向量，则，但与方向不一定相同，故A错误；

若与是平行向量，则与方向相同或相反，且与的模不一定相同，故B错误；

若与平行，且时，为非零向量，则找不到实数使得，故C错误；

当与方向相同时，，当与不共线时，由三角形三边关系可知，，故D正确.

故选：D

9．已知 ，则（    ）

A．  B．2 C．  D．

【答案】C

【分析】分子分母同时除以即可得，代入即可求值.

【详解】解：，

故选:C.

【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值，考查运算求解能力，是基础题.

10．扇形圆心角为，半径为a，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为(　　)

A．1:3 B．2:3

C．4:3 D．4:9

【答案】B

【详解】如图，设内切圆半径为r，则r＝，

∴S圆＝π·2＝，S扇＝a2·＝，

∴＝.

11．已知，与平行，则的值为（     ）

A．3 B． C． D．

【答案】D

【分析】根据平面向量的坐标运算公式，结合共线向量的坐标运算公式，可得答案.

【详解】由得，，

由与平行得，解得.

故选：D.

12．在中，，，．若利用正弦定理解有两解，则的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】以C为圆心，CA为半径画圆弧，圆弧与BA边应该有两个交点，此时三角形有两解，数形结合即可求出x的范围．

【详解】如图，

B=45°，CD⊥AB，则，

以C为圆心，CA=b=2为半径画圆弧，要使△ABC有两个解，则圆弧和BA边应该有两个交点，

故CA>CD且CA<CB，即，解得．

故选：B．

二、填空题

13．已知，，则_______.

【答案】

【解析】先根据三角函数值在各象限的符号以及平方关系求出，再根据两角差的余弦公式即可求出．

【详解】∵，，∴.

∴.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查两角差的余弦公式，三角函数值在各象限的符号以及平方关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．

14．已知是同一平面内的三个向量，其中.若，且，则的坐标为_______________.

【答案】或

【解析】设出向量的坐标，根据模长计算公式，以及向量平行的坐标公式，列方程即可求得.

【详解】设，因为，

故可得，即；

又，故；

联立方程组解得或

故或.

故答案为：.

【点睛】本题考查向量模长的坐标计算公式，以及向量平行的坐标公式，属基础题.

15．已知向量，，则______.

【答案】

【分析】先求出，再根据数量积的坐标表示求解即可．

【详解】解：∵，，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的坐标表示，属于基础题．

16．已知，函数的图象过点，若函数在区间上单调递增，则的取值范围为_________．

【答案】

【解析】首先求出参数的值，即可将化简为，再根据正弦函数的性质求出其单调递增区间，从而得到参数的取值范围；

【详解】解：因为函数的图象过点，所以，解得，则

由，，解得，，

令，则，即函数在区间上单调递增，

又函数在区间上单调递增，则，则

故答案为：

【点睛】本题考查三角函数的性质及三角恒等变换的应用，属于中档题.

三、解答题

17．已知向量，.

（1）求的值；

（2）若，求的值.

【答案】（1）（2）

【分析】（1）根据题中条件，先求出，进而可求出结果；

（2）先由题意得到，根据得到，进而可求出结果.

【详解】（1）因为向量，，

则，

则

（2）因为向量，，

则，

若，

则，

解得：．

【点睛】本题主要考查求向量的模，以及根据向量垂直求参数的问题，熟记向量的坐标运算即可，属于常考题型.

18．（1）已知角的终边经过点，（），且，求的值；

（2）求值：.

【答案】（1）或；（2）.

【分析】（1）先利用三角函数的定义算出再求三角函数值即可；（2）利用诱导公式进行化简.

【详解】（1） 角的终边经过点，由三角函数的定义，，解得. 当时，，，；当时，，，.

（2）由诱导公式可得：

19．某海轮以30海里/小时的速度航行，在点A测得海上面油井P在南偏东，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东，海轮改为北偏东的航向再航行40分钟到达C点．

（1）求P，C间的距离；

（2）求在点C测得油井P的位置？

【答案】（1）40海里；（2）P在C的正南40海里处．

【分析】（1）由正弦定理求，再在直角△中求即可.

（2）由求，易知，结合（1）的结果，即知在点C测得油井P的位置.

【详解】（1）如图，在△中，，

由正弦定理：，解得，

在△中，，又，故．

答：P，C间的距离为40海里．

（2）在△中，，

∴，即，又，

∴，即在点C测得油井P在C的正南40海里处．

20．已知平面向量，，函数．

（1）求的最小正周期及单调递减区间；

（2）若，，求的值．

【答案】（1）； （2）

【分析】（1），利用公式计算周期，令可得单调减区间；

（2），通过分析易知，将配成，利用两角差的正弦公式展开即可得到答案.

【详解】（1），

，

故，又令

解得，

所以的单调递减区间为.

（2），

又，

又，故，

.

【点睛】本题考查正弦型函数的周期、单调性以及三角恒等变换中的给值求值问题，涉及到向量数量积的坐标运算，考查学生的运算能力，是一道容易题.

21．在△ABC中，，，，O是的外接圆圆心，若．

(1)求及；

(2)求，．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）如图，以点为原点，建立平面直角坐标系，取的中点，的中点，连接，设，根据O是的外接圆圆心，可得，则有，求得点的坐标，再根据向量数量积的坐标表示及向量的模的坐标表示即可得解；

（2）根据结合向量线性运算的坐标表示列出方程组，解之即可得解.

【详解】（1）解：如图，以点为原点，建立平面直角坐标系，

则，

取的中点，的中点，连接，

则，

设，则，

，

因为O是的外接圆圆心，

所以，

则，解得，

所以，

；

（2）解：因为，

即，，

所以，解得.

所以.