2022西安西安中学高二上学期期中考试数学（理）含答案

西安中学2021-2022学年度第一学期期中考试

                高二 理科数学试题

一、选择题：(本题共12小题，每题3.5分，共42分．每题有且只有一个正确答案, 直接将答案填写在指定位置)

1．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

2．为了解户籍和性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为的调查样本，其中城镇户籍与农民户籍各人；男性人，女性人.绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是（    ）

A．是否倾向选择生育二胎与户籍有关

B．是否倾向选择生育二胎与性别无关

C．倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同

D．倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数

3．已知平面的法向量为，点不在内，则直线与平面的位置关系为（    ）

A．         B．      C．与相交不垂直     D．

4．2021年9月在西安举行了第十四届全运会，西安中学体育馆承办了男子排球U20的比赛，这是全运会历史上第一次进入一所高中校园．为了让中学生也能在家门口看全运，浓厚校园体育氛围，学校采用分层抽样的方法从高一1200人、高二1450人、高三n人中，抽取80人观看排球决赛，已知高一被抽取的人数为24，那么高三年级人数n为（    ）

A．1250                         B．1300            

C．1350                           D．1400  

5．如右图，空间四边形中，，分别是，的中点，则（    ）

A．                          B．

C．                          D．

6．如右图的程序框图所描述的算法称为欧几里德辗转相除法．若输入，则输出的的值为（    ）

A．0                             B．11       

C．22                            D．88

7．已知是椭圆两

个焦点，P在椭圆上，，且当时，

的面积最大，则椭圆的标准方程为（    ）

A．                   B．     

C．                   D．

8．数列是等比数列，首项为，公比为，则“”是“数列递增”的（   ）

A．充分而不必要条件              B．必要而不充分条件

C．充分必要条件                  D．既不充分也不必要条件

9．为了考察某校各班足球爱好者的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级爱好足球的人数作为样本数据，已知平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为（    ）

A．9           B．10         C．11          D．12

10．如图，已知点是正方体的对角线的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ）

A．  B．         C．        D．

11．现有A，B两个不透明的袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球，其中A袋装有2个白球，1个红球；B袋装有2个红球，1个白球．小明和小华商定了一个游戏规则：从摇匀后的A、B袋中各随机摸出一个小球交换一下放入另一个袋子，若A、B袋中球的颜色没有变化，则小明获胜；若有变化，则小华获胜．下面说法正确的是（    ）

A．小明获胜概率大   B．小华获胜概率大   C．游戏是公平的   D．获胜概率大小不能确定

12．关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，小明同学通过下面的实验来估计的值：首先利用计算机在区间内生成随机数的方法取出n个三元有序数组（其中），满足；然后计算出上面n个三元有序数组中一共有m个满足不等式．依此估计圆周率（   ）

A．     B．              C．    D．

二、填空题：（本题共4小题，每题3.5分，共14分）

13．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各10名同

学的身高（单位：cm）．则这两组数据方差较小的是

_________组．

14．已知命题p：利用系统抽样的方法从100个人中抽取5人，需要分成20组，组距为5；

命题q：利用最小二乘法求得的线性回归方程过样本的平均点．

对于命题①；②；③；④．

其中为真命题的序号为______________．

15．设椭圆的右顶点为A，上顶点为B，左焦点为F． 若，则椭圆的离心率为______________．

16．在直三棱柱中，底面ABC为直角三角形,,. 已知与分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点）．若，则线段的长度的最小值为______________．

三、解答题：（本题共6小题，17题和18题每题6分，19-22题每题8分，共44分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷中相应位置作答）

17．（本小题满分6分）100名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示．

回答下列问题：

（1）求频率分布直方图中a的值；

（2）估计这次考试的中位数（结果保留一位小数）．

18．（本小题满分6分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，已知P为平面内的一个动点，三角形周长为定值．

（1）求动点P的轨迹方程；

（2）若P的轨迹上有一点满足，求的值．

19．（本小题满分8分）如图，在斜三棱柱中，点O是的中点，平面．已知,．

（1）求证：；

（2）求与平面所成角的正弦值．

20．（本小题满分8分）偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差（实际成绩平均分偏差）．在某次考试成绩统计中，某老师为了对学生数学偏差（单位：分）与物理偏差（单位：分）之间的关系进行分析，随机挑选了8位同学，得到他们的两科成绩偏差数据如下：

（1）若与之间具有线性相关关系，求关于的线性回归方程；

（2）若该次考试该数学平均分为120分，物理平均分为91.5分，试由（1）的结论预测数学成绩为128分的同学的物理成绩．（下面是参考数据和参考公式）

回归直线方程为，其中

21．（本小题满分8分）陕西省高考综合改革从2022年开始实施，新高考将实行“3+1+2”模式，其中3表示语文、数学、外语三科必选，1表示从物理、历史两科中选一科，2表示从化学、生物、政治、地理中选两科．假设学生在选科中，选择每门首选科目（物理和历史）的机会均等，选择每门再选科目（化学、生物、政治、地理）的机会也均等，回答下列问题：

（1）求某位学生选修科目是原来的理科（物化生）或文科（史地政）的概率；

（2）某大学的一个热门人文专业的招生简章要求，仅允许选修了历史科目，且在地理和政治2门中至少选修了1门的考生报名．下表是随机抽取了某校10位学生的选科意向的数据：       

如果这10位学生按照上表意向选择新高考科目，那么从这10人中抽取2人，求至少有一人有报考这个人文专业资格的概率．

22．（本小题满分8分）如图，在四棱锥中，，，，，分别为的中点，．

（1）求证：平面⊥平面；

（2）设，若平面与平面所成锐二面角，求的取值范围．

西安中学2021-2022学年度第一学期期中考试

                高二 理科数学答案

一、选择题：（3.5分×12=42分）

二、填空题（3.5分×4=14分）

13．乙；    14．①③ ；    15．；   16．．

三、解答题（共6个小题，17,18每题6分，19-22每题8分，共44分）

17．（本小题满分6分）

解：（1）由频率分布直方图知组距为10，频率总和为1，

所以有，（0.01+0.015+0.03++0.01+a）×10＝1，解得a＝0.035． ……3分

（2）前两个小矩形面积为0.01×10＋0.015×10＝0.25．第三个小矩形的面积为0.035×10=0.35

∵中位数要平分直方图的面积．……6分

18．（本小题满分6分）

解:（1）；……3分

（2）点满足，

则有，且，，，

即①，

而点在椭圆上，则②，

取立①②消去，得，所以．……6分

19．（本小题满分8分）

解：建立如图所示空间直角坐标系O-xyz,

则,,,,……1分

（1）,,,……3分

(2)设,设平面的一个法向量是，则，

令，得……6分

与平面所成角的正弦值为． ……8分

20．（本小题满分8分）

解：（1）由题意，，……1分

，……2分

，……4分

所以，故线性回归方程为．……5分

（2）由题意，设该同学的物理成绩为，则物理偏差为：．

而数学偏差为128-120=8，∴，解得，

所以，可以预测这位同学的物理成绩为94分．……8分

21．（本小题满分8分）

解：简答（1）；……4分

（2）．……8分

（建议：学生无论是枚举还是乘法原理都可以）

22．（本小题满分8分）

解：（1），分别为的中点，

为矩形，

,又

面,面,

平面⊥平面……3分

（2）,又，

又,所以面,

建系为轴，为轴，为轴,

，,……4分

平面法向量，……5分

平面法向量……6分

，……7分

解得：．……8分