陕西省西安中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题（含答案）

2022-2023学年度高二第一学期期中检测

2024届数学试题

注意事项：

1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；

2. 请将答案正确填写在答题卡上；

3. 试卷满分120分，考试时间120分钟；

4. 测试范围：常用逻辑用语、导数、解三角形、解析几何、数列.

第Ⅰ卷（选择题  共40分）

一、单选题（共40分）

1. 已知，命题：，，则（    ）

A. 是假命题，：，

B. 是假命题，：，

C. 是真命题，：，

D. 是真命题，：，

2. （    ）

A.  B. 8 C.  D.

3. 对于实数，且，，且，“”是“”的（    ）

A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 若函数在点处的切线与直线垂直，则（    ）

A.  B.  C. 1 D. 2

5. 函数的图像可能是（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知定义在上的函数的导函数，且，则（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

7. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为（    ）

A.  B.  C. 1 D.

8. 设，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 已知函数，若过点能作三条直线与的图像相切，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 已知函数是定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ）

A.   B.

C.   D.

第Ⅱ卷（非选择题  共60分）

二、填空题（共20分）

11. 设数列的前项和为，已知，，，则数列的通项公式为_________.

12. 计算：_________.

13. 已知，，若，，都有，则的取值范围为_________.

14. 已知函数满足，若方程有五个不相等的实数根，则实数的取值范围为_________.

三、解答题（共60分）

15.（6分）在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足.

（1）求；

（2）若，求，的值.

16.（8分）设数列的前项和为，且满足，是公差不为0的等差数列，，是与的等比中项.

（1）求数列和的通项公式；

（2）对任意的正整数，设，求数列的前项和.

17.（8分）已知函数.

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）求的单调性；

（3）求函数在上的最小值.

18.（10分）已知函数.

（1）若时，试讨论的单调性；

（2）若有两个零点时，求的取值范围.

19.（8分）已知椭圆：的焦距为，圆：经过点.

（1）求椭圆与圆的方程；

（2）若直线：与椭圆交于点，，其中，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.

20.（10分）已知函数，.

（1）若在区间上单调递减，求实数的取值范围；

（2）若，存在两个极值点，，证明：.

21.（10分）已知函数，.

（1）若的图象在处的切线恰好也是图象的切线，求实数的值；

（2）当时，求证：对于区间上的任意两个不相等的实数，，都有成立.

参考答案

1.D     2.D     3.D    4.A    5.D    6.D    7.B     8.B

9.D     10.D

11.       12.        13.       14.

15.（1）  （2），或，

（1）∵

由正弦定理有

∴

（2）∵∴余弦定理

∵，

又，

∴

∴

或或2

则，或，

16.（1），（2）

（1）解：在中，令得，，

当时，，

，即，

，

数列是首项为，公比为的等比数列，

，

设的公差为，由题意可得，即，

整理得，

解得或舍去，

.

（2）解：由题意可得，

.

17.（1）.

（1）当时，，则，

所以，，

所以曲线在处的切线方程为.

（2）由题意得，因为恒成立，

所以当时，，单调递减，

当时，，单调递增.

（3）由（2）得，①当时，在上单调递减，；

②当时，在单调递减，在单调递增，；

③当时，在上单调递增，.

18.（1）具体见解析   （2）或

（1），，，

若，则令，解得，，解得，

故在上单调递增，在上单调递减；

若，令，得，

①当，即时，，解得或，在和上单调递减，，解得，在上单调递增；

②当，即时，，解得或，在和上单调递减，，解得，在上单调递增；

③当，即时，恒成立，故在单调递减.

综上所述，

当时，在和上单调递减，在上单调递增；

当时，在单调递减；

当时，在和上单调递减，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

（2）.

当时，，，令，则，

当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增.

由且，

当时，，，故恒成立，

，由在上单调递增，

则只有一个零点；

当时，，此时不是的零点，时，，

令，由题意可知，有两个零点等价于在且时有两个零点，

，若，则，单调递增，最多有一个零点，不符合题意；

若，令，解得或，

当或时，，单调递增；

当或时，，单调递减，

而，，

当时，此时，而，故有且只有一个零点，不合题意；

当即，此时在上无零点，故在上需有两个不同的零点，故，即，

此时当时，，故当时，.

而当时，，，故.由零点存在定理及的单调性可得此时有两个不同的零点.

当，即，此时，故在上不存在零点.此时当时，，当时，，由零点存在定理及的单调性可得此时有两个不同的零点.

综上，或.

19.（1）椭圆C：，圆O：  （2）为定值，且该定值为0

（1）设椭圆C的半焦距为c，

根据题意得

又∵经过点，

∴，

解得

∴椭圆C的方程为，圆O的方程为.

（2）设联立l与椭圆方程，

化简整理得

则

∵

∴

综上所述，为定值，且该定值为0.

20.（1）（2）证明见解析

（1）∵，又在区间上单调递减，

∴在上恒成立，即在上恒成立，

∴在上恒成立；

设，则，

当时，，∴单调递增，

∴，

∴，即实数a的取值范围是.

（2）由（1）知：，满足.

∴，不妨设，则.

∴，

则要证，即证，

即证，也即证成立.

设函数，则，

∴在单调递减，又.

∴当时，，

∴，即.

21.（1）1（2）见解析

（1），则，且切点为（1，a），

则切线方程为，即，

联立，消去y可得，解得.

（2）证明：不妨设，则，

则可化为，

则，

设，即，

∴F（x）在[1，2]上单调递减，

∴在[1，2]上恒成立，即在[1，2]上恒成立，

∵，∴，从而当时，命题成立.