2021学年3.5 正态分布精品同步测试题

3.5 正态分布（A卷·基础巩固）

 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

满分：100分   考试时间：100分钟

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设有一正态总体，它的正态曲线是函数f(x)的图象，且，则这个正态总体的均值与标准差分别是（    ）

A．10与8         B．10与2            C．8与10           D．2与10

【答案】B

【解析】由正态密度函数的定义和解析式可知，总体的均值，方差，即，故选B.

2．关于正态分布N(μ，)，下列说法正确的是（    ）

A．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件

B．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件

C．随机变量落在[－3σ，3σ]之外是一个小概率事件

D．随机变量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一个小概率事件

【答案】D

【解析】由正态分布中的原则，可得，所以或，所以随机变量落在之外是一个小概率事件，故选D.

3．正态分布N(0，1)在区间(－2，－1)和(1，2)上取值的概率为P1，P2，则二者大小关系为（    ）

A．P1＝P2 B．P1＜P2 C．P1＞P2 D．不确定

【答案】A

【解析】根据正态曲线的特点，图象关于x＝0对称，可得在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率P1，P2相等，故选A.

4．已知随机变量服从正态分布，，则（    ）

A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8

【答案】A

【解析】因为随机变量服从正态分布，，所以，，故选A．

5．设随机变量，已知，则（    ）

A．0.95 B．0.05 C．0.975 D．0.425

【答案】A

【解析】，故选A.

6．已知随机变量服从正态分布，若，则（    ）

A．0.3            B．0.4               C．0.7            D．0.2

【答案】B

【解析】依题意，，所以，故选B.

7．若，则，，已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵，由，，

∴，故选C.

8．已知某批零件的长度（单位：毫米）服从正态分布，且，从中随机取一个零件，其长度落在区间内的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意知，所以，所以，又，所以，由正态密度曲线的对称性可得，故选．

9．已知随机变量服从正态分布，若，则（    ）

A．0.12 B．0.22 C．0.32 D．0.42

【答案】C

【解析】随机变量服从正态分布，且，由对称性可知，，又，，故选C．

10．若，，其中，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，故选A.

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．

11．已知随机变量，若，则            .

【答案】0.8

【解析】因为，若，所以，根据正态曲线的对称性，可知，故答案为0.8.

12．随机变量服从正态分布，若，，则            ．

【答案】4

【解析】因为，，所以，即，

所以，故答案为4.

13在某项测量中，测量结果服从正态分布.若在(0，1)内取值的概率为0.4，则在(0，2)内取值的概率为.            .

【答案】0.8

【解析】因为正态分布的平均数为1，所以，所以，故答案为0.8.

14．已知随机变量，且，，则              .（用表示）

【答案】

【解析】因为，故，则，故，

故答案为.

15．设随机变量服从正态分布，若，则实数          ．

【答案】6

【解析】由题意，随机变量服从正态分布，可得，又由，可得和关于，所以，解得，故答案为.

16．已知随机变量 服从正态分布，若，则             .

【答案】0.2

【解析】因为，所以，故答案为0.2.

17．已知随机变，若，则             .

【答案】0.18

【解析】因为随机变，所以正态曲线的对称轴是，所以，

所以，故答案为0.18.

18．某学校有100人参加暑期社会实践，实践结束时的综合能力测试成绩近似服从正态分布，若，则综合能力测试成绩在120分以上的人数大约为             .

【答案】15

【解析】因为近似服从正态分布，，所以，由正态分布的对称性可知：

，

所以综合能力测试成绩在120分以上的人数大约为，故答案为.

三、解答题：本题共6小题，共46分，解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.

19．（6分）若随机变量，判断是否为离散型随机变量并说明理由.

【答案】不是

【解析】解：若X～N(μ，σ2)，则X不是离散型随机变量，由正态分布的定义：P(a<X≤b)为区域B的面积，X可取(a，b]内的任何值，故X不是离散型随机变量，它是连续型随机变量

20．（6分）已知随机变量服从正态分布，求．

【答案】

【解析】解：由随机变量服从正态分布，则正态曲线关于对称，.

21．（8分）若，则X位于区域内的概率是多少？（参考数据与公式：若，则）

【答案】

【解析】解：由题意，随机变量，可得,根据正态分布曲线的对称性，可得，故答案为.

22．（8分）在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在(0，1)内取值的概率为0.4，求在(0，2)内取值的概率.

【答案】0.8

【解析】如图，易得P(0<ξ<1)=P(1<ξ<2)，故P(0<ξ<2)=2P(0<ξ<1)=2×0.4=0.8.

23．（8分）一建筑工地所需要的钢筋的长度，质检员在检查一大批钢筋的质量时,发现有的钢筋长度小于2米，这时，他是让钢筋工继续用切割机截钢筋呢，还是停下来检修切割机.

【答案】见解析

【解析】解：由于，根据正态分布的性质可知，正态分布在之外的取值概率小于，长度小于2米的钢筋不在(2,14)内,据此质检员应让钢筋工马上停止切割,并对切割机进行检修.

24.（10分）生产工艺工程中产品的尺寸误差(单位：mm)，如果产品的尺寸与规定的尺寸偏差的绝对值不超过1.5 mm为合格品，求:

(1)的密度函数;

(2)生产的5件产品的合格率不小于80%的概率.

【答案】（1）（2）

【解析】由题意得

所以．