数学高教版（中职）2.3.1 抛物线的定义与标准方程精品测试题

2.3 抛物线（B卷·能力提升）

 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

满分：100分   考试时间：100分钟

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．抛物线的准线方程是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】抛物线是焦点在轴，开口向上的抛物线，，且，准线方程为.

2．已知抛物线，则该抛物线的焦点到准线的距离为（    ）

A．8 B．4 C． D．

【答案】D

【解析】抛物线的标准方程为，所以.故抛物线的焦点到准线的距离为，故选D.

3．若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则p=（    ）

A．2             B．3              C．4             D．8

【答案】D

【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．

4．若抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是（    ）

A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞2

【答案】D

【解析】∵设P为抛物线的任意一点，则P到焦点的距离等于到准线：x的距离，显然当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值，∴，即p＞2．故选D.

5．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点到焦点的距离为4，则m的值为（      ）

A．4 B． C．4或 D．12或

【答案】C

【解析】由于的纵坐标大于零，所以抛物线开口向上，设抛物线的方程为，其中.由于抛物线上的点到焦点的距离为4，所以到抛物线准线的距离为,所以，解得，所以抛物线方程为，将代入抛物线方程得，解得或，故选C.

6．过抛物线的焦点且与轴垂直的直线与抛物线交于，两点，若三角形的面积为2，则（    ）

  A．           B．              C．              D．

【答案】B

【解析】过抛物线的焦点且与轴垂直的直线与抛物线的交点为，所以．因为三角形的面积为，所以，解得．故选B．

7．过抛物线的焦点作直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则（    ）

A．8            B．10              C．12             D．14

【答案】B

【解析】由题抛物线的焦点F(2，0)，p=4，设A、B两点坐标AB的中点的横坐标为3，即，由抛物线的定义可知抛物线的焦点弦，故选B．

8．已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到准线的距离为（    ） 

A．           B．              C．1             D．3

【答案】B

【解析】∵是抛物线的焦点，∴，准线方程，设，，根据抛物线的定义可得，，∴，解得，∴线段的中点横坐标为，∴线段的中点到准线的距离为．故选B．

9．已知是抛物线上一动点，则点到直线和轴的距离之和的最小值是（    ）

A．    B．              C．2     D．

【答案】D

【解析】抛物线的焦点为，设点到直线的距离为，由抛物线的定义可知，点到轴的距离为，所以点到直线的距离与到轴的距离之和为，易知的最小值为点到直线的距离，所以的最小值为，所以的最小值为，故选D.

10．已知是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，若，则直线的斜率为（    ）

A．3     B．1              C．2     D．

【答案】B

【解析】由于为中点，根据抛物线的定义，解得，抛物线方程为．设，则，两式相减并化简得，即直线的斜率为，故选B．

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．

11．抛物线的焦点坐标是___________．

【答案】

【解析】由得，所以抛物线的焦点在轴上，且，所以抛物线的焦点坐标为，故答案为：

12．已知点为抛物线图象上一点，点F为抛物线的焦点，则等于            .

【答案】3

【解析】由抛物线方程知：，根据抛物线的定义可知，，故答案为3.

13.若抛物线的准线经过直线与坐标轴的一个交点，则______.

【答案】

【解析】抛物线的准线为，所以其经过直线与坐标轴的交点为

所以，即，故答案为：2

14．抛物线上一点到焦点的距离等于4，则=_________；点的坐标为_________．

【答案】2，

【解析】因为焦点，所以设点，根据抛物线的定义得：，解得所以点的坐标为故答案为：2；.

15．已知A为抛物线上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则         .

【答案】6

【解析】设抛物线的焦点为F，因为点A到C的焦点的距离为12，所以由抛物线的定义知，又因为点A到y轴的距离为9，所以，所以 ， 解得.故答案为：6.．

16．已知抛物线的焦点为F，准线为l．点P在C上，直线交y轴于点Q，若，则点P到准线l的距离为            .

【答案】5

【解析】由抛物线，可知，即（O为坐标原点），过点P作y轴的垂线，垂足为N，如图，

因为，所以由三角形相似可知，所以，所以点P到准线l的距离为5，故答案为5．

17．斜率为的直线过抛物线的焦点，若直线与圆相切，则_____．

【答案】

【解析】斜率为的直线过抛物线的焦点，直线的方程为，即，直线与圆相切，圆心为，半径为，

，解得或（舍去），故答案为.

18．抛物线：的焦点F，其准线过（-2，2），过焦点F倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，则=_________，弦AB的长为_________．

【答案】4，

【解析】因为抛物线：的准线过（-2，2），所以，即.由题意得直线，联立得，设，则.弦长，故答案为：4，.

三、解答题：本题共6小题，共46分，解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.

19．（6分）已知抛物线：上一点到其焦点的距离为2，求抛物线的标准方程.

【答案】

【解析】的焦点为，因为点在抛物线上，带入点及由两点间的距离公式可得，解得，所以，抛物线的标准方程为.

20．（6分）已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为2，求该抛物线的准线方程.

【答案】

【解析】∵y2=2px的焦点坐标为,∴过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,即x=y+,将其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2p,∴=p=2,∴抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.

21．（8分）已知为抛物线的焦点，过点且斜率为1的直线交抛物线于，两点，求的值.

【答案】

【解析】F（1，0），故直线AB的方程为y＝x﹣1，联立方程组，可得x2﹣6x+1＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系可知x1+x2＝6，x1x2＝1．由抛物线的定义可知：|FA|＝x1+1，|FB|＝x2+1，∴||FA|﹣|FB||＝|x1﹣x2|＝．

22．（8分）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上.

（1）求点的坐标和抛物线的准线方程；

（2）过点的直线与抛物线交于两个不同点，若的中点为，求的面积.

【答案】（1），；（2）

【解析】（1）∵在抛物线上，，∴点的坐标为，抛物线的准线方程为；

（2）设 的坐标分别为，则，由和可得，∴直线的方程为 ，点到直线的距离，.

23．（8分）已知抛物线上的点到焦点的距离为6．

（1）求抛物线的方程；

（2）过点作直线交抛物线于两点，且点是线段的中点，求直线方程.

【答案】（1）. （2）.

【解析】（1）由题设，抛物线准线方程为，∴抛物线定义知：，可得，∴.

（2）由题设，直线l的斜率存在且不为0，设，联立抛物线方程，有，整理得，则，又P是线段的中点，∴，即，故.

24.（10分）在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于不同的两点.

（1）如果直线的方程为，求弦的长；

（2）如果直线过抛物线的焦点，求的值.

【答案】（1）8 ；（2）-3

【解析】设，.

（1）联立得：.由韦达定理得：，.

∴ .

（2）由直线过抛物线焦点且与抛物线有两个不同交点，故可设方程为：，

联立得：，由韦达定理：，，

∴

.