专题三     指数函数与对数函数

考点1　幂函数的概念

一般地，我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．

考点2　幂函数的图象和性质

1．幂函数的图象

在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示：

2．幂函数的性质

考点3　指数函数的概念

一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1)叫作指数函数，它的定义域是R

考点4　指数函数的图象和性质

考点5　指数型函数

形如y＝kax(k∈R，且k≠0，a>0且a≠1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型．

设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)．

考点6　对数函数的概念

一般地，函数y＝logax(a>0，a≠1)叫作对数函数，它的定义域是(0，＋∞)．

考点7　对数函数的图象与性质

考点8　反函数

(1)对数函数y＝logax(a>0，a≠1)和指数函数y＝ax(a>0，a≠1)互为反函数，它们的图象关于y＝x对称．

(2)一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y＝f－1(x)．

(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．

(4)原函数y＝f(x)的定义域是它的反函数y＝f－1(x)的值域；原函数y＝f(x)的值域是它的反函数y＝f－1(x)的定义域．

考点9　图象变换

(1)平移变换

当b＞0时，将y＝loga x的图象向左平移b个单位，得到y＝loga(x＋b)的图象；向右平移b个单位，得到y＝loga(x－b)的图象．当b＞0时，将y＝loga x的图象向上平移b个单位，得到y＝logax＋b的图象，将y＝logax的图象向下平移b个单位，得到y＝logax－b的图象．

(2)对称变换

要得到y＝loga的图象，应将y＝loga x的图象关于x轴对称．

【题型一】函数的图象与性质

1．识别函数的图象从以下几个方面入手

(1)单调性：函数图象的变化趋势；

(2)奇偶性：函数图象的对称性；

(3)特殊点对应的函数值．

2．指数函数与对数函数图象经过定点的实质是a0＝1，loga1＝0.

【例1】在同一直角坐标系中，与的图象大致是（    ）

A．B．C． D．

【例2】（多选题）已知函数，则关于函数说法正确的是（    ）

A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称

C．函数的最小值为1 D．函数在上单调递增

【题型二】比较大小

1．比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间值法等．

2．当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．

3．比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后在各部分内再利用函数性质比较大小．

【例1】已知，若，则下列各式中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【例2】（多选题）若，则下列结论一定正确的是（ ）

A． B．

C． D．

【例3】已知，则a，b，c的大小关系是___________.

【题型三】分类讨论思想

1．研究函数的性质要树立定义域优先的原则．

2．对于指数函数、对数函数含参数的问题，要根据底中参数的取值进行分类讨论．

【例1】已知函数（a是常数）.

（1）当a=1时，求证以下两个结论∶

（i）f（x）为增函数（用单调性的定义证明）.

（ii）f（x）的图像始终在的图像的下方.

（2）设函数，若对任意，总有成立，求a的取值范围.

【例2】已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求的最大值.

（3）对于函数，若，，，，，，满足，则为“可构造三角形函数”，已知函数是“可构造三角形函数”，求正实数的取值范围.

【题型四】指数函数中的不等式问题

已知函数，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

变式练习：若f（x）是R上奇函数，满足在（0，+∞）内，则xf（x）＞0的解集是（　　）

A．{x|x＜﹣1或x＞1} B．{x|x＜﹣1或0＜x＜1}

C．{x|﹣1＜x＜0或x＞1} D．{x|﹣1＜x＜0或0＜x＜1}

【题型五】指数函数中的参数问题

函数的图象如图所示，其中，为常数，则下列结论正确的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

变式练习：已知函数，，若，，对任意的，总存在，使得，则实数b的取值范围是（    ）

A．[1，7] B．[5，9] C．[4，6] D．[5，7]

【题型六】对数函数过定点问题

函数（，且）的图象一定经过的点是（    ）

A． B． C． D．

变式练习：已知函数（且）的图象恒过定点P，点P在幂函数的图象上，则（    )

A． B．2 C．1 D．

【题型七】对数函数的定义域问题

下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数是（    ）

A． B． C． D．

变式练习：已知函数，则（    ）

A． B． C． D．

【题型八】对数函数的值域问题

已知函数在上的值域为，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

变式练习：下列各函数中，值域为的是（    ）

A． B．

C． D．