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广东省广州市越秀区执信中学2021-2022学年上学期九年级期中数学试卷(含答案)
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这是一份广东省广州市越秀区执信中学2021-2022学年上学期九年级期中数学试卷(含答案)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广东省广州市越秀区执信中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（3分）下列“数字图形”中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，如果OC＝3，那么弦AB的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．（3分）如图，已知A（2，1），现将A点绕原点O逆时针旋转90°得到A1，则A1的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（2，﹣1） C．（1，﹣2） D．（﹣2，1）
4．（3分）方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）
A．12 B．15 C．12或15 D．不能确定
5．（3分）函数y＝ax﹣2（a≠0）与y＝ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠ABO＝40°，则∠ACB的大小为（ ）
A．40° B．30° C．45° D．50°
7．（3分）若二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x＝﹣1，则使函数值y＞0成立的x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4≤x≤2 C．x≤﹣4或x≥2 D．﹣4＜x＜2
8．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝70°．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′＝（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
9．（3分）直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0实数解的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
10．（3分）已知二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数），且a2+ab+ac＜0，下列说法：①b2﹣4ac＞0；②ab+ac＜0；③方程ax2+bx+c＝0有两个不同实数根x1，x2，且（x1﹣1）（1﹣x2）＞0；④二次函数的图象与坐标轴一定有三个不同交点，其中正确个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分。把答案填在答卷的相应位置。）
11．（3分）点A（﹣3，8）关于原点对称的点的坐标是 ．
12．（3分）关于x的一元二次方程x2+x+m2﹣4＝0有一根为0，则m的值为 ．
13．（3分）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝3（x+2）2+m﹣12上的点，则y1，y2，y3的大小关系为 ．
14．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D．若AC＝4，BD＝3，则BC的长为 ．
15．（3分）如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，且AC+BD＝8，则四边形ABCD面积的最大值为 ．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，点D在边BC上，BD＝2CD，把△ABC绕点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，则m＝ ．
三、解答题：（本大题共9小题，共72分。）
17．（4分）解方程：x2﹣6x+2＝0（用配方法）．
18．（4分）如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣2，0）、（﹣4，1）．
（1）画出△ABC绕着点A逆时针旋转90°得到△AB1C1．
（2）写出点B1、C1的坐标．
19．（6分）已知线段AD、BC为⊙O的弦，且BC＝AD，求证：AB＝CD．
20．（6分）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），求该圆材的直径．
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+6x+（2m+1）＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2﹣x1﹣x2≥8，求m的取值范围．
22．（10分）我市某超市销售一种文具，进价为5元/件，售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨1元，当天的销售量就减少10件．设当天销售单价统一为x元/件（x≥6），当天销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若当天销售利润恰好240元，求当天销售单价；
（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝20cm，点D为△ABC内一点，AD＝12cm，连接BD，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，连接DE，DE交AC于点F．
（1）若点B、D、E三点共线，求∠FEC的度数．
（2）若∠BAD＝15°，求CF的长．
24．（12分）如图，点C为△ABD的外接圆上的一动点（点C不在上，且不与点B，D重合），∠ACB＝∠ABD＝45°
（1）求证：BD是该外接圆的直径；
（2）连接CD，求证：AC＝BC+CD；
（3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究DM2，AM2，BM2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．
25．（12分）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（﹣2，4）．
（1）求b，c满足的关系式；
（2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；
（3）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．
2021-2022学年广东省广州市越秀区执信中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（3分）下列“数字图形”中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念和各图特点作答．
【解答】解：A、是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义．符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．
2．（3分）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，如果OC＝3，那么弦AB的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】先连接OA，根据勾股定理求出AC的长，由垂径定理可知，AB＝2AC，进而可得出结论．
【解答】解：连接OA，
∵OA＝5，OC＝3，OC⊥AB，
∴AC＝＝4，
∵OC⊥AB，
∴AB＝2AC＝2×4＝8．
故选：C．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
3．（3分）如图，已知A（2，1），现将A点绕原点O逆时针旋转90°得到A1，则A1的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（2，﹣1） C．（1，﹣2） D．（﹣2，1）
【分析】将A点绕原点O逆时针旋转90°得到A1，相当于将Rt△OBA点绕原点O逆时针旋转90°得到Rt△OB1A1，如图，然后根据旋转的性质得OB1＝OB＝2，A1B1＝AB＝1，从而得到点A1的坐标．
【解答】解：将A点绕原点O逆时针旋转90°得到A1，
即将Rt△OBA点绕原点O逆时针旋转90°得到Rt△OB1A1，如图，
所以OB1＝OB＝2，A1B1＝AB＝1，
所以点A1的坐标是（﹣1，2）．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
4．（3分）方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）
A．12 B．15 C．12或15 D．不能确定
【分析】利用因式分解法求出方程的解得到x的值，分类讨论腰与底，利用三角形边角关系判断即可确定出周长．
【解答】解：方程变形得：（x﹣3）（x﹣6）＝0，
解得：当x＝3或x＝6，
当3为腰，6为底时，三角形三边为3，3，6，不能构成三角形，舍去；
当3为底，6为腰时，三角形三边为6，6，3，周长为6+6+3＝15，
故选：B．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握分解因式的方法是解本题的关键．
5．（3分）函数y＝ax﹣2（a≠0）与y＝ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由题意分情况进行分析：①当a＞0时，抛物线开口向上，直线与y轴的负半轴相交，经过第一、三、四象限，②当a＜0时，抛物线开口向下，直线与y轴的负半轴相交，经过第二、三、四象限，因此选择A．
【解答】解：∵在y＝ax﹣2，
∴b＝﹣2，
∴一次函数图象与y轴的负半轴相交，
∵①当a＞0时，
∴二次函数图象经过原点，开口向上，一次函数图象经过第一、三、四象限，
∵②当a＜0时，
∴二次函数图象经过原点，开口向下，一次函数图象经过第二、三、四象限，
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的图象、一次函数的图象，关键在于熟练掌握图象与系数的关系．
6．（3分）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠ABO＝40°，则∠ACB的大小为（ ）
A．40° B．30° C．45° D．50°
【分析】首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理，求出∠AOB的度数，再利用圆周角与圆心角的关系，求出∠ACB的度数．
【解答】解：△AOB中，OA＝OB，∠ABO＝40°；
∴∠AOB＝180°﹣2∠ABO＝100°；
∴∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7．（3分）若二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x＝﹣1，则使函数值y＞0成立的x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4≤x≤2 C．x≤﹣4或x≥2 D．﹣4＜x＜2
【分析】由抛物线与x轴的交点及对称轴求出另一个交点坐标，根据抛物线开口向下，根据图象求出使函数值y＞0成立的x的取值范围即可．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x＝﹣1，
∴二次函数的图象与x轴另一个交点为（﹣4，0），
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
则使函数值y＞0成立的x的取值范围是﹣4＜x＜2．
故选：D．
【点评】此题考查了二次函数与不等式（组），求出抛物线与x轴另一个交点坐标是解本题的关键．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝70°．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′＝（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
【分析】旋转中心为点A，B与B′，C与C′分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角∠BAB′＝∠CAC′，AC＝AC′，再利用平行线的性质得∠C′CA＝∠CAB，把问题转化到等腰△ACC′中，根据内角和定理求∠CAC′．
【解答】解：∵CC′∥AB，∠CAB＝70°，
∴∠C′CA＝∠CAB＝70°，
又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，
∴AC＝AC′，即△ACC′为等腰三角形，
∴∠BAB′＝∠CAC′＝180°﹣2∠C′CA＝40°．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质．
9．（3分）直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0实数解的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
【分析】利用一次函数的性质得到a≤0，再判断Δ＝22﹣4a＞0，从而得到方程根的情况．
【解答】解：∵直线y＝x+a不经过第二象限，
∴a≤0，
当a＝0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是一元一次方程，解为x＝﹣，
当a＜0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是一元二次方程，
∵Δ＝22﹣4a＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．
10．（3分）已知二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数），且a2+ab+ac＜0，下列说法：①b2﹣4ac＞0；②ab+ac＜0；③方程ax2+bx+c＝0有两个不同实数根x1，x2，且（x1﹣1）（1﹣x2）＞0；④二次函数的图象与坐标轴一定有三个不同交点，其中正确个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据题意把a的符号分成两种情况，再由a2+ab+ac＜0判断出a+b+c的符号，即可得出当x＝1时，y的符号，从而得出b+c的符号，再得出方程ax2+bx+c＝0有一个根大于1，一个根小于1，即可得出（x1﹣1）（x2﹣1）＜0；b2﹣4ac＞0；抛物线坐标轴有3个交点或2个交点．
【解答】解：当a＞0时，
∵a2+ab+ac＝a（a+b+c）＜0，
∴a+b+c＜0，
∴抛物线与x轴有交点，
∴b2﹣4ac＞0，故①正确；
∵a＞0，
∴b+c＜0，
∴ab+ac＜0，故②正确；
当a＜0时，
∵a2+ab+ac＝a（a+b+c）＜0，
∴a+b+c＞0，
∴抛物线与x轴有交点，
∴b+c＞0，
∴b2﹣4ac＞0，故①正确；
∵a＜0，b+c＞0，
∴ab+ac＜0，故②正确，
∵a+b+c＜0或a+b+c＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不同根x1、x2，且x1＜1，x2＞1，
∴（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，
即（x1﹣1）（1﹣x2）＞0，故③正确；
∴二次函数的图象与坐标轴可能有三个不同交点，也可能有两个交点，故④错误；
①②③正确．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，掌握分类讨论思想是解题的关键．
二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分。把答案填在答卷的相应位置。）
11．（3分）点A（﹣3，8）关于原点对称的点的坐标是 （3，﹣8） ．
【分析】直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），进而得出答案．
【解答】解：点A（﹣3，8）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣8）．
故答案为：（3，﹣8）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆关于原点对称点的符号关系是解题关键．
12．（3分）关于x的一元二次方程x2+x+m2﹣4＝0有一根为0，则m的值为 ±2 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝0代入x2+x+m2﹣4＝0得到关于m的一次方程m2﹣4＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：把x＝0代入x2+x+m2﹣4＝0得m2﹣4＝0，
解得m＝±2．
故答案为：±2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
13．（3分）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝3（x+2）2+m﹣12上的点，则y1，y2，y3的大小关系为 y3＞y1＞y2 ．
【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．
【解答】解：∵抛物线y＝3（x+2）2+m﹣12的开口向上，对称轴是直线x＝﹣2，
∴当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，
∴（﹣3，y1）关于对称轴直线x＝﹣2的对称点是（﹣1，y1），
∵﹣2＜﹣1＜1，
∴y3＞y1＞y2，
故答案为：y3＞y1＞y2．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
14．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D．若AC＝4，BD＝3，则BC的长为 2 ．
【分析】连接AD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，AD＝BD，根据勾股定理求出AB，再根据勾股定理计算即可．
【解答】解：连接AD，
∵∠ACB＝90°，
∴AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵CD是∠ACB的角平分线，
∴＝，
∴AD＝BD＝3，
∴AB＝＝6，
在Rt△ACB中，BC＝＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理，勾股定理是解题的关键．
15．（3分）如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，且AC+BD＝8，则四边形ABCD面积的最大值为 8 ．
【分析】直接利用对角线互相垂直的四边形面积求法得出S＝AC•BD，再利用配方法求出二次函数最值．
【解答】解：设AC＝x，四边形ABCD面积为S，则BD＝8﹣x，
则：S＝AC•BD＝x（8﹣x）＝﹣（x﹣4）2+8，
当x＝4时，S最大＝8；
所以，四边形ABCD的面积最大值为8，
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了二次函数最值以及四边形面积求法，正确掌握对角线互相垂直的四边形面积求法是解题关键．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，点D在边BC上，BD＝2CD，把△ABC绕点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，则m＝ 100°或120° ．
【分析】①当点B落在AB边上时，根据DB＝DB1，即可解决问题，②当点B落在AC上时，在Rt△DCB2中，根据∠C＝90°，DB2＝DB＝2CD可以判定∠CB2D＝30°，由此即可解决问题．
【解答】解：①当点B落在AB边上时，
∵DB＝DB1，
∴∠B＝∠DB1B＝40°，
∴m＝∠BDB1＝180°﹣2×40°＝100°，
②当点B落在AC上时，
在Rt△DCB2中，
∵∠C＝90°，DB2＝DB＝2CD，
∴∠CB2D＝30°，
∴m＝∠C+∠CB2D＝120°，
综上所述，m的值为100°或120°．
故答案为：100°或120°．
【点评】本题考查旋转的性质、等腰三角形的定义、直角三角形30度角的判定等知识，解题的关键是正确画出图形，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型．
三、解答题：（本大题共9小题，共72分。）
17．（4分）解方程：x2﹣6x+2＝0（用配方法）．
【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：x2﹣6x+2＝0
移项，得
x2﹣6x＝﹣2，
即x2﹣6x+9＝﹣2+9，
∴（x﹣3）2＝7，
解得x﹣3＝±，
即x＝3±．
∴x1＝3+，x2＝3﹣．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
18．（4分）如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣2，0）、（﹣4，1）．
（1）画出△ABC绕着点A逆时针旋转90°得到△AB1C1．
（2）写出点B1、C1的坐标．
【分析】（1）将点B、C分别绕点A逆时针旋转90°得到其对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）根据以上作图即可得出答案．
【解答】解：（1）如图所示，△AB1C1即为所求．
（2）由图知，B1（2，4）、C1（1，2）．
【点评】本题主要考查作图—旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．
19．（6分）已知线段AD、BC为⊙O的弦，且BC＝AD，求证：AB＝CD．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，由BC＝AD得到＝，则＝，从而得到AB＝CD．
【解答】证明：∵BC＝AD，
∴＝，
即+＝+，
∴＝，
∴AB＝CD．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
20．（6分）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），求该圆材的直径．
【分析】设⊙O的半径为r寸．在Rt△ACO中，AC＝5，OC＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解方程即可．
【解答】解：设圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，如图所示：
∴AC＝AB＝×10＝5，
设⊙O的半径为r寸，
在Rt△ACO中，OC＝r﹣1，OA＝r，
则有r2＝52+（r﹣1）2，
解得r＝13，
∴⊙O的直径为26寸．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+6x+（2m+1）＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2﹣x1﹣x2≥8，求m的取值范围．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣6、x1x2＝2m+1，由2x1x2﹣x1﹣x2≥8结合（1）结论可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【解答】解：（1）∵方程有实数根，
∴Δ＝36﹣4（2m+1）＝36﹣8m﹣4＝32﹣8m≥0，
解得：m≤4．
故m的取值范围是m≤4；
（2）∵x1，x2是方程x2+6x+（2m+1）＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣6，x1•x2＝2m+1，
∵2x1x2﹣x1﹣x2≥8，
∴2（2m+1）+6≥8，
解得m≥0，
由（1）可得m≤4，
∴m的取值范围是0≤m≤4．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合2x1x2﹣x1﹣x2≥8及m≤4，求出m的取值范围．
22．（10分）我市某超市销售一种文具，进价为5元/件，售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨1元，当天的销售量就减少10件．设当天销售单价统一为x元/件（x≥6），当天销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若当天销售利润恰好240元，求当天销售单价；
（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．
【分析】（1）根据当天的销售利润等于每件的利润乘以销售量，直接写出y与x之间的函数关系式即可；
（2）当y＝240时，得关于x的一元二次方程，解方程即可；
（3）由题意可知，利润不超过80%即为利润率＝（售价﹣进价）÷进价，即可求得售价的范围．再结合二次函数的性质，即可求．
【解答】解：（1）由题意得：
y＝（x﹣5）[100﹣10（x﹣6）]
＝﹣10x2+21x﹣800，
答：y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x2+210x﹣800；
（2）当y＝240时，即﹣10x2+210x﹣800＝240，
解得x1＝8，x2＝13，
答：要使当天的销售利润为240元，当天的售价为8元或13元；
（3）∵每件文具利润不超过80%，
∴≤80%，
解得：x≤9，
∴文具的销售单价为6≤x≤9，
由（1）得y＝﹣10x2+210x﹣800＝﹣10（x﹣10.5）2+302.5，
∵﹣10＜0，
∴当x＜10.5时，y随着x的增大而增大，
∵6≤x≤9，
∴当x＝9时，取得最大值，此时y＝﹣10（9﹣10.5）2+302.5＝280，
答：每件文具售价为9元时，最大利润为280元．
【点评】本题考查了一元二次方程和二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握一元二次方程的解法和二次函数的性质是解题的关键．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝20cm，点D为△ABC内一点，AD＝12cm，连接BD，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，连接DE，DE交AC于点F．
（1）若点B、D、E三点共线，求∠FEC的度数．
（2）若∠BAD＝15°，求CF的长．
【分析】（1）利用SAS证明△ABD≌△ACE，得∠AEC＝∠BDA，由点B、D、E三点共线，得∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣45°＝135°，即可解决问题；
（2）过A作AH⊥DE于H，利用特殊角的三角函数即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，∵将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，
∴∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠AEC＝∠BDA，
∵点B、D、E三点共线，
∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣45°＝135°，
∴∠FEC＝∠AEC﹣∠AED＝135°﹣45°＝90°；
（2）过A作AH⊥DE于H，
∴AH＝＝6（cm），
∵∠BAD＝15°，
∴∠FAH＝90°﹣∠BAD﹣∠DAH＝30°，
∴cos30°＝，
∴AF＝4cm，
∴CF＝AC﹣AF＝20﹣4（cm）．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，特殊角的三角函数等知识，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
24．（12分）如图，点C为△ABD的外接圆上的一动点（点C不在上，且不与点B，D重合），∠ACB＝∠ABD＝45°
（1）求证：BD是该外接圆的直径；
（2）连接CD，求证：AC＝BC+CD；
（3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究DM2，AM2，BM2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）要证明BD是该外接圆的直径，只需要证明∠BAD是直角即可，又因为∠ABD＝45°，所以需要证明∠ADB＝45°；
（2）在CD延长线上截取DE＝BC，连接EA，只需要证明△EAC是等腰直角三角形即可得出结论；
（3）过点M作MF⊥MB于点M，过点A作AF⊥MA于点A，MF与AF交于点F，证明△AMF是等腰三角形后，可得出AM＝AF，MF＝AM，然后再证明△ABF≌△ADM可得出BF＝DM，最后根据勾股定理即可得出DM2，AM2，BM2三者之间的数量关系．
【解答】解：（1）∵＝，
∴∠ACB＝∠ADB＝45°，
∵∠ABD＝45°，
∴∠BAD＝90°，
∴BD是△ABD外接圆的直径；
（2）在CD的延长线上截取DE＝BC，
连接EA，
∵∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∵∠ADE+∠ADC＝180°，
∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADE，
在△ABC与△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE＝90°，
∵＝
∴∠ACD＝∠ABD＝45°，
∴△CAE是等腰直角三角形，
∴AC＝CE，
∴AC＝CD+DE＝CD+BC；
（3）过点M作MF⊥MB于点M，过点A作AF⊥MA于点A，MF与AF交于点F，连接BF，
由对称性可知：∠AMB＝∠ACB＝45°，
∴∠FMA＝45°，
∴△AMF是等腰直角三角形，
∴AM＝AF，MF＝AM，
∵∠MAF+∠MAB＝∠BAD+∠MAB，
∴∠FAB＝∠MAD，
在△ABF与△ADM中，
，
∴△ABF≌△ADM（SAS），
∴BF＝DM，
在Rt△BMF中，
∵BM2+MF2＝BF2，
∴BM2+2AM2＝DM2．
【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识，综合程度较高，解决本题的关键就是构造等腰直角三角形．
25．（12分）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（﹣2，4）．
（1）求b，c满足的关系式；
（2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；
（3）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．
【分析】（1）将点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+c，c＝2b；
（2）m＝﹣，n＝，得n＝2b﹣m2；
（3）当b≤0时，c≤0，函数不经过第三象限，则c＝0；此时函数最大值与最小值之差为25；当b＞0时，c＞0，△≤0，解得0＜b≤8，在此情况下分三种情况：①当﹣2≤﹣≤1时，函数有最小值﹣+2b，函数有最大值25﹣3b；求得b＝2或b＝18（舍）；②当﹣5≤﹣＜﹣2时，函数有最小值﹣+2b，函数有最大值1+3b；求得b＝6或b＝﹣10（舍）；③当﹣＜﹣5时，函数有最小值25﹣3b，函数有最大值1+3b，求得b＝（舍）．
【解答】解：（1）将点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+c，
得﹣2b+c＝0，
∴c＝2b；
（2）m＝﹣，n＝，
∴n＝，
∴n＝2b﹣m2＝﹣4m﹣m2；
（3）y＝x2+bx+2b＝（x+）2﹣+2b，
对称轴为直线x＝﹣，
当b≤0，c≥0，函数不经过第三象限，则c＝0；
此时y＝x2，当﹣5≤x≤1时，函数最小值是0，最大值是25，
∴最大值与最小值之差为25；（舍去）
当b＞0时，c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0，
∴0＜b≤8，
①当﹣2≤﹣≤1时，函数有最小值﹣+2b，函数有最大值25﹣3b；
∵函数的最大值与最小值之差为16，
∴25﹣3b+﹣2b＝16，
∴b＝2或b＝18（舍）；
②当﹣5≤﹣＜﹣2时，函数有最小值﹣+2b，函数有最大值1+3b；
∵函数的最大值与最小值之差为16，
∴1+3b﹣﹣2b＝16，
∴b＝6或b＝﹣10（舍）；
③当﹣＜﹣5时，函数有最小值25﹣3b，函数有最大值1+3b；
∵函数的最大值与最小值之差为16，
∴1+3b﹣25+3b＝16，
∴b＝（舍）；
综上所述b＝2或b＝6．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象，数形结合解题是关键．
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2021-2022学年广东省广州市越秀区执信中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（3分）下列“数字图形”中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，如果OC＝3，那么弦AB的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．（3分）如图，已知A（2，1），现将A点绕原点O逆时针旋转90°得到A1，则A1的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（2，﹣1） C．（1，﹣2） D．（﹣2，1）
4．（3分）方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）
A．12 B．15 C．12或15 D．不能确定
5．（3分）函数y＝ax﹣2（a≠0）与y＝ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠ABO＝40°，则∠ACB的大小为（ ）
A．40° B．30° C．45° D．50°
7．（3分）若二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x＝﹣1，则使函数值y＞0成立的x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4≤x≤2 C．x≤﹣4或x≥2 D．﹣4＜x＜2
8．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝70°．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′＝（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
9．（3分）直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0实数解的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
10．（3分）已知二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数），且a2+ab+ac＜0，下列说法：①b2﹣4ac＞0；②ab+ac＜0；③方程ax2+bx+c＝0有两个不同实数根x1，x2，且（x1﹣1）（1﹣x2）＞0；④二次函数的图象与坐标轴一定有三个不同交点，其中正确个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分。把答案填在答卷的相应位置。）
11．（3分）点A（﹣3，8）关于原点对称的点的坐标是 ．
12．（3分）关于x的一元二次方程x2+x+m2﹣4＝0有一根为0，则m的值为 ．
13．（3分）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝3（x+2）2+m﹣12上的点，则y1，y2，y3的大小关系为 ．
14．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D．若AC＝4，BD＝3，则BC的长为 ．
15．（3分）如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，且AC+BD＝8，则四边形ABCD面积的最大值为 ．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，点D在边BC上，BD＝2CD，把△ABC绕点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，则m＝ ．
三、解答题：（本大题共9小题，共72分。）
17．（4分）解方程：x2﹣6x+2＝0（用配方法）．
18．（4分）如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣2，0）、（﹣4，1）．
（1）画出△ABC绕着点A逆时针旋转90°得到△AB1C1．
（2）写出点B1、C1的坐标．
19．（6分）已知线段AD、BC为⊙O的弦，且BC＝AD，求证：AB＝CD．
20．（6分）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），求该圆材的直径．
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+6x+（2m+1）＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2﹣x1﹣x2≥8，求m的取值范围．
22．（10分）我市某超市销售一种文具，进价为5元/件，售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨1元，当天的销售量就减少10件．设当天销售单价统一为x元/件（x≥6），当天销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若当天销售利润恰好240元，求当天销售单价；
（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝20cm，点D为△ABC内一点，AD＝12cm，连接BD，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，连接DE，DE交AC于点F．
（1）若点B、D、E三点共线，求∠FEC的度数．
（2）若∠BAD＝15°，求CF的长．
24．（12分）如图，点C为△ABD的外接圆上的一动点（点C不在上，且不与点B，D重合），∠ACB＝∠ABD＝45°
（1）求证：BD是该外接圆的直径；
（2）连接CD，求证：AC＝BC+CD；
（3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究DM2，AM2，BM2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．
25．（12分）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（﹣2，4）．
（1）求b，c满足的关系式；
（2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；
（3）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．
2021-2022学年广东省广州市越秀区执信中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（3分）下列“数字图形”中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念和各图特点作答．
【解答】解：A、是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义．符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．
2．（3分）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，如果OC＝3，那么弦AB的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】先连接OA，根据勾股定理求出AC的长，由垂径定理可知，AB＝2AC，进而可得出结论．
【解答】解：连接OA，
∵OA＝5，OC＝3，OC⊥AB，
∴AC＝＝4，
∵OC⊥AB，
∴AB＝2AC＝2×4＝8．
故选：C．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
3．（3分）如图，已知A（2，1），现将A点绕原点O逆时针旋转90°得到A1，则A1的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（2，﹣1） C．（1，﹣2） D．（﹣2，1）
【分析】将A点绕原点O逆时针旋转90°得到A1，相当于将Rt△OBA点绕原点O逆时针旋转90°得到Rt△OB1A1，如图，然后根据旋转的性质得OB1＝OB＝2，A1B1＝AB＝1，从而得到点A1的坐标．
【解答】解：将A点绕原点O逆时针旋转90°得到A1，
即将Rt△OBA点绕原点O逆时针旋转90°得到Rt△OB1A1，如图，
所以OB1＝OB＝2，A1B1＝AB＝1，
所以点A1的坐标是（﹣1，2）．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
4．（3分）方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）
A．12 B．15 C．12或15 D．不能确定
【分析】利用因式分解法求出方程的解得到x的值，分类讨论腰与底，利用三角形边角关系判断即可确定出周长．
【解答】解：方程变形得：（x﹣3）（x﹣6）＝0，
解得：当x＝3或x＝6，
当3为腰，6为底时，三角形三边为3，3，6，不能构成三角形，舍去；
当3为底，6为腰时，三角形三边为6，6，3，周长为6+6+3＝15，
故选：B．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握分解因式的方法是解本题的关键．
5．（3分）函数y＝ax﹣2（a≠0）与y＝ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由题意分情况进行分析：①当a＞0时，抛物线开口向上，直线与y轴的负半轴相交，经过第一、三、四象限，②当a＜0时，抛物线开口向下，直线与y轴的负半轴相交，经过第二、三、四象限，因此选择A．
【解答】解：∵在y＝ax﹣2，
∴b＝﹣2，
∴一次函数图象与y轴的负半轴相交，
∵①当a＞0时，
∴二次函数图象经过原点，开口向上，一次函数图象经过第一、三、四象限，
∵②当a＜0时，
∴二次函数图象经过原点，开口向下，一次函数图象经过第二、三、四象限，
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的图象、一次函数的图象，关键在于熟练掌握图象与系数的关系．
6．（3分）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠ABO＝40°，则∠ACB的大小为（ ）
A．40° B．30° C．45° D．50°
【分析】首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理，求出∠AOB的度数，再利用圆周角与圆心角的关系，求出∠ACB的度数．
【解答】解：△AOB中，OA＝OB，∠ABO＝40°；
∴∠AOB＝180°﹣2∠ABO＝100°；
∴∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7．（3分）若二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x＝﹣1，则使函数值y＞0成立的x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4≤x≤2 C．x≤﹣4或x≥2 D．﹣4＜x＜2
【分析】由抛物线与x轴的交点及对称轴求出另一个交点坐标，根据抛物线开口向下，根据图象求出使函数值y＞0成立的x的取值范围即可．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x＝﹣1，
∴二次函数的图象与x轴另一个交点为（﹣4，0），
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
则使函数值y＞0成立的x的取值范围是﹣4＜x＜2．
故选：D．
【点评】此题考查了二次函数与不等式（组），求出抛物线与x轴另一个交点坐标是解本题的关键．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝70°．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′＝（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
【分析】旋转中心为点A，B与B′，C与C′分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角∠BAB′＝∠CAC′，AC＝AC′，再利用平行线的性质得∠C′CA＝∠CAB，把问题转化到等腰△ACC′中，根据内角和定理求∠CAC′．
【解答】解：∵CC′∥AB，∠CAB＝70°，
∴∠C′CA＝∠CAB＝70°，
又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，
∴AC＝AC′，即△ACC′为等腰三角形，
∴∠BAB′＝∠CAC′＝180°﹣2∠C′CA＝40°．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质．
9．（3分）直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0实数解的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
【分析】利用一次函数的性质得到a≤0，再判断Δ＝22﹣4a＞0，从而得到方程根的情况．
【解答】解：∵直线y＝x+a不经过第二象限，
∴a≤0，
当a＝0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是一元一次方程，解为x＝﹣，
当a＜0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是一元二次方程，
∵Δ＝22﹣4a＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．
10．（3分）已知二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数），且a2+ab+ac＜0，下列说法：①b2﹣4ac＞0；②ab+ac＜0；③方程ax2+bx+c＝0有两个不同实数根x1，x2，且（x1﹣1）（1﹣x2）＞0；④二次函数的图象与坐标轴一定有三个不同交点，其中正确个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据题意把a的符号分成两种情况，再由a2+ab+ac＜0判断出a+b+c的符号，即可得出当x＝1时，y的符号，从而得出b+c的符号，再得出方程ax2+bx+c＝0有一个根大于1，一个根小于1，即可得出（x1﹣1）（x2﹣1）＜0；b2﹣4ac＞0；抛物线坐标轴有3个交点或2个交点．
【解答】解：当a＞0时，
∵a2+ab+ac＝a（a+b+c）＜0，
∴a+b+c＜0，
∴抛物线与x轴有交点，
∴b2﹣4ac＞0，故①正确；
∵a＞0，
∴b+c＜0，
∴ab+ac＜0，故②正确；
当a＜0时，
∵a2+ab+ac＝a（a+b+c）＜0，
∴a+b+c＞0，
∴抛物线与x轴有交点，
∴b+c＞0，
∴b2﹣4ac＞0，故①正确；
∵a＜0，b+c＞0，
∴ab+ac＜0，故②正确，
∵a+b+c＜0或a+b+c＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不同根x1、x2，且x1＜1，x2＞1，
∴（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，
即（x1﹣1）（1﹣x2）＞0，故③正确；
∴二次函数的图象与坐标轴可能有三个不同交点，也可能有两个交点，故④错误；
①②③正确．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，掌握分类讨论思想是解题的关键．
二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分。把答案填在答卷的相应位置。）
11．（3分）点A（﹣3，8）关于原点对称的点的坐标是 （3，﹣8） ．
【分析】直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），进而得出答案．
【解答】解：点A（﹣3，8）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣8）．
故答案为：（3，﹣8）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆关于原点对称点的符号关系是解题关键．
12．（3分）关于x的一元二次方程x2+x+m2﹣4＝0有一根为0，则m的值为 ±2 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝0代入x2+x+m2﹣4＝0得到关于m的一次方程m2﹣4＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：把x＝0代入x2+x+m2﹣4＝0得m2﹣4＝0，
解得m＝±2．
故答案为：±2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
13．（3分）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝3（x+2）2+m﹣12上的点，则y1，y2，y3的大小关系为 y3＞y1＞y2 ．
【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．
【解答】解：∵抛物线y＝3（x+2）2+m﹣12的开口向上，对称轴是直线x＝﹣2，
∴当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，
∴（﹣3，y1）关于对称轴直线x＝﹣2的对称点是（﹣1，y1），
∵﹣2＜﹣1＜1，
∴y3＞y1＞y2，
故答案为：y3＞y1＞y2．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
14．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D．若AC＝4，BD＝3，则BC的长为 2 ．
【分析】连接AD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，AD＝BD，根据勾股定理求出AB，再根据勾股定理计算即可．
【解答】解：连接AD，
∵∠ACB＝90°，
∴AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵CD是∠ACB的角平分线，
∴＝，
∴AD＝BD＝3，
∴AB＝＝6，
在Rt△ACB中，BC＝＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理，勾股定理是解题的关键．
15．（3分）如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，且AC+BD＝8，则四边形ABCD面积的最大值为 8 ．
【分析】直接利用对角线互相垂直的四边形面积求法得出S＝AC•BD，再利用配方法求出二次函数最值．
【解答】解：设AC＝x，四边形ABCD面积为S，则BD＝8﹣x，
则：S＝AC•BD＝x（8﹣x）＝﹣（x﹣4）2+8，
当x＝4时，S最大＝8；
所以，四边形ABCD的面积最大值为8，
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了二次函数最值以及四边形面积求法，正确掌握对角线互相垂直的四边形面积求法是解题关键．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，点D在边BC上，BD＝2CD，把△ABC绕点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，则m＝ 100°或120° ．
【分析】①当点B落在AB边上时，根据DB＝DB1，即可解决问题，②当点B落在AC上时，在Rt△DCB2中，根据∠C＝90°，DB2＝DB＝2CD可以判定∠CB2D＝30°，由此即可解决问题．
【解答】解：①当点B落在AB边上时，
∵DB＝DB1，
∴∠B＝∠DB1B＝40°，
∴m＝∠BDB1＝180°﹣2×40°＝100°，
②当点B落在AC上时，
在Rt△DCB2中，
∵∠C＝90°，DB2＝DB＝2CD，
∴∠CB2D＝30°，
∴m＝∠C+∠CB2D＝120°，
综上所述，m的值为100°或120°．
故答案为：100°或120°．
【点评】本题考查旋转的性质、等腰三角形的定义、直角三角形30度角的判定等知识，解题的关键是正确画出图形，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型．
三、解答题：（本大题共9小题，共72分。）
17．（4分）解方程：x2﹣6x+2＝0（用配方法）．
【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：x2﹣6x+2＝0
移项，得
x2﹣6x＝﹣2，
即x2﹣6x+9＝﹣2+9，
∴（x﹣3）2＝7，
解得x﹣3＝±，
即x＝3±．
∴x1＝3+，x2＝3﹣．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
18．（4分）如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣2，0）、（﹣4，1）．
（1）画出△ABC绕着点A逆时针旋转90°得到△AB1C1．
（2）写出点B1、C1的坐标．
【分析】（1）将点B、C分别绕点A逆时针旋转90°得到其对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）根据以上作图即可得出答案．
【解答】解：（1）如图所示，△AB1C1即为所求．
（2）由图知，B1（2，4）、C1（1，2）．
【点评】本题主要考查作图—旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．
19．（6分）已知线段AD、BC为⊙O的弦，且BC＝AD，求证：AB＝CD．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，由BC＝AD得到＝，则＝，从而得到AB＝CD．
【解答】证明：∵BC＝AD，
∴＝，
即+＝+，
∴＝，
∴AB＝CD．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
20．（6分）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），求该圆材的直径．
【分析】设⊙O的半径为r寸．在Rt△ACO中，AC＝5，OC＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解方程即可．
【解答】解：设圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，如图所示：
∴AC＝AB＝×10＝5，
设⊙O的半径为r寸，
在Rt△ACO中，OC＝r﹣1，OA＝r，
则有r2＝52+（r﹣1）2，
解得r＝13，
∴⊙O的直径为26寸．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+6x+（2m+1）＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2﹣x1﹣x2≥8，求m的取值范围．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣6、x1x2＝2m+1，由2x1x2﹣x1﹣x2≥8结合（1）结论可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【解答】解：（1）∵方程有实数根，
∴Δ＝36﹣4（2m+1）＝36﹣8m﹣4＝32﹣8m≥0，
解得：m≤4．
故m的取值范围是m≤4；
（2）∵x1，x2是方程x2+6x+（2m+1）＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣6，x1•x2＝2m+1，
∵2x1x2﹣x1﹣x2≥8，
∴2（2m+1）+6≥8，
解得m≥0，
由（1）可得m≤4，
∴m的取值范围是0≤m≤4．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合2x1x2﹣x1﹣x2≥8及m≤4，求出m的取值范围．
22．（10分）我市某超市销售一种文具，进价为5元/件，售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨1元，当天的销售量就减少10件．设当天销售单价统一为x元/件（x≥6），当天销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若当天销售利润恰好240元，求当天销售单价；
（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．
【分析】（1）根据当天的销售利润等于每件的利润乘以销售量，直接写出y与x之间的函数关系式即可；
（2）当y＝240时，得关于x的一元二次方程，解方程即可；
（3）由题意可知，利润不超过80%即为利润率＝（售价﹣进价）÷进价，即可求得售价的范围．再结合二次函数的性质，即可求．
【解答】解：（1）由题意得：
y＝（x﹣5）[100﹣10（x﹣6）]
＝﹣10x2+21x﹣800，
答：y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x2+210x﹣800；
（2）当y＝240时，即﹣10x2+210x﹣800＝240，
解得x1＝8，x2＝13，
答：要使当天的销售利润为240元，当天的售价为8元或13元；
（3）∵每件文具利润不超过80%，
∴≤80%，
解得：x≤9，
∴文具的销售单价为6≤x≤9，
由（1）得y＝﹣10x2+210x﹣800＝﹣10（x﹣10.5）2+302.5，
∵﹣10＜0，
∴当x＜10.5时，y随着x的增大而增大，
∵6≤x≤9，
∴当x＝9时，取得最大值，此时y＝﹣10（9﹣10.5）2+302.5＝280，
答：每件文具售价为9元时，最大利润为280元．
【点评】本题考查了一元二次方程和二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握一元二次方程的解法和二次函数的性质是解题的关键．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝20cm，点D为△ABC内一点，AD＝12cm，连接BD，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，连接DE，DE交AC于点F．
（1）若点B、D、E三点共线，求∠FEC的度数．
（2）若∠BAD＝15°，求CF的长．
【分析】（1）利用SAS证明△ABD≌△ACE，得∠AEC＝∠BDA，由点B、D、E三点共线，得∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣45°＝135°，即可解决问题；
（2）过A作AH⊥DE于H，利用特殊角的三角函数即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，∵将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，
∴∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠AEC＝∠BDA，
∵点B、D、E三点共线，
∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣45°＝135°，
∴∠FEC＝∠AEC﹣∠AED＝135°﹣45°＝90°；
（2）过A作AH⊥DE于H，
∴AH＝＝6（cm），
∵∠BAD＝15°，
∴∠FAH＝90°﹣∠BAD﹣∠DAH＝30°，
∴cos30°＝，
∴AF＝4cm，
∴CF＝AC﹣AF＝20﹣4（cm）．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，特殊角的三角函数等知识，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
24．（12分）如图，点C为△ABD的外接圆上的一动点（点C不在上，且不与点B，D重合），∠ACB＝∠ABD＝45°
（1）求证：BD是该外接圆的直径；
（2）连接CD，求证：AC＝BC+CD；
（3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究DM2，AM2，BM2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）要证明BD是该外接圆的直径，只需要证明∠BAD是直角即可，又因为∠ABD＝45°，所以需要证明∠ADB＝45°；
（2）在CD延长线上截取DE＝BC，连接EA，只需要证明△EAC是等腰直角三角形即可得出结论；
（3）过点M作MF⊥MB于点M，过点A作AF⊥MA于点A，MF与AF交于点F，证明△AMF是等腰三角形后，可得出AM＝AF，MF＝AM，然后再证明△ABF≌△ADM可得出BF＝DM，最后根据勾股定理即可得出DM2，AM2，BM2三者之间的数量关系．
【解答】解：（1）∵＝，
∴∠ACB＝∠ADB＝45°，
∵∠ABD＝45°，
∴∠BAD＝90°，
∴BD是△ABD外接圆的直径；
（2）在CD的延长线上截取DE＝BC，
连接EA，
∵∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∵∠ADE+∠ADC＝180°，
∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADE，
在△ABC与△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE＝90°，
∵＝
∴∠ACD＝∠ABD＝45°，
∴△CAE是等腰直角三角形，
∴AC＝CE，
∴AC＝CD+DE＝CD+BC；
（3）过点M作MF⊥MB于点M，过点A作AF⊥MA于点A，MF与AF交于点F，连接BF，
由对称性可知：∠AMB＝∠ACB＝45°，
∴∠FMA＝45°，
∴△AMF是等腰直角三角形，
∴AM＝AF，MF＝AM，
∵∠MAF+∠MAB＝∠BAD+∠MAB，
∴∠FAB＝∠MAD，
在△ABF与△ADM中，
，
∴△ABF≌△ADM（SAS），
∴BF＝DM，
在Rt△BMF中，
∵BM2+MF2＝BF2，
∴BM2+2AM2＝DM2．
【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识，综合程度较高，解决本题的关键就是构造等腰直角三角形．
25．（12分）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（﹣2，4）．
（1）求b，c满足的关系式；
（2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；
（3）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．
【分析】（1）将点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+c，c＝2b；
（2）m＝﹣，n＝，得n＝2b﹣m2；
（3）当b≤0时，c≤0，函数不经过第三象限，则c＝0；此时函数最大值与最小值之差为25；当b＞0时，c＞0，△≤0，解得0＜b≤8，在此情况下分三种情况：①当﹣2≤﹣≤1时，函数有最小值﹣+2b，函数有最大值25﹣3b；求得b＝2或b＝18（舍）；②当﹣5≤﹣＜﹣2时，函数有最小值﹣+2b，函数有最大值1+3b；求得b＝6或b＝﹣10（舍）；③当﹣＜﹣5时，函数有最小值25﹣3b，函数有最大值1+3b，求得b＝（舍）．
【解答】解：（1）将点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+c，
得﹣2b+c＝0，
∴c＝2b；
（2）m＝﹣，n＝，
∴n＝，
∴n＝2b﹣m2＝﹣4m﹣m2；
（3）y＝x2+bx+2b＝（x+）2﹣+2b，
对称轴为直线x＝﹣，
当b≤0，c≥0，函数不经过第三象限，则c＝0；
此时y＝x2，当﹣5≤x≤1时，函数最小值是0，最大值是25，
∴最大值与最小值之差为25；（舍去）
当b＞0时，c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0，
∴0＜b≤8，
①当﹣2≤﹣≤1时，函数有最小值﹣+2b，函数有最大值25﹣3b；
∵函数的最大值与最小值之差为16，
∴25﹣3b+﹣2b＝16，
∴b＝2或b＝18（舍）；
②当﹣5≤﹣＜﹣2时，函数有最小值﹣+2b，函数有最大值1+3b；
∵函数的最大值与最小值之差为16，
∴1+3b﹣﹣2b＝16，
∴b＝6或b＝﹣10（舍）；
③当﹣＜﹣5时，函数有最小值25﹣3b，函数有最大值1+3b；
∵函数的最大值与最小值之差为16，
∴1+3b﹣25+3b＝16，
∴b＝（舍）；
综上所述b＝2或b＝6．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象，数形结合解题是关键．
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