_广东省广州市越秀区2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（word版 含答案）

这是一份_广东省广州市越秀区2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（word版 含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．方程4x2﹣3x﹣2＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．4，3，2B．4，﹣3，2C．4，﹣3，﹣2D．4，3，﹣2
2．对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+4，下列说法不正确的是（ ）
A．当x＝1时，y有最大值3
B．当x≥1时，y随x的增大而减小
C．开口向下
D．函数图象与x轴交于点（1，0）和（3，0）
3．把抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2﹣3B．y＝﹣（x+1）2﹣3
C．y＝﹣（x﹣1）2+3D．y＝﹣（x+1）2+3
4．下列结论中，正确的是（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦
D．圆是中心对称图形
5．若关于x的方程x2+mx﹣6＝0有一个根为2．则另一个根为（ ）
A．﹣2B．2C．4D．﹣3
6．⊙O的半径为5，同一平面内有一点P，且OP＝7，则P与⊙O的位置关系是（ ）
A．P在圆内B．P在圆上C．P在圆外D．无法确定
7．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A＝40°，则∠B的度数为（ ）
A．80°B．60°C．50°D．40°
8．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1B．k＜﹣1C．k＞﹣1且k≠0D．k≥﹣1且k≠0
9．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，PO与AB相交于点C，PA＝6，∠APB＝60°，则OC的长等于（ ）
A．B．3C．3﹣D．6﹣3
10．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点（1，0），顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①ab＞0且c＜0；②4a﹣2b+c＞0；③8a+c＞0；④c＝3a﹣3b；⑤直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1、x2，则x1+x2+x1•x2＝﹣5．其中正确的选项是（ ）
A．①③B．①②④C．②④⑤D．②③④⑤
二、填空题（每小题3分，共18分，把答案填在答卷对应的横线上）
11．若y＝（m﹣2）是关于x的二次函数，则常数m的值为 ．
12．正六边形的半径为3，它的边长是 ，它的中心角是 ，它的面积是 ．
13．若圆锥的底面半径是2，侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的母线长是 ．
14．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，飞机着陆后滑行 米才能停下来．
15．设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2020＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝ ．
16．如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，∠AMN＝30°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为 ．
三、解答题（共72分）
17．用适当方法解方程．
（1）x2﹣49＝0．
（2）x2+3x﹣4＝0．
18．如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB＝24cm，CD＝8cm．
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求（1）中所作圆的半径．
19．如图，某隧道横截面上的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成．最大高度为6米，底部宽度为12m，AO＝3m．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．
（1）直接写出点A及抛物线顶点P的坐标；
（2）求出这条抛物线的函数解析式．
20．某商场销售一批商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，经调查发现，如果每件商品每降价2元，商场平均每天可多售出5件．
（1）若降价x元，可多卖y件，求y与x的函数关系．
（2）降价多少元时，达到最大利润，每天能获得最大盈利是多少？
21．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上．
（1）尺规作图：作∠BAC的平分线，与⊙O交于点D；连接OD，交BC于点E（不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）；
（2）探究OE与AC的位置及数量关系，并证明你的结论．
22．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围；
（3）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝10，求出此时点P的坐标．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，O为AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AC相切于点E，交AB于点D，连接BE、OE，连接DE并延长交BC的延长线于点H．
（1）求∠ABE的度数；
（2）求证：OA＝BH；
（3）已知⊙O的半径为2，请直接写出阴影部分的面积．
24．如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，6），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当C为抛物线顶点的时候，求△BCE的面积；
（3）是否存在这样的点P，使△BCE的面积有最大值，若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由．
25．已知：如图1，∠ACG＝90°，AC＝2，点B为CG边上的一个动点，连接AB，将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到△ADB，过点D作DF⊥CG于点F．
（1）若∠BAC＝30°，
①求AB的长；
②判断直线FD与以AB为直径的⊙O的位置关系，并加以证明．
（2）如图2，点B在CG上向点C运动，直线FD与以AB为直径的⊙O交于D、H两点，连接AH，当∠CAB＝∠BAD＝∠DAH时，求BC的长．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分，把答案填在答题卡上）
1．方程4x2﹣3x﹣2＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．4，3，2B．4，﹣3，2C．4，﹣3，﹣2D．4，3，﹣2
【分析】根据方程找出二次项的系数，一次项系数及常数项即可．
解：方程4x2﹣3x﹣2＝0中二次项系数、一次项系数、常数项分别是4，﹣3，﹣2，
故选：C．
2．对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+4，下列说法不正确的是（ ）
A．当x＝1时，y有最大值3
B．当x≥1时，y随x的增大而减小
C．开口向下
D．函数图象与x轴交于点（1，0）和（3，0）
【分析】由抛物线解析式可直接得出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴，可判断A、B、C，令y＝0，解关于x的一元二次方程则可求得答案．
解：∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，4），
∵a＝﹣1＜0，
∴开口向下，
故C正确；
∴当x＝1时，y有最大值，最大值为4，
故A不正确；
当x≥1时，y随x的增大而减小，
故B正确；
令y＝0可得﹣（x﹣1）2+4＝x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）和（3，0），
故D正确．
故选：A．
3．把抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2﹣3B．y＝﹣（x+1）2﹣3
C．y＝﹣（x﹣1）2+3D．y＝﹣（x+1）2+3
【分析】利用二次函数平移的性质．
解：当y＝﹣x2向左平移1个单位时，顶点由原来的（0，0）变为（﹣1，0），
当向上平移3个单位时，顶点变为（﹣1，3），
则平移后抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2+3．
故选：D．
4．下列结论中，正确的是（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦
D．圆是中心对称图形
【分析】利用等弧的定义、确定圆的条件、圆周角定理及垂径定理的知识分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、长度相等的弧不一定是等弧，故错误；
B、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；
C、此弦不能是直径，命题错误；
D、圆是中心对称图形，正确，
故选：D．
5．若关于x的方程x2+mx﹣6＝0有一个根为2．则另一个根为（ ）
A．﹣2B．2C．4D．﹣3
【分析】先设出方程的另一个根，根据两根的积与系数的关系，得方程求解即可．
解：设方程的另一个根为α，根据根与系数的关系，
2α＝﹣6，
∴α＝﹣3．
故选：D．
6．⊙O的半径为5，同一平面内有一点P，且OP＝7，则P与⊙O的位置关系是（ ）
A．P在圆内B．P在圆上C．P在圆外D．无法确定
【分析】根据点在圆上，则d＝r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）即可得到结论．
解：∵OP＝7＞5，
∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．
故选：C．
7．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A＝40°，则∠B的度数为（ ）
A．80°B．60°C．50°D．40°
【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠C＝90°，又由直角三角形中两锐角互余，即可求得答案．
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵∠A＝40°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝50°．
故选：C．
8．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1B．k＜﹣1C．k＞﹣1且k≠0D．k≥﹣1且k≠0
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝（2k﹣1）2﹣4k•（k﹣2）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
解：根据题意得k≠0且Δ＝22﹣4•k×（﹣1）＞0，
解得k＞﹣1且k≠0．
故选：C．
9．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，PO与AB相交于点C，PA＝6，∠APB＝60°，则OC的长等于（ ）
A．B．3C．3﹣D．6﹣3
【分析】根据切线的性质和切线长定理可得OA⊥PA，∠APO＝30°＝∠PBO，PA＝PB，根据直角三角形的性质可得OA＝2CO，根据锐角三角函数可求AO的长，即可求OC的长．
解：如图，连接OA，
∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，PA＝6，∠APB＝60°，
∴OA⊥PA，∠APO＝30°＝∠PBO，PA＝PB，
∴∠AOC＝60°，AB⊥PO
∴∠CAO＝30°
∴AO＝2CO，
∵tan∠APO＝
∴AO＝×6＝2
∴CO＝
故选：A．
10．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点（1，0），顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①ab＞0且c＜0；②4a﹣2b+c＞0；③8a+c＞0；④c＝3a﹣3b；⑤直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1、x2，则x1+x2+x1•x2＝﹣5．其中正确的选项是（ ）
A．①③B．①②④C．②④⑤D．②③④⑤
【分析】根据二次函数的图象和性质一一判断即可．
解：∵抛物线对称轴x＝﹣1，经过（1，0），
∴﹣＝﹣1，a+b+c＝0，
∴b＝2a，c＝﹣3a，
∵a＜0，
∴b＜0，c＞0，
∴ab＞0且c＞0，故①错误，
∵抛物线对称轴x＝﹣1，经过（1，0），
∴（﹣2，0）和（0，0）关于对称轴对称，
∴x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，故②正确，
∵抛物线与x轴交于（﹣3，0），
∴x＝﹣4时，y＜0，
∴16a﹣4b+c＜0，
∵b＝2a，
∴16a﹣8a+c＜0，即8a+c＜0，故③错误，
∵c＝﹣3a＝3a﹣6a，b＝2a，
∴c＝3a﹣3b，故④正确，
∵直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1，x2，
∴方程ax2+（b﹣2）x+c﹣2＝0的两个根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝，
∴x1+x2+x1x2＝﹣+＝﹣+＝﹣5，故⑤正确，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共18分，把答案填在答卷对应的横线上）
11．若y＝（m﹣2）是关于x的二次函数，则常数m的值为 ﹣2 ．
【分析】根据二次函数的定义即可得出关于m的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出结论．
解：∵y＝（m﹣2）是关于x的二次函数，
∴，
解得：m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
12．正六边形的半径为3，它的边长是 3 ，它的中心角是 60° ，它的面积是 ．
【分析】首先根据题意作出图形，然后可得△OBC是等边三角形，然后由三角函数的性质，求得OH的长，继而求得正六边形的面积．
解：如图，连接OB，OC，过点O作OH⊥BC于H，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝×360°＝60°，
∴中心角是：60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝OC＝3，
∴它的边长是3；
在Rt△OBH中，OH＝OB•sin60°＝3×＝，
∴S正六边形ABCDEF＝6S△OBC＝6××3×＝．
故答案为：3，60°，．
13．若圆锥的底面半径是2，侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的母线长是 6 ．
【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
解：圆锥的底面周长＝2π×2＝4πcm，
则：＝4π，
解得l＝6．
故答案为：6．
14．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，飞机着陆后滑行 600 米才能停下来．
【分析】将函数解析式配方成顶点式求出s的最大值即可得．
解：∵s＝﹣t2+60t＝﹣（t﹣20）2+600，
∴当t＝20时，s取得最大值600，即飞机着陆后滑行600米才能停下来，
故答案为：600．
15．设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2020＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝ 2018 ．
【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系即可得出m2+2m＝2020，m+n＝﹣2，将其代入m2+3m+n＝m2+2m+m+n中即可求出结论．
解：∵设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2020＝0的两个实数根，
∴m2+2m﹣2020＝0，即m2+2m＝2020，m+n＝﹣2，
则m2+3m+n
＝m2+2m+m+n
＝2020﹣2
＝2018，
故答案为：2018．
16．如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，∠AMN＝30°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为 2 ．
【分析】过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，由对称的性质可知＝，再由圆周角定理可求出∠A′ON的度数，再由勾股定理即可求解．
解：过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，
连接OB，OA′，AA′，
∵AA′关于直线MN对称，
∴＝，
∵∠AMN＝30°，
∴∠A′ON＝60°，∠BON＝30°，
∴∠A′OB＝90°，
过O作OQ⊥A′B于Q，
在Rt△A′OQ中，OA′＝2，
∴A′B＝2A′Q＝2，
即PA+PB的最小值2．
故答案为：2．
三、解答题（共72分）
17．用适当方法解方程．
（1）x2﹣49＝0．
（2）x2+3x﹣4＝0．
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解后求解可得．
解：（1）∵x2﹣49＝0，
∴x2＝49，
∴x1＝7，x2＝﹣7；
（2）∵x2+3x﹣4＝0，
∴（x+4）（x﹣1）＝0，
则x+4＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣4，x2＝1．
18．如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB＝24cm，CD＝8cm．
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求（1）中所作圆的半径．
【分析】（1）由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作AC，BC的中垂线交于点O，则点O是弧ACB所在圆的圆心；
（2）在Rt△OAD中，由勾股定理可求得半径OA的长．
解：（1）作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆，如图．
（2）连接OA，设OA＝x，AD＝12cm，OD＝（x﹣8）cm，
则根据勾股定理列方程：
x2＝122+（x﹣8）2，
解得：x＝13．
答：圆的半径为13cm．
19．如图，某隧道横截面上的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成．最大高度为6米，底部宽度为12m，AO＝3m．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．
（1）直接写出点A及抛物线顶点P的坐标；
（2）求出这条抛物线的函数解析式．
【分析】（1）根据所建坐标系易求A、P的坐标；
（2）可设解析式为顶点式，把A点（或B点）坐标代入求待定系数求出解析式．
解：（1）由题意得：A（0，3），P（6，6）；
（2）设抛物线解析式为：y＝a（x﹣6）2+6，
∵抛物线y＝a（x﹣6）2+6经过点（0，3），
∴3＝a（0﹣6）2+6，即a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣6）2+6，即y＝﹣x2+x+3
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3．
20．某商场销售一批商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，经调查发现，如果每件商品每降价2元，商场平均每天可多售出5件．
（1）若降价x元，可多卖y件，求y与x的函数关系．
（2）降价多少元时，达到最大利润，每天能获得最大盈利是多少？
【分析】（1）根据每件商品每降价2元，商场平均每天可多售出5件，得出y与x的函数关系式；
（2）利用商场降价后每天盈利＝每件的利润×卖出的件数＝（40﹣降低的价格）×（20+增加的件数）写出函数关系式，再利用二次函数最值求法得出即可．
解：（1）由题意得：y＝20+x，
∴y与x的函数关系式为y＝x+20；
（2）设商场平均每天盈利w元，
则 w＝（20+x）（40﹣x），
＝﹣x2+80x+800，
＝﹣（x﹣16）2+1440，
∵﹣2＜0，
∴当x＝16时，w取最大值，最大值为1440．
答：每件衬衫降价16元时，商场平均每天盈利最多，最大利润为1440元．
21．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上．
（1）尺规作图：作∠BAC的平分线，与⊙O交于点D；连接OD，交BC于点E（不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）；
（2）探究OE与AC的位置及数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）利用基本作图作AD平分∠BAC，然后连接OD得到点E；
（2）由AD平分∠BAC得到∠BAD＝∠BAC，由圆周角定理得到∠BAD＝∠BOD，则∠BOD＝∠BAC，再证明OE为△ABC的中位线，从而得到OE∥AC，OE＝AC．
解：（1）如图所示；
（2）OE∥AC，OE＝AC．
理由如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC，
∵∠BAD＝∠BOD，
∴∠BOD＝∠BAC，
∴OE∥AC，
∵OA＝OB，
∴OE为△ABC的中位线，
∴OE∥AC，OE＝AC．
22．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围；
（3）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝10，求出此时点P的坐标．
【分析】（1）将A与B的坐标代入抛物线的解析式即可求出b与c的值．
（2）根据图象即可求出y的取值范围．
（3）设P（x，y），△PAB的高为|y|，AB＝4，由S△PAB＝10列出方程即可求出y的值，从而可求出P的坐标．
解：（1）将A（﹣1，0）和B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c
∴
解得：
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3
∴顶点坐标为：（1，4）
（2）由于抛物线的对称轴为：x＝1，
∴0＜x＜3时，
∴0＜y≤4
（3）设P（x，y）
∴△PAB的高为|y|，
∵A（﹣1，0）、B（3，0）
∴AB＝4
∵S△PAB＝10，
∴×4×|y|＝10
∴y＝±5，
当y＝5时，
∴5＝﹣x2+2x+3
此时方程无解，
当y＝﹣5时，
∴﹣5＝﹣x2+2x+3，
解得：x＝4或x＝﹣2，
∴P（4，﹣5）或（﹣2，﹣5）
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，O为AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AC相切于点E，交AB于点D，连接BE、OE，连接DE并延长交BC的延长线于点H．
（1）求∠ABE的度数；
（2）求证：OA＝BH；
（3）已知⊙O的半径为2，请直接写出阴影部分的面积．
【分析】（1）AC与圆相切，故OE⊥AC，在Rt△AOE中，∠AOE＝90°﹣∠A＝60°，而OB＝OE，即可求解；
（2）在Rt△AOE中，∠A＝30°，则AO＝2OE，而OE是△DBH的中位线，故OE＝BH，即可求解；
（3）由阴影部分的面积＝S△AOE﹣S扇形ODE，即可求解．
解：（1）∵AC与圆相切，故OE⊥AC，
在Rt△AOE中，∠AOE＝90°﹣∠A＝60°，
∵OB＝OE，
∴∠ABE＝∠OEB＝∠AOE＝30°；
（2）在Rt△AOE中，∠A＝30°，则AO＝2OE，
在△DBH中，点O是BD的中点，OE∥BH，
故OE是△DBH的中位线，
故OE＝BH，
即OA＝BH；
（3）在△AOE中，OE＝2＝AO，
则AE＝OE•tan∠AOE＝2，
则阴影部分的面积＝S△AOE﹣S扇形ODE＝×2×2﹣•π•22＝2﹣．
24．如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，6），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当C为抛物线顶点的时候，求△BCE的面积；
（3）是否存在这样的点P，使△BCE的面积有最大值，若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A、B的代入抛物线表达式，即可求解；
（2）△BCE的面积＝PC（xB﹣xE）＝6×6＝18；
（3）S△BCE＝PC（xB﹣xE）＝×（x+2﹣2x2+8x﹣6）＝﹣6x2+27x﹣12，即可求解．
解：（1）将点A、B的代入抛物线表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝2x2﹣8x+6；
（2）函数的对称轴为：x＝2，则点C（2，﹣2），
当x＝2时，y＝x+2＝4，点E（﹣2，0），
则PC＝6，
△BCE的面积＝PC（xB﹣xE）＝6×6＝18；
（3）存在，理由：
设点P（x，x+2），点C（x，2x2﹣8x+6）
S△BCE＝PC（xB﹣xE）＝×（x+2﹣2x2+8x﹣6）×6＝﹣6x2+27x﹣12，
∵﹣6＜0，故S△BCE有最大值，当x＝时，S△BCE最大值为：．
25．已知：如图1，∠ACG＝90°，AC＝2，点B为CG边上的一个动点，连接AB，将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到△ADB，过点D作DF⊥CG于点F．
（1）若∠BAC＝30°，
①求AB的长；
②判断直线FD与以AB为直径的⊙O的位置关系，并加以证明．
（2）如图2，点B在CG上向点C运动，直线FD与以AB为直径的⊙O交于D、H两点，连接AH，当∠CAB＝∠BAD＝∠DAH时，求BC的长．
【分析】（1）①由∠BAC＝30°可得BC＝AB，而AC＝2，结合勾股定理即可得到答案；
②连接OD，根据∠ACG＝90°，∠BAC＝30°及将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到△ADB，可得∠DBF＝180°﹣∠ABD﹣∠ABC＝60°，证明△BOD是等边三角形，即得∠ODB＝60°＝∠DBF，从而OD∥CG，可证明直线FD与以AB为直径的⊙O相切；
（2）延长AD交CG于点E，可证点C在⊙O上，即有四边形ADBC是圆内接四边形，由∠CAB＝∠BAD＝∠DAH可得∠FBD＝∠FDB＝45°，从而EC＝AC＝2，设BC＝x，则BD＝BC＝x，EB＝x，即有x+x＝2，解得BC＝2﹣2．
解：（1）①∵∠ACG＝90°，∠BAC＝30°，
∴BC＝AB，AC2+BC2＝AB2，
∵AC＝2，
∴22+（AB）2＝AB2，
∴AB＝；
②直线FD与以AB为直径的⊙O相切，证明如下：
连接OD，如图：
∵∠ACG＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到△ADB，
∴∠ABD＝∠ABC＝60°，
∴∠DBF＝180°﹣∠ABD﹣∠ABC＝60°，
∵∠ADB＝∠C＝90°，OA＝OB，
∴OD＝OB＝OA，即D在以AB为直径的⊙O上，
而∠ABD＝60°，
∴△BOD是等边三角形，
∴∠ODB＝60°＝∠DBF，
∴OD∥CG，
∵DF⊥CG，
∴OD⊥DF，
∴直线FD与以AB为直径的⊙O相切；
（2）延长AD交CG于点E，如右图：
同（1）中的方法，可证点C在⊙O上；
∴四边形ADBC是圆内接四边形．
∴∠FBD＝∠1+∠2．
同理∠FDB＝∠2+∠3．
∵∠1＝∠2＝∠3，
∴∠FBD＝∠FDB，
又∠DFB＝90°，
∴∠FBD＝∠FDB＝45°，
∴∠1+∠2＝45°，
∴EC＝AC＝2，
设BC＝x，则BD＝BC＝x，
∵∠EDB＝90°，
∴EB＝x．
∵EB+BC＝EC，
∴x+x＝2，
解得x＝2﹣2，
∴BC＝2﹣2．