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【考点全掌握】人教版数学七年级上册-第2课时-解一元一次方程-同步考点(知识清单+例题讲解+课后练习)
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这是一份【考点全掌握】人教版数学七年级上册-第2课时-解一元一次方程-同步考点(知识清单+例题讲解+课后练习),文件包含第2课时解一元一次方程-2022-2023学年七年级数学上册同步精品课堂知识清单+例题讲解+课后练习人教版解析版docx、第2课时解一元一次方程-2022-2023学年七年级数学上册同步精品课堂知识清单+例题讲解+课后练习人教版原卷版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共40页, 欢迎下载使用。
第二课时—解一元一次方程(答案卷)
知识点一:解一元一次方程的步骤:
第一步:去分母——等式左右两边每一项乘以所有分母的 最小公倍数 。
第二步:去括号——用括号前的数乘以括号内的 每一项 。若括号前是负数时,要注意每一项的 符号 变化。
第三步:移项——把含有未知数的项移到等号的左边,常数项移到等号的右边。在移项的过程中,被移动的项一定要 变符号 。
第四步:合并——按照合并同类项的方法合并。
第五步:系数化为1——等式左右两边同时除以 系数 或乘以 系数的倒数 。
特别说明:在原方程中既有分母又有括号时,一般情况下先去分母。但如果括号外的项乘以括号内的项能消去分母则直接去括号。
【类型一:根据解方程的步骤解方程】
1.解下列方程:
(1)10x+9=12x﹣1; (2)x﹣3(x﹣2)=4;
(3)5(x﹣1)=8x﹣2(x+1); (4)=1.
【分析】(1)方程移项、合并同类项、系数化为1即可;
(2)方程去去分母、括号、移项、合并同类项、系数化为1即可;
(3)方程去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可;
(4)方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可.
【解答】解:(1)10x+9=12x﹣1,
移项,得10x﹣12x=﹣1﹣9,
合并同类项,得﹣2x=﹣10,
系数化为1,得x=5;
(2)x﹣3(x﹣2)=4,
去分母,得x﹣6(x﹣2)=8,
去括号,得x﹣6x+12=8,
移项,得x﹣6x=8﹣12,
合并同类项,得﹣5x=4,
系数化为1,得x=﹣;
(3)5(x﹣1)=8x﹣2(x+1),
去括号,得5x﹣5=8x﹣2x﹣2,
移项,得5x﹣8x+2x=5﹣2,
合并同类项,得﹣x=3,
系数化为1,得x=﹣3;
(4)=1,
去分母,得2(2x+1)﹣(5x﹣1)=6,
去括号,得4x+2﹣5x+1=6,
移项,得4x﹣5x=6﹣1﹣2,
合并同类项,得﹣x=3,
系数化为1,得x=﹣3.
2.解方程:
(1)3x+7=32﹣2x; (2)4x﹣3(20﹣x)+4=0;
(3); (4)=2﹣.
【分析】(1)移项,合并同类项,系数化成1即可;
(2)去括号,移项,合并同类项,系数化成1即可;
(3)去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化成1即可;
(4)去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化成1即可.
【解答】解:(1)3x+7=32﹣2x,
3x+2x=32﹣7,
5x=25,
x=5;
(2)4x﹣3(20﹣x)+4=0,
4x﹣60+3x+4=0,
4x+3x=60﹣4,
7x=56,
x=8;
(3)去分母得:3(3x+5)=2(2x﹣1),
9x+15=4x﹣2,
9x﹣4x=﹣2﹣15,
5x=﹣17,
x=﹣3.4;
(4)去分母得:4(5y+4)+3(y﹣1)=24﹣(5y﹣3),
20y+16+3y﹣3=24﹣5y+3,
20y+3y+5y=24+3﹣16+3,
28y=14,
y=.
3.解方程:
(1)2x﹣1=3(x﹣1); (2)﹣=2.
【分析】根据一元一次方程的解法即可求出答案.
【解答】解:(1)∵2x﹣1=3(x﹣1),
∴2x﹣1=3x﹣3,
∴2x﹣3x=1﹣3,
∴﹣x=﹣2,
∴x=2.
(2)∵﹣=2,
∴2x+15﹣=2,
∴3(2x+15)﹣(10x﹣1)=6,
∴6x+45﹣10x+1=6,
∴﹣4x+46=6,
∴﹣4x=﹣40,
∴x=10.
4.解方程:①2﹣=x﹣; ②﹣1=.
【分析】(1)这是一个带分母的方程,所以要先去分母,再去括号,最后移项,化系数为1,从而得到方程的解.
(2)本题方程两边都含有分数系数,如果直接通分,有一定的难度,但对每一个式子先进行化简、整理为整数形式,难度就会降低.
【解答】解:(1)12﹣(x+5)=6x﹣2(x﹣1)
12﹣x﹣5=6x﹣2x+2
﹣x﹣6x+2x=2﹣12+5
﹣5x=﹣5
x=1;
(2)
4(10﹣20x)﹣12=3(7﹣10x)
40﹣80x﹣12=21﹣30x
﹣80x+30x=21﹣40+12
﹣50x=﹣7
.
【类型二:方程的特殊解】
5.已知关于x的方程x﹣=﹣2有非负整数解,则整数a的所有可能的取值的和为( )
A.﹣23 B.23 C.﹣34 D.34
【分析】直接解方程进而利用非负整数的定义分析得出答案.
【解答】解:x﹣=﹣2,
则6x﹣(2﹣ax)=2x﹣12,
故6x﹣2+ax=2x﹣12,
(4+a)x=﹣10,
解得:x=﹣,
∵﹣是非负整数,
∴a=﹣5或﹣6,﹣9,﹣14时,x的解都是非负整数,
则﹣5﹣6﹣9﹣14=﹣34.
故选:C.
6.若方程2(x﹣1)﹣6=0与关于x的方程=1的解互为相反数,则a的值为( )
A.﹣ B. C. D.﹣1
【分析】求出第一个方程的解,得出第二个方程的解是x=﹣4,再把x=﹣4代入第二个方程,即可求出答案.
【解答】解:解方程2(x﹣1)﹣6=0得:x=4,
∵方程2(x﹣1)﹣6=0与关于x的方程=1的解互为相反数,
∴方程=1的解是x=﹣4,
把x=﹣4代入方程=1得:=1,
解得:a=﹣,
故选:A.
7.已知关于y的方程=的解比关于x的方程3a﹣x=+3的解小3,求a的值.
【分析】先用a分别表示出两方程的解集,再根据关于y的方程=的解比关于x的方程3a﹣x=+3的解小3可列出关于a的方程,求出a的值即可.
【解答】解:解方程=得,y=5a,解方程3a﹣x=+3得,x=2a﹣2,
∵关于y的方程=的解比关于x的方程3a﹣x=+3的解小3,
∴5a+3=2a﹣2,
解得a=﹣.
8.若方程3(2x﹣1)=2+x的解与关于x的方程=2(x+3)的解互为相反数,则k的值是
【分析】解方程3(2x﹣1)=2+x得出x的值,根据方程的解互为相反数知另一方程的解,代入可得关于k的方程,解之可得.
【解答】解:解3(2x﹣1)=2+x,得x=1,
∵两方程的解互为相反数,
∴将x=﹣1代入=2(x+3)得=4,
解得k=﹣3.
故答案为:﹣3.
9.方程1﹣2(x+1)=0的解与关于x的方程的解互为倒数,求k的值.
【分析】首先解第一个方程求得x的值,然后根据倒数的定义求得第二个方程的解,然后代入第二个方程,得到一个关于k的方程,求解.
【解答】解:解方程1﹣2(x+1)=0得:x=﹣,
则关于x的方程的解是x=﹣2,
把x=﹣2代入方程得:﹣3k﹣2=﹣4,
解得:k=.
10.已知关于x的方程的解是正整数,求正整数a的值.
【分析】首先解关于x的方程求得x的值,根据x是正整数即可求得a的值.
【解答】解:去分母,得:ax+10=7x﹣3,
移项、合并同类项,得:(a﹣7)x=﹣13,
系数化成1得:x=﹣,
∵x是正整数,
∴a﹣7=﹣1或﹣13,
∴a=6或﹣6.
又∵a是正整数.
∴a=6.
【类型三:错解方程求方程的解】
11.小南在解关于x的一元一次方程时,由于粗心大意,去分母时出现漏乘错误,把原方程化为3x﹣m=2,并计算得解为x=1.则原方程正确的解为( )
A. B.x=1 C. D.
【分析】先根据题意求出m的值,然后代入原方程即可求出答案.
【解答】解:由题意可知:x=1是方程3x﹣m=2的解,
∴3﹣m=2,
∴m=1,
∴原方程为﹣1=,
∴x=,
故选:A.
12.在解关于y的方程=﹣1时,小明在去分母的过程中,右边的“﹣1”漏乘了公分母6,因而求得方程的解为y=4,则方程正确的解是( )
A.y=﹣1 B.y=﹣2 C.y=1 D.y=2
【分析】把y=4代入方程2(2y﹣1)=3(y+a)﹣1得出2×(8﹣1)=3(4+a)﹣1,求出方程的解是a=1,把a=1代入方程=﹣1得出=﹣1,再去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化成1即可.
【解答】解:∵在解关于y的方程=﹣1时,小明在去分母的过程中,右边的“﹣1”漏乘了公分母6,因而求得方程的解为y=4,
∴把y=4代入方程2(2y﹣1)=3(y+a)﹣1,得2×(8﹣1)=3(4+a)﹣1,
解得:a=1,
即方程为=﹣1,
2(2y﹣1)=3(y+1)﹣6,
4y﹣2=3y+3﹣6,
4y﹣3y=3﹣6+2,
y=﹣1,
故选:A.
13.聪聪在对方程①去分母时,错误的得到了方程2(x+3)﹣m x﹣1=3(5﹣x) ②,因而求得的解是x=,试求m的值,并求方程的正确解.
【分析】将x=代入方程②,整理即可求出m的值,将m的值代入方程①即可求出正确的解.
【解答】解:把x=代入方程②得:2(+3)﹣m﹣1=3(5﹣),解得:m=1,
把m=1代入方程①得:﹣=,
去分母得:2(x+3)﹣x+1=3(5﹣x),
去括号得:2x+6﹣x+1=15﹣3x,
移项合并得:4x=8,
解得:x=2,
则方程的正确解为x=2.
14.小明是七年级(2)班的学生,他在对方程=﹣1去分母时由于粗心,方程右边的﹣1没有乘6而得到错解x=4,你能由此判断出a的值吗?如果能,请求出方程正确的解.
【分析】先把错误的解法得到的x的值代入方程求出a的值,然后根据一元一次方程的解法,先去分母,再去括号,最后移项,合并同类项,从而得到方程的解.
【解答】解:∵方程右边的﹣1忘记乘6,求出的解为x=4,
∴2(2×4﹣1)=3(4+a)﹣1,
解得a=1,
则原方程为:=﹣1,
去分母,得
4x﹣2=3x+3﹣6,
移项、合并同类项,得
x=﹣1.
【类型四:定义新运算解方程】
15.设x,y为任意有理数,定义运算:x*y=(x+1)(y+1)﹣1,得到下列五个结论:①x*y=y*x;②x*y+z=x*y+x*z;③(x+1)*(x﹣1)=x*x﹣1;④x*0=0;⑤(x+1)*(x+1)=x*x+2*x+1.其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【分析】根据题中定义的运算,对各结论中新定义的运算进行计算,判断即可解答.
【解答】解:∵x*y=(x+1)(y+1)﹣1,
y*x=(y+1)(x+1)﹣1,
∴x*y=y*x,
故①正确;
∵x*y+z=(x+1)(y+1)﹣1+z=xy+x+y+z,
x*y+x*z=(x+1)(y+1)﹣1+(x+1)(z+1)﹣1=xy+x+y+xz+x+z=xy+xz+2x+y+z,
∴x*y+z≠x*y+x*z,
故②错误;
∵(x+1)*(x﹣1)=(x+1+1)(x﹣1+1)﹣1=(x+2)x﹣1=x2+2x﹣1.
x*x﹣1=(x+1)(x+1)﹣1﹣1=x2+2x﹣1.
∴(x+1)*(x﹣1)=x*x﹣1,
故③正确;
∵x*0=(x+1)(0+1)﹣1=x+1﹣1=x,
∴x*0≠0,
故④错误;
∵(x+1)*(x+1)=(x+1+1)(x+1+1)﹣1=(x+2)2﹣1=x2+4x+3,
x*x+2*x+1=(x+1)(x+1)﹣1+(2+1)(x+1)﹣1+1=(x+1)2+3(x+1)﹣1=x2+5x+3.
∴(x+1)*(x+1)≠x*x+2*x+1
故⑤错误.
综上所述,正确的个数为2.
故选:B.
16.定义运算a⊗b=a(1﹣b),下面给出了关于这种运算的四个结论:①2⊗(﹣2)=6;②a⊗b=b⊗a;③若2⊗a=0,则a=1;④a⊗1=0.其中正确结论有( )
A.①③④ B.①③ C.②③ D.①②④
【分析】根据新运算展开,再根据整式的运算法则和有理数的运算法则进行计算,最后判断即可.
【解答】解:①2⊗(﹣2)=2×[1﹣(﹣2)]=2×3=6,故①正确;
②a⊗b=a(1﹣b)=a﹣ab,b⊗a=b(1﹣a)=b﹣ab,
即当a≠b时a⊗b≠b⊗a,故②错误;
③若2⊗a=2(1﹣a)=0,
1﹣a=0,
a=1,故③正确;
④a⊗1=a(1﹣1)=0,故④正确,
即正确都有①③④,
故选:A.
17.在有理数范围内定义运算“☆”:a☆b=a+,如:1☆(﹣3)=1+=﹣1.如果2☆x=x☆(﹣1)成立,则x的值是( )
A.﹣1 B.5 C.0 D.2
【分析】已知等式利用题中的新定义化简,计算即可求出x的值.
【解答】解:根据题中的新定义化简2☆x=x☆(﹣1)得:2+=x﹣1,
去分母得:4+x﹣1=2x﹣2,
移项得:x﹣2x=﹣2﹣4+1,
合并得:﹣x=﹣5,
解得:x=5.
故选:B.
18.定义“※”运算为“a※b=ab+2a”,若(3※x)+(x※3)=14,则x等于( )
A.1 B.2 C.﹣1 D.﹣2
【分析】先根据新定义的运算法则a※b=ab+2a,将(3※x)+(x※3)=14化为关于x的一元一次方程,然后解方程即可.
【解答】解:∵a※b=ab+2a,
∴(3※x)+(x※3),
=3x+2×3+3x+2x,
=8x+6,
∴8x+6=14,
解得x=1.
故选:A.
19.定义一种新运算:a☆b=,例如:(﹣2)☆1=﹣2+2×1=0,3☆(﹣1)=3﹣2×(﹣1)=5.若(﹣2)☆b=16,则b的值是( )
A.9 B.﹣9 C.9或﹣9 D.无法确定
【分析】分类讨论b与﹣2的大小,利用题中的新定义化简已知等式,求出b的值即可.
【解答】解:当b≥﹣2时,化简(﹣2)☆b=16,得:﹣2+2b=16,
移项得:2b=16+2,
合并得:2b=18,
解得:b=9;
当b<﹣2时,化简(﹣2)☆b=16,得:﹣2﹣2b=16,
移项得:﹣2b=16+2,
合并得:﹣2b=18,
解得:b=﹣9,
综上,b的值为9或﹣9.
故选:C.
20.我们定义一种运算:=ad﹣b c例如,=2×5﹣3×4=﹣2,=3x﹣2,按照这种定义的运算,当=时,x=( )
A.﹣ B.﹣ C. D.
【分析】根据=ad﹣bc,可得﹣x﹣2=x+1,然后解方程即可.
【解答】解:因为=ad﹣bc,
所以=2(﹣1)﹣2x=x﹣2﹣2x=﹣x﹣2,
=1(x﹣1)﹣(﹣4)×=x﹣1+2=x+1,
所以﹣x﹣2=x+1,
﹣x﹣x=1+2,
﹣2x=3,
x=﹣.
故选:A.
一.选择题(共10小题)
1.一元一次方程8x=2x﹣6的解是( )
A.x=1 B.x=0 C.x=﹣2 D.x=﹣1
【分析】通过移项,即可求解.
【解答】解:8x=2x﹣6,
6x=﹣6,
x=﹣1.
故选:D.
2.解方程时,去分母结果正确的是( )
A.3(3x﹣1)=1﹣2(x+3) B.3(3x﹣1)=1﹣(x+3)
C.2(3x﹣1)=6﹣3(x+3) D.3(3x﹣1)=6﹣2(x+3)
【分析】根据等式的性质,把方程的等号的左右两边分别乘6,判断出去分母结果正确的是哪个即可.
【解答】解:解方程时,去分母结果正确的是:3(3x﹣1)=6﹣2(x+3).
故选:D.
3.下列变形中:
①由方程=2去分母,得x﹣12=10;
②由方程6x﹣4=x+4移项、合并得5x=0;
③由方程2﹣=两边同乘以6,得12﹣x+5=3x+3;
④由方程x=两边同除以,得x=1;
其中错误变形的有( )个.
A.0 B.1 C.2 D.3
【分析】根据等式的性质,逐项判断即可.
【解答】解:①由方程=2去分母,得x﹣12=10,不符合题意;
②由方程6x﹣4=x+4移项、合并得5x=8,符合题意;
③由方程2﹣=两边同乘以6,得12﹣x+5=3x+9,符合题意;
④由方程x=两边同除以,得x=;
其中错误变形的有3个:②、③、④.
故选:D.
4.若3x+1的值比2x﹣3的值小1,则x的值为( )
A.﹣5 B.﹣1 C.﹣3 D.
【分析】根据题意,可得:3x+1+1=2x﹣3,再移项、合并同类项,求出x的值即可.
【解答】解:∵3x+1的值比2x﹣3的值小1,
∴3x+1+1=2x﹣3,
移项,可得:3x﹣2x=﹣3﹣1﹣1,
合并同类项,可得:x=﹣5.
故选:A.
5.某同学解方程4x﹣3=□x+1时,把“□”处的系数看错了,解得x=4,他把“□”处的系数看成了( )
A.3 B.﹣3 C.4 D.﹣4
【分析】首先根据题意,设“□”处的系数是y,则4y+1=4×4﹣3,然后根据解一元一次方程的方法,求出他把“□”处的系数看成了多少即可.
【解答】解:设“□”处的系数是y,
则4y+1=4×4﹣3,
∴4y+1=13,
移项,可得:4y=13﹣1,
合并同类项,可得:4y=12,
系数化为1,可得:y=3.
故选:A.
6.若代数式3(2﹣x)与代数式x+2的值相等,则x的值为( )
A. B. C.﹣ D.
【分析】根据题意列出方程,求出方程的解即可得到x的值.
【解答】解:根据题意,得3(2﹣x)=x+2,
去括号,得6﹣3x=x+2,
移项、合并同类项,得﹣x=﹣4,
解得:x=,
则x的值为.
故选:A.
7.如果与互为相反数,那么a的值是( )
A.2 B.6 C.12 D.﹣6
【分析】利用相反数的性质列出方程,求出方程的解得到a的值,代入原式计算即可求出值.
【解答】解:根据题意得:a+1+=0,
去分母得:a+3+2a﹣9=0,
移项合并得:3a=6,
解得:a=2.
故选:A.
8.关于x的方程4x﹣2m=3x﹣1的解是x=2x﹣3m的解的2倍,则m的值为( )
A. B. C.﹣ D.﹣
【分析】分别表示出两个方程的解,根据解的关系列出方程,求出方程的解即可得到m的值.
【解答】解:方程4x﹣2m=3x﹣1,
解得:x=2m﹣1,
方程x=2x﹣3m,
解得:x=3m,
根据题意得:2m﹣1=6m,
解得:m=﹣.
故选:C.
9.对于两个不相等的有理数a,b,我们规定符号max{a,b}表示a,b两数中较大的数,例如max{2,4}=4,max{﹣2,﹣4}=﹣2.按照这个规定,那么方程max{x,5x}=2x+6的解为( )
A.x=2 B.x=3或x=﹣6 C.x=2或x=﹣6 D.x=3
【分析】对x>5x和x<5x两种情况进行分类计算.
【解答】解:当x>5x时可得,
x=2x+6,
解得x=﹣6,
∵5×(﹣6)=﹣30,且﹣6>﹣30,
∴x=﹣6是该方程的解;
当x<5x时,
5x=2x+6,
解得x=2,
∵5×2=10,且2<10,
∴x=2是该方程的解,
故选:C.
10.小军同学在解关于x的方程﹣1去分母时,方程右边的﹣1没有乘2,因而求得方程的解为3,则m的值和方程的正确解为( )
A.2,2 B.2,3 C.3,2 D.3,3
【分析】先根据题意求出m的值,再把m的值代入方程中进行解答即可.
【解答】解:由题意可得:
把x=3代入方程2x﹣1=x+m﹣1中,可得:
6﹣1=3+m﹣1,
解得:m=3,
把m=3代入原方程中得:
=﹣1,
2x﹣1=x+3﹣2,
解得:x=2,
故选:C.
二.填空题(共6小题)
11.当x= 时,2x﹣5与x+2.5互为相反数.
【分析】利用相反数的性质列出方程,求出方程的解即可.
【解答】解:根据题意得:2x﹣5+x+2.5=0,
去分母得:4x﹣10+x+5=0,
移项合并得:5x=5,
解得:x=1.
故答案为:1.
12.规定一种新的运算:a*b=2﹣a﹣b,求=1的解是 .
【分析】已知等式利用题中的新定义化简,计算即可求出解.
【解答】解:根据题中的新定义化简得:2﹣﹣=1,
去分母得:12﹣2(2x﹣1)﹣3(1+x)=6,
去括号得:12﹣4x+2﹣3﹣3x=6,
移项合并得:﹣7x=﹣5,
解得:x=.
故答案为:x=.
13.如图是一个“数值转换机”.若开始输入的值x为正整数,最后输出的结果为23,则满足条件的最小的x值为 .
【分析】根据计算程序代入解答即可.
【解答】解:由题意可知,
当输入x时,3x﹣1=23,
解得:x=8,
当3x﹣1=8时,
解得:x=3,
当3x﹣1=3时,
解得:x=.
∵输入的值x为正整数,
∴满足条件的最小的x值为3.
故答案为:3.
14.已知a,b,c,d为有理数,现规定一种新运算=ad﹣b c,如=1×(﹣5)-3×2=﹣11,那么当时,则x的值为 .
【分析】首先根据=ad﹣bc,由=22,可得:2×7﹣4(x+1)=22;然后根据解一元一次方程的方法,求出x的值即可.
【解答】解:∵=ad﹣bc,由=22,
∴2×7﹣4(x+1)=22,
去括号,可得:14﹣4x﹣4=22,
移项,可得:﹣4x=22﹣14+4,
合并同类项,可得:﹣4x=12,
系数化为1,可得:x=﹣3.
故答案为:﹣3.
15.已知关于x的方程的解为x=﹣10,则a的值为 ;嘉琪在解该方程去分母时等式右边的﹣1忘记乘6,则嘉琪解得方程的解为x= .
【分析】把x=﹣10代入方程即可得出a的值;根据题意结合解一元一次方程的步骤即可得出嘉琪解得方程的解.
【解答】解:把x=﹣10代入关于x的方程,得:
,
解得a=2;
故原方程为,
嘉琪的解题过程为:
2(2x﹣1)=3(x﹣2)﹣1,
4x﹣2=3x﹣6﹣1,
4x﹣3x=2﹣6﹣1,
x=﹣5.
故答案为:2;﹣5.
16.已知a,b为定值,关于x的方程=1﹣,无论k为何值,它的解总是x=2,则a+b= .
【分析】把x=2代入方程,得,可得(2+b)k+2a﹣4=0,再根据题意可得2+b=0,2a﹣4=0,进而可得a、b的值,从而可得答案.
【解答】解:把x=2代入方程,得,
2(2k+a)=6﹣(4+bk),
4k+2a=6﹣4﹣bk,
4k+bk+2a﹣2=0,
(4+b)k+2a﹣2=0,
∵无论k为何值,它的解总是1,
∴4+b=0,2a﹣2=0,
解得:b=﹣4,a=1.
则a+b=﹣3.
故答案为:﹣3.
三.解答题(共4小题)
17.解下列方程:
(1)4x﹣3(20﹣x)=3; (2);
(3)=1; (4)=x.
【分析】根据解一元一次方程的一般步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程即可.
【解答】解:(1)去括号得:4x﹣60+3x=3,
移项得:4x+3x=3+60,
合并同类项得:7x=63,
系数化为1得:x=9;
(2)去分母得:5(x﹣1)=20﹣2(x+2),
去括号得:5x﹣5=20﹣2x﹣4,
移项得:5x+2x=20﹣4+5,
合并同类项得:7x=21,
系数化为1得:x=3;
(3)去分母得:3(x+2)﹣2(2x﹣3)=12,
去括号得:3x+6﹣4x+6=12,
移项得:3x﹣4x=12﹣6﹣6,
合并同类项得:﹣x=0,
系数化为1得:x=0;
(4)原方程可化为﹣=x,
去分母得:3(3x﹣5)﹣2(12﹣5x)=6x,
去括号得:9x﹣15﹣24+10x=6x,
移项得:9x+10x﹣6x=15+24,
合并同类项得:13x=39,
系数化为1得:x=3.
18.用“★”定义一种新运算:对于任意有理数a和b,规定a★b=ab2+2ab+a.如:1★3=1×32+2×1×3+1=16.
(1)(﹣3)★2= .
(2)若(★3)★(﹣2)=16,求a的值.
【分析】(1)直接利用运算公式计算,进而得出答案;
(2)利用已知运算公式将原式变形,进而计算得出答案.
【解答】解:(1)(﹣3)★2=(﹣3)×22+2×(﹣3)×2﹣3=﹣27;
故答案为:﹣27;
(2)根据题意得:
★3=★32+2××
=+3a+
=8a,
∴(★3)★(﹣2)=8a★(﹣2)=8a×(﹣2)2+2×8a×(﹣2)+8a=16,
整理得8a=16,
解得:a=2.
19.用“※”定义一种新运算:规定a※b=ab2+2ab﹣b,如:1※3=1×32+2×1×3﹣3=12.
(1)若|m+1|+(n﹣4)2=0,求m※n的值;
(2)若(x﹣1)※3=12,求x的值.
【分析】(1)根据绝对值和偶次方的非负数性质可得m、n的值,再按规定的运算程序运算求值即可;
(2)根据新运算,先把方程转化为一元一次方程,再求x的值.
【解答】解:(1)∵|m+1|+(n﹣4)2=0,而|m+1|≥0,(n﹣4)2≥0,
∴m+1=0,n﹣4=0,
解得m=﹣1,n=4,
∴m※n=mn2+2mn﹣n=(﹣1)×42﹣2×(﹣1)×4﹣4=﹣16﹣8﹣4=﹣28;
(2)∵(x﹣1)※3=12,
∴(x﹣1)×32+2(x﹣1)×3﹣3=12,
去括号,可得:9x﹣9+6x﹣6﹣3=12,
移项,可得:9x+6x=12+9+6+3,
合并同类项,可得:15x=30,
系数化为1,可得:x=2.
20.定义一种新运算“※”,其规则为x※y=xy﹣x+y.例如6※5=6×5﹣6+5=29.再如:(2a)※3=(2a)×3﹣2a+3.
(1)计算5※6值为 .
(2)若(2m)※3=2※m,求m的值.
(3)有理数的加法和乘法运算都满足交换律,即a+b=b+a,ab=ba,“※”运算是否满足交换律?若满足,请说明理由;若不满足,请举例说明.
【分析】(1)原式利用题中的新定义计算即可求出值;
(2)已知等式利用题中的新定义化简,计算即可求出m的值;
(3)“※”不满足交换律,举例即可.
【解答】解:(1)根据题中的新定义得:
原式=5×6﹣5+6
=30﹣5+6
=31;
故答案为:31;
(2)根据题中的新定义化简得:
6m﹣2m+3=2m﹣2+m,
解得:m=﹣5;
(3)“※”运算不满足交换律,
例如:2※3=6﹣2+3=7,3※2=6﹣3+2=5,即2※3≠3※2.
第二课时—解一元一次方程(答案卷)
知识点一:解一元一次方程的步骤:
第一步:去分母——等式左右两边每一项乘以所有分母的 最小公倍数 。
第二步:去括号——用括号前的数乘以括号内的 每一项 。若括号前是负数时,要注意每一项的 符号 变化。
第三步:移项——把含有未知数的项移到等号的左边,常数项移到等号的右边。在移项的过程中,被移动的项一定要 变符号 。
第四步:合并——按照合并同类项的方法合并。
第五步:系数化为1——等式左右两边同时除以 系数 或乘以 系数的倒数 。
特别说明:在原方程中既有分母又有括号时,一般情况下先去分母。但如果括号外的项乘以括号内的项能消去分母则直接去括号。
【类型一:根据解方程的步骤解方程】
1.解下列方程:
(1)10x+9=12x﹣1; (2)x﹣3(x﹣2)=4;
(3)5(x﹣1)=8x﹣2(x+1); (4)=1.
【分析】(1)方程移项、合并同类项、系数化为1即可;
(2)方程去去分母、括号、移项、合并同类项、系数化为1即可;
(3)方程去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可;
(4)方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可.
【解答】解:(1)10x+9=12x﹣1,
移项,得10x﹣12x=﹣1﹣9,
合并同类项,得﹣2x=﹣10,
系数化为1,得x=5;
(2)x﹣3(x﹣2)=4,
去分母,得x﹣6(x﹣2)=8,
去括号,得x﹣6x+12=8,
移项,得x﹣6x=8﹣12,
合并同类项,得﹣5x=4,
系数化为1,得x=﹣;
(3)5(x﹣1)=8x﹣2(x+1),
去括号,得5x﹣5=8x﹣2x﹣2,
移项,得5x﹣8x+2x=5﹣2,
合并同类项,得﹣x=3,
系数化为1,得x=﹣3;
(4)=1,
去分母,得2(2x+1)﹣(5x﹣1)=6,
去括号,得4x+2﹣5x+1=6,
移项,得4x﹣5x=6﹣1﹣2,
合并同类项,得﹣x=3,
系数化为1,得x=﹣3.
2.解方程:
(1)3x+7=32﹣2x; (2)4x﹣3(20﹣x)+4=0;
(3); (4)=2﹣.
【分析】(1)移项,合并同类项,系数化成1即可;
(2)去括号,移项,合并同类项,系数化成1即可;
(3)去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化成1即可;
(4)去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化成1即可.
【解答】解:(1)3x+7=32﹣2x,
3x+2x=32﹣7,
5x=25,
x=5;
(2)4x﹣3(20﹣x)+4=0,
4x﹣60+3x+4=0,
4x+3x=60﹣4,
7x=56,
x=8;
(3)去分母得:3(3x+5)=2(2x﹣1),
9x+15=4x﹣2,
9x﹣4x=﹣2﹣15,
5x=﹣17,
x=﹣3.4;
(4)去分母得:4(5y+4)+3(y﹣1)=24﹣(5y﹣3),
20y+16+3y﹣3=24﹣5y+3,
20y+3y+5y=24+3﹣16+3,
28y=14,
y=.
3.解方程:
(1)2x﹣1=3(x﹣1); (2)﹣=2.
【分析】根据一元一次方程的解法即可求出答案.
【解答】解:(1)∵2x﹣1=3(x﹣1),
∴2x﹣1=3x﹣3,
∴2x﹣3x=1﹣3,
∴﹣x=﹣2,
∴x=2.
(2)∵﹣=2,
∴2x+15﹣=2,
∴3(2x+15)﹣(10x﹣1)=6,
∴6x+45﹣10x+1=6,
∴﹣4x+46=6,
∴﹣4x=﹣40,
∴x=10.
4.解方程:①2﹣=x﹣; ②﹣1=.
【分析】(1)这是一个带分母的方程,所以要先去分母,再去括号,最后移项,化系数为1,从而得到方程的解.
(2)本题方程两边都含有分数系数,如果直接通分,有一定的难度,但对每一个式子先进行化简、整理为整数形式,难度就会降低.
【解答】解:(1)12﹣(x+5)=6x﹣2(x﹣1)
12﹣x﹣5=6x﹣2x+2
﹣x﹣6x+2x=2﹣12+5
﹣5x=﹣5
x=1;
(2)
4(10﹣20x)﹣12=3(7﹣10x)
40﹣80x﹣12=21﹣30x
﹣80x+30x=21﹣40+12
﹣50x=﹣7
.
【类型二:方程的特殊解】
5.已知关于x的方程x﹣=﹣2有非负整数解,则整数a的所有可能的取值的和为( )
A.﹣23 B.23 C.﹣34 D.34
【分析】直接解方程进而利用非负整数的定义分析得出答案.
【解答】解:x﹣=﹣2,
则6x﹣(2﹣ax)=2x﹣12,
故6x﹣2+ax=2x﹣12,
(4+a)x=﹣10,
解得:x=﹣,
∵﹣是非负整数,
∴a=﹣5或﹣6,﹣9,﹣14时,x的解都是非负整数,
则﹣5﹣6﹣9﹣14=﹣34.
故选:C.
6.若方程2(x﹣1)﹣6=0与关于x的方程=1的解互为相反数,则a的值为( )
A.﹣ B. C. D.﹣1
【分析】求出第一个方程的解,得出第二个方程的解是x=﹣4,再把x=﹣4代入第二个方程,即可求出答案.
【解答】解:解方程2(x﹣1)﹣6=0得:x=4,
∵方程2(x﹣1)﹣6=0与关于x的方程=1的解互为相反数,
∴方程=1的解是x=﹣4,
把x=﹣4代入方程=1得:=1,
解得:a=﹣,
故选:A.
7.已知关于y的方程=的解比关于x的方程3a﹣x=+3的解小3,求a的值.
【分析】先用a分别表示出两方程的解集,再根据关于y的方程=的解比关于x的方程3a﹣x=+3的解小3可列出关于a的方程,求出a的值即可.
【解答】解:解方程=得,y=5a,解方程3a﹣x=+3得,x=2a﹣2,
∵关于y的方程=的解比关于x的方程3a﹣x=+3的解小3,
∴5a+3=2a﹣2,
解得a=﹣.
8.若方程3(2x﹣1)=2+x的解与关于x的方程=2(x+3)的解互为相反数,则k的值是
【分析】解方程3(2x﹣1)=2+x得出x的值,根据方程的解互为相反数知另一方程的解,代入可得关于k的方程,解之可得.
【解答】解:解3(2x﹣1)=2+x,得x=1,
∵两方程的解互为相反数,
∴将x=﹣1代入=2(x+3)得=4,
解得k=﹣3.
故答案为:﹣3.
9.方程1﹣2(x+1)=0的解与关于x的方程的解互为倒数,求k的值.
【分析】首先解第一个方程求得x的值,然后根据倒数的定义求得第二个方程的解,然后代入第二个方程,得到一个关于k的方程,求解.
【解答】解:解方程1﹣2(x+1)=0得:x=﹣,
则关于x的方程的解是x=﹣2,
把x=﹣2代入方程得:﹣3k﹣2=﹣4,
解得:k=.
10.已知关于x的方程的解是正整数,求正整数a的值.
【分析】首先解关于x的方程求得x的值,根据x是正整数即可求得a的值.
【解答】解:去分母,得:ax+10=7x﹣3,
移项、合并同类项,得:(a﹣7)x=﹣13,
系数化成1得:x=﹣,
∵x是正整数,
∴a﹣7=﹣1或﹣13,
∴a=6或﹣6.
又∵a是正整数.
∴a=6.
【类型三:错解方程求方程的解】
11.小南在解关于x的一元一次方程时,由于粗心大意,去分母时出现漏乘错误,把原方程化为3x﹣m=2,并计算得解为x=1.则原方程正确的解为( )
A. B.x=1 C. D.
【分析】先根据题意求出m的值,然后代入原方程即可求出答案.
【解答】解:由题意可知:x=1是方程3x﹣m=2的解,
∴3﹣m=2,
∴m=1,
∴原方程为﹣1=,
∴x=,
故选:A.
12.在解关于y的方程=﹣1时,小明在去分母的过程中,右边的“﹣1”漏乘了公分母6,因而求得方程的解为y=4,则方程正确的解是( )
A.y=﹣1 B.y=﹣2 C.y=1 D.y=2
【分析】把y=4代入方程2(2y﹣1)=3(y+a)﹣1得出2×(8﹣1)=3(4+a)﹣1,求出方程的解是a=1,把a=1代入方程=﹣1得出=﹣1,再去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化成1即可.
【解答】解:∵在解关于y的方程=﹣1时,小明在去分母的过程中,右边的“﹣1”漏乘了公分母6,因而求得方程的解为y=4,
∴把y=4代入方程2(2y﹣1)=3(y+a)﹣1,得2×(8﹣1)=3(4+a)﹣1,
解得:a=1,
即方程为=﹣1,
2(2y﹣1)=3(y+1)﹣6,
4y﹣2=3y+3﹣6,
4y﹣3y=3﹣6+2,
y=﹣1,
故选:A.
13.聪聪在对方程①去分母时,错误的得到了方程2(x+3)﹣m x﹣1=3(5﹣x) ②,因而求得的解是x=,试求m的值,并求方程的正确解.
【分析】将x=代入方程②,整理即可求出m的值,将m的值代入方程①即可求出正确的解.
【解答】解:把x=代入方程②得:2(+3)﹣m﹣1=3(5﹣),解得:m=1,
把m=1代入方程①得:﹣=,
去分母得:2(x+3)﹣x+1=3(5﹣x),
去括号得:2x+6﹣x+1=15﹣3x,
移项合并得:4x=8,
解得:x=2,
则方程的正确解为x=2.
14.小明是七年级(2)班的学生,他在对方程=﹣1去分母时由于粗心,方程右边的﹣1没有乘6而得到错解x=4,你能由此判断出a的值吗?如果能,请求出方程正确的解.
【分析】先把错误的解法得到的x的值代入方程求出a的值,然后根据一元一次方程的解法,先去分母,再去括号,最后移项,合并同类项,从而得到方程的解.
【解答】解:∵方程右边的﹣1忘记乘6,求出的解为x=4,
∴2(2×4﹣1)=3(4+a)﹣1,
解得a=1,
则原方程为:=﹣1,
去分母,得
4x﹣2=3x+3﹣6,
移项、合并同类项,得
x=﹣1.
【类型四:定义新运算解方程】
15.设x,y为任意有理数,定义运算:x*y=(x+1)(y+1)﹣1,得到下列五个结论:①x*y=y*x;②x*y+z=x*y+x*z;③(x+1)*(x﹣1)=x*x﹣1;④x*0=0;⑤(x+1)*(x+1)=x*x+2*x+1.其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【分析】根据题中定义的运算,对各结论中新定义的运算进行计算,判断即可解答.
【解答】解:∵x*y=(x+1)(y+1)﹣1,
y*x=(y+1)(x+1)﹣1,
∴x*y=y*x,
故①正确;
∵x*y+z=(x+1)(y+1)﹣1+z=xy+x+y+z,
x*y+x*z=(x+1)(y+1)﹣1+(x+1)(z+1)﹣1=xy+x+y+xz+x+z=xy+xz+2x+y+z,
∴x*y+z≠x*y+x*z,
故②错误;
∵(x+1)*(x﹣1)=(x+1+1)(x﹣1+1)﹣1=(x+2)x﹣1=x2+2x﹣1.
x*x﹣1=(x+1)(x+1)﹣1﹣1=x2+2x﹣1.
∴(x+1)*(x﹣1)=x*x﹣1,
故③正确;
∵x*0=(x+1)(0+1)﹣1=x+1﹣1=x,
∴x*0≠0,
故④错误;
∵(x+1)*(x+1)=(x+1+1)(x+1+1)﹣1=(x+2)2﹣1=x2+4x+3,
x*x+2*x+1=(x+1)(x+1)﹣1+(2+1)(x+1)﹣1+1=(x+1)2+3(x+1)﹣1=x2+5x+3.
∴(x+1)*(x+1)≠x*x+2*x+1
故⑤错误.
综上所述,正确的个数为2.
故选:B.
16.定义运算a⊗b=a(1﹣b),下面给出了关于这种运算的四个结论:①2⊗(﹣2)=6;②a⊗b=b⊗a;③若2⊗a=0,则a=1;④a⊗1=0.其中正确结论有( )
A.①③④ B.①③ C.②③ D.①②④
【分析】根据新运算展开,再根据整式的运算法则和有理数的运算法则进行计算,最后判断即可.
【解答】解:①2⊗(﹣2)=2×[1﹣(﹣2)]=2×3=6,故①正确;
②a⊗b=a(1﹣b)=a﹣ab,b⊗a=b(1﹣a)=b﹣ab,
即当a≠b时a⊗b≠b⊗a,故②错误;
③若2⊗a=2(1﹣a)=0,
1﹣a=0,
a=1,故③正确;
④a⊗1=a(1﹣1)=0,故④正确,
即正确都有①③④,
故选:A.
17.在有理数范围内定义运算“☆”:a☆b=a+,如:1☆(﹣3)=1+=﹣1.如果2☆x=x☆(﹣1)成立,则x的值是( )
A.﹣1 B.5 C.0 D.2
【分析】已知等式利用题中的新定义化简,计算即可求出x的值.
【解答】解:根据题中的新定义化简2☆x=x☆(﹣1)得:2+=x﹣1,
去分母得:4+x﹣1=2x﹣2,
移项得:x﹣2x=﹣2﹣4+1,
合并得:﹣x=﹣5,
解得:x=5.
故选:B.
18.定义“※”运算为“a※b=ab+2a”,若(3※x)+(x※3)=14,则x等于( )
A.1 B.2 C.﹣1 D.﹣2
【分析】先根据新定义的运算法则a※b=ab+2a,将(3※x)+(x※3)=14化为关于x的一元一次方程,然后解方程即可.
【解答】解:∵a※b=ab+2a,
∴(3※x)+(x※3),
=3x+2×3+3x+2x,
=8x+6,
∴8x+6=14,
解得x=1.
故选:A.
19.定义一种新运算:a☆b=,例如:(﹣2)☆1=﹣2+2×1=0,3☆(﹣1)=3﹣2×(﹣1)=5.若(﹣2)☆b=16,则b的值是( )
A.9 B.﹣9 C.9或﹣9 D.无法确定
【分析】分类讨论b与﹣2的大小,利用题中的新定义化简已知等式,求出b的值即可.
【解答】解:当b≥﹣2时,化简(﹣2)☆b=16,得:﹣2+2b=16,
移项得:2b=16+2,
合并得:2b=18,
解得:b=9;
当b<﹣2时,化简(﹣2)☆b=16,得:﹣2﹣2b=16,
移项得:﹣2b=16+2,
合并得:﹣2b=18,
解得:b=﹣9,
综上,b的值为9或﹣9.
故选:C.
20.我们定义一种运算:=ad﹣b c例如,=2×5﹣3×4=﹣2,=3x﹣2,按照这种定义的运算,当=时,x=( )
A.﹣ B.﹣ C. D.
【分析】根据=ad﹣bc,可得﹣x﹣2=x+1,然后解方程即可.
【解答】解:因为=ad﹣bc,
所以=2(﹣1)﹣2x=x﹣2﹣2x=﹣x﹣2,
=1(x﹣1)﹣(﹣4)×=x﹣1+2=x+1,
所以﹣x﹣2=x+1,
﹣x﹣x=1+2,
﹣2x=3,
x=﹣.
故选:A.
一.选择题(共10小题)
1.一元一次方程8x=2x﹣6的解是( )
A.x=1 B.x=0 C.x=﹣2 D.x=﹣1
【分析】通过移项,即可求解.
【解答】解:8x=2x﹣6,
6x=﹣6,
x=﹣1.
故选:D.
2.解方程时,去分母结果正确的是( )
A.3(3x﹣1)=1﹣2(x+3) B.3(3x﹣1)=1﹣(x+3)
C.2(3x﹣1)=6﹣3(x+3) D.3(3x﹣1)=6﹣2(x+3)
【分析】根据等式的性质,把方程的等号的左右两边分别乘6,判断出去分母结果正确的是哪个即可.
【解答】解:解方程时,去分母结果正确的是:3(3x﹣1)=6﹣2(x+3).
故选:D.
3.下列变形中:
①由方程=2去分母,得x﹣12=10;
②由方程6x﹣4=x+4移项、合并得5x=0;
③由方程2﹣=两边同乘以6,得12﹣x+5=3x+3;
④由方程x=两边同除以,得x=1;
其中错误变形的有( )个.
A.0 B.1 C.2 D.3
【分析】根据等式的性质,逐项判断即可.
【解答】解:①由方程=2去分母,得x﹣12=10,不符合题意;
②由方程6x﹣4=x+4移项、合并得5x=8,符合题意;
③由方程2﹣=两边同乘以6,得12﹣x+5=3x+9,符合题意;
④由方程x=两边同除以,得x=;
其中错误变形的有3个:②、③、④.
故选:D.
4.若3x+1的值比2x﹣3的值小1,则x的值为( )
A.﹣5 B.﹣1 C.﹣3 D.
【分析】根据题意,可得:3x+1+1=2x﹣3,再移项、合并同类项,求出x的值即可.
【解答】解:∵3x+1的值比2x﹣3的值小1,
∴3x+1+1=2x﹣3,
移项,可得:3x﹣2x=﹣3﹣1﹣1,
合并同类项,可得:x=﹣5.
故选:A.
5.某同学解方程4x﹣3=□x+1时,把“□”处的系数看错了,解得x=4,他把“□”处的系数看成了( )
A.3 B.﹣3 C.4 D.﹣4
【分析】首先根据题意,设“□”处的系数是y,则4y+1=4×4﹣3,然后根据解一元一次方程的方法,求出他把“□”处的系数看成了多少即可.
【解答】解:设“□”处的系数是y,
则4y+1=4×4﹣3,
∴4y+1=13,
移项,可得:4y=13﹣1,
合并同类项,可得:4y=12,
系数化为1,可得:y=3.
故选:A.
6.若代数式3(2﹣x)与代数式x+2的值相等,则x的值为( )
A. B. C.﹣ D.
【分析】根据题意列出方程,求出方程的解即可得到x的值.
【解答】解:根据题意,得3(2﹣x)=x+2,
去括号,得6﹣3x=x+2,
移项、合并同类项,得﹣x=﹣4,
解得:x=,
则x的值为.
故选:A.
7.如果与互为相反数,那么a的值是( )
A.2 B.6 C.12 D.﹣6
【分析】利用相反数的性质列出方程,求出方程的解得到a的值,代入原式计算即可求出值.
【解答】解:根据题意得:a+1+=0,
去分母得:a+3+2a﹣9=0,
移项合并得:3a=6,
解得:a=2.
故选:A.
8.关于x的方程4x﹣2m=3x﹣1的解是x=2x﹣3m的解的2倍,则m的值为( )
A. B. C.﹣ D.﹣
【分析】分别表示出两个方程的解,根据解的关系列出方程,求出方程的解即可得到m的值.
【解答】解:方程4x﹣2m=3x﹣1,
解得:x=2m﹣1,
方程x=2x﹣3m,
解得:x=3m,
根据题意得:2m﹣1=6m,
解得:m=﹣.
故选:C.
9.对于两个不相等的有理数a,b,我们规定符号max{a,b}表示a,b两数中较大的数,例如max{2,4}=4,max{﹣2,﹣4}=﹣2.按照这个规定,那么方程max{x,5x}=2x+6的解为( )
A.x=2 B.x=3或x=﹣6 C.x=2或x=﹣6 D.x=3
【分析】对x>5x和x<5x两种情况进行分类计算.
【解答】解:当x>5x时可得,
x=2x+6,
解得x=﹣6,
∵5×(﹣6)=﹣30,且﹣6>﹣30,
∴x=﹣6是该方程的解;
当x<5x时,
5x=2x+6,
解得x=2,
∵5×2=10,且2<10,
∴x=2是该方程的解,
故选:C.
10.小军同学在解关于x的方程﹣1去分母时,方程右边的﹣1没有乘2,因而求得方程的解为3,则m的值和方程的正确解为( )
A.2,2 B.2,3 C.3,2 D.3,3
【分析】先根据题意求出m的值,再把m的值代入方程中进行解答即可.
【解答】解:由题意可得:
把x=3代入方程2x﹣1=x+m﹣1中,可得:
6﹣1=3+m﹣1,
解得:m=3,
把m=3代入原方程中得:
=﹣1,
2x﹣1=x+3﹣2,
解得:x=2,
故选:C.
二.填空题(共6小题)
11.当x= 时,2x﹣5与x+2.5互为相反数.
【分析】利用相反数的性质列出方程,求出方程的解即可.
【解答】解:根据题意得:2x﹣5+x+2.5=0,
去分母得:4x﹣10+x+5=0,
移项合并得:5x=5,
解得:x=1.
故答案为:1.
12.规定一种新的运算:a*b=2﹣a﹣b,求=1的解是 .
【分析】已知等式利用题中的新定义化简,计算即可求出解.
【解答】解:根据题中的新定义化简得:2﹣﹣=1,
去分母得:12﹣2(2x﹣1)﹣3(1+x)=6,
去括号得:12﹣4x+2﹣3﹣3x=6,
移项合并得:﹣7x=﹣5,
解得:x=.
故答案为:x=.
13.如图是一个“数值转换机”.若开始输入的值x为正整数,最后输出的结果为23,则满足条件的最小的x值为 .
【分析】根据计算程序代入解答即可.
【解答】解:由题意可知,
当输入x时,3x﹣1=23,
解得:x=8,
当3x﹣1=8时,
解得:x=3,
当3x﹣1=3时,
解得:x=.
∵输入的值x为正整数,
∴满足条件的最小的x值为3.
故答案为:3.
14.已知a,b,c,d为有理数,现规定一种新运算=ad﹣b c,如=1×(﹣5)-3×2=﹣11,那么当时,则x的值为 .
【分析】首先根据=ad﹣bc,由=22,可得:2×7﹣4(x+1)=22;然后根据解一元一次方程的方法,求出x的值即可.
【解答】解:∵=ad﹣bc,由=22,
∴2×7﹣4(x+1)=22,
去括号,可得:14﹣4x﹣4=22,
移项,可得:﹣4x=22﹣14+4,
合并同类项,可得:﹣4x=12,
系数化为1,可得:x=﹣3.
故答案为:﹣3.
15.已知关于x的方程的解为x=﹣10,则a的值为 ;嘉琪在解该方程去分母时等式右边的﹣1忘记乘6,则嘉琪解得方程的解为x= .
【分析】把x=﹣10代入方程即可得出a的值;根据题意结合解一元一次方程的步骤即可得出嘉琪解得方程的解.
【解答】解:把x=﹣10代入关于x的方程,得:
,
解得a=2;
故原方程为,
嘉琪的解题过程为:
2(2x﹣1)=3(x﹣2)﹣1,
4x﹣2=3x﹣6﹣1,
4x﹣3x=2﹣6﹣1,
x=﹣5.
故答案为:2;﹣5.
16.已知a,b为定值,关于x的方程=1﹣,无论k为何值,它的解总是x=2,则a+b= .
【分析】把x=2代入方程,得,可得(2+b)k+2a﹣4=0,再根据题意可得2+b=0,2a﹣4=0,进而可得a、b的值,从而可得答案.
【解答】解:把x=2代入方程,得,
2(2k+a)=6﹣(4+bk),
4k+2a=6﹣4﹣bk,
4k+bk+2a﹣2=0,
(4+b)k+2a﹣2=0,
∵无论k为何值,它的解总是1,
∴4+b=0,2a﹣2=0,
解得:b=﹣4,a=1.
则a+b=﹣3.
故答案为:﹣3.
三.解答题(共4小题)
17.解下列方程:
(1)4x﹣3(20﹣x)=3; (2);
(3)=1; (4)=x.
【分析】根据解一元一次方程的一般步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程即可.
【解答】解:(1)去括号得:4x﹣60+3x=3,
移项得:4x+3x=3+60,
合并同类项得:7x=63,
系数化为1得:x=9;
(2)去分母得:5(x﹣1)=20﹣2(x+2),
去括号得:5x﹣5=20﹣2x﹣4,
移项得:5x+2x=20﹣4+5,
合并同类项得:7x=21,
系数化为1得:x=3;
(3)去分母得:3(x+2)﹣2(2x﹣3)=12,
去括号得:3x+6﹣4x+6=12,
移项得:3x﹣4x=12﹣6﹣6,
合并同类项得:﹣x=0,
系数化为1得:x=0;
(4)原方程可化为﹣=x,
去分母得:3(3x﹣5)﹣2(12﹣5x)=6x,
去括号得:9x﹣15﹣24+10x=6x,
移项得:9x+10x﹣6x=15+24,
合并同类项得:13x=39,
系数化为1得:x=3.
18.用“★”定义一种新运算:对于任意有理数a和b,规定a★b=ab2+2ab+a.如:1★3=1×32+2×1×3+1=16.
(1)(﹣3)★2= .
(2)若(★3)★(﹣2)=16,求a的值.
【分析】(1)直接利用运算公式计算,进而得出答案;
(2)利用已知运算公式将原式变形,进而计算得出答案.
【解答】解:(1)(﹣3)★2=(﹣3)×22+2×(﹣3)×2﹣3=﹣27;
故答案为:﹣27;
(2)根据题意得:
★3=★32+2××
=+3a+
=8a,
∴(★3)★(﹣2)=8a★(﹣2)=8a×(﹣2)2+2×8a×(﹣2)+8a=16,
整理得8a=16,
解得:a=2.
19.用“※”定义一种新运算:规定a※b=ab2+2ab﹣b,如:1※3=1×32+2×1×3﹣3=12.
(1)若|m+1|+(n﹣4)2=0,求m※n的值;
(2)若(x﹣1)※3=12,求x的值.
【分析】(1)根据绝对值和偶次方的非负数性质可得m、n的值,再按规定的运算程序运算求值即可;
(2)根据新运算,先把方程转化为一元一次方程,再求x的值.
【解答】解:(1)∵|m+1|+(n﹣4)2=0,而|m+1|≥0,(n﹣4)2≥0,
∴m+1=0,n﹣4=0,
解得m=﹣1,n=4,
∴m※n=mn2+2mn﹣n=(﹣1)×42﹣2×(﹣1)×4﹣4=﹣16﹣8﹣4=﹣28;
(2)∵(x﹣1)※3=12,
∴(x﹣1)×32+2(x﹣1)×3﹣3=12,
去括号,可得:9x﹣9+6x﹣6﹣3=12,
移项,可得:9x+6x=12+9+6+3,
合并同类项,可得:15x=30,
系数化为1,可得:x=2.
20.定义一种新运算“※”,其规则为x※y=xy﹣x+y.例如6※5=6×5﹣6+5=29.再如:(2a)※3=(2a)×3﹣2a+3.
(1)计算5※6值为 .
(2)若(2m)※3=2※m,求m的值.
(3)有理数的加法和乘法运算都满足交换律,即a+b=b+a,ab=ba,“※”运算是否满足交换律?若满足,请说明理由;若不满足,请举例说明.
【分析】(1)原式利用题中的新定义计算即可求出值;
(2)已知等式利用题中的新定义化简,计算即可求出m的值;
(3)“※”不满足交换律,举例即可.
【解答】解:(1)根据题中的新定义得:
原式=5×6﹣5+6
=30﹣5+6
=31;
故答案为:31;
(2)根据题中的新定义化简得:
6m﹣2m+3=2m﹣2+m,
解得:m=﹣5;
(3)“※”运算不满足交换律,
例如:2※3=6﹣2+3=7,3※2=6﹣3+2=5,即2※3≠3※2.