初中数学北师大版八年级上册第二章 实数1 认识无理数课时训练

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2 .1 认识无理数课堂知识梳理无限不循环小数称为无理数。 有理数与无理数的主要区别：(1)无理数是无限不循环小数，而有理数可以用有限小数或无限循环小数表示．(2)任何一个有理数都可以化为分数形式，而无理数则不能．课后培优练级练培优第一阶——基础过关练1．下列说法正确的是（　　）A．带有根号的数是无理数 B．无限小数是无理数C．无理数是无限不循环小数 D．无理数是开方开不尽的数【答案】C【解析】【详解】A选项中，带有根号的数不一定是无理数，如是有理数，故此选项错误；B选项中，无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，其中只有无限不循环小数才是无理数，而无限循环小数是有理数，故此选项错误；C选项中，无理数是无限不循环小数的说法是正确的；D选项中，开方开不尽的数是无理数，但无理数不一定是开方产生的，无是无理数，但它不是开方产生的数，故选项错误．故选C．2．下列各数中：3.14159，，0.101001…，，，无理数个数为（       ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【分析】根据无理数、有理数的定义逐一分析判断即可．【详解】解： 是无理数，而是有理数，故选B【点睛】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π， ，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．3．下列各数中，无理数的是（　　）A． B． C．π D．【答案】C【解析】【详解】A选项中，是分数，属于有理数，故A错误；B选项中，是有理数，故B错误；C选项中，是无理数，故C正确；D选项中，是有理数，故D错误；故选C．4．在－2，，，3.14， ，，这6个数中，无理数共有(       )A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C【解析】【详解】解：－2，， 3.14， 是有理数；，是无理数；故选C．【点睛】本题考查了算术平方根，立方根，无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，无理数通常有以下三种形式，①开方开不尽的数，如 ， 等；②圆周率π；③构造的无限不循环小数，如 （0的个数一次多一个）．5．下列说法错误的是（       ）A．无限不循环小数是无理数B．面积为的正方形的边长是一个无理数C．是一个分数，所以也是有理数D．任何有限小数或无限循环小数都不是无理数【答案】C【解析】【分析】根据无理数的定义对以下选项进行一一分析、并作出判断．【详解】A. 无限不循环小数是无理数，符合定义，正确；B. 面积为的正方形的边长是，是一个无理数，正确；C. 是一个无限不循环小数，是无理数，错误；D. 任何有限小数或无限循环小数都不是无理数，是有理数，正确.故选C【点睛】考核知识点：无理数.理解无理数定义是关键.6．直角三角形的两条直角边长的平方分别为1和3，斜边的长为c，则c是（       ）A．有理数 B．无理数 C．分数 D．无限循环小数【答案】A【解析】【分析】利用勾股定理求出c，再根据实数定义分析.【详解】因为直角三角形的两条直角边长的平方分别为1和3，所以斜边的长为c=，是有理数.故选A【点睛】考核知识点：无理数和有理数.利用勾股定理解决问题是关键.7．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1.则网格上的中，边长为无理数的边数为（       ）A．1 B．2 C．3 D．0【答案】B【解析】【分析】根据题意找到AC、AB、BC所在的直角三角形，根据勾股定理即可求得．【详解】根据题意得：AC=， AB=，BC=，所以边长为无理数的边数有2个．故选B【点睛】此题考查了勾股定理的应用．要注意格点三角形的三边的求解方法：借助于直角三角形，用勾股定理求解．8．写出一个无理数，使这个无理数的绝对值小于4：____________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由于无理数就是无限不循环小数，只要找一个绝对值小于4的无理数即可求解．【详解】∵一个无理数，这个无理数的绝对值小于4，∴这个无理数可以是：．故答案是：（答案不唯一）．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，初中范围内学习的无理数有：含π的数；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，这样规律的数．9．下列各数中，， ， ，-，是有理数的有_______；是无理数的有_______．【答案】     、 、     、、-【解析】【分析】根据有理数和无理数的概念求解即可．有理数包括整数和分数，无理数是无限不循环小数．【详解】解：∵，∴有理数为：、 、；无理数为：、、-．故答案为：、 、；、、-．【点睛】此题考查了有理数和无理数的概念，解题的关键是熟练掌握有理数和无理数的概念．有理数包括整数和分数，无理数是无限不循环小数．10．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，则，，，三条线段中，长度最接近5的线段是______.【答案】【解析】【分析】根据题意找到AC、AB、AD所在的直角三角形，根据勾股定理即可求得．【详解】根据题意得：AC=， AB=，AD=，因为5= 所以长度最接近5的线段是AC．故答案为AC【点睛】此题考查了勾股定理的应用．要注意格点三角形的三边的求解方法：借助于直角三角形，用勾股定理求解．11．将下列六个数的序号填入相应的括号内．①，②7，③，④，⑤，⑥整数集合{                                     …}；分数集合{                                     …}；负有理数集合{                                     …}；无理数集合{                                     …}．【答案】②⑤；①③④；③④⑤；⑥【解析】【分析】根据有理数的分类，即可得出答案．【详解】解：∵整数包括正整数，0和负整数，∴整数有7，-15，∵分数包括循环小数，有限小数，∴分数有，-0.01，-3.2020020002，∵负有理数包括负整数和负小数，∴负有理数有-0.01，-3.2020020002，-15，∵无理数为无限不循环小数，∴无限不循环小数有，故答案为：②⑤；①③④；③④⑤；⑥．【点睛】本题考查实数的分类，解题的关键是掌握整数，分数，负有理数和无理数的定义．12．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．(1)在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是无理数；(2)在图2中，画一个三角形，使它的三边长分别为3，2，．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）借助格点，根据勾股定理构造直角三角形，从而得到三边为无理数的三角形；（2）借助格点，根据勾股定理构造三边长分别为3，2，的三角形(1)三边长分别为，如图所示，(2)三边长分别为3，2，如图所示，【点睛】本题考查利用勾股定理画图．掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，并能根据题中限制条件画图是解题关键．13．两个无理数相加、相减、相乘、相除，结果一定还是无理数吗？请举例说明．【答案】不一定，见解析【解析】【分析】根据无理数的特点,各举出一个反例即可．【详解】不一定，理由如下：无理数，无理数-，它们的和为：+（-）=0，是有理数；-=0，是有理数；×=2，是有理数；是有理数，∴两个无理数相加、相减、相乘、相除，结果不一定还是无理数，举例不唯一．【点睛】本题考查了无理数的加、减、乘、除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．14．500多年前，数学各学派的学者都认为世界上的数只有整数和分数，直到有一天，大数学家毕达哥拉斯的一个名叫希帕索斯的学生，在研究1和2的比例中项时（若1：x=x：2，那么x叫1和2的比例中项），他怎么也想不出这个比例中项值．后来，他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x，于是由毕达哥拉斯定理x2=12+12=2，他想x代表对角线的长，而x2=2，那么x必定是确定的数，这时他又为自己提出了几个问题：（1）x是整数吗？为什么不是？（2）x可能是分数吗？是，能找出来吗？不是，能说出理由吗？亲爱的同学，你能帮他解答这些问题吗？【答案】（1）在1和2之间不存在另外的整数．（2）不是.【解析】【详解】试题分析：（1）根据比例中项的定义，可知x2=2，结合无理数的概念，就能得出x是不是整数的结论．（2）根据分数的定义，任何分数的平方还是分数，即能得出结论．（1）不是，∵1<2<4，而x2=2∴10，1

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