北师大版八年级上册1 认识无理数学案设计

无理数与实数（提高）

【学习目标】

1. 了解无理数和实数的意义；

2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 .

【要点梳理】

要点一、有理数与无理数

有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数.

要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.

         （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.

要点二、实数

有理数和无理数统称为实数.有理数和无理数组成了一个新的数集——实数集，实数集通常用字母R表示.

1.实数的分类

按定义分：

    实数

按与0的大小关系分：

    实数

   2.实数与数轴上的点一一对应.

数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.

要点三、实数大小的比较

对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.

正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.

要点四、实数的运算

有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.

当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.

【典型例题】

类型一、实数概念 

1、把下列各数分别填入相应的集合内：

，，，，，，，，，，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）

【答案与解析】

解：有理数有：， ，，，0，

无理数有：，，， ，，， 0.3737737773……

【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数.

常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.3737737773……③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如，， ，，.

举一反三：

【变式】（2020春•聊城校级月考）已知下列结论：

①任何一个无理数都能用数轴上的点表示；

②每个实数都对应数轴上一个点；

③在数轴上的点只能表示无理数；

④有理数有无限个，无理数有有限个；

⑤无理数都是无限小数，不带根号的数不是无理数；

⑥﹣3是（﹣3）2的算术平方根．

其中正确的结论是（　　）

　 A．①② B． ①②⑥ C． ③④⑥ D． ②④⑤

【答案】A．

解：①∵任何一个无理数都能用数轴上的点表示，∴①正确；

②∵实数和数轴上的点一一对应，∴每个实数都对应数轴上一个点，∴②正确；

③∵在数轴上的点既能表示无理数，又能表示有理数，∴在数轴上的点只能表示无理数这种说法不正确，∴③不正确；

④根据有理数、无理数的含义，可得有理数有无限个，无理数有无限个，∴④不正确；

⑤无理数都是无限小数，但是不带根号的数可能是无理数，例如：3.1415926535…不带根号，但是它是无理数，∴⑤不正确；

⑥∵3是（﹣3）2的算术平方根，∴⑥不正确．

综上，可得①②．

故选：A．

类型二、实数大小的比较

2、比较与的大小．

【思路点拨】根据，，则来比较两个实数的大小．

【答案与解析】

解：因为，．

所以＜

【总结升华】实数的比较有多种方法，除了上述方法外，还有作差法、作商法、同分子法、倒数法等.

举一反三：

【变式】解：已知实数、、在数轴上的对应点如图所示，试化简：

．

【答案】由图知，，．

      ∴  ，，，．

      ∴ 

          ．

类型三、实数的运算

3、（2020•安徽模拟）在如图所示的数轴上，点C与点B关于点A对称，C、A两点对应的实数分别是和1，则点B对应的实数为　      　．

【思路点拨】根据中点的性质得到AC=AB，可得答案．

【答案与解析】

解：AC=﹣1，

AB=1﹣（﹣1）=2﹣，

点B对应的数是2﹣．

【总结升华】本题考查了实数与数轴，利用AB=AC得出AB=1﹣（﹣1）是解题关键．

举一反三：

【变式】若的两个平方根是方程的一组解．

   （1）求的值；

   （2）求的算术平方根．

【答案】

解：（1）∵  的平方根是的一组解，则设的平方根为，，

则根据题意得：解得

          ∴  为．

     （2）∵  ．

∴  的算术平方根为4．

类型四、实数的综合运用

4、已知，且，求的值．

【答案与解析】

解：∵  ，且，．

∴  ，即，．

解得  ＝3，＝5，得＝64．

∴  ．

【总结升华】本题考查非负性与立方、立方根的综合运用，由，可求、，又，所以＝64，则可求．

举一反三：

【变式】已知，求的值．

【答案】

解：知条件得，

由②得，，∵  ，∴  ，则．

把代入①得，＝1．

∴  ．