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专题03正比例函数与反比例函数（19个考点）【知识梳理 解题方法 专题过关】-八年级数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版）
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这是一份专题03正比例函数与反比例函数（19个考点）【知识梳理 解题方法 专题过关】-八年级数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版），文件包含专题03正比例函数与反比例函数19个考点知识梳理+解题方法+专题过关-2022-2023学年八年级数学上学期期中期末考点大串讲沪教版解析版docx、专题03正比例函数与反比例函数19个考点知识梳理+解题方法+专题过关-2022-2023学年八年级数学上学期期中期末考点大串讲沪教版原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共50页， 欢迎下载使用。
专题03正比例函数与反比例函数（19个考点）
【知识梳理+解题方法】
一．常量与变量
（1）变量和常量的定义：
在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．
（2）方法：
①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；
②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；
③不要认为字母就是变量，例如π是常量．
二．函数的概念
函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．
说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．
三．函数关系式
用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．
注意：
①函数解析式是等式．
②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数．
四．函数自变量的取值范围
自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
五．函数值
函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值．
注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程；
②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个．
六．函数的图象
函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．
七．正比例函数的定义
（1）正比例函数的定义：
一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数．
（2）正比例函数图象的性质
正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx．
当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．
（3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象．
八．反比例函数的定义
（1）反比例函数的概念
形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．
（2）反比例函数的判断
判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）．
九．反比例函数的图象
用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．
（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．
十．反比例函数图象的对称性
反比例函数图象的对称性：
反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点．
十一．反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
十二．反比例函数系数k的几何意义
比例系数k的几何意义
在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
十三．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
十四．待定系数法求反比例函数解析式
用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：
（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
（3）解方程，求出待定系数；
（4）写出解析式．
十五．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．
十六．反比例函数的应用
（1）利用反比例函数解决实际问题
①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
（2）跨学科的反比例函数应用题
要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．
（3）反比例函数中的图表信息题
正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．
十七．反比例函数综合题
（1）应用类综合题
能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．
（2）数形结合类综合题
利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．
【专题过关】
一．常量与变量（共1小题）
1．（2021秋•黄浦区期中）如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入的x值为4，则最后输出因变量y的值为 ．
二．函数的概念（共1小题）
2．（2021秋•徐汇区校级期末）下列图象中表示y是x的函数的有几个（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
三．函数关系式（共1小题）
3．（2019秋•黄浦区校级期中）A、B两地相距50千米，小张骑自行车从A地到B地，车速为13千米/小时，骑了t小时后，小张离B地s千米，那么s关于t的函数解析式是 ．
四．函数自变量的取值范围（共4小题）
4．（2021秋•松江区期末）函数y＝的定义域为 ．
5．（2021秋•金山区校级期中）函数的定义域是 ．
6．（2021秋•虹口区校级期末）函数的定义域是 ．
7．（2022•长宁区模拟）函数的定义域是 ．
五．函数值（共2小题）
8．（2021秋•普陀区期末）已知函数，那么f（2）＝ ．
9．（2021秋•徐汇区校级期末）已知函数f（x）＝，那么f（﹣2）＝ ．
六．函数的图象（共1小题）
10．（2021秋•徐汇区校级期末）某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油箱余油量为Q2吨，加油时间为t（分），Q1、Q2与t之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：
（1）加油之前，加油飞机的加油油箱中装载了 吨油；运输飞机的油箱有余油量 吨油；
（2）这些油全部加给运输飞机需 分钟；
（3）运输飞机的飞行油耗为每分钟 吨油；
（4）运输飞机加完油后，以原速继续飞行，如果每分钟油耗相同，最多能飞行 小时．
七．正比例函数的定义（共2小题）
11．（2020秋•浦东新区期末）如果函数y＝（m﹣）x是正比例函数，那么m＝ ．
12．（2021秋•宝山区校级期中）下列问题中，两个变量成正比例的是（ ）
A．圆的面积S与它的半径r
B．三角形面积一定时，某一边a和该边上的高h
C．正方形的周长C与它的边长a
D．周长不变的长方形的长a与宽b
八．正比例函数的性质（共2小题）
13．（2021秋•普陀区期末）函数的定义域是 ．
14．（2021秋•静安区校级期末）已知正比例函数y＝（m+1）x的图象经过第二、四象限，则m的值为 ．
九．待定系数法求正比例函数解析式（共2小题）
15．（2020秋•金山区期中）已知点A（2，﹣1）在正比例函数的图象上，则这个函数的解析式为 ．
16．（2019秋•嘉定区期中）已知y与x成正比例，且当x＝3时，y＝4．
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）当x＝﹣1时，求y的值．
一十．反比例函数的定义（共2小题）
17．（2021秋•杨浦区期中）已知y与2z成反比例，比例系数为k1，z与x成正比例，比例系数为k2，k1和k2是已知数，且k1•k2≠0，则y关于x成 比例．（填“正”或“反”）
18．（2020秋•静安区期末）已知y＝y1+y2，y1与（x﹣1）成反比例，y2与x成正比例，且当x＝2时，y1＝4，y＝2．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）求当x＝3时的函数值．
一十一．反比例函数的图象（共2小题）
19．（2020秋•奉贤区期末）已知正比例函数y＝kx和反比例函数y＝﹣在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A．（1）或（3） B．（1）或（4） C．（2）或（3） D．（3）或（4）．
20．（2020秋•宝山区校级期末）函数y＝﹣kx与y＝（k＜0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
一十二．反比例函数图象的对称性（共1小题）
21．（2021秋•浦东新区校级月考）已知函数y＝2x与的图象的一个交点坐标是（1，2），则它们的图象的另一个交点的坐标是 ．
一十三．反比例函数的性质（共3小题）
22．（2021秋•普陀区期末）如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（ ）
A．k＜2 B．k＜﹣2 C．k＞2 D．k＞﹣2
23．（2021秋•徐汇区校级期末）下列函数中，y的值随着x的值增大而减小的是（ ）
A．y＝ B．y＝﹣2x C．y＝﹣ D．y＝2x
24．（2021秋•松江区期末）反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 ．
一十四．反比例函数系数k的几何意义（共2小题）
25．（2021秋•虹口区校级期末）如图，已知双曲线（x＞0）经过矩形OABC的边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2．则k＝（ ）
A．2 B． C．1 D．4
26．（2021秋•浦东新区校级月考）如图，A，C是函数的图象上任意两点，过点A作y轴的垂线，垂足为B，过点C作y轴的垂线，垂足为D，记Rt△AOB的面积为S1，Rt△COD的面积为S2，则S1和S2的大小关系是（ ）
A．S1＞S2 B．S1＜S2
C．S1＝S2 D．由A，C两点的位置确定
一十五．反比例函数图象上点的坐标特征（共7小题）
27．（2021秋•崇明区校级期末）反比例函数y＝的图象在第二、四象限内，则点（m，﹣1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
28．（2021秋•浦东新区期末）在反比例函数y＝的图象上有三点A1（x1，y1）、A2（x2，y2）、A3（x3，y3），已知x1＜x2＜0＜x3，则下列各式中，正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
29．（2021秋•杨浦区校级期中）平面直角坐标系中，点A（，2）向左平移m个单位后恰好落在反比例函数y＝﹣的图象上，则m的值为 ．
30．（2020秋•浦东新区校级期末）反比例函数与在第一象限内的图象如图所示，过x轴上点A作y轴的平行线，与函数，的图象交点依次为P、Q两点．若PQ＝2，则PA＝ ．
31．在y＝（x＞0）中，图象上有两个点P（x1，y1），Q（x2，y2）．如果x1＞x2，y1＜y2，则函数图象在第 象限．
32．（2021秋•徐汇区期末）若M（﹣1，y1）、两点都在函数的图象上，且y1＜y2，则k的取值范围是 ．
33．（2021秋•徐汇区校级期末）l1是反比例函数y＝在第一象限内的图象，且过点A（2，5），l2与l1关于x轴对称，那么图象l2的函数解析式为 ．
一十六．待定系数法求反比例函数解析式（共3小题）
34．（2021秋•松江区期末）已知y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝3时，y＝4．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）当x＝﹣2时，求y的值．
35．（2021秋•浦东新区期末）已知y＝y1+y2，并且y1与x成正比例，y2与x﹣2成反比例．当x＝3时，y＝7；当x＝1时，y＝1，求：y关于x的函数解析式．
36．（2021秋•虹口区校级期末）已知函数y＝y1﹣y2，且y1为x的反比例函数，y2为x的正比例函数，且和x＝1时，y的值都是1．求y关于x的函数关系式．
一十七．反比例函数与一次函数的交点问题（共4小题）
37．（2021秋•徐汇区期末）如果正比例函数图象与反比例函数图象的一个交点的坐标为（3，﹣4），那么另一个交点的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣4） B．（3，4） C．（﹣3，4） D．（﹣4，3）
38．（2021秋•虹口区校级期末）正比例函数与反比例函数的一个交点为，当正比例函数的图象在反比例函数图象的上方时，则x的取值范围是 ．
39．（2021秋•虹口区校级期末）若正比例函数y＝（1+k）x与反比例函数的图象没有交点，则k取值范围是 ．
40．（2021秋•普陀区期末）已知：如图，在平面直角坐标系xOy内，反比例函数y＝图象与正比例函数y＝kx（k≠0）图象的公共点A在第一象限，点A到x轴的距离是2．
（1）求点A的坐标和正比例函数的解析式；
（2）点P在直线OA上，点B为x轴的正半轴上一点，且PO＝PB，过点P作PD⊥x轴，垂足为点D，线段PD交双曲线于点C，如果S△POB＝8，求点C的坐标．
一十八．反比例函数的应用（共3小题）
41．（2020秋•浦东新区校级期末）已知某种近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间的函数解析式为，如果测得该近视眼镜镜片的焦距为0.25米，那么该近视眼镜的度数为 度．
42．（2020秋•浦东新区校级期末）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为 ，自变量x的取值范围为 ；药物燃烧后，y关于x的函数关系式为 ．
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过 分钟后，员工才能回到办公室；
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
43．（2021秋•浦东新区校级月考）为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19min；完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要11min．
（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？
（2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y＝2x，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m，n）．当教室空气中的药物浓度不高于1mg/m3时，对人体健康无危害，校医依次对一班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明．
一十九．反比例函数综合题（共4小题）
44．（2021秋•松江区期末）如图，在直角坐标平面内，正比例函数y＝x的图象与一个反比例函数图象在第一象限内的交点为点A，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，AB＝3．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在直线AB上是否存在点C，使点C到直线OA的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）已知点P在直线AB上，如果△AOP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
45．（2021秋•浦东新区期末）如图，在平面直角坐标系内，双曲线y＝（k≠0）上有A，B两点，且与直线y＝ax（a＞0）交于第一象限内的点A，点A的坐标为（4，2），点B的坐标为（n，1），过点B作y轴的平行线，交x轴与点C，交直线y＝ax（a＞0）与点D，
（1）求：点D的坐标；
（2）求：△AOB的面积；
（3）在x轴正半轴上是否存在点P，使△OAP是以OA为腰的等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出P的坐标．
46．（2021秋•虹口区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△AOB是等边三角形．
（1）在y轴正半轴取一点E，使得△EOB是一个等腰直角三角形，EB与OA交于M，已知MB＝3，求MO．
（2）若等边△AOB的边长为6，点C在边OA上，点D在边AB上，且OC＝3BD．反比例函数y＝（k≠0）的图象恰好经过点C和点D，求反比例函数解析式．（此题无需写括号理由）
47．（2021秋•静安区期末）如图所示，在直角坐标系中，点A是反比例函数y1＝的图象上一点，AB⊥x轴的正半轴于B点，C是OB的中点；一次函数y2＝ax+b的图象经过A、C两点，并将y轴于点D（0，﹣2），若S△AOD＝4．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）观察图象，请指出在y轴的右侧，当y1＞y2时，x的取值范围．
专题03正比例函数与反比例函数（19个考点）
【知识梳理+解题方法】
一．常量与变量
（1）变量和常量的定义：
在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．
（2）方法：
①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；
②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；
③不要认为字母就是变量，例如π是常量．
二．函数的概念
函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．
说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．
三．函数关系式
用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．
注意：
①函数解析式是等式．
②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数．
四．函数自变量的取值范围
自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
五．函数值
函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值．
注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程；
②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个．
六．函数的图象
函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．
七．正比例函数的定义
（1）正比例函数的定义：
一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数．
（2）正比例函数图象的性质
正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx．
当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．
（3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象．
八．反比例函数的定义
（1）反比例函数的概念
形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．
（2）反比例函数的判断
判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）．
九．反比例函数的图象
用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．
（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．
十．反比例函数图象的对称性
反比例函数图象的对称性：
反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点．
十一．反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
十二．反比例函数系数k的几何意义
比例系数k的几何意义
在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
十三．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
十四．待定系数法求反比例函数解析式
用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：
（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
（3）解方程，求出待定系数；
（4）写出解析式．
十五．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．
十六．反比例函数的应用
（1）利用反比例函数解决实际问题
①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
（2）跨学科的反比例函数应用题
要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．
（3）反比例函数中的图表信息题
正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．
十七．反比例函数综合题
（1）应用类综合题
能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．
（2）数形结合类综合题
利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．
【专题过关】
一．常量与变量（共1小题）
1．（2021秋•黄浦区期中）如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入的x值为4，则最后输出因变量y的值为 ．
二．函数的概念（共1小题）
2．（2021秋•徐汇区校级期末）下列图象中表示y是x的函数的有几个（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
三．函数关系式（共1小题）
3．（2019秋•黄浦区校级期中）A、B两地相距50千米，小张骑自行车从A地到B地，车速为13千米/小时，骑了t小时后，小张离B地s千米，那么s关于t的函数解析式是 ．
四．函数自变量的取值范围（共4小题）
4．（2021秋•松江区期末）函数y＝的定义域为 ．
5．（2021秋•金山区校级期中）函数的定义域是 ．
6．（2021秋•虹口区校级期末）函数的定义域是 ．
7．（2022•长宁区模拟）函数的定义域是 ．
五．函数值（共2小题）
8．（2021秋•普陀区期末）已知函数，那么f（2）＝ ．
9．（2021秋•徐汇区校级期末）已知函数f（x）＝，那么f（﹣2）＝ ．
六．函数的图象（共1小题）
10．（2021秋•徐汇区校级期末）某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油箱余油量为Q2吨，加油时间为t（分），Q1、Q2与t之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：
（1）加油之前，加油飞机的加油油箱中装载了 吨油；运输飞机的油箱有余油量 吨油；
（2）这些油全部加给运输飞机需 分钟；
（3）运输飞机的飞行油耗为每分钟 吨油；
（4）运输飞机加完油后，以原速继续飞行，如果每分钟油耗相同，最多能飞行 小时．
七．正比例函数的定义（共2小题）
11．（2020秋•浦东新区期末）如果函数y＝（m﹣）x是正比例函数，那么m＝ ．
12．（2021秋•宝山区校级期中）下列问题中，两个变量成正比例的是（ ）
A．圆的面积S与它的半径r
B．三角形面积一定时，某一边a和该边上的高h
C．正方形的周长C与它的边长a
D．周长不变的长方形的长a与宽b
八．正比例函数的性质（共2小题）
13．（2021秋•普陀区期末）函数的定义域是 ．
14．（2021秋•静安区校级期末）已知正比例函数y＝（m+1）x的图象经过第二、四象限，则m的值为 ．
九．待定系数法求正比例函数解析式（共2小题）
15．（2020秋•金山区期中）已知点A（2，﹣1）在正比例函数的图象上，则这个函数的解析式为 ．
16．（2019秋•嘉定区期中）已知y与x成正比例，且当x＝3时，y＝4．
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）当x＝﹣1时，求y的值．
一十．反比例函数的定义（共2小题）
17．（2021秋•杨浦区期中）已知y与2z成反比例，比例系数为k1，z与x成正比例，比例系数为k2，k1和k2是已知数，且k1•k2≠0，则y关于x成 比例．（填“正”或“反”）
18．（2020秋•静安区期末）已知y＝y1+y2，y1与（x﹣1）成反比例，y2与x成正比例，且当x＝2时，y1＝4，y＝2．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）求当x＝3时的函数值．
一十一．反比例函数的图象（共2小题）
19．（2020秋•奉贤区期末）已知正比例函数y＝kx和反比例函数y＝﹣在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A．（1）或（3） B．（1）或（4） C．（2）或（3） D．（3）或（4）．
20．（2020秋•宝山区校级期末）函数y＝﹣kx与y＝（k＜0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
一十二．反比例函数图象的对称性（共1小题）
21．（2021秋•浦东新区校级月考）已知函数y＝2x与的图象的一个交点坐标是（1，2），则它们的图象的另一个交点的坐标是 ．
一十三．反比例函数的性质（共3小题）
22．（2021秋•普陀区期末）如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（ ）
A．k＜2 B．k＜﹣2 C．k＞2 D．k＞﹣2
23．（2021秋•徐汇区校级期末）下列函数中，y的值随着x的值增大而减小的是（ ）
A．y＝ B．y＝﹣2x C．y＝﹣ D．y＝2x
24．（2021秋•松江区期末）反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 ．
一十四．反比例函数系数k的几何意义（共2小题）
25．（2021秋•虹口区校级期末）如图，已知双曲线（x＞0）经过矩形OABC的边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2．则k＝（ ）
A．2 B． C．1 D．4
26．（2021秋•浦东新区校级月考）如图，A，C是函数的图象上任意两点，过点A作y轴的垂线，垂足为B，过点C作y轴的垂线，垂足为D，记Rt△AOB的面积为S1，Rt△COD的面积为S2，则S1和S2的大小关系是（ ）
A．S1＞S2 B．S1＜S2
C．S1＝S2 D．由A，C两点的位置确定
一十五．反比例函数图象上点的坐标特征（共7小题）
27．（2021秋•崇明区校级期末）反比例函数y＝的图象在第二、四象限内，则点（m，﹣1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
28．（2021秋•浦东新区期末）在反比例函数y＝的图象上有三点A1（x1，y1）、A2（x2，y2）、A3（x3，y3），已知x1＜x2＜0＜x3，则下列各式中，正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
29．（2021秋•杨浦区校级期中）平面直角坐标系中，点A（，2）向左平移m个单位后恰好落在反比例函数y＝﹣的图象上，则m的值为 ．
30．（2020秋•浦东新区校级期末）反比例函数与在第一象限内的图象如图所示，过x轴上点A作y轴的平行线，与函数，的图象交点依次为P、Q两点．若PQ＝2，则PA＝ ．
31．在y＝（x＞0）中，图象上有两个点P（x1，y1），Q（x2，y2）．如果x1＞x2，y1＜y2，则函数图象在第 象限．
32．（2021秋•徐汇区期末）若M（﹣1，y1）、两点都在函数的图象上，且y1＜y2，则k的取值范围是 ．
33．（2021秋•徐汇区校级期末）l1是反比例函数y＝在第一象限内的图象，且过点A（2，5），l2与l1关于x轴对称，那么图象l2的函数解析式为 ．
一十六．待定系数法求反比例函数解析式（共3小题）
34．（2021秋•松江区期末）已知y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝3时，y＝4．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）当x＝﹣2时，求y的值．
35．（2021秋•浦东新区期末）已知y＝y1+y2，并且y1与x成正比例，y2与x﹣2成反比例．当x＝3时，y＝7；当x＝1时，y＝1，求：y关于x的函数解析式．
36．（2021秋•虹口区校级期末）已知函数y＝y1﹣y2，且y1为x的反比例函数，y2为x的正比例函数，且和x＝1时，y的值都是1．求y关于x的函数关系式．
一十七．反比例函数与一次函数的交点问题（共4小题）
37．（2021秋•徐汇区期末）如果正比例函数图象与反比例函数图象的一个交点的坐标为（3，﹣4），那么另一个交点的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣4） B．（3，4） C．（﹣3，4） D．（﹣4，3）
38．（2021秋•虹口区校级期末）正比例函数与反比例函数的一个交点为，当正比例函数的图象在反比例函数图象的上方时，则x的取值范围是 ．
39．（2021秋•虹口区校级期末）若正比例函数y＝（1+k）x与反比例函数的图象没有交点，则k取值范围是 ．
40．（2021秋•普陀区期末）已知：如图，在平面直角坐标系xOy内，反比例函数y＝图象与正比例函数y＝kx（k≠0）图象的公共点A在第一象限，点A到x轴的距离是2．
（1）求点A的坐标和正比例函数的解析式；
（2）点P在直线OA上，点B为x轴的正半轴上一点，且PO＝PB，过点P作PD⊥x轴，垂足为点D，线段PD交双曲线于点C，如果S△POB＝8，求点C的坐标．
一十八．反比例函数的应用（共3小题）
41．（2020秋•浦东新区校级期末）已知某种近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间的函数解析式为，如果测得该近视眼镜镜片的焦距为0.25米，那么该近视眼镜的度数为 度．
42．（2020秋•浦东新区校级期末）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为 ，自变量x的取值范围为 ；药物燃烧后，y关于x的函数关系式为 ．
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过 分钟后，员工才能回到办公室；
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
43．（2021秋•浦东新区校级月考）为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19min；完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要11min．
（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？
（2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y＝2x，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m，n）．当教室空气中的药物浓度不高于1mg/m3时，对人体健康无危害，校医依次对一班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明．
一十九．反比例函数综合题（共4小题）
44．（2021秋•松江区期末）如图，在直角坐标平面内，正比例函数y＝x的图象与一个反比例函数图象在第一象限内的交点为点A，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，AB＝3．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在直线AB上是否存在点C，使点C到直线OA的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）已知点P在直线AB上，如果△AOP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
45．（2021秋•浦东新区期末）如图，在平面直角坐标系内，双曲线y＝（k≠0）上有A，B两点，且与直线y＝ax（a＞0）交于第一象限内的点A，点A的坐标为（4，2），点B的坐标为（n，1），过点B作y轴的平行线，交x轴与点C，交直线y＝ax（a＞0）与点D，
（1）求：点D的坐标；
（2）求：△AOB的面积；
（3）在x轴正半轴上是否存在点P，使△OAP是以OA为腰的等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出P的坐标．
46．（2021秋•虹口区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△AOB是等边三角形．
（1）在y轴正半轴取一点E，使得△EOB是一个等腰直角三角形，EB与OA交于M，已知MB＝3，求MO．
（2）若等边△AOB的边长为6，点C在边OA上，点D在边AB上，且OC＝3BD．反比例函数y＝（k≠0）的图象恰好经过点C和点D，求反比例函数解析式．（此题无需写括号理由）
47．（2021秋•静安区期末）如图所示，在直角坐标系中，点A是反比例函数y1＝的图象上一点，AB⊥x轴的正半轴于B点，C是OB的中点；一次函数y2＝ax+b的图象经过A、C两点，并将y轴于点D（0，﹣2），若S△AOD＝4．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）观察图象，请指出在y轴的右侧，当y1＞y2时，x的取值范围．
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