专题01二次根式（11个考点）【知识梳理 解题方法 专题过关】-八年级数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版）

专题01二次根式（11个考点）

【知识梳理+解题方法】

一．二次根式的定义

二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．

①“”称为二次根号

②a（a≥0）是一个非负数；

学习要求：

理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．

二．二次根式有意义的条件

判断二次根式有意义的条件：

（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．

（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．

（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．

学习要求：

能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．

【规律方法】二次根式有无意义的条件

1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．

2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．

三．二次根式的性质与化简

（1）二次根式的基本性质：

①≥0； a≥0（双重非负性）．

②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．

③＝|a|＝（算术平方根的意义）

（2）二次根式的化简：

①利用二次根式的基本性质进行化简；

②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．

＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）

（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．

【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法

1．常见题型：与分式的化简求值相结合．

2．解题方法：

（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．

（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．

（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．

四．最简二次根式

最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．

如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；

含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．

五．二次根式的乘除法

（1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0）

（2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0）

（3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0）

（4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0）

规律方法总结：

在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．

六．分母有理化

（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．

分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．

例如：①＝＝；②＝＝．

（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．

一个二次根式的有理化因式不止一个．

例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数．

七．同类二次根式

同类二次根式的定义：

　　一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．

合并同类二次根式的方法：

只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．

【知识拓展】同类二次根式

把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．

（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．

（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．

（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．

八．二次根式的加减法

（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．

（2）步骤：

①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．

②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．

③合并被开方数相同的二次根式．

（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：

二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．

九．二次根式的混合运算

（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：

①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．

②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．

（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．

（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

十．二次根式的化简求值

二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．

二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．

十一．二次根式的应用

把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．

二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．

【专题过关】

一．二次根式的定义（共2小题）

1．（2021秋•普陀区期中）若是二次根式，那么x的取值范围是 　   　．

2．（2021秋•宝山区校级月考）当x＝　   　时，二次根式有最小值，最小值为 　   　．

二．二次根式有意义的条件（共1小题）

3．（2021秋•徐汇区校级期末）若二次根式在实数范围内有意义，那么x的取值范围是 　   　．

三．二次根式的性质与化简（共6小题）

4．（2021秋•松江区期末）化简：＝　   　．

5．（2021秋•浦东新区期末）计算：＝　   　．

6．（2021秋•静安区校级期末）计算：＝　   　．

7．（2021秋•崇明区校级期末）当a＜﹣2时，化简＝　   　．

8．（2021秋•松江区期末）当1≤a≤2化简：+|a﹣2|＝　   　．

9．（2021秋•虹口区校级期末）将根号外的因式移到根号内：　   　．

四．最简二次根式（共2小题）

10．（2021秋•崇明区校级期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

11．（2021秋•徐汇区校级期末）下列根式中是最简二次根式的是（　　）

A． B． 

C． D．

五．二次根式的乘除法（共1小题）

12．（2021秋•徐汇区校级期末）化简：+（）2＝　   　．

六．分母有理化（共3小题）

13．（2021秋•静安区校级期末）的一个有理化因式是（　　）

A． B． C．+ D．﹣

14．（2021秋•崇明区校级期末）二次根式a+的有理化因式可以是 　   　．

15．（2021秋•松江区期末）不等式的解集是　   　．

七．同类二次根式（共2小题）

16．（2021秋•普陀区期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

17．（2021秋•静安区校级期末）下列各式中与是同类二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

八．二次根式的加减法（共1小题）

18．（2021秋•南岗区校级期末）计算：+＝　   　．

九．二次根式的混合运算（共7小题）

19．（2021秋•徐汇区校级期末）分母有理化＝　   　．

20．（2021秋•松江区期末）计算：．

21．（2021秋•徐汇区期末）计算：．

22．（2021秋•徐汇区校级期末）计算：4+﹣•（﹣2）．

23．（2021秋•崇明区校级期末）计算：．

24．（2021秋•普陀区期末）计算：．

25．（2021秋•浦东新区期末）计算：．

一十．二次根式的化简求值（共7小题）

26．（2021秋•金山区校级期中）已知x＝2﹣，那么（x﹣2）2﹣x的值为 　   　．

27．（2020秋•静安区期末）已知：a＝﹣1+，b＝﹣1﹣．

求：（1）a+b和ab的值；

（2）a2+2a﹣1的值．

28．（2021秋•奉贤区校级期中）先化简，再求值：如果a＝2+，b＝，求的值．

29．（2021秋•宝山区校级月考）已知x＝3﹣2y，则3÷＝　   　．

30．（2021秋•普陀区校级月考）已知a+b＝﹣8，ab＝1，则值为 　   　．

31．（2021秋•金山区校级期中）已知，求的值．

32．（2021秋•金山区校级期中）化简并求值：，其中x＝．

一十一．二次根式的应用（共4小题）

33．（2021秋•徐汇区校级月考）不等式：x﹣＜x+的解集是 　   　．

34．（2021秋•宝山区校级月考）三角形的周长为（5+2）cm，面积为（20+4）cm2，已知两边的长分别为cm和cm，求：（1）第三边的长；

（2）第三边上的高．

35．（2021秋•浦东新区校级期中）解关于x的不等式：2x＞x+4．

36．（2021秋•浦东新区校级月考）解方程：3（x﹣2）＝2（x+）．