【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一第2练 两条直线的平行与垂直【讲义+习题】

第2练　两条直线的平行与垂直一、选择题1．已知三角形的三个顶点A(4,3)，B(－1,2)，C(1，－3)，则△ABC的高CD所在的直线方程是(　　)A．5x＋y－2＝0   B．x－5y－16＝0C．5x－y－8＝0   D．x＋5y＋14＝0答案　A解析　由斜率公式可得kAB＝＝，因为CD⊥AB，所以kCD＝－5，所以直线CD的方程为y＋3＝－5(x－1)，即5x＋y－2＝0.2．“a＝－1”是“直线x＋ay＋6＝0和直线(a－2)x＋3y＋2a＝0平行”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案　C解析　直线x＋ay＋6＝0和(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，由a(a－2)－3＝0，解得a＝3或a＝－1，又因为当a＝3时，两直线重合，故舍去，所以“a＝－1”是“直线x＋ay＋6＝0和(a－2)x＋3y＋2a＝0平行”的充要条件．3．若点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称，则l的方程为(　　)A．x－y＋1＝0   B．x＋y－1＝0C．2x－2y＋1＝0   D．2x＋y－2＝0答案　A解析　∵点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称，∴直线l为线段AB的中垂线，又AB的中点为，AB的斜率为＝－1，∴直线l的斜率为1，即直线l的方程为y－＝x－，化简可得x－y＋1＝0.4．已知a，b均为正实数，且直线ax＋by－6＝0与直线(b－3)x－2y＋5＝0互相垂直，则2a＋3b的最小值为(　　)A．12  B．13  C．24  D．25答案　D解析　由两直线互相垂直可得a(b－3)－2b＝0，即2b＋3a＝ab，则＋＝1.又a，b为正实数，所以2a＋3b＝(2a＋3b)·＝13＋＋≥13＋2·＝25，当且仅当a＝b时取等号，故2a＋3b的最小值为25.5．(多选)已知直线l1：(a＋1)x＋ay＋2＝0，l2：ax＋(1－a)y－1＝0，则(　　)A．l1恒过点(2，－2)B．若l1∥l2，则a2＝C．若l1⊥l2，则a2＝1D．当0≤a≤1时，l2不经过第三象限答案　BD解析　(a＋1)x＋ay＋2＝0可化为a(x＋y)＋x＋2＝0，由得所以l1恒过点(－2,2)，故A错误；若l1∥l2，则(a＋1)(1－a)－a×a＝0，得a2＝，故B正确；若l1⊥l2，则(a＋1)×a＋a×(1－a)＝0，得a＝0，故C错误；当0<a<1时，l2：ax＋(1－a)y－1＝0的斜率为负，在y轴截距为正，不会过第三象限，当a＝0时，l2：y－1＝0，不过第三象限，当a＝1时，l2：x－1＝0，不过第三象限，故当0≤a≤1时，l2不经过第三象限，故D正确．二、填空题6．已知点A(－4,4)，点B(6,6)，则线段AB的垂直平分线的方程为____________________．答案　5x＋y－10＝0解析　设AB的中点M的坐标为(x，y)，则x＝＝1，y＝＝5，所以M(1,5)，因为直线AB的斜率为＝，所以线段AB的垂直平分线的斜率k＝－5，则线段AB的垂直平分线的方程为y－5＝－5(x－1)，化简得5x＋y－10＝0.7．在直角梯形ABCD中，已知点A(－5，－10)，B(15,0)，C(5,10)，AD是腰且垂直于两底边，则顶点D的坐标为________．答案　(－11,2)解析　设点D(x，y)，由条件可知，DC∥AB，DA⊥AB，所以＝，×＝－1，解得x＝－11，y＝2.故顶点D的坐标为(－11,2)．8．已知直线l1：ax＋4y－2＝0与直线l2：2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为________．答案　－4解析　因为直线l1与直线l2互相垂直，所以2a＋4×(－5)＝0，解得a＝10，所以l1：10x＋4y－2＝0，因为垂足(1，c)在l1上，所以10＋4c－2＝0，解得c＝－2，再由垂足(1，－2)在l2上可得2＋10＋b＝0，解得b＝－12，所以a＋b＋c＝10－12－2＝－4.9．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心和垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高所在直线的交点)依次位于同一条直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点B(－1,2)，C(3,4)，且AB＝AC，则△ABC的欧拉线方程为________________．答案　2x＋y－5＝0解析　△ABC的顶点B(－1,2)，C(3,4)，∴线段BC的中点为M(1,3)，kBC＝＝，∴线段BC的垂直平分线方程为y－3＝－2(x－1)，即2x＋y－5＝0.∵AB＝AC，∴△ABC的外心、重心、垂心都位于线段BC的垂直平分线上，因此△ABC的欧拉线方程为2x＋y－5＝0.三、解答题10.如图，已知△ABC的顶点分别为A(2,4)，B(0，－2)，C(－2,3)，求：(1)直线AB的方程；(2)AB边上的高所在直线的方程；(3)与AB边平行的中位线所在直线的方程．解　(1)∵kAB＝＝3，∴直线AB的方程为y＝3x－2，即3x－y－2＝0.(2)由(1)可设AB边上的高所在直线的方程为y＝－x＋m，由该直线过点C(－2,3)，得3＝＋m，解得m＝，故所求直线的方程为y＝－x＋，即x＋3y－7＝0.(3)AB边的中位线与AB平行且过AC的中点，∴AB边的中位线所在直线的方程为y＝3x＋，即6x－2y＋7＝0.