(新高考)高考数学二轮复习讲义11《圆锥曲线的方程与性质》(解析版)

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11 圆锥曲线的方程与性质核心考点读高考设问知考法命题解读圆锥曲线的定义及标准方程【2020新课标1理4】已知为抛物线：上一点，点到的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则(    )1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的第一问的形式命题.2.直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化、化归与分类讨论思想方法的考查.【2020新课标1文11】设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为(    )【2019新课标1理10文12】已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为(    )【2020新课标3理11】设双曲线：的左、右焦点分别为，，离心率为，是上一点，且．若的面积为，则(    )【2019新课标3文理15】设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为________.圆锥曲线的几何性质【2020新课标3文14】设双曲线：的一条渐近线为，则的离心率为_________．【2020新课标1理15】已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为_______．【2019新课标1理16】已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为________．【2016新课标3文12理11】已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别为的左右顶点，为上一点，且轴．过点的直线与线段交于点，与轴交于点，若直线经过的中点，则的离心率为（ ）直线与圆锥曲线的综合问题【2013新课标1理10】已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为(    )【2020新高考全国13】斜率为的直线过抛物线：的焦点，且与交于，两点，则=_______．【2019新课标1理19】已知抛物线C：的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若，求l的方程；（2）若，求．【2020新高考全国Ⅱ卷21】已知椭圆：过点，点为其左顶点，且的斜率为 ，（1）求的方程；（2）点为椭圆上任意一点，求的面积的最大值．(2020·天津卷)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(0，－3)，右焦点为F，且|OA|＝|OF|，其中O为原点.(1)求椭圆的方程；(2)已知点C满足3＝，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点，求直线AB的方程. 核心考点一  圆锥曲线的定义及标准方程1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)；(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)；(3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离).温馨提醒　应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误.2.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：＋＝1(a＞b＞0)(焦点在x轴上)或＋＝1(a＞b＞0)(焦点在y轴上)；(2)双曲线：－＝1(a＞0，b＞0)(焦点在x轴上)或－＝1(a＞0，b＞0)(焦点在y轴上)；(3)抛物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p＞0).1．【2020新课标1理4】已知为抛物线：上一点，点到的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则（    ）A．2 B．3 C．6 D．9【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得．故选C．2.【2020新课标1文11】设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（    ）A． B．3 C． D．2【解析】方法1：不妨设，则，因为，所以点在以为直径的圆上，即是以P为直角顶点的直角三角形，故，又，所以，解得，所以，故选B．方法2：点的轨迹方程为，联立，解得（得到点的纵坐标），所以，故选B．方法3：由二级结论焦点三角形的面积为，故选B．3.【2019新课标1理10文12】已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为(    )A． B． C． D．【解法1】可以运用下面方法求解：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B．【解法2】如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．所求椭圆方程为，故选B．【解法3】由利用向量或相似三角形的性质得点，代入椭圆方程得，所以，，故选B．【解法4】由椭圆的极坐标方程得得，再利用余弦定理得出关于的方程．4．【2020新课标2理19】已知椭圆：的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合．过且与轴垂直的直线交于两点，交于两点，且．（1）求的离心率；（2）设是与的公共点，若，求与的标准方程．【解析】（1），轴且与椭圆相交于、两点，则直线的方程为，联立，解得，则，抛物线的方程为，联立，解得，，，即，，即，即，，解得，因此椭圆的离心率为；（2）由（1）知，，椭圆的方程为，联立，消去并整理得，解得或（舍去），由抛物线的定义可得，解得．因此，曲线的标准方程为，曲线的标准方程为．1．【2020新课标3文7理5】设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（    ）A． B． C． D．【解析】因为与抛物线交于两点，且，根据抛物线的对称性可以确定，所以，代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，故选B．2.【2020新课标3理11】设双曲线：的左、右焦点分别为，，离心率为，是上一点，且．若的面积为，则（    ）A．1 B．2 C．4 D．8【解析】方法1：，，根据双曲线的定义可得，，即，，，，即，解得，故选A．方法2：的面积为，离心率，所以，故选A．3．【2019新课标3文理15】设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为___________.【解析】由已知可得，．∴．设点的坐标为，则，又，解得，，解得（舍去），的坐标为．核心考点二  圆锥曲线的几何性质圆锥曲线的重要性质：(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系①在椭圆中：a2＝b2＋c2；离心率为e＝＝.②在双曲线中：c2＝a2＋b2；离心率为e＝＝.(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标①双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x；焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0).②双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标F1(0，－c)，F2(0，c).(3)抛物线的焦点坐标与准线方程①抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，准线方程x＝－.②抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F，准线方程y＝－.1．【2020新课标1理15】已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为_______．【解析】联立，解得，所以．依题可得，，即，变形得，因此的离心率为．故答案为．2．【2016新课标3文12理11】已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别为的左右顶点，为上一点，且轴．过点的直线与线段交于点，与轴交于点，若直线经过的中点，则的离心率为（   ）（A）       （B）         （C）        （D）【解析】解法1：由题意设直线的方程为，分别令与得，，由，得，即，整理得，所以椭圆离心率为，故选A。解法2：设，则直线的方程为，由题意可知， 和三点共线，则，化简得，则的离心率．故选A．3.(多选题)已知椭圆Ω：＋＝1(a>b>0)，则下列结论正确的是(　　)A.若a＝2b，则椭圆Ω的离心率为B.若椭圆Ω的离心率为，则＝C.若点F1，F2分别为椭圆Ω的左、右焦点，直线l过点F1且与椭圆Ω交于A，B两点，则△ABF2的周长为4aD.若点A1，A2分别为椭圆Ω的左、右顶点，点P为椭圆Ω上异于点A1，A2的任意一点，则直线PA1，PA2的斜率之积为－【解析】若a＝2b，则c＝b，所以e＝，A不正确；若e＝，则a＝2c，b＝c，所以＝，B正确；根据椭圆的定义易知C正确；设点P(x0，y0)，则＋＝1，易知A1(－a，0)，A2(a，0)，所以直线PA1，PA2的斜率之积是·＝＝＝－，D正确.故选BCD.1．【2020新课标3文14】设双曲线：的一条渐近线为，则的离心率为_________．【解析】由双曲线方程可得其焦点在轴上，因为其一条渐近线为，所以，．故答案为．2.【2019新课标1理16】已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．【解析】如图，由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有，又OA与OB都是渐近线，得又，得．又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为．3.(多选题)双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是(　　)A.双曲线C的离心率为B.双曲线－＝1与双曲线C的渐近线相同C.若PO⊥PF，则△PFO的面积为D.|PF|的最小值为2【解析】对于A，因为a＝2，b＝，所以c＝＝，所以双曲线C的离心率为，所以A正确；对于B，它们的渐近线都是直线y＝±x，所以B正确；对于C，结合PO⊥PF，点P在双曲线C的一条渐近线上，不妨设点P在渐近线y＝x上，则直线PF的方程为y－0＝－(x－)，即y＝－(x－)，由解得所以点P，所以△PFO的面积S＝××＝，所以C正确；对于D，因为点F(，0)，双曲线C的一条渐近线为直线y＝x，所以|PF|的最小值就是点F到渐近线的距离，为，所以D错误.故选ABC.核心考点三  直线与圆锥曲线综合问题1.直线与圆锥曲线相交的弦：设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入.即当斜率为k，直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝|x1－x2|＝＝.2.过抛物线焦点的弦：抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.1．【2020新高考全国13】斜率为的直线过抛物线：的焦点，且与交于，两点，则=_______．【解析】，代入抛物线方程得，，故答案为．2．【2019新课标1理19】已知抛物线C：的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若，求l的方程；（2）若，求．【解析】（1）设直线方程为：，，由抛物线焦半径公式可知：    联立，得则    ，解得直线的方程为：，即（2）设直线方程为：，联立，得，则    ，        ，    则3．【2020新高考全国Ⅱ卷21】已知椭圆：过点，点为其左顶点，且的斜率为 ，（1）求的方程；（2）点为椭圆上任意一点，求的面积的最大值．【解析】(1)由题意可知直线AM的方程为：，即．当时，解得，所以，椭圆过点，可得，解得.所以的方程为：.(2)设与直线平行的直线方程为：，如图所示，当直线与椭圆相切时，与距离比较远的直线与椭圆的切点为，此时的面积取得最大值.联立直线方程与椭圆方程，可得，即，所以，即，解得，与AM距离比较远的直线方程：，直线AM方程为：，点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，即，由两点之间距离公式可得.所以△AMN的面积的最大值为：.1．【2013新课标1理10】已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（   ）A、   　　B、   　C、   　　D、【解析】设，则，=－2，   ①                 ②由①减②得：，∴===，又==，∴=，又9==，解得=9，=18，∴椭圆方程为，故选D．2．【2010新课标理20】设分别是椭圆的左、右焦点，过斜率为1的直线与相交于两点，且成等差数列，（1）求的离心率；  （2） 设点满足，求椭圆的方程．【解析】（I）由椭圆定义知，又，得的方程为，其中．设，，则A、B两点坐标满足方程组化简的则因为直线AB斜率为1，所以得故所以E的离心率（II）设AB的中点为，由（I）知，．由，得，即得，从而故椭圆E的方程为．3.【2020天津卷】已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(0，－3)，右焦点为F，且|OA|＝|OF|，其中O为原点.(1)求椭圆的方程；(2)已知点C满足3＝，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点，求直线AB的方程.【解析】(1)由已知得b＝3.记半焦距为c，由|OF|＝|OA|，得c＝b＝3.由a2＝b2＋c2，得a2＝18.所以椭圆的方程为＋＝1.(2)因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，所以AB⊥CP.依题意，直线AB和直线CP的斜率均存在，设直线AB的方程为y＝kx－3.联立消去y，可得(2k2＋1)x2－12kx＝0，解得x＝0或x＝.依题意，可得点B的坐标为.因为P为线段AB的中点，点A的坐标为(0，－3)，所以点P的坐标为.由3＝，得点C的坐标为(1，0)，故直线CP的斜率kCP＝＝.又因为AB⊥CP，所以k·＝－1，整理得2k2－3k＋1＝0，解得k＝或k＝1.所以，直线AB的方程为y＝x－3或y＝x－3.即直线AB的方程为x－2y－6＝0或x－y－3＝0.