(新高考)高考数学二轮复习分层练习11《圆锥曲线的方程与性质》（解析版）

这是一份(新高考)高考数学二轮复习分层练习11《圆锥曲线的方程与性质》（解析版），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
解密11 圆锥曲线的方程与性质A组 考点专练一、选择题1.【2020北京卷】设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q.则线段FQ的垂直平分线(　　)A.经过点O    B.经过点PC.平行于直线OP    D.垂直于直线OP【答案】B【解析】如图所示，连接PF，则|PF|＝|PQ|，∴QF的垂直平分线过点P.故选B.2.(多选题)【2020新高考全国卷】已知曲线C：mx2＋ny2＝1，则下列结论正确的是(　　)A.若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B.若m＝n＞0，则C是圆，其半径为C.若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±xD.若m＝0，n＞0，则C是两条直线【答案】ACD【解析】对于A，当m＞n＞0时，有＞＞0，方程化为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；对于B，由m＝n＞0，方程变形为x2＋y2＝，该方程表示半径为的圆，B错误；对于C，由mn＜0知曲线表示双曲线，其渐近线方程为y＝±x，C正确；对于D，当m＝0，n＞0时，方程变为ny2＝1表示两条直线，D正确.3.(多选题)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝8，则以下结论正确的是(　　)A.p＝4    B.＝C.|BD|＝2|BF|    D.|BF|＝4【答案】ABC【解析】如图，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点E，M，连接EF.设抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝p，由直线l的斜率为，可得其倾斜角为60°.∵AE∥x轴，∴∠EAF＝60°.由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF为等边三角形，∴∠PEF＝30°，∴|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4，A正确.∵|AE|＝2|PF|，PF∥AE，∴F为AD的中点，则＝，B正确.又∠DAE＝60°，∴∠ADE＝30°，∴|BD|＝2|BM|＝2|BF|，C正确.由C选项知|BF|＝|DF|＝|AF|＝，D错误.故选ABC.4.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且有·＝0，若点P到x轴的距离为|F1F2|，则双曲线的离心率为(　　)A.   B.   C.2   D.【答案】A【解析】因为·＝0，所以PF1⊥PF2，则∠F1PF2＝90°，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2.由双曲线定义，得|PF1|－|PF2|＝±2a，∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4a2.因此2(c2－a2)＝|PF1|·|PF2|，①在Rt△PF1F2中，|PF1|·|PF2|＝|F1F2|·|F1F2|＝c2.代入①式，得2(c2－a2)＝c2，则c2＝2a2，故双曲线的离心率e＝＝＝.5.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点P(x0，y0)(x0≥0)使得∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率的取值范围为(　　)A.    B.C.    D.【答案】B【解析】依题设x0≥0时，当点P在椭圆的上(下)顶点时，∠PF1F2最大.若在椭圆C上存在P(x0，y0)(x0≥0)使得∠PF1F2＝30°，则90°＞(∠PF1F2)max≥30°，∴tan(∠PF1F2)max≥tan 30°＝，则≥，即b≥c.又a2＝b2＋c2，得3a2≥4c2，所以e＝＝≤＝.故椭圆离心率的取值范围为.二、填空题6.【2020北京卷】已知双曲线C：－＝1，则C的右焦点的坐标为__________；C的焦点到其渐近线的距离是__________.【答案】(3，0)　【解析】由－＝1，得c2＝a2＋b2＝9，解得c＝3，又焦点在x轴上，所以C的右焦点坐标为(3，0).双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即x－y＝0，所以焦点(3，0)到渐近线的距离为d＝＝.7.设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝________.【答案】1【解析】法一　设|PF1|＝m，|PF2|＝n，P为双曲线右支上一点，则S△PF1F2＝mn＝4，m－n＝2a，m2＋n2＝4c2，从而c2＝a2＋4，又e＝＝，从而a＝1.法二　由题意得，S△PF1F2＝＝4，得b2＝4，又e2＝＝5，c2＝a2＋b2，所以a＝1.8.设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________.【答案】(3，)【解析】不妨设F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，则|MF1|>|MF2|，|F1F2|＝2c＝2＝8，因为△MF1F2是等腰三角形，|MF1|>|MF2|，且|MF1|＋|MF2|＝2a＝12，所以|MF1|>6，|MF2|<6，所以△MF1F2是以MF2为底边的等腰三角形.故点M在以F1为圆心、焦距为半径长的圆上，即在圆(x＋4)2＋y2＝64上.因为点M在椭圆＋＝1上，所以联立方程可得解得又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，).三、解答题9.定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个端点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，那么称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将“特征三角形”的相似比称为椭圆的相似比.已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2与C1是“相似椭圆”，且椭圆C2的短半轴长为b.(1)写出椭圆C2的方程；(2)若在椭圆C2上存在两点M，N关于直线y＝x＋1对称，求实数b的取值范围.【解析】(1)依题意，设椭圆C2的方程为＋＝1(a＞b＞0)，则由椭圆C2与C1是“相似椭圆”，可得＝，即a2＝4b2.所以椭圆C2的方程为＋＝1(b＞0).(2)设直线MN的方程为y＝－x＋t，M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为(x0，y0)，由消去y并整理得5x2－8tx＋4(t2－b2)＝0，易知Δ＝64t2－80(t2－b2)＝16(5b2－t2)＞0，①则x0＝＝，y0＝.由题意知线段MN的中点在直线y＝x＋1上，所以＝＋1，解得t＝－，则直线MN的方程为y＝－x－，将t＝－代入①式，解得b＞.所以实数b的取值范围是.10.【2019新课标Ⅲ卷】已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.【解析】(1)设D，A(x1，y1)，则x＝2y1.因为y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故＝x1.整理得2tx1－2y1＋1＝0.设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.所以直线AB过定点.(2)由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋.由可得x2－2tx－1＝0.于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，|AB|＝|x1－x2|＝×＝2(t2＋1).设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1＝，d2＝.因此，四边形ADBE的面积S＝|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3).设M为线段AB的中点，则M.因为⊥，而＝(t，t2－2)，与向量(1，t)平行，所以t＋(t2－2)t＝0，解得t＝0或t＝±1.当t＝0时，S＝3；当t＝±1时，S＝4.因此，四边形ADBE的面积为3或4.B组  专题综合练11.【2019新课标Ⅱ卷】设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点.若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　)A.    B.C.2    D.【答案】A【解析】设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c，0).由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，如图，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝.在Rt△OPM中，|OM|2＋|MP|2＝|OP|2得＋＝a2，故＝，即e＝.12.设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E过点，且离心率为，F为E的右焦点，P为E上一点，PF⊥x轴，圆F的半径为PF.(1)求椭圆E和圆F的方程；(2)若直线l：y＝k(x－)(k＞0)与圆F交于A，B两点，与椭圆E交于C，D两点，其中A，C在第一象限，是否存在k使|AC|＝|BD|？若存在，求l的方程；若不存在，说明理由.【解析】(1)由题意可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，∵椭圆的离心率e＝，∴＝，∵a2＝b2＋c2，∴a＝2b，将点代入椭圆的方程得＋＝1，联立a＝2b，解得a＝2且b＝1.∴椭圆E的方程为＋y2＝1.∴F(，0)，∵PF⊥x轴，∴P，∴圆F的半径为，圆心为(，0)，∴圆F的方程为(x－)2＋y2＝.(2)由A，B在圆上得|AF|＝|BF|＝|PF|＝.设点C(x1，y1)，D(x2，y2).|CF|＝＝2－x1，同理|DF|＝2－x2.若|AC|＝|BD|，则|AC|＋|BC|＝|BD|＋|BC|，即|AB|＝|CD|＝1，4－(x1＋x2)＝1，由得(4k2＋1)x2－8k2x＋12k2－4＝0，∴x1＋x2＝，∴4－＝1，得12k2＝12k2＋3，无解，故不存在.