高中数学高考解密11 圆锥曲线的方程与性质（讲义）-【高频考点解密】2021年新高考数学二轮复习讲义+分层训练

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核心考点一 圆锥曲线的定义及标准方程
1.圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)；
(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)；
(3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离).
温馨提醒 应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误.
2.圆锥曲线的标准方程
(1)椭圆：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)(焦点在x轴上)或eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)(焦点在y轴上)；
(2)双曲线：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)(焦点在x轴上)或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)(焦点在y轴上)；
(3)抛物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p＞0).
1．【2020新课标1理4】已知为抛物线：上一点，点到的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则（ ）
A．2B．3C．6D．9
【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得．
故选C．
2.【2020新课标1文11】设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ）
A．B．3C．D．2
【解析】方法1：不妨设，则，因为，所以点在以为直径的圆上，即是以P为直角顶点的直角三角形，故，
又，所以，
解得，所以，故选B．
方法2：点的轨迹方程为，联立，解得（得到点的纵坐标），所以，故选B．
方法3：由二级结论焦点三角形的面积为，故选B．
3.【2019新课标1理10文12】已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为( )
A．B．C．D．
【解法1】可以运用下面方法求解：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．
所求椭圆方程为，故选B．
【解法2】如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有
．在中，由余弦定理推论得
．在中，由余弦定理得，解得．所求椭圆方程为，故选B．
【解法3】由利用向量或相似三角形的性质得点，代入椭圆方程得，所以，，故选B．
【解法4】由椭圆的极坐标方程得得，再利用余弦定理得出关于的方程．
4．【2020新课标2理19】已知椭圆：的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合．过且与轴垂直的直线交于两点，交于两点，且．
（1）求的离心率；
（2）设是与的公共点，若，求与的标准方程．
【解析】（1），轴且与椭圆相交于、两点，则直线的方程为，
联立，解得，则，
抛物线的方程为，联立，解得，，
，即，，即，即，
，解得，因此椭圆的离心率为；
（2）由（1）知，，椭圆的方程为，
联立，消去并整理得，解得或（舍去），
由抛物线的定义可得，解得．
因此，曲线的标准方程为，曲线的标准方程为．
1．【2020新课标3文7理5】设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为与抛物线交于两点，且，根据抛物线的对称性可以确定，所以，代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，故选B．
2.【2020新课标3理11】设双曲线：的左、右焦点分别为，，离心率为，是上一点，且．若的面积为，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
【解析】方法1：，，根据双曲线的定义可得，
，即，
，，
，即，解得，故选A．
方法2：的面积为，离心率，所以，故选A．
3．【2019新课标3文理15】设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为___________.
【解析】由已知可得，
．∴．
设点的坐标为，则，
又，解得，
，解得（舍去），的坐标为．
核心考点二 圆锥曲线的几何性质
圆锥曲线的重要性质：
(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系
①在椭圆中：a2＝b2＋c2；离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2)).
②在双曲线中：c2＝a2＋b2；离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2)).
(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标
①双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x；焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0).
②双曲线eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq \f(a,b)x，焦点坐标F1(0，－c)，F2(0，c).
(3)抛物线的焦点坐标与准线方程
①抛物线y2＝2px(p>0)的焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，准线方程x＝－eq \f(p,2).
②抛物线x2＝2py(p>0)的焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))，准线方程y＝－eq \f(p,2).
1．【2020新课标1理15】已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为_______．
【解析】联立，解得，所以．依题可得，，
即，变形得，因此的离心率为．故答案为．
2．【2016新课标3文12理11】已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别为的左右顶点，为上一点，且轴．过点的直线与线段交于点，与轴交于点，若直线经过的中点，则的离心率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【解析】解法1：由题意设直线的方程为，分别令与得，，由，得，即，整理得，所以椭圆离心率为，故选A。
解法2：设，则直线的方程为，由题意可知， 和三点共线，则，化简得，则的离心率．故选A．
3.(多选题)已知椭圆Ω：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则下列结论正确的是( )
A.若a＝2b，则椭圆Ω的离心率为eq \f(\r(2),2)
B.若椭圆Ω的离心率为eq \f(1,2)，则eq \f(b,a)＝eq \f(\r(3),2)
C.若点F1，F2分别为椭圆Ω的左、右焦点，直线l过点F1且与椭圆Ω交于A，B两点，则△ABF2的周长为4a
D.若点A1，A2分别为椭圆Ω的左、右顶点，点P为椭圆Ω上异于点A1，A2的任意一点，则直线PA1，PA2的斜率之积为－eq \f(b2,a2)
【解析】若a＝2b，则c＝eq \r(3)b，所以e＝eq \f(\r(3),2)，A不正确；若e＝eq \f(1,2)，则a＝2c，b＝eq \r(3)c，所以eq \f(b,a)＝eq \f(\r(3),2)，B正确；根据椭圆的定义易知C正确；设点P(x0，y0)，则eq \f(xeq \\al(2,0),a2)＋eq \f(yeq \\al(2,0),b2)＝1，易知A1(－a，0)，A2(a，0)，所以直线PA1，PA2的斜率之积是eq \f(y0,x0＋a)·eq \f(y0,x0－a)＝eq \f(yeq \\al(2,0),xeq \\al(2,0)－a2)＝eq \f(b2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(xeq \\al(2,0),a2))),xeq \\al(2,0)－a2)＝－eq \f(b2,a2)，D正确.故选BCD.
1．【2020新课标3文14】设双曲线：的一条渐近线为，则的离心率为_________．
【解析】由双曲线方程可得其焦点在轴上，因为其一条渐近线为，所以，．故答案为．
2.【2019新课标1理16】已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．
【解析】如图，由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有，
又OA与OB都是渐近线，得又，得．又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为．
3.(多选题)双曲线C：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是( )
A.双曲线C的离心率为eq \f(\r(6),2)
B.双曲线eq \f(y2,4)－eq \f(x2,8)＝1与双曲线C的渐近线相同
C.若PO⊥PF，则△PFO的面积为eq \r(2)
D.|PF|的最小值为2
【解析】对于A，因为a＝2，b＝eq \r(2)，所以c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(6)，所以双曲线C的离心率为eq \f(\r(6),2)，所以A正确；对于B，它们的渐近线都是直线y＝±eq \f(\r(2),2)x，所以B正确；对于C，结合PO⊥PF，点P在双曲线C的一条渐近线上，不妨设点P在渐近线y＝eq \f(\r(2),2)x上，则直线PF的方程为y－0＝－eq \r(2)(x－eq \r(6))，即y＝－eq \r(2)(x－eq \r(6))，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－\r(2)（x－\r(6)），,y＝\f(\r(2),2)x，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(2\r(6),3)，,y＝\f(2\r(3),3)，))所以点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(6),3)，\f(2\r(3),3)))，所以△PFO的面积S＝eq \f(1,2)×eq \r(6)×eq \f(2\r(3),3)＝eq \r(2)，所以C正确；对于D，因为点F(eq \r(6)，0)，双曲线C的一条渐近线为直线y＝eq \f(\r(2),2)x，所以|PF|的最小值就是点F到渐近线的距离，为eq \r(2)，所以D错误.故选ABC.
核心考点三 直线与圆锥曲线综合问题
1.直线与圆锥曲线相交的弦：
设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入.即当斜率为k，直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋k2)eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq \r(1＋\f(1,k2))eq \r(（y1＋y2）2－4y1y2).
2.过抛物线焦点的弦：
抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2，
弦长|AB|＝x1＋x2＋p.
1．【2020新高考全国13】斜率为的直线过抛物线：的焦点，且与交于，两点，则=_______．
【解析】，代入抛物线方程得，
，故答案为．
2．【2019新课标1理19】已知抛物线C：的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若，求l的方程；（2）若，求．
【解析】（1）设直线方程为：，，
由抛物线焦半径公式可知：
联立，得
则
，解得
直线的方程为：，即
（2）设直线方程为：，
联立，得，则
，
，
则
3．【2020新高考全国Ⅱ卷21】已知椭圆：过点，点为其左顶点，且的斜率为 ，（1）求的方程；（2）点为椭圆上任意一点，求的面积的最大值．
【解析】(1)由题意可知直线AM的方程为：，即．
当时，解得，所以，
椭圆过点，可得，解得.
所以的方程为：.
(2)设与直线平行的直线方程为：，
如图所示，当直线与椭圆相切时，与距离比较远的直线与椭圆的切点为，此时的面积取得最大值.
联立直线方程与椭圆方程，
可得，即，
所以，即，解得，
与AM距离比较远的直线方程：，
直线AM方程为：，
点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，即，
由两点之间距离公式可得.
所以△AMN的面积的最大值为：.
1．【2013新课标1理10】已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A、 B、 QUOTE C、 D、
【解析】设，则，=－2，
① ②
由①减②得：，
∴===，又==，∴=，又9==，解得=9，=18，∴椭圆方程为，故选D．
2．【2010新课标理20】设分别是椭圆的左、右焦点，过斜率为1的直线与相交于两点，且成等差数列，
（1）求的离心率； （2） 设点满足，求椭圆的方程．
【解析】（I）由椭圆定义知，又，得
的方程为，其中．
设，，则A、B两点坐标满足方程组
化简的
则
因为直线AB斜率为1，所以
得故
所以E的离心率
（II）设AB的中点为，由（I）知，．
由，得，即得，从而
故椭圆E的方程为．
3.【2020天津卷】已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(0，－3)，右焦点为F，且|OA|＝|OF|，其中O为原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点C满足3eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OF,\s\up6(→))，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点，求直线AB的方程.
【解析】(1)由已知得b＝3.记半焦距为c，
由|OF|＝|OA|，得c＝b＝3.
由a2＝b2＋c2，得a2＝18.
所以椭圆的方程为eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1.
(2)因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，所以AB⊥CP.
依题意，直线AB和直线CP的斜率均存在，
设直线AB的方程为y＝kx－3.联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx－3，,\f(x2,18)＋\f(y2,9)＝1，))
消去y，可得(2k2＋1)x2－12kx＝0，解得x＝0或x＝eq \f(12k,2k2＋1).
依题意，可得点B的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12k,2k2＋1)，\f(6k2－3,2k2＋1))).
因为P为线段AB的中点，点A的坐标为(0，－3)，
所以点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6k,2k2＋1)，\f(－3,2k2＋1))).
由3eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OF,\s\up6(→))，得点C的坐标为(1，0)，
故直线CP的斜率kCP＝eq \f(\f(－3,2k2＋1)－0,\f(6k,2k2＋1)－1)＝eq \f(3,2k2－6k＋1).
又因为AB⊥CP，所以k·eq \f(3,2k2－6k＋1)＝－1，
整理得2k2－3k＋1＝0，解得k＝eq \f(1,2)或k＝1.
所以，直线AB的方程为y＝eq \f(1,2)x－3或y＝x－3.
即直线AB的方程为x－2y－6＝0或x－y－3＝0.核心考点
读高考设问知考法
命题解读
圆锥曲线的定义及标准方程
【2020新课标1理4】已知为抛物线：上一点，点到的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则( )
1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的第一问的形式命题.
2.直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化、化归与分类讨论思想方法的考查.
【2020新课标1文11】设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为( )
【2019新课标1理10文12】已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为( )
【2020新课标3理11】设双曲线：的左、右焦点分别为，，离心率为，是上一点，且．若的面积为，则( )
【2019新课标3文理15】设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为________.
圆锥曲线的几何性质
【2020新课标3文14】设双曲线：的一条渐近线为，则的离心率为_________．
【2020新课标1理15】已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为_______．
【2019新课标1理16】已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为________．
【2016新课标3文12理11】已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别为的左右顶点，为上一点，且轴．过点的直线与线段交于点，与轴交于点，若直线经过的中点，则的离心率为（ ）
直线与圆锥曲线的综合问题
【2013新课标1理10】已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为( )
【2020新高考全国13】斜率为的直线过抛物线：的焦点，且与交于，两点，则=_______．
【2019新课标1理19】已知抛物线C：的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若，求l的方程；（2）若，求．
【2020新高考全国Ⅱ卷21】已知椭圆：过点，点为其左顶点，且的斜率为 ，（1）求的方程；（2）点为椭圆上任意一点，求的面积的最大值．
(2020·天津卷)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(0，－3)，右焦点为F，且|OA|＝|OF|，其中O为原点.(1)求椭圆的方程；(2)已知点C满足3eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OF,\s\up6(→))，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点，求直线AB的方程.