2023泰安新泰一中东校高一上学期第一次质量检测数学试题含解析

新泰一中2022级高一上学期第一次质量检测

数学试题

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 设集合A={-1，0，-2}，B={x|x2-x-6=0}，则A∪B等于（    ）

A. {-2} B. {-2，3}

C. {-1，0，-2} D. {-1，0，-2，3}

2. 命题的否定是（    ）

A.  B.

C.  D.

3. 设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，那么丁是甲的（    ）

A. 充分条件 B. 必要条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 已知，则的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

5. 下列不等式中成立的是（    ）

A 若则

B. 若则

C. 若则

D. 若则

6. 已知，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

7. 若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（    ）

A.  B. 或  C.  D. 或

8. 关于x的不等式的解集为，则的最小值是（    ）

A. 4 B.  C. 2 D.

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．）

9. 已知集合，若，则实数的值可以是（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 下列关系中正确的有（    ）

A.

B.

C. 是充分不必要条件

D. ，则

11. 下列说法正确的是（    ）

A. 命题：，，则：，．

B. “，”是“”成立的充分不必要条件．

C. “”是“”的必要条件．

D. “”是“关于方程有一正一负根”的充要条件．

12. 生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖（a>0，b>0，且a>b），若再添加c克糖（c>0）后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：.趣称之为“糖水不等式”.根据生活经验和不等式性质判断下列命题一定正确的是（    ）

A. 若，则与的大小关系随m的变化而变化

B. 若，则

C. 若，则

D. 若，则一定有

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知集合，且，则实数的值为___________.

14. 若，则集合中所有元素之和为________.

15. 集合或，，若，则实数的取值范围是__________

16. 函数的图象如图所示，则不等式的解集是______________.

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）

17. 已知集合，.

求：（1）

（2）

（3）

18. 正数x，y满足.

(1)求xy的最小值；

(2)求x＋2y的最小值．

19. 命题：实数满足；命题：实数满足或.已知是充分不必要条件，求实数的取值范围.

20. 已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围．

21. 某单位每年需向自来水公司缴纳水费约4万元，为缓解供水压力，决定安装1个自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费（单位：万元）与管线、主体装置的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为．为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水公司供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该单位每年向自来水公司缴纳水费为（，k为常数），x为安装这种净水设备的占地面积（单位：平方米）记y为该单位安装这种净水设备费用与安装设备后第一年向自来水公司缴水费之和．

（1）解释的实际意义；并建立y关于x的函数关系式；

（2）当x为多少平方米时，y取得最小值，最小值是多少万元？

22. 函数的图象如图所示，若的解集记为集合，关于的不等式的解集为.

（1）当时，求；

（2）若，求实数的范围.

新泰一中2022级高一上学期第一次质量检测

数学试题

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 设集合A={-1，0，-2}，B={x|x2-x-6=0}，则A∪B等于（    ）

A. {-2} B. {-2，3}

C. {-1，0，-2} D. {-1，0，-2，3}

【答案】D

【解析】

【分析】首先求集合，再求.

【详解】因为A={-1，0，-2}，B={x|x2-x-6=0}={-2，3}，

所以A∪B={-1，0，-2，3}.

故选:D.

【点睛】本题考查集合的并集，属于基础题型.

2. 命题的否定是（    ）

A.  B.

C  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据存在量词命题的否定的知识确定正确选项.

【详解】原命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，注意到是否定结论而不是否定条件，所以A选项符合.

故选：A

3. 设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，那么丁是甲的（    ）

A. 充分条件 B. 必要条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】

【分析】根据条件可得甲乙丙丁，然后可分析出答案.

【详解】由甲乙丙丁，可知丁推不出甲，甲推不出丁，所以丁是甲的既不充分也不必要条件

故选：D

【点睛】本题考查的是充分条件、必要条件的判断，属于基础题.

4. 已知，则的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据不等式的性质求得正确答案.

【详解】依题意，

则，

所以.

故选：B

5. 下列不等式中成立的是（    ）

A. 若则

B. 若则

C. 若则

D. 若则

【答案】C

【解析】

【分析】根据不等式的性质对各选项判断即可.

【详解】对于A，若，则，所以，所以，所以，故A错误；

对于B，若，则，，所以，故B错误；

对于C，若，则，，所以，故C正确；

对于D，若，则，故D错误.

故选：C

6. 已知，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】先解不等式，再根据充分条件和必要条件的定义即可判断.

【详解】对于不等式，可解得或.

所以可以推出，而不可以推出.

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

7. 若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（    ）

A.  B. 或  C.  D. 或

【答案】D

【解析】

【分析】不等式有解，只需的最小值小于即可

【详解】因为正实数x，y满足，所以，当且仅当，即，时，等号成立，取得最小值4．由有解，可得，解得或．

故选：D．

8. 关于x的不等式的解集为，则的最小值是（    ）

A. 4 B.  C. 2 D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据不等式的解集为，得到，然后代入，利用基本不等式求解.

【详解】因为关于x的不等式的解集为，

所以，则，

当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是.

故选：B

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．）

9. 已知集合，若，则实数的值可以是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】由题得，再对分两种情况讨论，结合集合的关系得解.

【详解】因为，所以.

由得，

当时，方程无实数解，所以，满足已知；

当时，，令或2，所以或.

综合得或或.

故选：ABD

【点睛】易错点睛：本题容易漏掉. 根据集合的关系和运算求参数的值时，一定要注意考虑空集的情况，以免漏解.

10. 下列关系中正确的有（    ）

A.

B.

C. 是的充分不必要条件

D. ，则

【答案】BCD

【解析】

【分析】A用特殊值排除，B用基本不等式判断，C根据充分、必要条件的知识进行判断，D用不等式的性质判断.

【详解】A，当时，，所以A错误.

B，，，当且仅当时等号成立，所以B正确.

C，，.所以是的充分不必要条件，C正确.

D，，，所以，D正确.

故选：BCD

11. 下列说法正确的是（    ）

A 命题：，，则：，．

B. “，”是“”成立的充分不必要条件．

C. “”是“”的必要条件．

D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件．

【答案】ABD

【解析】

【分析】由全称量词命题的否定是特称命题可判断A；举反例可判断BC；根据根的分布可判断D．

【详解】由命题：，是全称量词命题，则：，，故A正确；

由时一定有，当时，，但是，

因此“”是“”成立的充分不必要条件，故B正确；

如，但是，所以不一定能推出，

如，但是，也不一定能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误；

关于的方程有一正一负根，设为其两根，则等价于，所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，故D正确．

故选：ABD．

12. 生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖（a>0，b>0，且a>b），若再添加c克糖（c>0）后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：.趣称之为“糖水不等式”.根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（    ）

A. 若，则与的大小关系随m的变化而变化

B. 若，则

C. 若，则

D. 若，则一定有

【答案】CD

【解析】

【分析】根据“糖水不等式”，即可判断A；

举反例，如，即可判断B；

若，则，再根据“糖水不等式”即可判断C；

利用不等式性质即可判断D.

【详解】解：对于A，根据“糖水不等式”，若，则，故A错误；

对于B，当时，，与题设矛盾，故B错误；

对于C，若，则，

根据“糖水不等式”， ，即，故C正确；

对于D，若，则，

所以，

所以，故D正确.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知集合，且，则实数的值为___________.

【答案】或0.

【解析】

【分析】根据题意，考虑到各种可能性，分别解方程，并注意检验集合元素的互异性，即可得到答案.

【详解】若，则或

当时，，符合元素的互异性；

当时，，不符合元素的互异性，舍去

若，则或

当时，，符合元素的互异性；

当时，，不符合元素的互异性，舍去；

故答案为：或0.

【点睛】关键点点睛：本题考查元素与集合的关系，检验集合元素的互异性排除不符合答案是解题的关键，属基础题.

14. 若，则集合中所有元素之和为________.

【答案】2

【解析】

【分析】

由题意知-5是方程的解，代入方程可求出a，从而可求出方程的解，即可得解.

【详解】因为，

所以，即.

此时即为，

所以元素之和为2.

故答案为：2

【点睛】本题考查根据元素与集合的关系确定参数，属于基础题.

15. 集合或，，若，则实数的取值范围是__________

【答案】

【解析】

【分析】由可得，然后分和两种情况讨论即可

【详解】∵，∴，

∴①当时，即无解，此时，满足题意.

②当时，即有解，

当时，可得，要使，则需要，解得.

当时，可得，要使，则需要，解得，

综上，实数的取值范围是.    

故答案为：

16. 函数的图象如图所示，则不等式的解集是______________.

【答案】

【解析】

【分析】先根据图像判断对应的二次方程的根，得到系数的关系，再代入求解分式不等式即可.

【详解】以图象可知，方程的根为1和2，故，，

即，，所以不等式即，即，等价于，故解集为.

故答案为：.

【点睛】本题考查了二次函数图像与对应二次方程的根之间的关系，考查了分式不等式的解法，属于基础题.

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）

17. 已知集合，.

求：（1）

（2）

（3）

【答案】（1）；（2）；（3）或.

【解析】

【分析】先对题中的两个集合进行化简，再结合集合交集、并集、补集的运算法则进行运算即可求解.

详解】解不等式，即，解得，所以集合.

集合.

（1）由，可得.

（2）由得或，又因为，所以.

（3）由，可得，所以或.

18. 正数x，y满足.

(1)求xy的最小值；

(2)求x＋2y的最小值．

【答案】(1)36；(2)

【解析】

【分析】(1)由基本不等式可得，再求解即可；

(2)由，再求解即可.

【详解】解：(1)由得xy≥36，当且仅当，即时取等号，

故xy的最小值为36.

(2)由题意可得，

当且仅当，即时取等号，

故x＋2y的最小值为.

【点睛】本题考查了基本不等式的应用，重点考查了拼凑法构造基本不等式，属中档题.

19. 命题：实数满足；命题：实数满足或.已知是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】或

【解析】

【分析】先求出命题p和q对应的集合，由题可得，列出式子即可求解.

【详解】由可解得，故命题对应的集合为，

由解得，由解得或，故命题对应的集合为，

因为是的充分不必要条件，，

所以或，解得实数的取值范围为或.

【点睛】关键点睛：解决本题的关键是将题目转化为命题对应集合的包含关系.

20. 已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围．

【答案】（1）或   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意易得，因式分解后利用口诀“大于取两边，小于取中间”即可得解；

（2）由题意易得的解集为，分类讨论与两种情况，结合二次函数的图像性质即可得解.

【小问1详解】

根据题意，得，

由得，即，

解得：或，

故不等式的解集为或.

【小问2详解】

由题意得，的解集为，

当时，不等式可化为，解得，即的解集为，不符合题意，舍去；

当时，在开口向上，且与轴没有交点时，的解集为，

所以，解得，即，

综上：，

故实数的取值范围为.

21. 某单位每年需向自来水公司缴纳水费约4万元，为缓解供水压力，决定安装1个自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费（单位：万元）与管线、主体装置的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为．为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水公司供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该单位每年向自来水公司缴纳水费为（，k为常数），x为安装这种净水设备的占地面积（单位：平方米）记y为该单位安装这种净水设备费用与安装设备后第一年向自来水公司缴水费之和．

（1）解释的实际意义；并建立y关于x的函数关系式；

（2）当x为多少平方米时，y取得最小值，最小值是多少万元？

【答案】（1）表示不安装设备时，每年缴交水费为4万元，；   

（2）平方米时，的最小值为3万元.

【解析】

【分析】（1）根据题意，即可知道实际意义，由安装这种净水设备费用与交给自来水公司的费用和可求出函数解析式；

（2）利用均值不等式求最值即可.

【小问1详解】

表示不安装设备时，每年缴交水费为4万元.

所以，解得，

所以，其中.

【小问2详解】

由（1）知，

∵ ∴

∴（万元）

当且仅当即时等号成立，

即平方米时，的最小值为3万元.

22. 函数的图象如图所示，若的解集记为集合，关于的不等式的解集为.

（1）当时，求；

（2）若，求实数范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）由图象求出集合，当时，求出集合，利用并集的定义可求得集合；

（2）对与的大小关系进行分类讨论，由可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围.

【详解】（1）由图可知，不等式的解集为或，

当时，不等式为，解得，即，

因此，；

（2）解不等式，即.

①当时，即当时，，则，不合乎题意；

②当时，即当时，，

因为，可得，解得；

③当时，即当时，，此时，不合乎题意.

综上所述，.