2023届山东省泰安市泰安一中老校区（新泰中学）高三上学期第一次月考数学试题含答案

  新泰中学2020级高三上学期第一次阶段性考试

数学试题

2022.9

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设集合，，集合（    ）

A．  B．  C．  D．

2．函数的零点所在的区间为（    ）

A． B．  C．  D．

3．已知，．若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（    ）

A．  B．  C．  D．

4．函数（其中e为自然对数的底数）的图象大致为（    ）

A．  B．

C．  D．

5．函数在是增函数，则a的取值范围是（    ）

A．   B．  C．  D．

6．已知定义在上的函数（m为实数）为偶函数，记，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A．  B．  C．  D．

7．已知幂函数在上单调递增，函数，，，使得成立，则实数a的取值范围是（    ）

A．  B．  C．  D．

8．如图是函数的大致图象，则（    ）

A．  B．  C．  D．

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．定义在的奇函数满足，当时，则以下结论正确的有（    ）

A．的周期为6  B．的图象关于对称

C．   D．的图象关于对称

10．如果函数在区间上是增函数，且在区间是减函数，那么称函数是区间上的“缓增函数”，区间叫做“缓增区间”则下列函数是区间上的“缓增函数的是（    ）

A．  B．  C．  D．

11．下列说法正确的是（    ）

A．若不等式的解集为，则

B．若命题，，则p的否定为，

C．若，，，则的最大值为4

D．若对恒成立，则实数x的取值范围为

12．已知函数，则（    ）

A．有两个极值点       B．有三个零点

C．点是曲线的对称中心   D．直线是曲线的切线

三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．）

13．已知函数，则函数的单调递增区间是________．

14．已知函数为上的单调递增函数，则实数a的取值范围为________．

15．直线过函数图象的对称中心，则的最小值为________．

16．定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”．

（1）设，则在上的“新驻点”为________；

（2）如果函数与的“新驻点”分别为α，β，那么α和β的大小关系是________．

四、解答题（本题共6个小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本题10分）

求下列各式的值：

（1）；

（2）．

18．（本题12分）

已知集合A是函数的定义域，集合B是不等式的解集，，．

（1）若，求实数a的取值范围；

（2）若是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

19．（本题12分）

已知定义在上的奇函数，当时，．

（1）求的解析式；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围．

20．（本题12分）

已知．

（1）当时，求函数的极值；

（2）讨论函数的单调性．

21．（本题12分）

已知函数为奇函数．

（1）求实数k的值；

（2）已知此函数在上单调递增．若存在，使得函数在区间上的值域为，求实数m的取值范围．

22．（本题12分）

设函数．

（1）若有两个不同的零点，求实数a的取值范围；

（2）若函数有两个极值点，证明：．

新泰中学2020级高三上学期第一次阶段性考试

数学试题答案

2022.9

一、单项选择题

1．C  2．B  3．C  4．A  5．D  6．C  7．A  8．C

二、多项选择题

9．ACD  10．CD  11．ABD  12．AC

三、填空题

13．和（答对一个得0分）  14．  15．

16．（1）（2）（第一个空2分，第二个空3分）

l6．（1）∵，∴，根据“新驻点”的定义得，即，可得，∵，解得，∴函数在上的“新驻点”为；

（2），则，根据“新驻点”的定义得，即．∵，则，由“新驻点”的定义得，即，构造函数，则函数在定义域上为增函数，∵，，∵，由零点存在定理可知，，∴．

四、解答题

17．【解析】【1】

          5分

【2】

．        10分

18．解：（1）由条件得：，     3分

若，则必须满足，解得：，所以，

所以，a的取值范围的取值范围为：；      6分

（2）易得：或，      7分

∵是q的充分不必要条件，

∴是的真子集，      8分

则，解得：，所以．

∴a的取值范围的取值范围为：．           12分

19．（1）当时，，

则，

又因为为奇函数，

所以，

所以，

所以．        6分

（2）因为当时，，

单调递减，也单调递减，因此在上单调递减，

又为奇函数，

所以在上单调递减，

所以在上单调递减，

因为在上恒成立，

所以，又因为为奇函数，

所以，               l0分

所以在上恒成立，

即在上恒成立，

所以，即．           12分

20．【解析】【1】当时，

，

令得或．         3分

∴时，有极大值，

时，有极小值．             5分

【2】，

∵，∴．

（1）当时，有，

当，，在上单调递增．         7分

（2）当时，令，得．

①当，即，有，

从而函数在上单调递增．            9分

②当，即时，

当，，单调递减；

当，，单调递增．          11分

综上，时，在上单调递增：

当时，在单调递减，在单调递增．      12分

21．【解析】【1】解：由为奇函数，

得，

即，，

所以，

则，

解得，，     4分

经检验知：．                   5分

【2】由已知知在上为增函数，

又因为函数在上的值域为，

所以，且，

所以，               7分

即α，β是方程的两实根，

问题等价于方程在上有两个不等实根，      8分

令，对称轴，

则，即，

解得．                         12分

22．【解析】（1）令，则有2个零点，等价于存在两个正根．

所以，，

所以使得有两个零点的a的取值范围是．         4分

（2），

因为，，且有两个极值点，

所以，为的两个不同解．

由（1）知，且，，不妨设，             6分

．

要证明，只需证，

因为，所以，只需证，             9分

注意到，只需证，两边同除得，

因为，只需证，

设，令，则只需证即可．

则，令，

则，所以在上单调递增，

所以，即，

所以在上单调递增，所以，得证．                 12分