高考物理一轮复习第2章相互作用第3课时力的合成与分解学案

第3课时　力的合成与分解

1．合力与分力

(1)定义：如果一个力产生的效果跟几个共点力共同作用产生的效果相同，这个力就叫做那几个力的合力，原来那几个力叫做这个力分力。

(2)关系：合力和分力是等效替代的关系。

2．共点力

作用在物体的同一点，或作用线的延长线交于一点的力。如图所示均是共点力。

3．力的合成

(1)定义：求几个力的合力的过程。

(2)运算法则

①平行四边形定则：求两个互成角度的共点力的合力，可以用表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向。如图甲所示。

②三角形定则：把两个矢量首尾相连，从而求出合矢量的方法。如图乙所示。

4．力的分解

(1)定义：求一个已知力的分力的过程。

(2)运算法则：平行四边形定则或三角形定则。

(3)分解方法：①按力产生的效果分解；②正交分解。

5．矢量和标量

(1)矢量：既有大小又有方向的量，运算时遵从平行四边形定则。

(2)标量：只有大小没有方向的量，运算时按代数法则相加减。

[基础自查]

1．判断正误。

(1)合力与它的分力的作用对象为同一个物体。(√)

(2)合力及其分力同时作用在物体上。(×)

(3)几个力的共同作用效果可以用一个力来代替。(√)

(4)在进行力的合成与分解时，需要应用平行四边形定则或三角形定则。(√)

(5)两个力的合力一定比其分力大。(×)

(6)互成角度(非0°或180°)的两个力的合力与分力间一定构成封闭的三角形。(√)

(7)既有大小又有方向的物理量一定是矢量。(×)

2．(多选)两个力F1和F2间的夹角为θ，两力的合力为F。以下说法正确的是(　　)

A．若F1和F2大小不变，θ角越小，合力F就越大

B．合力F总比分力F1和F2中的任何一个力都大

C．如果夹角θ不变，F1大小不变，只要F2增大，合力F就必然增大

D．合力F的作用效果与两个分力F1和F2共同产生的作用效果是相同的

解析：选AD　若F1和F2大小不变，θ越小，合力F越大，故A正确；当F1与F2等大反向时，其合力为零，小于任一分力，故B错误；由合力与分力的定义可知，D正确；当θ为大钝角时，如果θ不变，F1大小不变，只增大F2时，合力F可能减小，也可能增大，故C错误。

3．如图所示，用相同的弹簧秤将同一个重物m，分别按甲、乙、丙三种方式悬挂起来，读数分别是F1、F2、F3、F4，已知θ＝30°，则有(　　)

A．F4最大  B．F3＝F2

C．F2最大  D．F1比其他各读数都小

解析：选C　由平衡条件可得，F2cos θ＝mg，F2sin θ＝F1,2F3cos θ＝mg，F4＝mg，可进一步求得：F1＝mg，F2＝mg，F3＝mg，F4＝mg，可知F1＝F3，F2最大，选项C正确。

4．我国自行设计建造的斜拉索桥——上海南浦大桥，其桥面高达46 m，主桥全长846 m，引桥总长7 500 m。南浦大桥的引桥建造得如此长，其主要目的是(　　)

A．增大汽车对桥面的正压力

B．减小汽车对桥面的正压力

C．增大汽车重力平行于引桥桥面向下的分力

D．减小汽车重力平行于引桥桥面向下的分力

解析：选D　把汽车的重力按作用效果分解为平行于桥面方向和垂直于桥面(斜面)方向的两个分力，引桥越长，倾角越小，重力平行于引桥桥面的分力就越小，故选项D正确。

考点一　力的合成

1．合力的大小范围

(1)两个共点力的合成

|F1－F2|≤F合≤F1＋F2

即两个力大小不变时，其合力随夹角的增大而减小，当两力反向时，合力最小，为|F1－F2|，当两力同向时，合力最大，为F1＋F2。

(2)三个共点力的合成

①三个力共线且同向时，其合力最大，为F1＋F2＋F3。

②任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围之内，则三个力的合力最小值为零；如果第三个力不在这个范围内，则合力最小值等于最大的力减去另外两个力。

2．共点力合成的常用方法

(1)作图法：从力的作用点起，按同一标度作出两个分力F1和F2的图示，再以F1和F2的图示为邻边作平行四边形，画出过作用点的对角线，量出对角线的长度，计算出合力的大小，量出对角线与某一力的夹角确定合力的方向(如图所示)。

(2)计算法：几种特殊情况的共点力的合成。

[典例]　港珠澳大桥是一座跨海大桥，连接香港大屿山、澳门半岛和广东省珠海市，全长为49.968公里，主体工程“海中桥隧”长35.578公里，其中海底隧道长约6.75公里，桥梁长约29公里。桥梁采用斜拉索式，如图假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是30°，每根钢索中的拉力都是3×104 N，那么它们对塔柱形成的合力有多大？方向如何？

[解析]　把两根钢索的拉力看成沿钢索方向的两个分力，以它们为邻边画出一个平行四边形，其对角线就表示它们的合力。由对称性可知，合力方向一定沿塔柱竖直向下，用两种方法计算合力的大小。

法一：作图法

如图1所示，自O点引两根有向线段OA和OB，

它们跟竖直方向的夹角都为30°，

取单位长度为1×104 N，

则OA和OB的长度都是3个单位长度，

量得对角线OC长约为5.2个单位长度，

所以合力的大小为F＝5.2×1×104 N＝5.2×104 N，方向竖直向下。

法二：计算法

如图2所示，根据这个平行四边形是一个菱形的特点，连接AB，交OC于D，则AB与OC互相垂直平分，即AB垂直于OC，且AD＝DB、OD＝OC。

对于直角三角形AOD，∠AOD＝30°，

则有F＝2F1cos 30°＝2×3×104× N≈5.2×104 N，

方向竖直向下。

[答案]　5.2×104 N　方向竖直向下

[集训冲关]

1．如图所示，水平横梁一端A插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B。一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为m＝10 kg的重物，∠CBA＝30°，则滑轮受到绳子的作用力大小为(g取10 m/s2)(　　)

A．50 N　　　　　　　　　 B．60 N

C．120 N  D．100 N

解析：选D　轻绳跨过滑轮，BC段、BD段拉力F1＝F2＝mg＝100 N，夹角为120°，根据平行四边形定则，二力合成如图所示。由于F1＝F2，所以平行四边形为菱形，又因为∠DBG＝60°，所以△BGD为等边三角形，所以F1、F2的合力F＝F1＝F2＝100 N，即绳子对滑轮的作用力大小为100 N，选项D正确。

2.如图所示，表示五个共点力的有向线段恰好分别构成正六边形的两条邻边和三条对角线，已知F1＝10 N。则这五个共点力的合力大小为(　　)

A．0  B．30 N

C．60 N  D．90 N

解析：选C　如图所示，F1与F4的合力等于F3，F2与F5的合力等于F3，由于F3＝2F1＝20 N，所以这五个力的合力为3F3＝60 N。

考点二　力的分解

1．按作用效果分解力的一般思路

2．正交分解法

(1)定义：将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法。

(2)建立坐标轴的原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(即尽量多的力在坐标轴上)；在动力学中，通常以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系。

(3)方法：物体受到F1、F2、F3…多个力作用求合力F时，可把各力沿相互垂直的x轴、y轴分解。

x轴上的合力：

Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…

y轴上的合力：

Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…

合力大小：F＝

合力方向：与x轴夹角设为θ，则tan θ＝。

[例1]　超市里磁力防盗扣的内部结构及原理如图所示，在锥形金属筒内放置四颗小铁珠(其余两颗未画出)，工作时弹簧通过铁环将小铁珠挤压于金属筒的底部，同时，小铁珠陷于钉柱上的凹槽里，锁死防盗扣。当用强磁场吸引防盗扣的顶部时，铁环和小铁珠向上移动，防盗扣松开，已知锥形金属筒底部的圆锥顶角刚好是90°，弹簧通过铁环施加给每个小铁珠竖直向下的力F，小铁珠锁死防盗扣，每个小铁珠对钉柱产生的侧向压力为(不计摩擦以及小铁珠的重力)(　　)

A.F   B.F

C．F   D.F

[解析]　以一个铁珠为研究对象，将力F按照作用效果分解如图所示：

由几何关系可得小铁球对钉柱产生的侧向压力为：

N＝＝F。故C正确。

[答案]　C

[例2]　如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的固定斜面上，物体与斜面之间的动摩擦因数为μ，先用平行于斜面的推力F1作用于物体上使其能沿斜面匀速上滑，若改用水平推力F2作用于物体上，也能使物体沿斜面匀速上滑，则两次的推力之比为(　　)

A．cos θ＋μsin θ　　　　 B．cos θ－μsin θ

C．1＋μtan θ  D．1－μtan θ

[解析]　物体在力F1作用下和力F2作用下运动时的受力如图所示。

将物体受力沿斜面方向和垂直于斜面方向正交分解，由平衡条件可得：

F1＝mgsin θ＋Ff1，FN1＝mgcos θ，Ff1＝μFN1

F2cos θ＝mgsin θ＋Ff2

FN2＝mgcos θ＋F2sin θ

Ff2＝μFN2

解得：F1＝mgsin θ＋μmgcos θ

F2＝

故＝cos θ－μsin θ，B正确。

[答案]　B

[集训冲关]

1．(多选)明朝谢肇淛的《五杂组》中记载：“明姑苏虎丘寺塔倾侧，议欲正之，非万缗不可。一游僧见之曰：无烦也，我能正之。”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去，经月余扶正了塔身。假设所用的木楔为等腰三角形，木楔的顶角为θ，现在木楔背上加一力F，方向如图所示，木楔两侧产生推力FN，则(　　)

A．若F一定，θ大时FN大　　 B．若F一定，θ小时FN大

C．若θ一定，F大时FN大  D．若θ一定，F小时FN大

解析：选BC　根据力F的作用效果将力F分解为垂直于木楔两侧的力FN，如图所示。则＝sin ，即FN＝，所以当F一定时，θ越小，FN越大；当θ一定时，F越大，FN越大。故选项B、C正确。

2．如图所示，一个内表面粗糙的半圆形轨道固定于水平面上，一个可视为质点的滑块从图示位置P点缓慢滑下，如果滑块经过PO间的每一位置时都认为是平衡状态，则滑块在从P点运动到O点过程中(　　)

A．轨道对滑块的弹力逐渐增大

B．轨道对滑块的弹力逐渐减小

C．轨道对滑块的摩擦力逐渐增大

D．滑块与轨道间的动摩擦因数处处相同

解析：选A　设物体所在的位置圆弧切线与水平方向的夹角为θ，以物体为研究对象，进行受力分析如图所示，根据图像可知，重力垂直于切面向下的分力等于支持力，即FN＝mgcos θ，θ角越来越小，支持力越来越大，故A项正确，B项错误；轨道对滑块的摩擦力大小为f＝mgsin θ，θ越来越小，则摩擦力越来越小；根据f＝μFN可知，动摩擦因数越来越小，故C、D两项错误。

考点三　对称法解决非共面力问题

在力的合成与分解的实际问题中，经常遇到物体受多个非共面力作用处于平衡状态的情况，而在这类问题中，又常有图形结构对称的特点，结构的对称性往往对应着物体受力的对称性。解决这类问题的方法是根据物体受力的对称性，结合力的合成与分解知识及平衡条件列出方程，求解结果。

[典例]　(2021·长沙模拟)一重为G的圆柱体工件放在V形槽中，槽顶角α＝60°，槽的两侧面与水平方向的夹角相同，槽与工件接触处的动摩擦因数处处相同，大小为μ＝0.25，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则：

(1)要沿圆柱体的轴线方向(如图甲所示)水平地把工件从槽中拉出来，人至少要施加多大的拉力？

(2)现把整个装置倾斜，使圆柱体的轴线与水平方向成37°角，如图乙所示，且保证圆柱体对V形槽两侧面的压力大小相等，发现圆柱体能自动沿槽下滑，求此时工件所受槽的摩擦力大小。

[解析]　(1)分析圆柱体的受力可知，沿轴线方向受到拉力F、两个侧面对圆柱体的滑动摩擦力均为f

由题给条件知F＝2f，

根据圆柱体重力产生的效果将重力进行分解，如图所示：

由几何关系可得G＝F1＝F2，

由f＝μF1解得F＝0.5G。

(2)把整个装置倾斜，则重力压紧两侧面的分力F1′＝F2′＝Gcos 37°＝0.8G，

此时工件所受槽的摩擦力大小f′＝2×μF1′＝0.4G。

[答案]　(1)0.5G　(2)0.4G

[集训冲关]

1.蹦床可简化为如图所示的完全相同的网绳构成的正方形，点O、a、b、c、…为网绳的结点。当网水平张紧时，若质量为m的运动员从高处竖直落下，并恰好落在O点，当该处下凹至最低点时，网绳aOe、cOg均成120°向上的张角，此时O点受到的向下的冲击力为F，则这时O点周围每根网绳的拉力的大小为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B　设每根网绳的拉力大小为F′，由几何关系知，对结点O有4F′cos 60°＝F，解得F′＝，选项B正确。

2．(多选)如图所示，三条绳子的一端都系在细直杆顶端，另一端都固定在水平地面上，将杆竖直紧压在地面上，若三条绳长度不同。下列说法正确的有(　　)

A．三条绳子中的张力都相等

B．杆对地面的压力大于杆所受重力

C．绳子对杆的拉力在水平方向的合力为零

D．绳子拉力的合力与杆所受重力是一对平衡力

解析：选BC　杆静止在水平地面上，则杆受到重力、三条绳子的拉力和地面对它的支持力，根据平衡条件，三条绳子的拉力的合力竖直向下，故绳子对杆的拉力在水平方向的合力为零，杆对地面的压力大小等于杆所受重力与三条绳子的拉力的合力之和，选项B、C正确；由于三条绳长度不同，即三条绳与竖直方向的夹角不同，所以三条绳上的张力不相等，选项A错误；绳子拉力的合力与杆所受重力方向相同，因此两者不是一对平衡力，选项D错误。