人教版高考物理一轮复习第2章相互作用第2讲力的合成与分解学案

第2讲　力的合成与分解

知识梳理·双基自测

ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE

知识梳理

知识点1　力的合成与分解

1．合力与分力

(1)定义：如果一个力产生的效果跟几个共点力共同作用产生的效果相同，这一个力就叫作那几个力的合力，原来那几个力叫作分力。

(2)关系：合力和分力是等效替代的关系。

2．共点力

作用在物体的同一点，或作用线的延长线交于一点的力。如下图所示均是共点力。

3．力的合成

(1)定义：求几个力的合力的过程。

(2)运算法则

①平行四边形定则：求两个互成角度的共点力的合力，可以用表示这两个力的线段为邻边做平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向。如图甲所示。

②三角形定则：把两个矢量首尾相接，从而求出合矢量的方法。如图乙所示。

特别提醒：(1)两个分力一定时，夹角θ越大，合力越小。

(2)合力一定时，两等大分力的夹角θ越大，两分力越大。

(3)合力可以大于分力，等于分力，也可以小于分力。

4．力的分解

(1)定义：求一个已知力的分力的过程。

(2)遵循原则：平行四边形定则或三角形定则。

(3)分解方法：①按力产生的效果分解；②正交分解。

思考：如图所示，物体受到四个力作用，它们分别分布在两条互相垂直的直线上，且F1＝5 N，F2＝8 N，F3＝7 N，F4＝11 N。

(1)F1和F2的合力是多少？F3和F4的合力又是多少？

(2)这四个力的合力是多大呢？总结该题求合力的最合理的方法。

[答案]　(1)3 N，方向与力F2相同；4 N，方向与F4方向相同　(2)5 N；先求F1和F2的合力F12，再求F3和F4的合力F34，再求F12和F34的合力。

知识点2　矢量和标量

1．矢量

既有大小又有方向的量，相加时遵从平行四边形定则。

2．标量

只有大小没有方向的量，求和时按代数法则相加。

注意：有方向的物理量不一定是矢量，还要看运算法则，如电流强度。

双基自测

一、堵点疏通

1．两个力的合力一定大于任何一个分力。(　×　)

2．不考虑力的实际效果时，一个力可以对应无数对分力。(　√　)

3．将一个力F分解为两个力F1、F2，F是物体实际受到的力。(　√　)

4．合力与分力可以同时作用在物体上。(　×　)

5．2 N的力能够分解成6 N和3 N的两个分力。(　×　)

6．合力是阻力，它的每一个分力都是阻力。(　×　)

7．位移是矢量，相加时可以用算术法直接求和。(　×　)

二、对点激活

1．两个力F1和F2间的夹角为θ，两力的合力为F。以下说法正确的是(　C　)

A．合力F总比分力F1和F2中的任何一个力都大

B．合力F总比分力F1和F2中的其中一个力大

C．若F1和F2大小不变，θ越小，合力F就越大

D．如果夹角θ不变，若F1的大小不变，只要F2增大，合力F就必然增大

[解析]　二力平衡时，合力为零，此时合力F比分力中的任何一个力都小，选项A，B错误；若F1和F2大小不变，θ角越小，合力F越大，选项C正确；如果夹角θ不变，F1大小不变，F2增大，合力F可能减小，也可能越大，故选项D错误。

2．(多选)三个共点力作用在同一物体上，其大小分别为2 N，8 N，12 N，其合力大小可能是(　AC　)

A．4 N　　 B．0 N

C．15 N　 D．28 N

[解析]　2 N,8 N这两个力的合力的大小介于6 N与10 N

之间，再与12 N的力去合成，则其合力最小值是2 N，而最大值为22 N。所以选项A，C正确。

3．(2019·吉林省实验中学四模)如图所示，一物块在斜向下的推力F的作用下沿光滑的水平地面向右运动，那么物块受到的地面的支持力与推力F的合力方向是(　B　)

A．水平向右　 B．向上偏右

C．向下偏左　 D．竖直向下

[解析]　本题考查已知分力方向分析合力方向。对物块受力分析可知，受重力、支持力、推力，物块在竖直方向上受力平衡，设推力F与水平方向的夹角为θ，有FN＝mg＋Fsin θ，支持力FN与F在竖直方向的分力的合力为Fy＝mg，方向向上，F在水平方向的分力Fx＝Fcos θ，方向水平向右，故F合＝＝，方向向上偏右，B正确。

核心考点·重点突破

HE XIN KAO DIAN ZHONG DIAN TU PO

考点一　力的合成

1．共点力合成的常用方法

(1)作图法：从力的作用点起，按同一标度作出两个分力F1和F2的图示，再以F1和F2的图示为邻边作平行四边形，画出过作用点的对角线，量出对角线的长度，计算出合力的大小，量出对角线与某一力的夹角确定合力的方向(如图所示)。

(2)计算法：几种特殊情况的共点力合成

(3)三角形定则：将表示两个力的图示(或示意图)保持原来的方向依次首尾相接，从第一个力的作用点，到第二个力的箭头的有向线段为合力。平行四边形定则与三角形定则的关系如图甲、乙所示。

2．合力大小的范围

(1)两个共点力的合成：|F1－F2|≤F≤F1＋F2。

即两个力的大小不变时，其合力随夹角的增大而减小，当两个力反向时，合力最小，为|F1－F2|；当两力同向时，合力最大，为F1＋F2。

(2)三个共点力的合成

①三个力共线且同向时，其合力最大为F＝F1＋F2＋F3。

②以这三个力的大小为边，如果能组成封闭的三角形，则其合力最小值为零，若不能组成封闭的三角形，则合力最小值的大小等于最大的一个力减去另外两个力的大小之和。

例1　(多选)如图所示，用轻绳AO和OB将重为G的重物悬挂在水平天花板和竖直墙壁之间处于静止状态，AO绳水平，OB绳与竖直方向的夹角为θ，则AO绳的拉力FA，OB绳的拉力FB的大小与G之间的关系为(　AC　)

A．FA＝Gtan θ　 B．FA＝

C．FB＝　 D．FB＝Gcos θ

[解析]　结点O受到三个力作用FA，FB，FC，如图所示，其中FA，FB的合力与FC等大反向，即F合＝FC＝G，则＝tan θ，＝cos θ，解得FA＝Gtan θ，FB＝，故A，C正确。

〔变式训练1〕2019现代汽车·射箭世界杯赛陆家嘴金融城上海站，5月6日在浦东陆家嘴金融城再次开弓，这是上海浦东连续第11年举办这一赛事。如图(甲)所示，射箭时，释放的瞬间若弓弦的拉力为100 N，对箭产生的作用力为120 N，其弓弦的拉力如图(乙)中F1和F2所示，对箭产生的作用力如图中F所示，则弓弦的夹角α应为(cos 53°＝0.6)(　D　)

A．53°　 B．127°

C．143°　 D．106°

[解析]　弓弦拉力的合成如图所示，由于F1＝F2，由几何知识得F合＝2F1cos，cos＝＝0.6，＝53°，即α＝106°，故D正确。

考点二　力的分解

力的分解的两种常用方法

1．按力的效果分解

(1)根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向。

(2)再根据两个实际分力方向画出平行四边形。

(3)最后由三角形知识求出两分力的大小。如图所示，物体的重力G按产生的效果分解为两个分力，F1使物体下滑，F2使物体压紧斜面。

2．正交分解法

(1)定义：将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法。

(2)建立坐标轴的原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(即尽量多的力在坐标轴上)；在动力学中，以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系。

(3)方法：物体受到多个力作用F1、F2、F3…，求合力F时，可把各力沿相互垂直的x轴、y轴分解。

x轴上的合力：

Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…

y轴上的合力：

Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…

合力的大小：F＝

合力方向：与x轴夹角为θ，则tanθ＝。

例2　如图所示，墙上有两个钉子a和b，它们的连线与水平方向的夹角为45°，两者的高度差为l，一条不可伸长的轻质细绳一端固定于a点，另一端跨过光滑钉子b悬挂一质量为m1的重物。在绳上距a端的c点有一固定绳圈。若绳圈上悬挂质量为m2的钩码，平衡后绳的ac段正好水平，则重物和钩码的质量比为(　C　)

A．　 B．2

C．　 D．

[解析]　法一　力的效果分解法

钩码的拉力F等于钩码重力m2g，将F沿ac和bc方向分解，两个分力分别为Fa，Fb，如图(甲)所示，其中Fb＝m1g，由几何关系可得cos θ＝＝，又由几何关系得cos θ＝，联立解得＝。

(甲)

法二　正交分解法

绳圈受到Fa，Fb，F三个力作用，如图(乙)所示，将Fb沿水平方向和竖直方向正交分解，由竖直方向受力平衡得m1gcos θ＝m2g；由几何关系得cos θ＝，联立解得＝。

(乙)

名师点拨　力的合成与分解方法的选择

力的效果分解法、正交分解法、合成法都是常见的解题方法，一般情况下，物体只受三个力且合力为零的情形下，力的效果分解法、合成法解题较为简单，在三角形中找几何关系，利用几何关系或三角形相似求解；而物体受三个以上力的情况多用正交分解法，但也要视题目具体情况而定。

〔变式训练2〕(2020·湖北八市联考)如图所示，一物块置于水平地面上，当用与水平方向成60°角的力F1拉物块时，物块做匀速直线运动；当改用与水平方向成30°角的力F2推物块时，物块仍做匀速直线运动。若F1和F2的大小相等，则物块与地面之间的动摩擦因数为(　B　)

A．－1　 B．2－

C．－　 D．1－

[解析]　当用F1拉物块做匀速直线运动时，受力分析如图(甲)所示，将F1正交分解，则

(甲)

水平方向有F1cos 60°＝Ff1

竖直方向有F1sin 60°＋FN1＝mg

其中Ff1＝μFN1

联立各式可得F1＝；

同理，当用F2推物块做匀速直线运动时，受力分析如图(乙)所示，

(乙)

水平方向有F2cos 30°＝Ff2

竖直方向有F2sin 30°＋mg＝FN2

其中Ff2＝μFN2

联立各式可得F2＝

根据题意知F1＝F2，解得μ＝2－，B正确。

名师讲坛·素养提升

MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG

力的合成中两类最小值问题

1．合力一定，其中一个分力的方向一定，求另一分力的最小值

例3　(2021·吉林通化检测)如图所示，重力为G的小球用轻绳悬挂于O点，用力F拉住小球，使轻绳保持偏离竖直方向60°角且不变，当F与竖直方向的夹角为θ时F最小，则θ、F的值分别为(　B　)

A．0°、G　　 B．30°、G

C．60°、G　 D．90°、G

[解析]　如图所示，小球在三个力的作用下处于平衡状态，重力G的大小和方向都不变，轻绳拉力T的方向不变，因为轻绳拉力T和外力F的合力等于重力，通过作图法知，当F的方向与轻绳的方向垂直时，F最小，则由几何知识得θ＝30°，Fmin＝Gcos30°＝G，故B正确。

〔变式训练3〕将三个质量均为m的小球a、b、c用细线相连后(b、c间无细线相连)，再用细线悬挂于O点，如图所示。用力F拉小球c，使三个小球都处于静止状态，且细线Oa与竖直方向的夹角保持为θ＝30°，则F的最小值为(　C　)

A．mg　 B．2mg

C．1.5mg　 D．mg

[解析]　本题考查平衡中的极值问题。静止时将三球视为一个整体，重力为3mg，由平行四边形定则分析可知，当作用于c球上的力F垂直于Oa时，F最小，由正交分解法知，水平方向Fmincos 30°＝Tsin 30°，竖直方向Fminsin 30°＋Tcos 30°＝3mg，解得Fmin＝1.5mg。故选C。

2．合力方向一定，其中一个分力的大小和方向都一定，求另一分力的最小值。

例4　如图所示，甲、乙、丙三人分别在两岸用绳拉小船在河流中行驶，已知甲的拉力大小为800 N，方向与航向夹角为30°，乙的拉力大小为400 N，方向与航向夹角为60°，要保持小船在河流正中间沿虚线所示的直线行驶，则丙用力最小为(　C　)

A．与F甲垂直，大小为400 N

B．与F乙垂直，大小为200 N

C．与河岸垂直，大小约为746 N

D．与河岸垂直，大小为400 N

[解析]　如图所示，甲、乙两人的拉力大小和方向一定，其合力为如图所示中的F，要保持小船在河流中间沿虚线方向直线行驶，F与F丙的合力必沿图中虚线方向，当F丙与图中虚线垂直时值最小，由图可知，F丙min＝F乙sin 60°＋F甲sin 30°＝200 N＋400 N≈746 N，C正确。

2年高考·1年模拟

2 NIAN GAO KAO 1 NIAN MO NI

1．(2019·全国卷Ⅱ，16)物块在轻绳的拉动下沿倾角为30°的固定斜面向上匀速运动，轻绳与斜面平行。已知物块与斜面之间的动摩擦因数为，重力加速度取10 m/s2。若轻绳能承受的最大张力为1 500  N，则物块的质量最大为(　A　)

A．150 kg　　 B．100 kg

C．200 kg　 D．200 kg

[解析]　物块沿斜面向上匀速运动，受力如图，根据平衡条件

F＝Ff＋mgsin θ  ①

Ff＝μFN  ②

FN＝mgcos θ  ③

由①②③式得

F＝mgsin θ＋μmgcos θ

所以m＝

代入数据得m＝150  kg，选项A正确。

2．(2019·江苏，2)如图所示，一只气球在风中处于静止状态，风对气球的作用力水平向右。细绳与竖直方向的夹角为α，绳的拉力为T，则风对气球作用力的大小为(　C　)

A．　　　　 B．

C．Tsin α　 D．Tcos α

[解析]　对气球，受力分析如图所示，将绳的拉力T分解，在水平方向：风对气球的作用力大小F＝Tsin α，选项C正确。

3．(2019·天津，2)2018年10月23日，港珠澳跨海大桥正式开通。为保持以往船行习惯，在航道处建造了单面索(所有钢索均处在同一竖直面内)斜拉桥，其索塔与钢索如图所示。下列说法正确的是(　C　)

A．增加钢索的数量可减小索塔受到的向下的压力

B．为了减小钢索承受的拉力，可以适当降低索塔的高度

C．索塔两侧钢索对称且拉力大小相同时，钢索对索塔的合力竖直向下

D．为了使索塔受到钢索的合力竖直向下，索塔两侧的钢索必须对称分布

[解析]　A错：索塔对钢索竖直向上的作用力跟钢索和桥体整体的重力平衡。增加钢索数量，其整体重力变大，故索塔受到的压力变大。B错：若索塔高度降低，则钢索与竖直方向夹角θ将变大，由2Tcos θ＝G可知，钢索拉力T将变大。C对：两侧拉力对称，合力一定在夹角平分线上，即竖直向下。D错：若钢索非对称分布，但其水平方向的合力为0，合力仍竖直向下。

4．(2020·山东青岛模拟)(多选)2019年12月17日，我国第二艘航母“山东舰”正式入列我国海军，此舰为首艘国产航母，标志着我国的军舰建造技术进入新时代。为使舰载机在几秒内迅

速停在航母上，需要利用阻拦索将舰载机高速拦停(如图1)，此过程可简化为如图2所示模型，设航母表面为一平面，阻拦索两端固定，并始终与航母平面平行。舰载机从正中央钩住阻拦索，实现减速。阻拦索为弹性装置，刚刚接触阻拦索就处于绷紧状态，下列说法正确的是(　BC　)

A．舰载机落在航母上钩住阻拦索时，只受重力、阻拦索的弹力和航母平面的摩擦力三个力作用

B．舰载机钩住阻拦索继续向前运动的过程中，阻拦索对舰载机的弹力在变大

C．当阻拦索被拉至夹角为120°时，设阻拦索的张力为F，则阻拦索对舰载机的弹力大小为F

D．舰载机钩住阻拦索继续向前运动的过程中，舰载机所受摩擦力一直在变大

[解析]　舰载机受重力、阻拦索的弹力、航母给的摩擦力与支持力，A错；阻拦索的长度变长，绳索上的张力变大，对飞机的作用是绳索上两个分力的合力，夹角变小，合力变大，B对；夹角为120°时，F合＝F，C对；Ff＝μN＝μmg，故舰载机所受摩擦力不变，D错。