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高考物理一轮复习第二章相互作用第讲力的合成与分解学案新人教版
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这是一份高考物理一轮复习第二章相互作用第讲力的合成与分解学案新人教版，共12页。
知识梳理·双基自测
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理
知识点1 力的合成与分解
1．合力与分力
(1)定义：如果一个力产生的效果跟几个共点力共同作用产生的效果相同，这一个力就叫作那几个力的合力，原来那几个力叫作分力。
(2)关系：合力和分力是等效替代的关系。
2．共点力
作用在物体的同一点，或作用线的延长线交于一点的力。如下图所示均是共点力。
3．力的合成
(1)定义：求几个力的合力的过程。
(2)运算法则
①平行四边形定则：求两个互成角度的共点力的合力，可以用表示这两个力的线段为邻边做平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向。如图甲所示。
②三角形定则：把两个矢量首尾相接，从而求出合矢量的方法。如图乙所示。
特别提醒：(1)两个分力一定时，夹角θ越大，合力越小。
(2)合力一定时，两等大分力的夹角θ越大，两分力越大。
(3)合力可以大于分力，等于分力，也可以小于分力。
4．力的分解
(1)定义：求一个已知力的分力的过程。
(2)遵循原则：平行四边形定则或三角形定则。
(3)分解方法：①按力产生的效果分解；②正交分解。
思考：如图所示，物体受到四个力作用，它们分别分布在两条互相垂直的直线上，且F1＝5 N，F2＝8 N，F3＝7 N，F4＝11 N。
(1)F1和F2的合力是多少？F3和F4的合力又是多少？
(2)这四个力的合力是多大呢？总结该题求合力的最合理的方法。
[答案] (1)3 N，方向与力F2相同；4 N，方向与F4方向相同 (2)5 N；先求F1和F2的合力F12，再求F3和F4的合力F34，再求F12和F34的合力。
知识点2 矢量和标量
1．矢量
既有大小又有方向的量，相加时遵从平行四边形定则。
2．标量
只有大小没有方向的量，求和时按代数法则相加。
注意：有方向的物理量不一定是矢量，还要看运算法则，如电流强度。
双基自测
一、堵点疏通
1．两个力的合力一定大于任何一个分力。( × )
2．不考虑力的实际效果时，一个力可以对应无数对分力。( √ )
3．将一个力F分解为两个力F1、F2，F是物体实际受到的力。( √ )
4．合力与分力可以同时作用在物体上。( × )
5．2 N的力能够分解成6 N和3 N的两个分力。( × )
6．合力是阻力，它的每一个分力都是阻力。( × )
7．位移是矢量，相加时可以用算术法直接求和。( × )
二、对点激活
1．两个力F1和F2间的夹角为θ，两力的合力为F。以下说法正确的是( C )
A．合力F总比分力F1和F2中的任何一个力都大
B．合力F总比分力F1和F2中的其中一个力大
C．若F1和F2大小不变，θ越小，合力F就越大
D．如果夹角θ不变，若F1的大小不变，只要F2增大，合力F就必然增大
[解析] 二力平衡时，合力为零，此时合力F比分力中的任何一个力都小，选项A，B错误；若F1和F2大小不变，θ角越小，合力F越大，选项C正确；如果夹角θ不变，F1大小不变，F2增大，合力F可能减小，也可能越大，故选项D错误。
2．(多选)三个共点力作用在同一物体上，其大小分别为2 N，8 N，12 N，其合力大小可能是( AC )
A．4 N B．0 N
C．15 N D．28 N
[解析] 2 N,8 N这两个力的合力的大小介于6 N与10 N
之间，再与12 N的力去合成，则其合力最小值是2 N，而最大值为22 N。所以选项A，C正确。
3．(2023·吉林省实验中学四模)如图所示，一物块在斜向下的推力F的作用下沿光滑的水平地面向右运动，那么物块受到的地面的支持力与推力F的合力方向是( B )
A．水平向右 B．向上偏右
C．向下偏左 D．竖直向下
[解析] 本题考查已知分力方向分析合力方向。对物块受力分析可知，受重力、支持力、推力，物块在竖直方向上受力平衡，设推力F与水平方向的夹角为θ，有FN＝mg＋Fsin θ，支持力FN与F在竖直方向的分力的合力为Fy＝mg，方向向上，F在水平方向的分力Fx＝Fcs θ，方向水平向右，故F合＝eq \r(F\\al(2,y)＋F\\al(2,x))＝eq \r(mg2＋Fcs θ2)，方向向上偏右，B正确。
核心考点·重点突破
HE XIN KAO DIAN ZHONG DIAN TU PO
考点一 力的合成
1．共点力合成的常用方法
(1)作图法：从力的作用点起，按同一标度作出两个分力F1和F2的图示，再以F1和F2的图示为邻边作平行四边形，画出过作用点的对角线，量出对角线的长度，计算出合力的大小，量出对角线与某一力的夹角确定合力的方向(如图所示)。
(2)计算法：几种特殊情况的共点力合成
(3)三角形定则：将表示两个力的图示(或示意图)保持原来的方向依次首尾相接，从第一个力的作用点，到第二个力的箭头的有向线段为合力。平行四边形定则与三角形定则的关系如图甲、乙所示。
2．合力大小的范围
(1)两个共点力的合成：|F1－F2|≤F≤F1＋F2。
即两个力的大小不变时，其合力随夹角的增大而减小，当两个力反向时，合力最小，为|F1－F2|；当两力同向时，合力最大，为F1＋F2。
(2)三个共点力的合成
①三个力共线且同向时，其合力最大为F＝F1＋F2＋F3。
②以这三个力的大小为边，如果能组成封闭的三角形，则其合力最小值为零，若不能组成封闭的三角形，则合力最小值的大小等于最大的一个力减去另外两个力的大小之和。
例1 (多选)如图所示，用轻绳AO和OB将重为G的重物悬挂在水平天花板和竖直墙壁之间处于静止状态，AO绳水平，OB绳与竖直方向的夹角为θ，则AO绳的拉力FA，OB绳的拉力FB的大小与G之间的关系为( AC )
A．FA＝Gtan θ B．FA＝eq \f(G,cs θ)
C．FB＝eq \f(G,cs θ) D．FB＝Gcs θ
[解析] 结点O受到三个力作用FA，FB，FC，如图所示，其中FA，FB的合力与FC等大反向，即F合＝FC＝G，则eq \f(FA,FC)＝tan θ，eq \f(FC,FB)＝cs θ，解得FA＝Gtan θ，FB＝eq \f(G,cs θ)，故A，C正确。
〔变式训练1〕2019现代汽车·射箭世界杯赛陆家嘴金融城上海站，5月6日在浦东陆家嘴金融城再次开弓，这是上海浦东连续第11年举办这一赛事。如图(甲)所示，射箭时，释放的瞬间若弓弦的拉力为100 N，对箭产生的作用力为120 N，其弓弦的拉力如图(乙)中F1和F2所示，对箭产生的作用力如图中F所示，则弓弦的夹角α应为(cs 53°＝0.6)( D )
A．53° B．127°
C．143° D．106°
[解析] 弓弦拉力的合成如图所示，由于F1＝F2，由几何知识得F合＝2F1cseq \f(α,2)，cseq \f(α,2)＝eq \f(F合,2F1)＝0.6，eq \f(α,2)＝53°，即α＝106°，故D正确。
考点二 力的分解
力的分解的两种常用方法
1．按力的效果分解
(1)根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向。
(2)再根据两个实际分力方向画出平行四边形。
(3)最后由三角形知识求出两分力的大小。如图所示，物体的重力G按产生的效果分解为两个分力，F1使物体下滑，F2使物体压紧斜面。
2．正交分解法
(1)定义：将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法。
(2)建立坐标轴的原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(即尽量多的力在坐标轴上)；在动力学中，以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系。
(3)方法：物体受到多个力作用F1、F2、F3…，求合力F时，可把各力沿相互垂直的x轴、y轴分解。
x轴上的合力：
Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…
y轴上的合力：
Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…
合力的大小：F＝eq \r(F\\al(2,x)＋F\\al(2,y))
合力方向：与x轴夹角为θ，则tanθ＝eq \f(Fy,Fx)。
例2 如图所示，墙上有两个钉子a和b，它们的连线与水平方向的夹角为45°，两者的高度差为l，一条不可伸长的轻质细绳一端固定于a点，另一端跨过光滑钉子b悬挂一质量为m1的重物。在绳上距a端eq \f(l,2)的c点有一固定绳圈。若绳圈上悬挂质量为m2的钩码，平衡后绳的ac段正好水平，则重物和钩码的质量比eq \f(m1,m2)为( C )
A．eq \r(5) B．2
C．eq \f(\r(5),2) D．eq \r(2)
[解析] 法一 力的效果分解法
钩码的拉力F等于钩码重力m2g，将F沿ac和bc方向分解，两个分力分别为Fa，Fb，如图(甲)所示，其中Fb＝m1g，由几何关系可得cs θ＝eq \f(F,Fb)＝eq \f(m2g,m1g)，又由几何关系得cs θ＝eq \f(l,\r(l2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,2)))2))，联立解得eq \f(m1,m2)＝eq \f(\r(5),2)。
(甲)
法二 正交分解法
绳圈受到Fa，Fb，F三个力作用，如图(乙)所示，将Fb沿水平方向和竖直方向正交分解，由竖直方向受力平衡得m1gcs θ＝m2g；由几何关系得cs θ＝eq \f(l,\r(l2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,2)))2))，联立解得eq \f(m1,m2)＝eq \f(\r(5),2)。
(乙)
名师点拨 力的合成与分解方法的选择
力的效果分解法、正交分解法、合成法都是常见的解题方法，一般情况下，物体只受三个力且合力为零的情形下，力的效果分解法、合成法解题较为简单，在三角形中找几何关系，利用几何关系或三角形相似求解；而物体受三个以上力的情况多用正交分解法，但也要视题目具体情况而定。
〔变式训练2〕(2023·湖北八市联考)如图所示，一物块置于水平地面上，当用与水平方向成60°角的力F1拉物块时，物块做匀速直线运动；当改用与水平方向成30°角的力F2推物块时，物块仍做匀速直线运动。若F1和F2的大小相等，则物块与地面之间的动摩擦因数为( B )
A．eq \r(3)－1 B．2－eq \r(3)
C．eq \f(\r(3),2)－eq \f(1,2) D．1－eq \f(\r(3),2)
[解析] 当用F1拉物块做匀速直线运动时，受力分析如图(甲)所示，将F1正交分解，则
(甲)
水平方向有F1cs 60°＝Ff1
竖直方向有F1sin 60°＋FN1＝mg
其中Ff1＝μFN1
联立各式可得F1＝eq \f(2μmg,1＋\r(3)μ)；
同理，当用F2推物块做匀速直线运动时，受力分析如图(乙)所示，
(乙)
水平方向有F2cs 30°＝Ff2
竖直方向有F2sin 30°＋mg＝FN2
其中Ff2＝μFN2
联立各式可得F2＝eq \f(2μmg,\r(3)－μ)
根据题意知F1＝F2，解得μ＝2－eq \r(3)，B正确。
名师讲坛·素养提升
MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
力的合成中两类最小值问题
1．合力一定，其中一个分力的方向一定，求另一分力的最小值
例3 (2023·吉林通化检测)如图所示，重力为G的小球用轻绳悬挂于O点，用力F拉住小球，使轻绳保持偏离竖直方向60°角且不变，当F与竖直方向的夹角为θ时F最小，则θ、F的值分别为( B )
A．0°、G B．30°、eq \f(\r(3),2)G
C．60°、G D．90°、eq \f(1,2)G
[解析] 如图所示，小球在三个力的作用下处于平衡状态，重力G的大小和方向都不变，轻绳拉力T的方向不变，因为轻绳拉力T和外力F的合力等于重力，通过作图法知，当F的方向与轻绳的方向垂直时，F最小，则由几何知识得θ＝30°，Fmin＝Gcs30°＝eq \f(\r(3),2)G，故B正确。
〔变式训练3〕将三个质量均为m的小球a、b、c用细线相连后(b、c间无细线相连)，再用细线悬挂于O点，如图所示。用力F拉小球c，使三个小球都处于静止状态，且细线Oa与竖直方向的夹角保持为θ＝30°，则F的最小值为( C )
A．mg B．2mg
C．1.5mg D．eq \f(\r(3),2)mg
[解析] 本题考查平衡中的极值问题。静止时将三球视为一个整体，重力为3mg，由平行四边形定则分析可知，当作用于c球上的力F垂直于Oa时，F最小，由正交分解法知，水平方向Fmincs 30°＝Tsin 30°，竖直方向Fminsin 30°＋Tcs 30°＝3mg，解得Fmin＝1.5mg。故选C。
2．合力方向一定，其中一个分力的大小和方向都一定，求另一分力的最小值。
例4 如图所示，甲、乙、丙三人分别在两岸用绳拉小船在河流中行驶，已知甲的拉力大小为800 N，方向与航向夹角为30°，乙的拉力大小为400 N，方向与航向夹角为60°，要保持小船在河流正中间沿虚线所示的直线行驶，则丙用力最小为( C )
A．与F甲垂直，大小为400 N
B．与F乙垂直，大小为200eq \r(3) N
C．与河岸垂直，大小约为746 N
D．与河岸垂直，大小为400 N
[解析] 如图所示，甲、乙两人的拉力大小和方向一定，其合力为如图所示中的F，要保持小船在河流中间沿虚线方向直线行驶，F与F丙的合力必沿图中虚线方向，当F丙与图中虚线垂直时值最小，由图可知，F丙min＝F乙sin 60°＋F甲sin 30°＝200eq \r(3) N＋400 N≈746 N，C正确。
2年高考·1年模拟
2 NIAN GAO KAO 1 NIAN MO NI
1．(2023·全国卷Ⅱ，16)物块在轻绳的拉动下沿倾角为30°的固定斜面向上匀速运动，轻绳与斜面平行。已知物块与斜面之间的动摩擦因数为eq \f(\r(3),3)，重力加速度取10 m/s2。若轻绳能承受的最大张力为1 500 N，则物块的质量最大为( A )
A．150 kg B．100eq \r(3) kg
C．200 kg D．200eq \r(3) kg
[解析] 物块沿斜面向上匀速运动，受力如图，根据平衡条件
F＝Ff＋mgsin θ①
Ff＝μFN②
FN＝mgcs θ③
由①②③式得
F＝mgsin θ＋μmgcs θ
所以m＝eq \f(F,gsin θ＋μgcs θ)
代入数据得m＝150 kg，选项A正确。
2．(2023·江苏，2)如图所示，一只气球在风中处于静止状态，风对气球的作用力水平向右。细绳与竖直方向的夹角为α，绳的拉力为T，则风对气球作用力的大小为( C )
A．eq \f(T,sin α) B．eq \f(T,cs α)
C．Tsin α D．Tcs α
[解析] 对气球，受力分析如图所示，将绳的拉力T分解，在水平方向：风对气球的作用力大小F＝Tsin α，选项C正确。
3．(2023·天津，2)2018年10月23日，港珠澳跨海大桥正式开通。为保持以往船行习惯，在航道处建造了单面索(所有钢索均处在同一竖直面内)斜拉桥，其索塔与钢索如图所示。下列说法正确的是( C )
A．增加钢索的数量可减小索塔受到的向下的压力
B．为了减小钢索承受的拉力，可以适当降低索塔的高度
C．索塔两侧钢索对称且拉力大小相同时，钢索对索塔的合力竖直向下
D．为了使索塔受到钢索的合力竖直向下，索塔两侧的钢索必须对称分布
[解析] A错：索塔对钢索竖直向上的作用力跟钢索和桥体整体的重力平衡。增加钢索数量，其整体重力变大，故索塔受到的压力变大。B错：若索塔高度降低，则钢索与竖直方向夹角θ将变大，由2Tcs θ＝G可知，钢索拉力T将变大。C对：两侧拉力对称，合力一定在夹角平分线上，即竖直向下。D错：若钢索非对称分布，但其水平方向的合力为0，合力仍竖直向下。
4．(2023·山东青岛模拟)(多选)2019年12月17日，我国第二艘航母“山东舰”正式入列我国海军，此舰为首艘国产航母，标志着我国的军舰建造技术进入新时代。为使舰载机在几秒内迅
速停在航母上，需要利用阻拦索将舰载机高速拦停(如图1)，此过程可简化为如图2所示模型，设航母表面为一平面，阻拦索两端固定，并始终与航母平面平行。舰载机从正中央钩住阻拦索，实现减速。阻拦索为弹性装置，刚刚接触阻拦索就处于绷紧状态，下列说法正确的是( BC )
A．舰载机落在航母上钩住阻拦索时，只受重力、阻拦索的弹力和航母平面的摩擦力三个力作用
B．舰载机钩住阻拦索继续向前运动的过程中，阻拦索对舰载机的弹力在变大
C．当阻拦索被拉至夹角为120°时，设阻拦索的张力为F，则阻拦索对舰载机的弹力大小为F
D．舰载机钩住阻拦索继续向前运动的过程中，舰载机所受摩擦力一直在变大
[解析] 舰载机受重力、阻拦索的弹力、航母给的摩擦力与支持力，A错；阻拦索的长度变长，绳索上的张力变大，对飞机的作用是绳索上两个分力的合力，夹角变小，合力变大，B对；夹角为120°时，F合＝F，C对；Ff＝μN＝μmg，故舰载机所受摩擦力不变，D错。
类型
作图
合力的计算
①互相垂直
F＝eq \r(F\\al(2,1)＋F\\al(2,2))
tanθ＝eq \f(F1,F2)
②两力等大，
夹角θ
F＝2F1cseq \f(θ,2)
F与F1夹角为eq \f(θ,2)
③两力等大
且夹角120°
合力与分力等大
F′＝F
知识梳理·双基自测
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理
知识点1 力的合成与分解
1．合力与分力
(1)定义：如果一个力产生的效果跟几个共点力共同作用产生的效果相同，这一个力就叫作那几个力的合力，原来那几个力叫作分力。
(2)关系：合力和分力是等效替代的关系。
2．共点力
作用在物体的同一点，或作用线的延长线交于一点的力。如下图所示均是共点力。
3．力的合成
(1)定义：求几个力的合力的过程。
(2)运算法则
①平行四边形定则：求两个互成角度的共点力的合力，可以用表示这两个力的线段为邻边做平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向。如图甲所示。
②三角形定则：把两个矢量首尾相接，从而求出合矢量的方法。如图乙所示。
特别提醒：(1)两个分力一定时，夹角θ越大，合力越小。
(2)合力一定时，两等大分力的夹角θ越大，两分力越大。
(3)合力可以大于分力，等于分力，也可以小于分力。
4．力的分解
(1)定义：求一个已知力的分力的过程。
(2)遵循原则：平行四边形定则或三角形定则。
(3)分解方法：①按力产生的效果分解；②正交分解。
思考：如图所示，物体受到四个力作用，它们分别分布在两条互相垂直的直线上，且F1＝5 N，F2＝8 N，F3＝7 N，F4＝11 N。
(1)F1和F2的合力是多少？F3和F4的合力又是多少？
(2)这四个力的合力是多大呢？总结该题求合力的最合理的方法。
[答案] (1)3 N，方向与力F2相同；4 N，方向与F4方向相同 (2)5 N；先求F1和F2的合力F12，再求F3和F4的合力F34，再求F12和F34的合力。
知识点2 矢量和标量
1．矢量
既有大小又有方向的量，相加时遵从平行四边形定则。
2．标量
只有大小没有方向的量，求和时按代数法则相加。
注意：有方向的物理量不一定是矢量，还要看运算法则，如电流强度。
双基自测
一、堵点疏通
1．两个力的合力一定大于任何一个分力。( × )
2．不考虑力的实际效果时，一个力可以对应无数对分力。( √ )
3．将一个力F分解为两个力F1、F2，F是物体实际受到的力。( √ )
4．合力与分力可以同时作用在物体上。( × )
5．2 N的力能够分解成6 N和3 N的两个分力。( × )
6．合力是阻力，它的每一个分力都是阻力。( × )
7．位移是矢量，相加时可以用算术法直接求和。( × )
二、对点激活
1．两个力F1和F2间的夹角为θ，两力的合力为F。以下说法正确的是( C )
A．合力F总比分力F1和F2中的任何一个力都大
B．合力F总比分力F1和F2中的其中一个力大
C．若F1和F2大小不变，θ越小，合力F就越大
D．如果夹角θ不变，若F1的大小不变，只要F2增大，合力F就必然增大
[解析] 二力平衡时，合力为零，此时合力F比分力中的任何一个力都小，选项A，B错误；若F1和F2大小不变，θ角越小，合力F越大，选项C正确；如果夹角θ不变，F1大小不变，F2增大，合力F可能减小，也可能越大，故选项D错误。
2．(多选)三个共点力作用在同一物体上，其大小分别为2 N，8 N，12 N，其合力大小可能是( AC )
A．4 N B．0 N
C．15 N D．28 N
[解析] 2 N,8 N这两个力的合力的大小介于6 N与10 N
之间，再与12 N的力去合成，则其合力最小值是2 N，而最大值为22 N。所以选项A，C正确。
3．(2023·吉林省实验中学四模)如图所示，一物块在斜向下的推力F的作用下沿光滑的水平地面向右运动，那么物块受到的地面的支持力与推力F的合力方向是( B )
A．水平向右 B．向上偏右
C．向下偏左 D．竖直向下
[解析] 本题考查已知分力方向分析合力方向。对物块受力分析可知，受重力、支持力、推力，物块在竖直方向上受力平衡，设推力F与水平方向的夹角为θ，有FN＝mg＋Fsin θ，支持力FN与F在竖直方向的分力的合力为Fy＝mg，方向向上，F在水平方向的分力Fx＝Fcs θ，方向水平向右，故F合＝eq \r(F\\al(2,y)＋F\\al(2,x))＝eq \r(mg2＋Fcs θ2)，方向向上偏右，B正确。
核心考点·重点突破
HE XIN KAO DIAN ZHONG DIAN TU PO
考点一 力的合成
1．共点力合成的常用方法
(1)作图法：从力的作用点起，按同一标度作出两个分力F1和F2的图示，再以F1和F2的图示为邻边作平行四边形，画出过作用点的对角线，量出对角线的长度，计算出合力的大小，量出对角线与某一力的夹角确定合力的方向(如图所示)。
(2)计算法：几种特殊情况的共点力合成
(3)三角形定则：将表示两个力的图示(或示意图)保持原来的方向依次首尾相接，从第一个力的作用点，到第二个力的箭头的有向线段为合力。平行四边形定则与三角形定则的关系如图甲、乙所示。
2．合力大小的范围
(1)两个共点力的合成：|F1－F2|≤F≤F1＋F2。
即两个力的大小不变时，其合力随夹角的增大而减小，当两个力反向时，合力最小，为|F1－F2|；当两力同向时，合力最大，为F1＋F2。
(2)三个共点力的合成
①三个力共线且同向时，其合力最大为F＝F1＋F2＋F3。
②以这三个力的大小为边，如果能组成封闭的三角形，则其合力最小值为零，若不能组成封闭的三角形，则合力最小值的大小等于最大的一个力减去另外两个力的大小之和。
例1 (多选)如图所示，用轻绳AO和OB将重为G的重物悬挂在水平天花板和竖直墙壁之间处于静止状态，AO绳水平，OB绳与竖直方向的夹角为θ，则AO绳的拉力FA，OB绳的拉力FB的大小与G之间的关系为( AC )
A．FA＝Gtan θ B．FA＝eq \f(G,cs θ)
C．FB＝eq \f(G,cs θ) D．FB＝Gcs θ
[解析] 结点O受到三个力作用FA，FB，FC，如图所示，其中FA，FB的合力与FC等大反向，即F合＝FC＝G，则eq \f(FA,FC)＝tan θ，eq \f(FC,FB)＝cs θ，解得FA＝Gtan θ，FB＝eq \f(G,cs θ)，故A，C正确。
〔变式训练1〕2019现代汽车·射箭世界杯赛陆家嘴金融城上海站，5月6日在浦东陆家嘴金融城再次开弓，这是上海浦东连续第11年举办这一赛事。如图(甲)所示，射箭时，释放的瞬间若弓弦的拉力为100 N，对箭产生的作用力为120 N，其弓弦的拉力如图(乙)中F1和F2所示，对箭产生的作用力如图中F所示，则弓弦的夹角α应为(cs 53°＝0.6)( D )
A．53° B．127°
C．143° D．106°
[解析] 弓弦拉力的合成如图所示，由于F1＝F2，由几何知识得F合＝2F1cseq \f(α,2)，cseq \f(α,2)＝eq \f(F合,2F1)＝0.6，eq \f(α,2)＝53°，即α＝106°，故D正确。
考点二 力的分解
力的分解的两种常用方法
1．按力的效果分解
(1)根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向。
(2)再根据两个实际分力方向画出平行四边形。
(3)最后由三角形知识求出两分力的大小。如图所示，物体的重力G按产生的效果分解为两个分力，F1使物体下滑，F2使物体压紧斜面。
2．正交分解法
(1)定义：将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法。
(2)建立坐标轴的原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(即尽量多的力在坐标轴上)；在动力学中，以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系。
(3)方法：物体受到多个力作用F1、F2、F3…，求合力F时，可把各力沿相互垂直的x轴、y轴分解。
x轴上的合力：
Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…
y轴上的合力：
Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…
合力的大小：F＝eq \r(F\\al(2,x)＋F\\al(2,y))
合力方向：与x轴夹角为θ，则tanθ＝eq \f(Fy,Fx)。
例2 如图所示，墙上有两个钉子a和b，它们的连线与水平方向的夹角为45°，两者的高度差为l，一条不可伸长的轻质细绳一端固定于a点，另一端跨过光滑钉子b悬挂一质量为m1的重物。在绳上距a端eq \f(l,2)的c点有一固定绳圈。若绳圈上悬挂质量为m2的钩码，平衡后绳的ac段正好水平，则重物和钩码的质量比eq \f(m1,m2)为( C )
A．eq \r(5) B．2
C．eq \f(\r(5),2) D．eq \r(2)
[解析] 法一 力的效果分解法
钩码的拉力F等于钩码重力m2g，将F沿ac和bc方向分解，两个分力分别为Fa，Fb，如图(甲)所示，其中Fb＝m1g，由几何关系可得cs θ＝eq \f(F,Fb)＝eq \f(m2g,m1g)，又由几何关系得cs θ＝eq \f(l,\r(l2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,2)))2))，联立解得eq \f(m1,m2)＝eq \f(\r(5),2)。
(甲)
法二 正交分解法
绳圈受到Fa，Fb，F三个力作用，如图(乙)所示，将Fb沿水平方向和竖直方向正交分解，由竖直方向受力平衡得m1gcs θ＝m2g；由几何关系得cs θ＝eq \f(l,\r(l2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,2)))2))，联立解得eq \f(m1,m2)＝eq \f(\r(5),2)。
(乙)
名师点拨 力的合成与分解方法的选择
力的效果分解法、正交分解法、合成法都是常见的解题方法，一般情况下，物体只受三个力且合力为零的情形下，力的效果分解法、合成法解题较为简单，在三角形中找几何关系，利用几何关系或三角形相似求解；而物体受三个以上力的情况多用正交分解法，但也要视题目具体情况而定。
〔变式训练2〕(2023·湖北八市联考)如图所示，一物块置于水平地面上，当用与水平方向成60°角的力F1拉物块时，物块做匀速直线运动；当改用与水平方向成30°角的力F2推物块时，物块仍做匀速直线运动。若F1和F2的大小相等，则物块与地面之间的动摩擦因数为( B )
A．eq \r(3)－1 B．2－eq \r(3)
C．eq \f(\r(3),2)－eq \f(1,2) D．1－eq \f(\r(3),2)
[解析] 当用F1拉物块做匀速直线运动时，受力分析如图(甲)所示，将F1正交分解，则
(甲)
水平方向有F1cs 60°＝Ff1
竖直方向有F1sin 60°＋FN1＝mg
其中Ff1＝μFN1
联立各式可得F1＝eq \f(2μmg,1＋\r(3)μ)；
同理，当用F2推物块做匀速直线运动时，受力分析如图(乙)所示，
(乙)
水平方向有F2cs 30°＝Ff2
竖直方向有F2sin 30°＋mg＝FN2
其中Ff2＝μFN2
联立各式可得F2＝eq \f(2μmg,\r(3)－μ)
根据题意知F1＝F2，解得μ＝2－eq \r(3)，B正确。
名师讲坛·素养提升
MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
力的合成中两类最小值问题
1．合力一定，其中一个分力的方向一定，求另一分力的最小值
例3 (2023·吉林通化检测)如图所示，重力为G的小球用轻绳悬挂于O点，用力F拉住小球，使轻绳保持偏离竖直方向60°角且不变，当F与竖直方向的夹角为θ时F最小，则θ、F的值分别为( B )
A．0°、G B．30°、eq \f(\r(3),2)G
C．60°、G D．90°、eq \f(1,2)G
[解析] 如图所示，小球在三个力的作用下处于平衡状态，重力G的大小和方向都不变，轻绳拉力T的方向不变，因为轻绳拉力T和外力F的合力等于重力，通过作图法知，当F的方向与轻绳的方向垂直时，F最小，则由几何知识得θ＝30°，Fmin＝Gcs30°＝eq \f(\r(3),2)G，故B正确。
〔变式训练3〕将三个质量均为m的小球a、b、c用细线相连后(b、c间无细线相连)，再用细线悬挂于O点，如图所示。用力F拉小球c，使三个小球都处于静止状态，且细线Oa与竖直方向的夹角保持为θ＝30°，则F的最小值为( C )
A．mg B．2mg
C．1.5mg D．eq \f(\r(3),2)mg
[解析] 本题考查平衡中的极值问题。静止时将三球视为一个整体，重力为3mg，由平行四边形定则分析可知，当作用于c球上的力F垂直于Oa时，F最小，由正交分解法知，水平方向Fmincs 30°＝Tsin 30°，竖直方向Fminsin 30°＋Tcs 30°＝3mg，解得Fmin＝1.5mg。故选C。
2．合力方向一定，其中一个分力的大小和方向都一定，求另一分力的最小值。
例4 如图所示，甲、乙、丙三人分别在两岸用绳拉小船在河流中行驶，已知甲的拉力大小为800 N，方向与航向夹角为30°，乙的拉力大小为400 N，方向与航向夹角为60°，要保持小船在河流正中间沿虚线所示的直线行驶，则丙用力最小为( C )
A．与F甲垂直，大小为400 N
B．与F乙垂直，大小为200eq \r(3) N
C．与河岸垂直，大小约为746 N
D．与河岸垂直，大小为400 N
[解析] 如图所示，甲、乙两人的拉力大小和方向一定，其合力为如图所示中的F，要保持小船在河流中间沿虚线方向直线行驶，F与F丙的合力必沿图中虚线方向，当F丙与图中虚线垂直时值最小，由图可知，F丙min＝F乙sin 60°＋F甲sin 30°＝200eq \r(3) N＋400 N≈746 N，C正确。
2年高考·1年模拟
2 NIAN GAO KAO 1 NIAN MO NI
1．(2023·全国卷Ⅱ，16)物块在轻绳的拉动下沿倾角为30°的固定斜面向上匀速运动，轻绳与斜面平行。已知物块与斜面之间的动摩擦因数为eq \f(\r(3),3)，重力加速度取10 m/s2。若轻绳能承受的最大张力为1 500 N，则物块的质量最大为( A )
A．150 kg B．100eq \r(3) kg
C．200 kg D．200eq \r(3) kg
[解析] 物块沿斜面向上匀速运动，受力如图，根据平衡条件
F＝Ff＋mgsin θ①
Ff＝μFN②
FN＝mgcs θ③
由①②③式得
F＝mgsin θ＋μmgcs θ
所以m＝eq \f(F,gsin θ＋μgcs θ)
代入数据得m＝150 kg，选项A正确。
2．(2023·江苏，2)如图所示，一只气球在风中处于静止状态，风对气球的作用力水平向右。细绳与竖直方向的夹角为α，绳的拉力为T，则风对气球作用力的大小为( C )
A．eq \f(T,sin α) B．eq \f(T,cs α)
C．Tsin α D．Tcs α
[解析] 对气球，受力分析如图所示，将绳的拉力T分解，在水平方向：风对气球的作用力大小F＝Tsin α，选项C正确。
3．(2023·天津，2)2018年10月23日，港珠澳跨海大桥正式开通。为保持以往船行习惯，在航道处建造了单面索(所有钢索均处在同一竖直面内)斜拉桥，其索塔与钢索如图所示。下列说法正确的是( C )
A．增加钢索的数量可减小索塔受到的向下的压力
B．为了减小钢索承受的拉力，可以适当降低索塔的高度
C．索塔两侧钢索对称且拉力大小相同时，钢索对索塔的合力竖直向下
D．为了使索塔受到钢索的合力竖直向下，索塔两侧的钢索必须对称分布
[解析] A错：索塔对钢索竖直向上的作用力跟钢索和桥体整体的重力平衡。增加钢索数量，其整体重力变大，故索塔受到的压力变大。B错：若索塔高度降低，则钢索与竖直方向夹角θ将变大，由2Tcs θ＝G可知，钢索拉力T将变大。C对：两侧拉力对称，合力一定在夹角平分线上，即竖直向下。D错：若钢索非对称分布，但其水平方向的合力为0，合力仍竖直向下。
4．(2023·山东青岛模拟)(多选)2019年12月17日，我国第二艘航母“山东舰”正式入列我国海军，此舰为首艘国产航母，标志着我国的军舰建造技术进入新时代。为使舰载机在几秒内迅
速停在航母上，需要利用阻拦索将舰载机高速拦停(如图1)，此过程可简化为如图2所示模型，设航母表面为一平面，阻拦索两端固定，并始终与航母平面平行。舰载机从正中央钩住阻拦索，实现减速。阻拦索为弹性装置，刚刚接触阻拦索就处于绷紧状态，下列说法正确的是( BC )
A．舰载机落在航母上钩住阻拦索时，只受重力、阻拦索的弹力和航母平面的摩擦力三个力作用
B．舰载机钩住阻拦索继续向前运动的过程中，阻拦索对舰载机的弹力在变大
C．当阻拦索被拉至夹角为120°时，设阻拦索的张力为F，则阻拦索对舰载机的弹力大小为F
D．舰载机钩住阻拦索继续向前运动的过程中，舰载机所受摩擦力一直在变大
[解析] 舰载机受重力、阻拦索的弹力、航母给的摩擦力与支持力，A错；阻拦索的长度变长，绳索上的张力变大，对飞机的作用是绳索上两个分力的合力，夹角变小，合力变大，B对；夹角为120°时，F合＝F，C对；Ff＝μN＝μmg，故舰载机所受摩擦力不变，D错。
类型
作图
合力的计算
①互相垂直
F＝eq \r(F\\al(2,1)＋F\\al(2,2))
tanθ＝eq \f(F1,F2)
②两力等大，
夹角θ
F＝2F1cseq \f(θ,2)
F与F1夹角为eq \f(θ,2)
③两力等大
且夹角120°
合力与分力等大
F′＝F
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