2021鹤壁高级中学高一上学期第三次段考数学试题含答案

鹤壁市高中2023届高一第三次段考数学试卷

一、单选题(每小题5分，12小题共60分)

1．已知集合，集合，则(   )

 A． B． C． D．

2．下列说法中正确的是(   )

 A．棱柱的面中，至少有两个互相平行

 B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面

 C．棱柱中各条棱长都相等

 D．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形

3．已知水平放置的的平面直观图是边长为的正三角形，则的面积为(   )

 A． B． C． D．

4．若为两条异面直线外的任意一点，则(   )

A．过点有且仅有一条直线与都平行

B．过点有且仅有一条直线与都垂直

C．过点有且仅有一条直线与都相交

D．过点有且仅有一条直线与都异面

5．已知函数，则的零点所在的区间为(   )

 A． B． C． D．

6．将正方体（如图一所示）截去两个三棱锥，得到图二所示的几何体，则该几何体的左视图为 (   )

 A． B． C． D．

7．设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中真命题是(   )

A．若与所成角相等，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

8．若，则(   )

 A． B． C． D．

9．如图，长方体中，，，，，分别是，，的中点，则异面直线与所成角是(   )

 A．30°

 B．45°

 C．60°

 D．90°

10．卢浮宫金字塔位于巴黎卢浮宫的主院拿破仑庭院，由美籍华人建筑师设计，已成为巴黎的城市地标｡金字塔为正四棱锥造型，四个侧面由几乎大小相同的玻璃块拼装而成，能为地下设施提供良好的采光，创造性地解决了把古老宫殿改造成现代美术馆的一系列难题，取得极大成功，金字塔塔高21米，底宽34米，如果每块玻璃面积为2.72平方米，不计安装中的损耗，请你估算，建造这座玻璃金字塔需要玻璃块的块数最接近的数为(   )

 A．575 B．625 C．675 D．725

11．已知矩形中，，F为线段上一动点（不含端点），现将沿直线进行翻折，在翻折的过程中不可能成立的是(   )

A．存在某个位置，使直线与垂直

B．存在某个位置，使直线与垂直

C．存在某个位置，使直线与垂直

D．存在某个位置，使直线与垂直

12．定义域是上的函数满足，当时，，若时，有解，则实数的取值范围是(   )

 A． B． C．      D．

二、填空题（每小题5分，4小题共20分）

13．已知幂函数的图象关于原点对称，则________.

14．如图，在三棱锥中，，，，，，则与平面所成角的大小为__________.

15．若与在区间上都是减函数，则的取值范围是______．

16．在正三棱锥中，M是SC的中点，且，底面边长，则正三棱锥的外接球的表面积为_______________.

三、解答题（第17题10分，18-22题每题12分）

17．（10分）已知集合集合.

(1)求

(2)若集合,且,求实数的取值范围.

18．（12分）如图，正方体中，，分别是，的中点．求证：

（1），，，四点共面；

（2），，三线共点．

19．（12分）已知函数．

（）判断并证明函数在的单调性．

（）若时函数的最大值与最小值的差不大于，求m的取值范围．

20．（12分）如图，在直三棱柱中，D，E分别为，的中点，．求证：

（1）平面；

（2）．

21．（12分）某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为元，该厂为鼓励销售商订购，订购的服装单价与订购量满足函数，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过件．

（1）将利润表示为订购量的函数；

（2）当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？最大利润是多少？

22．（12分）已知函数的图象关于原点对称.

（1）求的值；

（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.

鹤壁市高中2023届高一第三次段考数学答案

1．D      2．A       3．A      4．B       5．C

6．B【详解】由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段，上面的射影也是线段，后面与底面的射影都是线段，轮廓是正方形，在右侧的射影是正方形的对角线，在右侧的射影也是对角线是虚线．如图B．

7．D【详解】对于A，如正三棱锥的侧棱与底面所成的角都相等，但侧棱不平行，故A错误；对于B，若，则或，故B错误；对于C，如图，，但与相交，故C错误； 对于D，若，则或，又，则，故D正确.

8．D【详解】令，根据指数函数的性质，可得单调递增，单调递减，因此在上单调递增；又可化为，即，所以，当，时，，故A错；当，时，，故B错；当，时，，故C错；因为是减函数，由可得，即，故D正确.

9．D【详解】如图所示：连接，由长方体的结构特征得，所以是异面直线与所成角，因为，,所以，即，所以，故异面直线与所成角.

10．C【详解】正四棱锥如图所示，根据题意，平面ABCD，，，，在中，

，则正四棱锥的侧面积

，所以需要玻璃块的块数为，所以建造这座玻璃金字塔需要玻璃块的块数最接近的数为675.故选：C.

11．C【详解】对于A，连接，作于，延长交于点，则，翻折过程中，这个垂直关系保持不变（始终有平面），A正确；对于B，在翻折过程中，保持不变，当时，有平面，所以，此时，，满足题意；B正确；对于C，在翻折过程中， 保持不变，若成立，则由，有，则平面，从而,

得，在翻折过程中，，

即，所以不成立，C错误．对于D，在翻折过程中，保持不变，若成立，则平面，从而，此时，设，则，，只要，就存在．D正确；

12．B【解析】∵,∴ 当时，,

∴,由分段函数的最值得，

当时，.∵当时，有解，

∴，整理得，解得或.

∴实数的取值范围是.

二、填空题

13．【分析】是幂函数，，解得：或，又函数的图象关于原点对称，.故答案为：

14．45°【分析】如图，作平行四边形，连接，由可得平行四边形是矩形.∵，∴平面，又平面，∴，同理可得，又，∴平面.∴是与平面所成的角.由得，又，∴.

∴与平面所成角的大小是45°.

15．【分析】根据与在区间上都是减函数，又的对称轴为，所以，又在区间上是减函数，所以,所以，即的取值范围为．

16．【分析】取中点，连接，三棱锥为正三棱锥,，,，，平面，,平面，平面, ，又，平面，,平面，平面    ，，由正棱锥侧面全等可知：，即两两互相垂直，可将三棱锥放入如下图所示的正方体中，其中，则三棱锥的外接球即为正方体的外接球，,正方体外接球半径：，所求外接球的表面积：，故答案为：

【点睛】本题考查几何体外接球表面积的求解问题，关键是能够根据线面垂直的关系找到三条棱两两互相垂直的关系，从而将问题转化为正方体外接球表面积的求解问题，属于中档题.

三、解答题17．解：(1),……………………………………2分

………………………………………………4分

所以…………………………………………………………5分

(2)当时，，即，满足；………………………….7分

当时,解得；……………………………………………9分

综上：且. ……………………………………………………………………10分

18．证明：（1）连接，，,，分别是，的中点，，………2分

，又，

四边形为平行四边形，……………………………………4分

从而,. …………………………………5

由两条平行线确定一个平面，得到，，，四点共面．………6分

（2）由（1）知四边形为梯形，分别延长梯形两腰，，

交于点，………………………………………………………………8分

，…………………9分

，……………………10分

在与平面的交线上，，，三线共点于．……………12分

19．解：（1）函数在上单调递增. …………………………1分

证明如下：任取，且，……………2分

因为，则，………4分

因为，所以，，，

所以，即，所以函数在上单调递增；………6分

（2）由（1）知函数在上单调递增，…………………………7分

所以函数的最大值为，最小值为，…………………………8分

所以，即，解得，…………………………10分

又,所以…………………………12分

20．解：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，

∴DEAB，ABA1B1，∴DEA1B1，…………………………2分

∵DE⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，…………………………4分

∴A1B1平面DEC1．…………………………6分

（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是AC的中点，AB＝BC．…………7分

∴BE⊥AC，…………8分

∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BE⊂平面ABC，

∴BE⊥AA1，…………10分

又AA1∩AC＝A，∴BE⊥平面ACC1A1，………………………11分

∵C1E⊂平面ACC1A1，∴BE⊥C1E．………………………12分

21．解：（1）当时，

当时，

所以. …………6分

（2）当时，，即，……………………8分

当时，，即时，…………11分

故一次订购件时，利润最大，最大利润为6050. ……………………………………12分

22．解：（1）因为的图象关于原点对称，所以为奇函数，

所以，即，解得；……3分

（2）易知的定义域为，令，易证得在上单调递增，

根据复合函数的性质知在上单调递增.

又因为为奇函数，所以在上单调递增. ……………………4分

在上恒成立，

等价于在上恒成立，

即（*）在上恒成立. ……………………6分

令，显然是增函数，则. …7分

，

（*）式可化为，……………………8分

令，

其图象对称轴的方程为.

①当，即时，在上递增，则，

解得，故；……………………9分

②当，即时，，

解得，故；……………………10分

③当，即时，在上递减，则，

解得，故. ……………………11分

综上所述，的取值范围为. ……………………12分